2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)：直線(xiàn)與圓

直線(xiàn)與圓2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)考情預(yù)覽

明確考向√2.[圓中最值問(wèn)題](2023·全國(guó)乙卷)已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x2+y2-4x-2y-4=0,則x-y的最大值是(

)√4.[直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系](2022·新高考Ⅱ卷)設(shè)點(diǎn)A(-2,3),B(0,a),若直線(xiàn)AB關(guān)于y=a對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)與圓(x+3)2+(y+2)2=1有公共點(diǎn),則a的取值范圍是

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考法聚焦

講練突破熱點(diǎn)一直線(xiàn)的方程及應(yīng)用(1)已知直線(xiàn)l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同時(shí)為零),直線(xiàn)l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同時(shí)為零),則l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0;l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.典例1

(1)(多選題)已知直線(xiàn)l1:(a+1)x+ay+2=0,l2:ax+(1-a)y-1=0,則(

)√√(2)(2023·內(nèi)蒙古赤峰模擬)已知直線(xiàn)l:ax+by+c=0,其中a,b,c成等差數(shù)列,則直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)

,若P(-1,0),N(2,1),過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l的垂線(xiàn),垂足為M,則|MN|的最大值為

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(1,-2)解決直線(xiàn)方程問(wèn)題的三個(gè)注意點(diǎn)(1)求解兩條直線(xiàn)平行的問(wèn)題時(shí),在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出參數(shù)的值后,要注意代入檢驗(yàn),排除兩條直線(xiàn)重合的可能性.(2)要注意直線(xiàn)方程每種形式的局限性,點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線(xiàn)不能與x軸垂直,而截距式方程既不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn),也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線(xiàn).(3)討論兩直線(xiàn)的位置關(guān)系時(shí),要注意直線(xiàn)的斜率是否存在.熱點(diǎn)訓(xùn)練1

(1)已知直線(xiàn)l1:x-my+1=0過(guò)定點(diǎn)A,直線(xiàn)l2:mx+y-m+3=0過(guò)定點(diǎn)B,l1與l2相交于點(diǎn)P,則|PA|2+|PB|2等于(

)A.10 B.13 C.16 D.20√(2)已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線(xiàn)y=x+b將△ABC分割為面積相等的兩部分,則b等于(

)√熱點(diǎn)二圓的方程及應(yīng)用(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a,b),半徑為r時(shí),其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,特別地,當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí),方程為x2+y2=r2.典例2

(1)已知圓C與直線(xiàn)y=x及x-y-4=0都相切,圓心在直線(xiàn)y=-x上,則圓C的方程為(

)A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x-1)2+(y+1)2=2√√√√(1)直接法求圓的方程:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫(xiě)出方程.(2)待定系數(shù)法求圓的方程:①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值;②若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑,選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進(jìn)而求出D,E,F的值.熱點(diǎn)訓(xùn)練2

(1)(2023·山東菏澤模擬)已知兩條直線(xiàn)l1:2x-3y+2=0,l2:3x-2y+3=0,有一動(dòng)圓(圓心和半徑都在變動(dòng))與l1,l2都相交,并且l1,l2被截在圓內(nèi)的兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度分別是定值26,24,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為(

)A.(y-1)2-x2=65 B.x2-(y-1)2=65C.y2-(x+1)2=65 D.(x+1)2-y2=65√(2)數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線(xiàn)上.后人稱(chēng)這條直線(xiàn)為歐拉線(xiàn),已知△ABC的頂點(diǎn)A(-2,0),B(2,4),其歐拉線(xiàn)的方程為x-y=0,則△ABC的外接圓方程為

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(x-1)2+(y-1)2=10熱點(diǎn)三直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系(1)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有相交、相切和相離.判斷方法有①點(diǎn)線(xiàn)距離法.(2)與圓的切線(xiàn)有關(guān)的結(jié)論①過(guò)圓x2+y2=r2外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)為A,B,則過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為x0x+y0y=r2.③過(guò)圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓C的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為A,B,則切點(diǎn)弦AB所在直線(xiàn)的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)圓與圓的位置關(guān)系,即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.考向1直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系典例3

(1)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)過(guò)點(diǎn)(0,-2)與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線(xiàn)的夾角為α,則sinα等于(

)√(2)(多選題)已知直線(xiàn)l:kx-y-k+1=0,圓C的方程為(x-2)2+(y+2)2=16,則下列選項(xiàng)正確的是(

)√√考向2圓與圓的位置關(guān)系典例4

(1)(2023·四川達(dá)州模擬預(yù)測(cè))已知圓O1:x2+y2=1與圓O2:(x-2)2+(y-2)2=1,圓I與圓O1,O2均相切,則圓心I的軌跡中包含了哪條曲線(xiàn)(

)A.圓 B.橢圓

C.雙曲線(xiàn) D.拋物線(xiàn)√解析:(1)由圓O1:x2+y2=1可得r1=1,由圓O2:(x-2)2+(y-2)2=1可得r2=1,設(shè)圓I的半徑為r,當(dāng)圓I與圓O1,O2同時(shí)外切或內(nèi)切時(shí),如圖,①當(dāng)同時(shí)外切時(shí),|IO1|=|IO2|=1+r;②當(dāng)同時(shí)內(nèi)切時(shí),|IO1|=|IO2|=r-1,故始終|IO1|=|IO2|,此時(shí)I的軌跡為線(xiàn)段O1O2的中垂線(xiàn).當(dāng)圓I與圓O1,O2一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切時(shí),如圖,①當(dāng)圓I與圓O1內(nèi)切,與圓O2外切時(shí),則|IO2|-|IO1|=(r+1)-(r-1)=2;(2)(2022·新高考Ⅰ卷)寫(xiě)出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線(xiàn)的方程

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x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(其中一條作答即可)解析:(2)法一如圖,因?yàn)閳Ax2+y2=1的圓心為O(0,0),半徑r1=1,圓(x-3)2+(y-4)2=16的圓心為A(3,4),半徑r2=4,所以|OA|=5,r1+r2=5,所以|OA|=r1+r2,所以?xún)蓤A外切,公切線(xiàn)有三種情況:①易知公切線(xiàn)l1的方程為x=-1.法二根據(jù)題意,精確作出兩圓(需用到尺規(guī)),由圖形可直觀(guān)快速看出直線(xiàn)x=-1是兩圓的一條公切線(xiàn),經(jīng)驗(yàn)證符合題意,故可填x=-1.(1)直線(xiàn)與圓相切問(wèn)題的解題策略①直線(xiàn)與圓相切時(shí)利用“切線(xiàn)與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直,圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑”建立關(guān)于切線(xiàn)斜率的等式,所以求切線(xiàn)方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式.過(guò)圓外一點(diǎn)求解切線(xiàn)段長(zhǎng)的問(wèn)題,可先求出圓心到圓外一點(diǎn)的距離,再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算.(2)直線(xiàn)與圓相交問(wèn)題的求法①弦長(zhǎng)