串講04 圓錐曲線（考點串講）（解析版）

串講04圓錐曲線知識網(wǎng)絡二、常考題型三、知識梳理1.橢圓的定義平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．注：（1）若，M的軌跡為橢圓；（2）若，M的軌跡為線段；（3）若，M的軌跡無圖形2.橢圓的方程及簡單幾何性質（1）焦點在x軸：①標準方程：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)②范圍：－a≤x≤a且－b≤y≤b③頂點：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)④軸長：長軸長＝eq\a\vs4\al(2a)，短軸長＝eq\a\vs4\al(2b)⑤焦點：F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)⑥焦距：|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)⑦對稱性：對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0,0)⑧離心率：e＝eq\f(c,a)(0<e<1)（2）焦點在y軸：①標準方程：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)②范圍：－b≤x≤b且－a≤y≤a③頂點：A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)④軸長：長軸長＝eq\a\vs4\al(2a)，短軸長＝eq\a\vs4\al(2b)⑤焦點：F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)⑥焦距：|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)⑦對稱性：對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0,0)⑧離心率：e＝eq\f(c,a)(0<e<1)3.點與橢圓的位置關系點P(x0，y0)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置關系：點P在橢圓上?eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)；點P在橢圓內部?eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)<1；點P在橢圓外部?eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)>1.4.直線與橢圓相交的弦長公式如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).5.雙曲線的定義把平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．注：（1）當時，M的軌跡不存在；（2）當時，M的軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線．（3）當時，M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線．6.雙曲線的方程及簡單幾何性質（1）焦點在x軸：①標準方程：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)②范圍：x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)③頂點：A1(－a,0)，A2(a,0)④軸長：實軸長2a；虛軸長2b⑤焦點：F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)⑥焦距：|F1F2|＝2c⑦對稱性：對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點⑧離心率：e＝eq\f(c,a)(1<e<＋∞)⑨漸近線：y＝±eq\f(b,a)x（2）焦點在y軸：①標準方程：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)②范圍：y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)③頂點：A1(0，－a)，A2(0，a)④軸長：實軸長2a；虛軸長2b⑤焦點：F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)⑥焦距：|F1F2|＝2c⑦對稱性：對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點⑧離心率：e＝eq\f(c,a)(1<e<＋∞)⑨漸近線：y＝±eq\f(a,b)x7.拋物線的定義平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．8.拋物線的方程及簡單幾何性質（1）y2＝2px(p>0)①準線：②范圍：x≥0，y∈R③頂點：O(0,0)④開口方向：向右⑤焦點：⑥對稱性：x軸⑦離心率：e＝1（2）y2＝－2px(p>0)①準線：②范圍：x≤0，y∈R③頂點：O(0,0)④開口方向：向左⑤焦點：⑥對稱性：x軸⑦離心率：e＝1（3）x2＝2py(p>0)①準線：y＝－eq\f(p,2)②范圍：x∈R，y≥0③頂點：O(0,0)④開口方向：向上⑤焦點：⑥對稱性：y軸⑦離心率：e＝1（4）x2＝－2py(p>0)①準線：y＝eq\f(p,2)②范圍：x∈R，y≤0③頂點：O(0,0)④開口方向：向下⑤焦點：⑥對稱性：y軸⑦離心率：e＝19.直線與圓錐曲線相交，弦長、中點弦問題．（1）處理弦長問題，一般將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得方程組，化為一元二次方程后，利用根與系數(shù)的關系，代入弦長公式或，其中k為直線AB的斜率，．（2）處理中點弦問題，一般有兩種思路。思路一：聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關系進行設而不求；思路二：利用“點差法”．四、常考題型探究考點一橢圓的定義例1.已知為兩定點，，動點滿足，則動點的軌跡是（

）A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段【答案】D【分析】利用橢圓軌跡的相關定義即可得解.【詳解】因為所以為線段上的點.故選：D.例2.已知平面內一動點P到兩定點，的距離之和為8，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義直接求解即可.【詳解】因為平面內一動點P到兩定點，的距離之和為8，且，所以動點P的軌跡方程為焦點位于軸的橢圓，設橢圓方程為，焦距為，則，解得，故動點P的軌跡方程為.故選：B【變式探究】已知是橢圓上一點，分別為的左、右焦點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義從而可求解.【詳解】由題意知點在橢圓上，所以由橢圓的定義可得．故D正確.故選：D.考點二橢圓的標準方程例3.橢圓的離心率為，則（

