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北京市西城區(qū)普通中學(xué)2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)押題試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.一只螞蟻在邊長(zhǎng)為的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行,則在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于的區(qū)域內(nèi)的概率為()A. B. C. D.2.設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù),若,則()A. B. C. D.3.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則()A. B.C. D.4.已知集合,,,則集合()A. B. C. D.5.已知函數(shù),若對(duì)任意,都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.若關(guān)于的不等式有正整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的最小值為()A. B. C. D.7.的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為()A. B.60 C.70 D.808.在三棱錐中,,,P在底面ABC內(nèi)的射影D位于直線AC上,且,.設(shè)三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球Q的球面上,則球Q的半徑為()A. B. C. D.9.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,,()A. B. C. D.10.下列不等式成立的是()A. B. C. D.11.已知是雙曲線的左右焦點(diǎn),過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(diǎn)(A在右支,B在左支)若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.12.網(wǎng)格紙上小正方形邊長(zhǎng)為1單位長(zhǎng)度,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.1 B. C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P在直線上,過點(diǎn)P作圓C:的一條切線,切點(diǎn)為T.若,則的長(zhǎng)是______.14.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,若是的共軛復(fù)數(shù),則____________.15.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則______,的最大值是______.16.已知數(shù)列滿足:,,若對(duì)任意的正整數(shù)均有,則實(shí)數(shù)的最大值是_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)若,不等式的解集;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù),.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).19.(12分)若函數(shù)在處有極值,且,則稱為函數(shù)的“F點(diǎn)”.(1)設(shè)函數(shù)().①當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;②若函數(shù)存在“F點(diǎn)”,求k的值;(2)已知函數(shù)(a,b,,)存在兩個(gè)不相等的“F點(diǎn)”,,且,求a的取值范圍.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:x2a2(1)求橢圓C的方程;(2)假設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).①若A為橢圓的上頂點(diǎn),M為線段AB中點(diǎn),連接OM并延長(zhǎng)交橢圓C于N,并且ON=62OM,求OB的長(zhǎng);②若原點(diǎn)O到直線l的距離為1,并且21.(12分)已知數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足.(Ⅰ)求證數(shù)列是等比數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.(10分)已知圓:和拋物線:,為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)已知直線和圓相切,與拋物線交于兩點(diǎn),且滿足,求直線的方程;(2)過拋物線上一點(diǎn)作兩直線和圓相切,且分別交拋物線于兩點(diǎn),若直線的斜率為,求點(diǎn)的坐標(biāo).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
求出滿足條件的正的面積,再求出滿足條件的正內(nèi)的點(diǎn)到頂點(diǎn)、、的距離均不小于的圖形的面積,然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案.【詳解】滿足條件的正如下圖所示:其中正的面積為,滿足到正的頂點(diǎn)、、的距離均不小于的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,陰影部分區(qū)域的面積為.則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)、、的距離都大于的概率是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.2、D【解析】
利用與的關(guān)系,求得的值.【詳解】依題意,所以故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
利用是偶函數(shù)化簡(jiǎn),結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性,比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù),,而,因?yàn)樵谏线f減,,即.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
根據(jù)集合的混合運(yùn)算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】,故可得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的混合運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.5、D【解析】
