專題14 期末新定義題型復習導學案及配套作業(yè)（原卷版）

專題14期末新定義題型復習(原卷版）類型一有理數(shù)中的新定義1．（2022秋?尤溪縣）七年級小莉同學在學習完第二章《有理數(shù)及其運算》后，對運算產(chǎn)生了濃厚的興趣．她借助有理數(shù)的運算，定義了一種新運算“⊕”，規(guī)則如下：a⊕b＝ab+2a．則(?3)⊕(?4⊕1A．﹣13 B．6 C．24 D．302．（2022秋?新吳區(qū)期中）現(xiàn)定義新運算“※”，對任意有理數(shù)a、b，規(guī)定a※b＝ab﹣ab，則﹣1※2022的值（）A．2023 B．2022 C．﹣2023 D．﹣20213．（2022秋?海陵區(qū)校級期中）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n+5；②當n為偶數(shù)時，結(jié)果為n2k（其中k是使n2若n＝49，則第2022次“F運算”的結(jié)果是（）A．31 B．49 C．62 D．984．（2022秋?越秀區(qū)校級月考）已知a、b皆為有理數(shù)，定義運算符號為※：當a＞b時，a※b＝2a；當a＜b時，a※b＝2b﹣a，則3※2﹣[（﹣2）※3]等于（）A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．105．（2022秋?靖江市校級月考）對于有理數(shù)a、b定義一種新運算“⊙”，規(guī)定a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|，則（﹣2）⊙3的值是（）A．6 B．5 C．4 D．26．（2022秋?鄞州區(qū)校級期中）正整數(shù)中各位數(shù)字的立方和與其本身相等的數(shù)稱為“水仙花數(shù)”．例如153，13+53+33＝153，因此“153”為“水仙花數(shù)”，則下列各數(shù)中：①370，②371，③407，④502，“水仙花數(shù)”的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2022秋?江陰市期中）現(xiàn)定義運算“*”，對于任意有理數(shù)a，b滿足a*b=2a?b，a≥ba?2b，a＜b．如5*3＝2×5﹣3＝7，12*1=12?2×1A．4 B．11 C．4或11 D．1或11類型二整式加減中的新定義8．（2022秋?黃浦區(qū)期中）定義：對于一個數(shù)x，我們把[x]稱作x的相伴數(shù)；若x≥0，則[x]＝x﹣1；若x＜0，則[x]＝x+1．例[3已知當a＞0，b＜0時有[a]＝[b]+1，則代數(shù)式（b﹣a）3﹣3a+3b的值為．9．（2022秋?浦東新區(qū)期中）定義a﹣b＝0，則稱a、b互容，若2x2﹣2與x+4互容，則6x2﹣3x﹣9＝．10．（2022秋?涪城區(qū)期中）定義如下運算程序，則輸入a＝4，b＝﹣2時，輸出的結(jié)果為．11．（2022?三水區(qū)校級三模）定義：若a﹣b＝0，則稱a與b互為平衡數(shù)，若2x2﹣2與x+4互為平衡數(shù)，則代數(shù)式6x2﹣3x﹣9＝．12．（2022秋?古田縣期中）（1）先化簡，后求值：?13x?2(x?13y（2）定義一種新運算：觀察下列各式：1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3﹣2＝10，3*4＝3×3+4＝13，6*（﹣1）＝6×3﹣1＝17．①請你想想：a*b＝；②若a≠b，那么a*bb*a（填“＝”或“≠”）；③先化簡，再求值：（a﹣b）*（a+2b），其中a＝1，b＝﹣7．類型四一元一次方程中的新定義13．（2021秋?河口區(qū)期末）如果規(guī)定“*”的意義為：a*b=a+2b2（其中a，b為有理數(shù)），那么方程3*x=52的解是x＝14．（2021秋?如皋市期末）定義：如果一個一元一次方程的一次項系數(shù)與常數(shù)項的差剛好是這個方程的解的2倍，則稱這個方程為妙解方程．如：方程3x+9＝0中，3﹣9＝﹣6，方程的解為x＝﹣3，則方程3x+9＝0為妙解方程．請根據(jù)上述定義解答：關(guān)于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0是妙解方程，則b﹣a＝．15．（2022秋?隆安縣期中）我們將abcd這樣的式子稱為二階行列式，它的運算法則公式表示就是abcd（1）請你依此法則計算二階行列式3?2（2）請化簡二階行列式2x?3x+22416．（2022秋?西城區(qū)校級期中）定義如下：存在數(shù)a，b，使得等式a2+b4=a+b2+4成立，則稱數(shù)a（1）若（1，b）是一對“互助數(shù)”，則b的值為；（2）若（﹣2，x）是一對“互助數(shù)”，求代數(shù)式（﹣x2+3x﹣1）?15（?52x（3）若（m，n）是一對“互助數(shù)”，滿足等式m?14n﹣（6m+2n﹣2）＝0，求m和17．（2022秋?邗江區(qū)期中）定義：若a+b＝6，則稱a與b是關(guān)于6的實驗數(shù)．（1）4與是關(guān)于6的實驗數(shù)；與5﹣2x是關(guān)于6的實驗數(shù)．（用含x的代數(shù)式表示）．（2）若a＝x2﹣4x+2，b＝x2﹣2（x2﹣2x﹣2），判斷a與b是否是關(guān)于6的實驗數(shù)，并說明理由．