）A．2 B．1 C． D．2或【答案】D【分析】對?的值分類討論，進而求得，由橢圓的離心率建立等式，進而求出的值.【詳解】由于橢圓方程為，當時，則，其離心率為：，解得，當時，則，其離心率為：，解得，綜上，的值為2或.故選：D.例4.已知橢圓的焦距等于2，則實數(shù)的值為．【答案】3或5【分析】討論焦點在軸和焦點在軸上兩種情況計算可得.【詳解】若橢圓的焦點在軸上，則由已知得，得；若橢圓的焦點在軸上，則由已知得，得．綜上，知所求實數(shù)的值為3或5.故答案為：3或5.【變式探究】已知中心為坐標原點，焦點在坐標軸上的橢圓經(jīng)過點，，求的方程．【答案】【分析】設橢圓方程，將點坐標代入求參數(shù)，即可得方程.【詳解】依題意，設的方程為，且，因為經(jīng)過點，，所以，解得，故的方程為．考點三橢圓的幾何性質例5.已知、是橢圓的兩個焦點，過的直線與橢圓交于、兩點，則的周長為（

）A．16 B．8 C．25 D．32【答案】A【分析】利用橢圓的定義計算可得；【詳解】解：由橢圓的定義可知，，，故選：A．例6.設是橢圓上的動點，則到該橢圓的兩個焦點距離之和為（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】首先求出，再根據(jù)橢圓的定義得解.【詳解】橢圓，則，所以，因為是橢圓上的動點，則到該橢圓的兩個焦點距離之和為.故選：D【變式探究】已知橢圓的兩個焦點是、，點是橢圓上一點，且，則的面積是.【答案】4【分析】根據(jù)橢圓的定義和已知條件，可求出的值，再根據(jù)勾股定理，可證明是以為直角邊的直角三角形，由此即可求出結果.【詳解】由橢圓的定義可知，，又，聯(lián)立兩式，可得又，所以，所以是以為直角邊的直角三角形，所以的面積為.故答案為：.考點四直線與橢圓的關系例7.直線與橢圓的位置關系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】C【分析】代數(shù)法聯(lián)立直線與橢圓，轉化為二次方程根的問題來判斷即可.【詳解】聯(lián)立，則所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以直線與橢圓相交故選：C.例8.過點A(0,1)的直線一定與橢圓相交.（正確或錯誤）【答案】正確【分析】將代入橢圓方程左面直接判斷即可.【詳解】因為，所以A(0,1)在橢圓內，故過點A(0,1)的直線一定與橢圓相交.故答案為：正確【變式探究】已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，且過點，，(1)求的標準方程；(2)寫出的焦點和頂點坐標.【答案】(1)(2)焦點坐標為，頂點坐標為，【分析】（1）設橢圓的方程為（，，），代入求解即可；（2）由（1）的結論即可得出答案.【詳解】（1）設橢圓的方程為（，，），則，解得，，橢圓的標準方程為.（2）橢圓的焦點在軸上，焦點坐標為，頂點坐標為，.考點五雙曲線的定義例9.已知雙曲線的左、右焦點為，，若雙曲線上存在點滿足，則雙曲線的一條漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用雙曲線定義得a值，進而求得漸近線方程【詳解】由題意，則，故漸近線方程為故選：D例10.雙曲線的左右焦點分別是與是雙曲線左支上的一點，且，則（

）A．1 B．13 C．1或13 D．3【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可求解.【詳解】是雙曲線左支上的一點，所以，解得：，由雙曲線定義可知，，所以13.故選：B.【變式探究】若雙曲線上一點到其右焦點的距離是8,則點到其左焦點的距離是（

）A．4 B．10 C．2或10 D．4或12【答案】D【分析】通過對點的位置進行分類討論,再結合雙曲線的定義進行運算即可.【詳解】由雙曲線的方程可得,所以,可得.設右焦點為,左焦點為,當點在左支上時,則,所以；當點在右支上時,．故選:D.考點六雙曲線的標準方程例11.焦距為26，且經(jīng)過點的雙曲線的標準方程是.【答案】【分析】由題意得到，，得到雙曲線方程.【詳解】∵雙曲線經(jīng)過點，∴為雙曲線的一個頂點，故焦點在y軸上，且.又，∴，∴.∴雙曲線的標準方程為.故答案為：例12.已知雙曲線的焦距為6，它的離心率為3，則該雙曲線的標準方程為.【答案】或【分析】根據(jù)雙曲線的焦距和離心率求出，再分兩種情況寫出標準方程.【詳解】依題意，，由，得，所以，當雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的標準方程為；當雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的標準方程為.故答案為：或.【變式探究】已知雙曲線的中心為坐標原點，對稱軸為軸，軸，且過，兩點，求雙曲線的方程.【答案】【分析】由雙曲線所過的點，利用待定系數(shù)法即可求得雙曲線方程.【詳解】設曲線的方程為，由曲線過，兩點，得，解得，所以曲線的方程為.考點七雙曲線的幾何性質例13.如果曲線經(jīng)過平移坐標軸后的新方程為，那么新坐標系的原點在原坐標系中的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將曲線方程化簡，在觀察此方程由什么樣的平移方式得到新方程為，從而就得到答案.【詳解】由曲線方程，得，可知該雙曲線的中心為，它經(jīng)過平移坐標軸后的新方程為，在新坐標系下，雙曲線的中心變?yōu)?，因此新坐標系的原點在原坐標系中的坐標為故選：D.例14.雙曲線的實軸長比虛軸長短（

