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文檔簡介
2024屆河南省鄭州一中高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線與雙曲線沒有公共點,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知函數(shù)滿足,設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知a,b∈R,,則()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a4.已知的垂心為,且是的中點,則()A.14 B.12 C.10 D.85.已知函數(shù),若時,恒成立,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.6.在的展開式中,含的項的系數(shù)是()A.74 B.121 C. D.7.已知是函數(shù)圖象上的一點,過作圓的兩條切線,切點分別為,則的最小值為()A. B. C.0 D.8.已知數(shù)列滿足:)若正整數(shù)使得成立,則()A.16 B.17 C.18 D.199.如圖,網(wǎng)格紙是由邊長為1的小正方形構(gòu)成,若粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.10.設(shè)是定義域為的偶函數(shù),且在單調(diào)遞增,,則()A. B.C. D.11.函數(shù)的部分圖象如圖中實線所示,圖中圓與的圖象交于兩點,且在軸上,則下列說法中正確的是A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱C.函數(shù)在單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象向右平移后關(guān)于原點成中心對稱12.函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知非零向量,滿足,且,則與的夾角為____________.14.如圖所示,在直角梯形中,,、分別是、上的點,,且(如圖①).將四邊形沿折起,連接、、(如圖②).在折起的過程中,則下列表述:①平面;②四點、、、可能共面;③若,則平面平面;④平面與平面可能垂直.其中正確的是__________.15.在中,已知是的中點,且,點滿足,則的取值范圍是_______.16.李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進行促銷:一次購買水果的總價達到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會得到支付款的80%.①當x=10時,顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;②在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知在平面直角坐標系中,橢圓的焦點為為橢圓上任意一點,且.(1)求橢圓的標準方程;(2)若直線交橢圓于兩點,且滿足(分別為直線的斜率),求的面積為時直線的方程.18.(12分)已知矩陣,,若矩陣,求矩陣的逆矩陣.19.(12分)在綜合素質(zhì)評價的某個維度的測評中,依據(jù)評分細則,學(xué)生之間相互打分,最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個分數(shù),滿分100分,按照大于或等于80分的為優(yōu)秀,小于80分的為合格,為了解學(xué)生的在該維度的測評結(jié)果,在畢業(yè)班中隨機抽出一個班的數(shù)據(jù).該班共有60名學(xué)生,得到如下的列聯(lián)表:優(yōu)秀合格總計男生6女生18合計60已知在該班隨機抽取1人測評結(jié)果為優(yōu)秀的概率為.(1)完成上面的列聯(lián)表;(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為性別與測評結(jié)果有關(guān)系?(3)現(xiàn)在如果想了解全校學(xué)生在該維度的表現(xiàn)情況,采取簡單隨機抽樣方式在全校學(xué)生中抽取少數(shù)一部分來分析,請你選擇一個合適的抽樣方法,并解釋理由.附:0.250.100.0251.3232.7065.02420.(12分)已知函數(shù)(mR)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)若函數(shù)存在極值,求m的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),對任意mR,若關(guān)于x的不等式在(0,)上恒成立,求正整數(shù)k的取值集合.21.(12分)在平面四邊形中,已知,.(1)若,求的面積;(2)若求的長.22.(10分)購買一輛某品牌新能源汽車,在行駛?cè)旰螅畬⒔o予適當金額的購車補貼.某調(diào)研機構(gòu)對擬購買該品牌汽車的消費者,就購車補貼金額的心理預(yù)期值進行了抽樣調(diào)查,其樣本頻率分布直方圖如圖所示.(1)估計擬購買該品牌汽車的消費群體對購車補貼金額的心理預(yù)期值的方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(2)將頻率視為概率,從擬購買該品牌汽車的消費群體中隨機抽取人,記對購車補貼金額的心理預(yù)期值高于萬元的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)統(tǒng)計最近個月該品牌汽車的市場銷售量,得其頻數(shù)分布表如下:月份銷售量(萬輛)試預(yù)計該品牌汽車在年月份的銷售量約為多少萬輛?附:對于一組樣本數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