（3）若c＝6x2﹣8x+4，d＝﹣2（3x2﹣4x+k），且c與d是關(guān)于6的實驗數(shù)，求k的值．18．（2022秋?豐澤區(qū)校級期中）定義：對于一個有理數(shù)x，我們把[x]稱作x的“?一值”．若x≥0，則有理數(shù)x的“?一值”[x]＝x﹣2；若x＜0，則有理數(shù)x的“?一值”[x]＝x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1；[﹣1]＝﹣1+2＝1．（1）求有理數(shù)﹣2和32（2）已知有理數(shù)a＞0，b＜0，且它們的“?一值”相等，則[a]＝[b]，試求代數(shù)式（b﹣a）2﹣2a+2b的值；（3）對于一個有理數(shù)x，滿??程：[2x]+[x+1]＝4，請直接寫出滿??程的解x的值．19．（2021秋?桃江縣期末）閱讀材料：在數(shù)軸上，如果把表示數(shù)1的點稱為基準點，記作點P．對于兩個不同的點M和N，若點M、N到點P的距離相等，則稱點M與點N互為基準變換點．如圖7中，點M表示數(shù)﹣1，點N表示數(shù)3，它們與表示數(shù)1的點P的距離都是2個單位長度，則點M與點N互為基準變換點．解決問題：（1）若點A表示數(shù)a，點B表示數(shù)b，且點A與點B互為基準變換點．利用上述規(guī)定解決下列問題：①畫圖說明，當a＝0、4、﹣3時，b的值分別是多少？②利用（1）中的結(jié)論，探索a與b的關(guān)系，并用含a的式子表示b；③當a＝2021時，求b的值．（2）對點A進行如下操作：先把點A表示的數(shù)乘以52，再把所得的數(shù)表示的點沿數(shù)軸向左移動3個單位長度得到點B，若點A與點B互為基準變換點，求點A20．（2022秋?西城區(qū)校級期中）閱讀下列材料：定義：已知點A，B，C為數(shù)軸上任意三點，若CB=12CA，則稱點C是[A，例如：如圖1，點C是[A，B]的相關(guān)點，點D不是[A，B]的相關(guān)點，但點D是[B，A]的相關(guān)點．根據(jù)這個定義解決下面問題：（1）如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點，點M表示的數(shù)是﹣2，點N表示的數(shù)是4，若點G是[M，N]的相關(guān)點，則點G表示的數(shù)是；（2）數(shù)軸上點E所表示的數(shù)為﹣10，點F所表示的數(shù)為20．一動點P從點F出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿數(shù)軸向左運動，另一個動點Q從點E出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿數(shù)軸向右運動，設(shè)運動時間為t秒．問當t為何值時，P為[F，Q]的相關(guān)點？21．（2022秋?江都區(qū)期中）定義：如果兩個一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個方程為“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0為“美好方程”．（1）方程4x﹣（x+5）＝1與方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”嗎？請說明理由；（2）若關(guān)于x的方程x2+m=0與方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，求（3）若關(guān)于x方程2x﹣n+3＝0與x+5n﹣1＝0是“美好方程”，求n的值．22．（2022秋?大豐區(qū)期中）在數(shù)軸上有A、B兩點，點B表示的數(shù)為b．對點A給出如下定義：當b≥0時，將點A向右移動2個單位長度，得到點P；當b＜0時，將點A向左移動|b|個單位長度，得到點P．稱點P為點A關(guān)于點B的“伴侶點”．如圖，點A表示的數(shù)為﹣1．（1）在圖中畫出當b＝6時，點A關(guān)于點B的“伴侶點”P；（2）當點P表示的數(shù)為﹣6，若點P為點A關(guān)于點B的“伴侶點”，則點B表示的數(shù)；（3）點A從數(shù)軸上表示﹣1的位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度向右運動，點B從數(shù)軸上表示8的位置同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度向左運動，兩個點運動的時間為t秒．①點B表示的數(shù)為（用含t的式子表示）；②是否存在t，使得此時點A關(guān)于點B的“伴侶點”P恰好與原點重合？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．23．（2022春?開福區(qū)校級月考）方程的解的定義：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值．如果一個方程的解都是整數(shù)，那么這個方程叫做“立信方程”．（1）若“立信方程”2x+1＝1的解也是關(guān)于x的方程1﹣2（x﹣m）＝3的解，則m＝；（2）若關(guān)于x的方程x2+3x﹣4＝0的解也是“立信方程”6x+2x2﹣3﹣n＝0的解，則n＝；（3）若關(guān)于x的方程ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4的解也是關(guān)于x的方程9x﹣3＝kx+14的解，且這兩個方程都是“立信方程”，求符合要求的正整數(shù)a和正整數(shù)k的值．

