串講07 概率與統(tǒng)計(jì)（考點(diǎn)串講）（原卷版）

串講07概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)二、?？碱}型三、知識(shí)梳理1.計(jì)數(shù)原理（1）分類加法計(jì)數(shù)原理概念：完成一件事有類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，…，在第類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.特征：①任何一類方案都能完成這件事；②各類方案之間相互獨(dú)立；③分類要做到“不重不漏”（2）分步乘法計(jì)數(shù)原理概念：完成一件事需要個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么，完成這件事共有種不同的方法特征：①任何一步都不能單獨(dú)完成這件事；②各步之間相互依存；③分步要做到“步驟完整”2.排列（1）排列：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列（2）排列數(shù)：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示（3）排列數(shù)公式：（，且）3.組合（1）組合：一般地，從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素合成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合（2）組合數(shù)：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示（3）組合數(shù)公式：（，且）（4）組合數(shù)的性質(zhì)：（1）；（2）4.二項(xiàng)式定理（1）二項(xiàng)式定理概念：一般地，對于任意的正整數(shù)，都有.這個(gè)公式稱為二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的式子稱為的二項(xiàng)展開式，的二項(xiàng)展開式共有項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，稱為二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)，又稱為二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)（2）二項(xiàng)展開式的特征：①二項(xiàng)展開式共有項(xiàng)；②二項(xiàng)式系數(shù)依次為組合數(shù)；③各項(xiàng)次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)；④字母的指數(shù)由開始按降冪排列到0，的指數(shù)由0開始按升冪排列到（3）二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別：二項(xiàng)式系數(shù)為項(xiàng)的系數(shù)指該項(xiàng)中除字母外的部分（4）二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等增減性：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的最大值：當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值（5）二項(xiàng)式系數(shù)和：①二項(xiàng)展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和為；②在二項(xiàng)展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和相等且都等于.5.離散型隨機(jī)變量（1）離散型隨機(jī)變量的定義如果對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量。（2）離散型隨機(jī)變量的分布列設(shè)離散型隨機(jī)變量所有可能取得的值為x1,x2,…,x3,…xn,若取每一個(gè)值xi(i=1,2,…，n)的概率為，則稱表x1x2…xi…xnPP1P2…Pi…Pn為隨機(jī)變量的概率分布，簡稱的分布列.該分布列具有如下性質(zhì)：①Pi≥0,i=1,2，…，n；②P1+P2+…+Pn=1（3）離散型隨機(jī)變量的分布列的求法①要確定隨機(jī)變量的可能取值有哪些.明確取每個(gè)值所表示的意義；②分清概率類型，計(jì)算取得每一個(gè)值時(shí)的概率；③列表對應(yīng)，給出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證.6.二項(xiàng)分布（1）二項(xiàng)分布的定義在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量．如果在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是，則此事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生次的概率是，（）．于是得到離散型隨機(jī)變量的概率分布如下：ξ01…k…nP……由于表中第二行恰好是二項(xiàng)展開式中各對應(yīng)項(xiàng)的值，所以稱這樣的隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作．（2）如何求有關(guān)的二項(xiàng)分布①分清楚在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，共進(jìn)行了多少次重復(fù)試驗(yàn)，即先確定n的值，然后確定在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是多少，即確定p的值，最后再確定某事件A恰好發(fā)生了多少次，即確定k的值；②準(zhǔn)確算出每一種情況下，某事件A發(fā)生的概率；③用表格形式列出隨機(jī)變量的分布列.7.正態(tài)分布（1）正態(tài)變量的概率密度函數(shù)正態(tài)變量的概率密度函數(shù)表達(dá)式為：，（）其中x是隨機(jī)變量的取值；μ為正態(tài)變量的期望；是正態(tài)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.（2）正態(tài)分布①正態(tài)分布的定義如果對于任何實(shí)數(shù)隨機(jī)變量滿足：，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，記為.②正態(tài)分布的期望與方差若，則的期望與方差分別為：，.（3）正態(tài)曲線如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為，其中實(shí)數(shù)和為參數(shù)（），則稱函數(shù)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.（4）正態(tài)曲線的性質(zhì)①曲線位于軸上方，與軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；③曲線在時(shí)達(dá)到峰值；④當(dāng)時(shí)，曲線上升；當(dāng)時(shí)，曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向它無限靠近；⑤曲線與軸之間的面積為1；⑥決定曲線的位置和對稱性當(dāng)一定時(shí)，曲線的對稱軸位置由確定；如下圖所示，曲線隨著的變化而沿軸平移；⑦確定曲線的形狀當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定。越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。如下圖所示.8.抽樣方式（1）簡單隨機(jī)抽樣放回簡單隨機(jī)抽樣不放回簡單隨機(jī)抽樣一般地,設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體,從中②逐個(gè)抽取n(1≤n<N)個(gè)個(gè)體作為樣本如果抽取是放回的,且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都③相等,我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機(jī)抽樣如果抽取是不放回的,且每次抽取時(shí)總體內(nèi)④未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等,我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機(jī)抽樣放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機(jī)抽樣.通過簡單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本（2）分層抽樣①分層隨機(jī)抽樣的定義一般地,按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體,每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體,在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣,再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本,這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣,每一個(gè)子總體稱為層.②比例分配在分層隨機(jī)抽樣中,如果每層樣本量都與層的大小成比例,那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.9.變量的相關(guān)關(guān)系（1）相關(guān)關(guān)系的定義兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.（2）散點(diǎn)圖①散點(diǎn)圖