先求得的漸近線方程,根據(jù)沒有公共點,判斷出漸近線斜率的取值范圍,由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由于雙曲線與雙曲線沒有公共點,所以雙曲線的漸近線的斜率,所以雙曲線的離心率.故選:C【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,考查雙曲線離心率的取值范圍的求法,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)性,利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】解:若,則,即成立,若,則由,得,則“”是“”的必要不充分條件,故選:B.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)性是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
兩復(fù)數(shù)相等,實部與虛部對應(yīng)相等.【詳解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
由垂心的性質(zhì),得到,可轉(zhuǎn)化,又即得解.【詳解】因為為的垂心,所以,所以,而,所以,因為是的中點,所以.故選:A【點睛】本題考查了利用向量的線性運算和向量的數(shù)量積的運算率,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.5、D【解析】
通過分析函數(shù)與的圖象,得到兩函數(shù)必須有相同的零點,解方程組即得解.【詳解】如圖所示,函數(shù)與的圖象,因為時,恒成立,于是兩函數(shù)必須有相同的零點,所以,解得.故選:D【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點問題,考查不等式的恒成立問題,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.6、D【解析】
根據(jù),利用通項公式得到含的項為:,進而得到其系數(shù),【詳解】因為在,所以含的項為:,所以含的項的系數(shù)是的系數(shù)是,,故選:D【點睛】本題主要考查二項展開式及通項公式和項的系數(shù),還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題,7、C【解析】
先畫出函數(shù)圖像和圓,可知,若設(shè),則,所以,而要求的最小值,只要取得最大值,若設(shè)圓的圓心為,則,所以只要取得最小值,若設(shè),則,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.【詳解】記圓的圓心為,設(shè),則,設(shè),記,則,令,因為在上單調(diào)遞增,且,所以當時,;當時,,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,所以(當時等號成立).故選:C【點睛】此題考查的是兩個向量的數(shù)量積的最小值,利用了導(dǎo)數(shù)求解,考查了轉(zhuǎn)化思想和運算能力,屬于難題.8、B【解析】
計算,故,解得答案.【詳解】當時,,即,且.故,,故.故選:.【點睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)計算,意在考查學(xué)生的計算能力和對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.9、C【解析】
根據(jù)三視圖還原為幾何體,結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體可看作是半個圓柱和一個長方體的組合體,其中半圓柱的底面半圓半徑為1,高為4,長方體的底面四邊形相鄰邊長分別為1,2,高為4,所以該幾何體的表面積,故選C.【點睛】本題主要考查三視圖的識別,利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵,側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).10、C【解析】
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),比較即可.【詳解】解:顯然,所以是定義域為的偶函數(shù),且在單調(diào)遞增,所以故選:C【點睛】本題考查對數(shù)的運算及偶函數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題.11、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的圖象,求得函數(shù),再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象,可得點的橫坐標為,所以,解得,所以的最小正周期,不妨令,,由周期,所以,又,所以,所以,令,解得,當時,,即函數(shù)的一個對稱中心為,即函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱.故選B.【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式,以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
先求導(dǎo)函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立,對導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象,列不等式組求解可得.【詳解】依題意,,令,則,故在上恒成立;結(jié)合圖象可知,,解得故.故選:C.【點睛】本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法:就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當作一個角(或),利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解;(2)圖象法:畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線,結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、(或?qū)懗桑窘馕觥?/p>
設(shè)與的夾角為,通過,可得,化簡整理可求出,從而得到答案.【詳解】設(shè)與的夾角為可得,故,將代入可得得到,于是與的夾角為.故答案為:.【點睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運算,向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決本題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,分析能力及計算能力.14、①③【解析】