類型四幾何圖形初步中的新定義24．（2020秋?上城區(qū)期末）定義：當點C在線段AB上，AC＝nAB時，我們稱n為點C在線段AB上的點值，記作dC※AB＝n．甲同學猜想：點C在線段AB上，若AC＝2BC；則dC※AB=2乙同學猜想：點C是線段AB的三等分點，則dC※AB=1關(guān)于甲，乙兩位同學的猜想，下列說法正確的是（）A．甲正確，乙不正確 B．甲不正確，乙正確 C．兩人都正確 D．兩人都不正確25．定義：如果兩個角的差的絕對值等于90°，就可以稱這兩個角互為垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，則∠1和∠2互為垂角（本題所有角都是指大于0°且小于180°的角）．如果有一個角的垂角等于這個角的補角的45A．150° B．130° C．30°或130° D．30°或150°26．（2021春?長寧區(qū)）同一直線上有A、B、C三點，若點C、A之間的距離與點C、B之間的距離之比是1：2，則稱點C為點A和點B的牛點．如果點P是點M和點N的牛點，且PM＝1，則MN＝．27．（2021秋?蘭山區(qū)期末）我們定義：若兩個角差的絕對值等于60°，則稱這兩個角互為“正角”，其中一個角是另一個角的“正角”．如：∠1＝110°，∠2＝50°，|∠1﹣∠2|＝60°，則∠1和∠2互為“正角”．如圖，已知∠AOB＝120°，射線OC平分∠AOB，∠EOF在∠AOB的內(nèi)部，若∠EOF＝60°，則圖中互為“正角”的共有對．28．（2019秋?莆田期末）定義：若α﹣β＝90°，且90°＜α＜180°，則我們稱β是α的差余角．例如：若α＝110°，則α的差余角β＝20°．（1）如圖1，點O在直線AB上，射線OE是∠BOC的角平分線，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度數(shù)；（2）如圖2，點O在直線AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC與∠BOE有什么數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，點O在直線AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE與OC在直線AB的同側(cè)，∠AOC?∠BOC∠COE29．（2021秋?松滋市期末）定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)半角．如圖①所示，若∠COD=12∠AOB，則∠COD是∠（1）如圖①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的內(nèi)半角，則∠BOD＝．（2）如圖②，已知∠AOB＝63°，將∠AOB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度α（0＜α＜63°）至∠COD，當旋轉(zhuǎn)的角度α為何值時，∠COB是∠AOD的內(nèi)半角？（3）已知∠AOB＝30°，把一塊含有30°角的三角板如圖③疊放，將三角板繞頂點O以3°/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖④，問：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，且射線OD始終在∠AOB的外部，射線OA，OB，OC，OD能否構(gòu)成內(nèi)半角？若能，請直接寫出旋轉(zhuǎn)的時間；若不能，請說明理由．

30．（2021秋?武侯區(qū)期末）【閱讀理解】定義：在一條直線同側(cè)的三條具有公共端點的射線之間若滿足以下關(guān)系，其中一條射線分別與另外兩條射線組成的角恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”．如圖1，點P在直線l上，射線PR，PS，PT位于直線l同側(cè)，若PS平分∠RPT，則有∠RPT＝2∠RPS，所以我們稱射線PR是射線PS，PT的“雙倍和諧線”．【遷移運用】（1）如圖1，射線PS（選填“是”或“不是”）射線PR，PT的“雙倍和諧線”；射線PT（選填“是”或“不是”）射線PS，PR的“雙倍和諧線”；（2）如圖2，點O在直線MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射線OC從ON出發(fā)，繞點O以每秒4°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，運動時間為t秒，當射線OC與射線OA重合時，運動停止．①當射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，求t的值；②若在射線OC旋轉(zhuǎn)的同時，∠AOB繞點O以每秒2°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OD平分∠AOB．當射線OC位于射線OD左側(cè)且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時，求∠CON的度數(shù)．