先將所求問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立,即得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,再利用數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】由得,由題意函數(shù)得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,作出函數(shù)的圖象如圖所示過原點(diǎn)作函數(shù)的切線,設(shè)切點(diǎn)為,則,解得,所以切線斜率為,所以,解得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立中的應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想以及數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.6、A【解析】
根據(jù)題意可將轉(zhuǎn)化為,令,利用導(dǎo)數(shù),判斷其單調(diào)性即可得到實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)椴坏仁接姓麛?shù)解,所以,于是轉(zhuǎn)化為,顯然不是不等式的解,當(dāng)時(shí),,所以可變形為.令,則,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,而,所以當(dāng)時(shí),,故,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式能成立問題的解法,涉及到對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.7、B【解析】
展開式中含的項(xiàng)是由的展開式中含和的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)相乘得到,由二項(xiàng)式的通項(xiàng),可得解【詳解】由題意,展開式中含的項(xiàng)是由的展開式中含和的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)相乘得到,所以的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的求解,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
設(shè)的中點(diǎn)為O先求出外接圓的半徑,設(shè),利用平面ABC,得,在及中利用勾股定理構(gòu)造方程求得球的半徑即可【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為O,因?yàn)?,所以外接圓的圓心M在BO上.設(shè)此圓的半徑為r.因?yàn)椋?,解?因?yàn)?,所?設(shè),易知平面ABC,則.因?yàn)椋?,即,解?所以球Q的半徑.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查球的組合體,考查空間想象能力,考查計(jì)算求解能力,是中檔題9、B【解析】
利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可得出,進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性求概率,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于,,,錯(cuò)誤;對(duì)于,在上單調(diào)遞減,,錯(cuò)誤;對(duì)于,,,,錯(cuò)誤;對(duì)于,在上單調(diào)遞增,,正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題;關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性.11、D【解析】
根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長(zhǎng)為,然后在中應(yīng)用余弦定理得的等式,從而求得離心率.【詳解】由題意,,又,∴,∴,在中,即,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線的定義把到兩焦點(diǎn)距離用表示,然后用余弦定理建立關(guān)系式.12、A【解析】
采用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐,然后根據(jù)錐體體積公式,可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知:該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐,長(zhǎng)度如上圖所以所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積,熟悉常見圖形的三視圖:比如圓柱,圓錐,球,三棱錐等;對(duì)本題可以利用長(zhǎng)方體,根據(jù)三視圖刪掉沒有的點(diǎn)與線,屬中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
作出圖像,設(shè)點(diǎn),根據(jù)已知可得,,且,可解出,計(jì)算即得.【詳解】如圖,設(shè),圓心坐標(biāo)為,可得,,,,,解得,,即的長(zhǎng)是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,以及求平面兩點(diǎn)間的距離,運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想.14、【解析】
由于,則.15、【解析】
利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式,列出方程組,求出首項(xiàng)和公差的值,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,可求出的表達(dá)式,然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求出的最大值.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,解得,所以,數(shù)列的通項(xiàng)公式為;(2),,令,則且,,由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減,在時(shí)單調(diào)遞增,當(dāng)或時(shí),取得最大值為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和的求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.16、2【解析】
根據(jù)遞推公式可考慮分析,再累加求出關(guān)于關(guān)于參數(shù)的關(guān)系,根據(jù)表達(dá)式的取值分析出,再用數(shù)學(xué)歸納法證明滿足條件即可.【詳解】因?yàn)?累加可得.若,注意到當(dāng)時(shí),,不滿足對(duì)任意的正整數(shù)均有.所以.當(dāng)時(shí),證明:對(duì)任意的正整數(shù)都有.當(dāng)時(shí),成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立,即,則,即結(jié)論對(duì)也成立.由數(shù)學(xué)歸納法可知,對(duì)任意的正整數(shù)都有.綜上可知,所求實(shí)數(shù)的最大值是2.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解參數(shù)最值的問題,需要根據(jù)遞推公式累加求解,同時(shí)注意結(jié)合參數(shù)的范圍問題進(jìn)行分析.屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)依題意可得,再用零點(diǎn)分段法分類討論可得;(2)依題意可得對(duì)恒成立,根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義將絕對(duì)值去掉,分別求出解集,則兩解集的并集為,得到不等式即可解得;【詳解】解:(1)若,,則,即,當(dāng)時(shí),原不等式等價(jià)于,解得當(dāng)時(shí),原不等式等價(jià)于,解得,所以;當(dāng)時(shí),原不等式等價(jià)于,解得;綜上,原不等式的解集為;(2)即,得或,由解得,由解得,要使得的解集為,則解得,故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法,著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1)(2)答案見解析(3)答案見解析【解析】