連接、交于點,取的中點,證明四邊形為平行四邊形,可判斷命題①的正誤;利用線面平行的性質(zhì)定理和空間平行線的傳遞性可判斷命題②的正誤;連接,證明出,結(jié)合線面垂直和面面垂直的判定定理可判斷命題③的正誤;假設(shè)平面與平面垂直,利用面面垂直的性質(zhì)定理可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對于命題①,連接、交于點,取的中點、,連接、,如下圖所示:則且,四邊形是矩形,且,為的中點,為的中點,且,且,四邊形為平行四邊形,,即,平面,平面,平面,命題①正確;對于命題②,,平面,平面,平面,若四點、、、共面,則這四點可確定平面,則,平面平面,由線面平行的性質(zhì)定理可得,則,但四邊形為梯形且、為兩腰,與相交,矛盾.所以,命題②錯誤;對于命題③,連接、,設(shè),則,在中,,,則為等腰直角三角形,且,,,且,由余弦定理得,,,又,,平面,平面,,,、為平面內(nèi)的兩條相交直線,所以,平面,平面,平面平面,命題③正確;對于命題④,假設(shè)平面與平面垂直,過點在平面內(nèi)作,平面平面,平面平面,,平面,平面,平面,,,,,,,又,平面,平面,.,平面,平面,.,,顯然與不垂直,命題④錯誤.故答案為:①③.【點睛】本題考查立體幾何綜合問題,涉及線面平行、面面垂直的證明、以及點共面的判斷,考查推理能力,屬于中等題.15、【解析】
由中點公式的向量形式可得,即有,設(shè),有,再分別討論三點共線和不共線時的情況,找到的關(guān)系,即可根據(jù)函數(shù)知識求出范圍.【詳解】是的中點,∴,即設(shè),于是(1)當共線時,因為,①若點在之間,則,此時,;②若點在的延長線上,則,此時,.(2)當不共線時,根據(jù)余弦定理可得,解得,由,解得.綜上,故答案為:.【點睛】本題主要考查學(xué)中點公式的向量形式和數(shù)量積的定義的應(yīng)用,以及余弦定理的應(yīng)用,涉及到函數(shù)思想和分類討論思想的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式,屬于中檔題.16、130.15.【解析】
由題意可得顧客需要支付的費用,然后分類討論,將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題可得的最大值.【詳解】(1),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價為元,元時,李明得到的金額為,符合要求.元時,有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【點睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識?數(shù)學(xué)式子變形與運算求解能力,以實際生活為背景,創(chuàng)設(shè)問題情境,考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué),考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)或【解析】
(1)根據(jù)橢圓定義求得,得橢圓方程;(2)設(shè),由得,應(yīng)用韋達定理得,代入已知條件可得,再由橢圓中弦長公式求得弦長,原點到直線的距離,得三角形面積,從而可求得,得直線方程.【詳解】解:(1)據(jù)題意設(shè)橢圓的方程為則橢圓的標準方程為.(2)據(jù)得設(shè),則又原點到直線的距離解得或所求直線的方程為或【點睛】本題考查求橢圓標準方程,考查直線與橢圓相交問題.解題時采取設(shè)而不求思想,即設(shè)交點坐標為,直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達定理得,把這個結(jié)論代入題中條件求得參數(shù),用它求弦長等等,從而解決問題.18、.【解析】試題分析:,所以.試題解析:B.因為,所以.19、(1)見解析;(2)在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為“性別與測評結(jié)果有關(guān)系”(3)見解析.【解析】
(1)由已知抽取的人中優(yōu)秀人數(shù)為20,這樣結(jié)合已知可得列聯(lián)表;(2)根據(jù)列聯(lián)表計算,比較后可得;(3)由于性別對結(jié)果有影響,因此用分層抽樣法.【詳解】解:(1)優(yōu)秀合格總計男生62228女生141832合計204060(2)由于,因此在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為“性別與測評結(jié)果有關(guān)系”.(3)由(2)可知性別有可能對是否優(yōu)秀有影響,所以采用分層抽樣按男女生比例抽取一定的學(xué)生,這樣得到的結(jié)果對學(xué)生在該維度的總體表現(xiàn)情況會比較符合實際情況.【點睛】本題考查獨立性檢驗,考查分層抽樣的性質(zhì).考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力.屬于中檔題.20、(1)(2){1,2}.【解析】
(1)求解導(dǎo)數(shù),表示出,再利用的導(dǎo)數(shù)可求m的取值范圍;(2)表示出,結(jié)合二次函數(shù)知識求出的最小值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)及基本不等式求出的最值,從而可求正整數(shù)k的取值集合.【詳解】(1)因為,所以,所以,則,由題意可知,解得;(2)由(1)可知,,所以因為整理得,設(shè),則,所以單調(diào)遞增,又因為,所以存在,使得,設(shè),是關(guān)于開口向上的二次函數(shù),則,設(shè),則,令,則,所以單調(diào)遞增,因為,所以存在,使得,即,當時,,當時,,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,因為,所以,又由題意可知,所以,解得,所以正整數(shù)k的取值集合
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