一元二次不等式及其解法

關(guān)于一元二次不等式及其解法設(shè)直線(xiàn)y=ax+b與x軸的交點(diǎn)是則一元一次方程ax+b=0的解集是同時(shí)一元一次不等式ax+b>0(<0)的解集：

（1）當(dāng)a>0時(shí)，一元一次不等式ax+b>0的解集是{x|x>x。}，一元一次不等式ax+b<0的解集是{x|x<x。}.

（2）當(dāng)a<0時(shí)，一元一次不等式ax+b>0的解集是{x|x<x。}，一元一次不等式ax+b<0的解集是{x|x>x。}.（x。,0）；{x|x=x。}；第2頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天

問(wèn)題：某同學(xué)想上網(wǎng)查資料，現(xiàn)有兩家網(wǎng)吧可供選擇。A網(wǎng)吧每小時(shí)收費(fèi)1.5元（不足1小時(shí)的按1小時(shí)計(jì)算）;B網(wǎng)吧的收費(fèi)原則為，在用戶(hù)上網(wǎng)的第1個(gè)小時(shí)內(nèi)（含恰好1個(gè)小時(shí)）收費(fèi)1.7元，第2個(gè)小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.6元，以后每小時(shí)減少0.1元（每天上網(wǎng)最多17小時(shí)）.新課導(dǎo)入第3頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天

分析：一般來(lái)說(shuō)，一次上網(wǎng)的時(shí)間不會(huì)超過(guò)17小時(shí).所以，不妨設(shè)一次上網(wǎng)的時(shí)間總小于17小時(shí).那么，一次上網(wǎng)在多長(zhǎng)時(shí)間以?xún)?nèi)，去A網(wǎng)吧合算？問(wèn)：設(shè)該同學(xué)上網(wǎng)時(shí)間為x小時(shí)，(1)若該同學(xué)去A網(wǎng)吧，試寫(xiě)出所需費(fèi)用的表達(dá)式？(2)若該同學(xué)去B網(wǎng)吧，試寫(xiě)出所需費(fèi)用的表達(dá)式？(3)一次上網(wǎng)在多長(zhǎng)時(shí)間以?xún)?nèi)，去A網(wǎng)吧合算？第4頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：一次上網(wǎng)的時(shí)間為x小時(shí)，則網(wǎng)吧A收取的費(fèi)用為1.5x(元)網(wǎng)吧B收取的費(fèi)用為x（35-x）/20(元)若要能夠保證選擇網(wǎng)吧A比網(wǎng)吧B所需費(fèi)用少，則x（35-x）/20>1.5x(0<x<17).想想為什么？第5頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天經(jīng)整理得

這是一個(gè)關(guān)于x的一元二次不等式.只要求的滿(mǎn)足此不等式的解集，就得到了答案.一元二次不等式的定義：

我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2次的不等式稱(chēng)為一元二次不等式.什么是一元二次不等式？第6頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.2一元二次不等式及其解法第7頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，掌握?qǐng)D象法解一元二次不等式的方法；培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力，培養(yǎng)分類(lèi)討論的思想方法，培養(yǎng)抽象概括能力和邏輯思維能力；2.鞏固一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系；進(jìn)一步熟練解一元二次不等式的解法.教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與能力第8頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.過(guò)程與方法：經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過(guò)程和通過(guò)函數(shù)圖象探究一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系，獲得一元二次不等式的解法；2.培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力，一題多解的能力，培養(yǎng)抽象概括能力和邏輯思維能力.

過(guò)程與方法第9頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時(shí)體會(huì)事物之間普遍聯(lián)系的辯證思想；2.激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時(shí)體會(huì)從不同側(cè)面觀察同一事物思想.情感態(tài)度與價(jià)值觀第10頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天

從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法.

理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集的關(guān)系.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)第11頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考：

我們已經(jīng)知道導(dǎo)入中的問(wèn)題已經(jīng)歸結(jié)為求一個(gè)一元二次不等式解的問(wèn)題，那么怎樣求得下面式子的解集呢？第12頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天我們先來(lái)考察它與二次函數(shù)與的關(guān)系.oxy5二次方程的有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：二次函數(shù)也正有兩個(gè)零點(diǎn)：容易知道：第13頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天

觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)x<0，或x>5時(shí)，函數(shù)圖象位于x軸上方，此時(shí)，y>0,

當(dāng)0<x<5時(shí)，函數(shù)圖象位于x軸下方，此時(shí)，y<0,所以，不等式的解集是，即即oxy5第14頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天小結(jié)：1、要解一元二次不等式和一元二次函數(shù)及二次方程用很大關(guān)系！2、同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)多于以前的知識(shí)相結(jié)合.從而作到融匯貫通的效果.第15頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考：

我們已經(jīng)知道了具體一元二次方程的解法，能不能由此推出一般一元二次方程的解法？一元二次方程的一般形式是什么？<0第16頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天

根據(jù)上面的具體問(wèn)題，我們可以得到，確定一元二次不等式的解集，關(guān)鍵要考慮以下兩點(diǎn)：(1)拋物線(xiàn)與x軸的相關(guān)位置的情況，也就是一元二次方程的根的情況.(2)拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向，即a的符號(hào).第17頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天我們是怎樣確定一元二次方程的根的呢？通過(guò)以前的知識(shí)，我們知道：的根與他的判別式有很大關(guān)系.即為它的判別式，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的實(shí)根；當(dāng)時(shí)，沒(méi)有實(shí)根;當(dāng)時(shí)，有一個(gè)實(shí)根.