成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.

②正相關(guān)和負(fù)相關(guān)

如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).（3）線性相關(guān)一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).四、常考題型探究考點(diǎn)一加法原理例1.一個(gè)三層書架，分別放置語文類讀物7本，政治類讀物8本，英語類讀物9本，每本圖書各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有（

）A．3種 B．504種 C．24種 D．12種例2.每天從甲地到乙地的飛機(jī)有5班，高鐵有10趟，動(dòng)車有6趟，公共汽車有12班.某人某天從甲地前往乙地，則其出行方案共有（

）A．22種 B．33種 C．300種 D．3600種【變式探究】如圖，已知每條線路僅含一條通路，當(dāng)一條電路從處到處接通時(shí)，不同的線路可以有（

）A．5條 B．6條 C．7條 D．8條考點(diǎn)二乘法原理例3.中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類．現(xiàn)有4名學(xué)生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種，則不同的選購方式有（

）A．種 B．種 C．種 D．種例4.有3位高三學(xué)生參加4所重點(diǎn)院校的自主招生考試，每人參加且只能參加一所學(xué)校的考試，則不同的考試方法種數(shù)為.【變式探究】集合A有m個(gè)元素，集合B有n個(gè)元素，從兩個(gè)集合中各取1個(gè)元素，不同方法的種數(shù)是.考點(diǎn)三排列原理例5.求的值為（

）A．12 B．18 C．24 D．30例6.為貫徹文明校園，東湖中學(xué)每周安排5名學(xué)生志愿者參加文明監(jiān)督崗工作，若每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班，則不同的排班種類為（

）A．12 B．45 C．60 D．90【變式探究】用數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若將組成的不重復(fù)的四位數(shù)按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列，則第85個(gè)數(shù)字為（）A．2301 B．2304 C．2305 D．2310考點(diǎn)四組合原理例7.計(jì)算（）A．34 B．35 C．36 D．37例8.已知，則.【變式探究】若，則的值為.考點(diǎn)五二項(xiàng)式定理例9.在的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是（

）A． B． C． D．例10.若，則（

）A．100 B．110 C．120 D．130【變式探究】若展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則（

）A．9 B．10 C．11 D．12考點(diǎn)六離散型隨機(jī)變量例11.設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P則下列各式正確的是（

）A． B．C． D．例12.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P則X的數(shù)學(xué)期望（

）A． B．2 C． D．3【變式探究】下表是離散型隨機(jī)變量的分布列，則常數(shù)的值是（

）X3459PA． B． C． D．考點(diǎn)七二項(xiàng)分布例13.電燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.8，則3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)內(nèi)恰好壞了一個(gè)的概率為（

）A．0.384 B． C．0.128 D．0.104例14.若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則的值為（

）A． B． C． D．【變式探究】設(shè)隨機(jī)變量，若，則p的值為.考點(diǎn)八正態(tài)分布例15.對A，B兩地國企員工上班遲到情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可知兩地國企員工的上班遲到時(shí)間均符合正態(tài)分布，其中A地員工的上班遲到時(shí)間為X（單位：min），，對應(yīng)的曲線為，B地員工的上班遲到時(shí)間為Y（單位：min），，對應(yīng)的曲線為，則下列圖象正確的是（

）A． B．C． D．例16.若隨機(jī)變量，且，則（

）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8【變式探究】若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，則（

）A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9例17.王老師對本班名學(xué)生報(bào)名參與課外興趣小組（每位學(xué)生限報(bào)一個(gè)項(xiàng)目）的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，列出如下的統(tǒng)計(jì)表，則本班報(bào)名參加科技小組的人數(shù)是（）組別數(shù)學(xué)小組寫作小組體育小組音樂小組科技小組頻率A．人 B．人 C．人 D．人例18.在某知識(shí)競賽中，共設(shè)有10道題目，每題1分，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，10位選手的得分情況如下表：得分678910人數(shù)12421則這10位選手得分的方差為（

）A．12 B．8 C． D．【變式探究】樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)十變量之間的相關(guān)關(guān)系例19.對兩個(gè)變量的三組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下散點(diǎn)圖