）A．4 B．2 C．10 D．20【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線方程求出實軸長和虛軸長，進而求解即可.【詳解】由雙曲線，則，，即，所以實軸長為，虛軸長為，所以實軸長比虛軸長短4.故選：A.【變式探究】已知雙曲線的左焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的實軸長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由拋物線方程求得其焦點坐標，進而求得c的值，再由雙曲線中a、b、c的關系求得a的值，進而求得實軸長.【詳解】拋物線的焦點為，所以，由得，所以，所以實軸長為.故選：D.考點八直線與雙曲線的關系例15.雙曲線：的漸近線恰好與曲線相切，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設漸近線方程聯(lián)立，利用判別式求得斜率，然后根據(jù)公式可得.【詳解】設雙曲線的漸近線為，代入聯(lián)立可得，由條件可知，故，故，則的離心率為.故選：C例16.若雙曲線的一條漸近線方程為，則．【答案】【分析】由題意得，從而可求出的值【詳解】根據(jù)題意得，解得.故答案為：81【變式探究】已知點在雙曲線上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．(1)求雙曲線的方程；(2)若過點且斜率為的直線與雙曲線僅有一個交點，求實數(shù)的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由漸近線公式，以及代入點的坐標，即可求解雙曲線方程；（2）直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)交點個數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由條件可知，，且，解得：，，所以雙曲線方程為；（2）設直線的方程為，聯(lián)立，，時，，得；當時，時，，得，滿足條件，綜上可知，或.考點九拋物線的定義例17.已知拋物線上點的縱坐標為1，則到的焦點的距離為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】首先求出拋物線的準線方程，再根據(jù)拋物線的定義計算可得.【詳解】拋物線的準線方程為，又點在拋物線上且縱坐標為，所以點到的焦點的距離為.故選：B例18.已知為拋物線：（）上一點，點到的焦點的距離為，則（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義列方程來求得的值.【詳解】根據(jù)拋物線的定義可知，.故選：C【變式探究】若拋物線（）上一點到其焦點的距離為3，則該拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將拋物線上點到焦點的距離轉化為到準線的距離求解.【詳解】拋物線的準線方程為，所以點P到焦點的距離為，所以，拋物線的方程為.故選：A.考點十拋物線的標準方程例19.已知拋物線C關于x軸對稱，且焦點在直線上，則拋物線的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出直線與軸的交點坐標，從而得到拋物線的焦點坐標，得到答案.【詳解】直線與軸的交點為，所以拋物線的焦點為，故，解得，拋物線的標準方程為．故選：D．例20.拋物線的準線方程是，則其標準方程是.【答案】【分析】根據(jù)準線方程可求拋物線的標準方程.【詳解】由拋物線的準線方程是可知，拋物線開口向上，焦點為坐標，則拋物線的標準方程為.故答案為：.【變式探究】已知拋物線的對稱軸為x軸，頂點是坐標原點且開口向左，又拋物線經(jīng)過點，求這個拋物線的標準方程．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的性質，利用待定系數(shù)法即可求解.【詳解】根據(jù)已知條件可設拋物線的標準方程為，因為點在拋物線上，所以，因此．從而可知所求方程為．考點十一拋物線的幾何性質例21.若拋物線上一點到準線的距離等于它到頂點的距離，則點的坐標可以為（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先求得焦點坐標，然后根據(jù)拋物線的定義求得點的坐標.【詳解】設拋物線的焦點為，則，依題意可知，所以，則.所以點坐標為：、.故選：BD例22.若點為拋物線上的動點，為該拋物線的焦點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由拋物線的性質：焦半徑最小時，拋物線上的點必為頂點；結合