同時(shí)我們知道，a<0可以轉(zhuǎn)化為a>0，從而只要考慮a>0的情況即可.第18頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天從而結(jié)合一元二次函數(shù)的圖像，與x軸的相關(guān)位置分三種情況：0xyx1=x2yx1yx2第19頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天

通過(guò)以上分析，我們就可以分三種情況來(lái)討論對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集了.0xyx1=x2yx1yx2解分別為：，及第20頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天根據(jù)上述方法，請(qǐng)將下表填充完整.

(a>0)的圖像有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根xyx1x2xyx1=x2xy第21頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天的解集的解集第22頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天小結(jié)：解一元二次不等式的基本步驟：“三步曲”（1）轉(zhuǎn)化為不等式的“標(biāo)準(zhǔn)”形式;（2）算△,解相應(yīng)一元二次方程的根；

（3）根據(jù)二次函數(shù)的圖象以及不等號(hào)的方向，寫(xiě)出不等式的解集.第23頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考：

想想，我們?cè)鯓佑靡粋€(gè)程序圖的形式求解一般一元二次不等式的過(guò)程表示出來(lái).是什么？

程序圖是制作電腦程序時(shí)用的，目的是為了簡(jiǎn)便運(yùn)算.第24頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天開(kāi)始將原不等式化為(a>0)是方程沒(méi)有實(shí)根否求方程的兩個(gè)根x1,x2第25頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天原不等式解集為Rx1=x2?否是原不等式解集為

原不等式解集為結(jié)束第26頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：1解不等式解：因?yàn)椤?gt;0,方程的解是x1=-1/2，x2=2所以，不等式的解集是{x|x1<-1/2，或x2>2}

第27頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：2解不等式解：整理，得因?yàn)椤?lt;0，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，所以不等式的解集是φ.從而，原不等式的解集是φ.第28頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：3解不等式解：因?yàn)椤?0,方程的解是x1=x2=1/2所以，不等式的解集是{x|x≠1/2}.第29頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：4

一個(gè)汽車(chē)制造廠(chǎng)引進(jìn)了一條摩托車(chē)整車(chē)裝配流水線(xiàn)，這條流水線(xiàn)生產(chǎn)的摩托車(chē)數(shù)量x（輛）與創(chuàng)造的價(jià)值y（元）之間有如下的關(guān)系：

若這家工廠(chǎng)希望在一個(gè)星期內(nèi)利用這條流水線(xiàn)創(chuàng)收6000元以上，那么它在一個(gè)星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)多少輛摩托車(chē)？第30頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：設(shè)在一個(gè)星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)x輛摩托車(chē)，根據(jù)題意，我們得到移項(xiàng)整理，得因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根x1=50,x2=60由二次函數(shù)的圖象，得不等式的解為：50<x<60.第31頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天

又因?yàn)閤只能取正整數(shù)，所以，當(dāng)這條摩托車(chē)整車(chē)裝配流水線(xiàn)在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車(chē)數(shù)量在51—59輛之間時(shí)，這家工廠(chǎng)能夠獲得6000元以上的收益.第32頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天課堂小結(jié)1、解一元二次不等式的步驟：(1)將二次項(xiàng)系數(shù)化為正號(hào)；（2）計(jì)算判別式，分析不等式的解的情況：ⅰ.△>0時(shí)，求根x1<x2，A>0,x>x1或x<x2A<0,x1<x<x2第33頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天ⅱ.△=0時(shí)，求根x1＝x2，A>0,x≠x1A<0,φA=0,x=x1ⅲ.△<0時(shí)，方程無(wú)解，A>0,RA≤0,φ（3）寫(xiě)出解集.第34頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)的關(guān)系.(1)二次方程的根是函數(shù)的零點(diǎn)，即二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo);(2)結(jié)合方程的解與函數(shù)圖象可以得出二次不等式的解.3、數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想及化歸思想.第35頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2006上海）x是什么實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)（1）等于0？（2）是正數(shù)？（3）是負(fù)數(shù)？分析：將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為y=0，y>0，及y<0時(shí)，求x取值.解：(1)因?yàn)榈慕饧癁閧x|x=2-√3或x=2+√3}，即，x=2-√3或x=2+√3時(shí)，y=0.高考鏈接第36頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)因?yàn)榈慕饧癁樗?，的解集為即，x<2-√3或x>2+√3時(shí)，y>0.(3)由(2)得即，2-√3<x<2+√3時(shí)，y<0.第37頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天課堂練習(xí)1、解下列不等式：解：由題對(duì)應(yīng)的△=49-24=25>0其解為x1=1/3，x2=2

的解集為{x|1/3<x<2}.第38頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：將原不等式變形為：對(duì)應(yīng)的△=1+48>0其解x1=-2/3，x2=1/2；{x|x≤-2/3或x≥1/2}.的解集為第39頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：由題對(duì)應(yīng)的△=16-16=0；則方程的解為x1=x2=1/2

∴原不等式的解集為φ.解：由題對(duì)應(yīng)的△=9-20<0故無(wú)實(shí)數(shù)解∴原不等式的解集為R.第40頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、x是什么實(shí)數(shù)時(shí)，有意義？分析：要使式子有意義，則需故問(wèn)題相當(dāng)于解這個(gè)不等式.解：由題對(duì)應(yīng)△=1+48>0，其解集{x|x=-4或x=3}，故的解集為{x|x≤-4或x≥3}.第41頁(yè),共45頁(yè)，2024