(1)設(shè)曲線在點(diǎn),處的切線的斜率為,可求得,,利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求得答案;(2)由(Ⅰ)知,,分時(shí),,三類討論,即可求得各種情況下的的單調(diào)區(qū)間為;(3)分與兩類討論,即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】(1),,設(shè)曲線在點(diǎn),處的切線的斜率為,則,又,曲線在點(diǎn),處的切線方程為:,即;(2)由(1)知,,故當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,;,,;的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,;當(dāng)時(shí),同理可得的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為,;綜上所述,時(shí),單調(diào)遞增為,無遞減區(qū)間;當(dāng)時(shí),的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,;當(dāng)時(shí),的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為,;(3)當(dāng)時(shí),恒成立,所以無零點(diǎn);當(dāng)時(shí),由,得:,只有一個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論思想與推理、運(yùn)算能力,屬于中檔題.19、(1)①極小值為1,無極大值.②實(shí)數(shù)k的值為1.(2)【解析】
(1)①將代入可得,求導(dǎo)討論函數(shù)單調(diào)性,即得極值;②設(shè)是函數(shù)的一個(gè)“F點(diǎn)”(),即是的零點(diǎn),那么由導(dǎo)數(shù)可知,且,可得,根據(jù)可得,設(shè),由的單調(diào)性可得,即得.(2)方法一:先求的導(dǎo)數(shù),存在兩個(gè)不相等的“F點(diǎn)”,,可以由和韋達(dá)定理表示出,的關(guān)系,再由,可得的關(guān)系式,根據(jù)已知解即得.方法二:由函數(shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和,可知,是關(guān)于x的方程組的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根,由得,分兩種情況:是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”,不是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”,進(jìn)行討論即得.【詳解】解:(1)①當(dāng)時(shí),(),則有(),令得,列表如下:x10極小值故函數(shù)在處取得極小值,極小值為1,無極大值.②設(shè)是函數(shù)的一個(gè)“F點(diǎn)”().(),是函數(shù)的零點(diǎn).,由,得,,由,得,即.設(shè),則,所以函數(shù)在上單調(diào)增,注意到,所以方程存在唯一實(shí)根1,所以,得,根據(jù)①知,時(shí),是函數(shù)的極小值點(diǎn),所以1是函數(shù)的“F點(diǎn)”.綜上,得實(shí)數(shù)k的值為1.(2)由(a,b,,),可得().又函數(shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和,,是關(guān)于x的方程()的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.又,,,即,從而,,即..,,解得.所以,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.(2)(解法2)因?yàn)椋╝,b,,)所以().又因?yàn)楹瘮?shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和,所以,是關(guān)于x的方程組的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.由得,.(2.1)當(dāng)是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”時(shí),且.所以,即.又,所以,所以.又,所以.(2.2)當(dāng)不是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”時(shí),則,是關(guān)于x的方程的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.又,所以得所以,得.所以,得.綜合(2.1)(2.2),實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值,以及由函數(shù)的極值求參數(shù)值等,是一道關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合性題目,考查學(xué)生的分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,有一定難度.20、(1)x22+y2【解析】
(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得到a2,b2;(2)聯(lián)立直線和橢圓,利用弦長(zhǎng)公式可求得弦長(zhǎng)AB,利用點(diǎn)到直線的距離公式求得原點(diǎn)到直線l的距離,從而可求得三角形面積,再用單調(diào)性求最值可得值域.【詳解】(1)因?yàn)閮山裹c(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,所以a=2又由右準(zhǔn)線方程為x=2,得到a2解得a=2,c=1,所以所以,橢圓C的方程為x2(2)①設(shè)B(x1,y1∵ON=6因?yàn)辄c(diǎn)B,N都在橢圓上,所以x122+y12所以O(shè)B=x②由原點(diǎn)O到直線l的距離為1,得|m|1+k2聯(lián)立直線l的方程與橢圓C的方程:y=kx+mx2設(shè)A(x1,y1OA=(1+k2)所以k△OAB的面積S==1因?yàn)镾=2λ(1-λ)在[并且當(dāng)λ=45時(shí),S=225所以△OAB的面積S的范圍為[10【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法:(1)幾何法:若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利
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