配套作業(yè)1．（2022秋?西城區(qū)校級期中）用“☆“定義一種新運算：對于任意有理數(shù)x和y，x☆y＝a2x+ay﹣2（a為常數(shù)）．例如：4☆3＝a2×4+a?3﹣2＝4a2+3a﹣2．若1☆2＝3，則2☆4的值為（）A．6 B．10 C．8 D．122．（2022春?龍鳳區(qū)期中）定義運算a?b=1a+1b①2?（﹣3）=?16；②此運算中的字母均不能取零；③a?b＝b?a；④a?（b+c）＝a?c+b?其中正確有（）個．A．1 B．2 C．3 D．43．（2022秋?肇源縣期中）將4個數(shù)a、b、c、d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成abcd，定義abcd=adA．2 B．3 C．4 D．64．（2021秋?南丹縣期末）在有理數(shù)范圍內(nèi)定義運算“☆”：a☆b＝a+b?12，如：1☆（﹣3）＝1+?3?12=?1．如果2☆xA．﹣1 B．5 C．0 D．25．（2022秋?漢陽區(qū)期末）我們定義：如果兩個角的差的絕對值等90°，就可以稱這兩個角互為垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，則∠1和∠2互為垂角（本題中所有角都是指大于0°且小于180°的角），如圖，OC⊥AB于點O，OE⊥OD，圖中所有互為垂角的角有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．6對6（2021秋?侯馬市期末）定義：若a+b＝n，則稱a與b是關(guān)于數(shù)n的“平衡數(shù)”．比如3與﹣4是關(guān)于﹣1的“平衡數(shù)”，5與12是關(guān)于17的“平衡數(shù)”．現(xiàn)有a＝6x2﹣8kx+12與b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k為常數(shù)）始終是數(shù)n的“平衡數(shù)”，則它們是關(guān)于的“平衡數(shù)”．7．（2021秋?文登區(qū)期末）用“※”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)x和y，x※y＝xy+2a（x+y）+2（a為常數(shù)），若2※（﹣3）的值為4，則a的值為．8．（2021秋?城固縣期末）在數(shù)的學習中，我們會對其中一些具有某種特質(zhì)的數(shù)進行研究，如學習自然數(shù)時，我們研究了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等，現(xiàn)在我們來研究一種特殊的數(shù)﹣﹣巧數(shù)．定義：若一個兩位數(shù)恰好等于它的各位數(shù)字之和的4倍，則這個兩位數(shù)稱為巧數(shù)．若一個巧數(shù)的個位數(shù)字比十位數(shù)字大2，則這個巧數(shù)是．9．（2022秋?珠海期中）給出新定義如下：f（x）＝|2x﹣2|，g（y）＝|y+3|；例如：f（2）＝|2×2﹣2|＝2，g（﹣6）＝|﹣6+3|＝3；根據(jù)上述知識，解下列問題：（1）若x＝﹣2，y＝3，則f（x）+g（y）＝；（2）若f（x）+g（y）＝0，求2x﹣3y的值；（3）若x＜﹣3，化簡：f（x）+g（x）．（結(jié)果用含x的代數(shù)式表示）10．（2021秋?全南縣期末）定義：對于一個有理數(shù)x，我們把{x}稱作x的相伴數(shù)；若x≥0，則{x}=12x﹣1；若x＜0，則{x}=?12x+1．例：{1}（1）求{32（2）當a＞0，b＜0時，有{a}＝，求下列代數(shù)式的值；①a+b；②（a+b）2﹣2a﹣2b．11．（2022秋?丹徒區(qū)期中）定義一種新運算，觀察下列各式：1⊙3＝1×2+3＝5；4⊙（﹣1）＝4×2﹣1＝7；（﹣2）⊙3＝（﹣2）×2+3＝﹣1；6⊙5＝6×2+5＝17；（1）請你想一想：用代數(shù)式表示a⊙b的結(jié)果為；（2）若a≠b，那么a⊙bb⊙a（填入“＝”或“≠”）；（3）若a⊙（﹣6b）＝4，請計算（a﹣5b）⊙（a+b）的值．

12．（2022秋?通州區(qū)期中）定義：已知M，N為關(guān)于x的多項式，若M﹣N＝k，其中k為大于0的常數(shù)，則稱M是N的“友好式”，k叫做M關(guān)于N的“友好值”．例如：M＝x2+2x+3，N＝x2+2x﹣2，M﹣N＝（x2+2x+3）﹣（x2+2x﹣2）＝5，則稱M是N的“友好式”，M關(guān)于N的“友好值”為5．（1）已知M＝（x+3）（x﹣1），N＝（x+1）2，則M是N的“友好式”嗎？若是，請證明并求出M關(guān)于N的“友好值”；若不是，請說明理由；（2）已知M＝（2x﹣m）2，N＝4x2﹣6x+n，若M是N的“友好式”，且“友好值”為14求m，n13．（2022秋?咸安區(qū)期中）定義：若A﹣B＝n，則稱A與B是關(guān)于數(shù)n的伴隨數(shù)．比如4與3是關(guān)于1的伴隨數(shù)，2x﹣3與2x是關(guān)于﹣3的伴隨數(shù)．（1）填空：2022與是關(guān)于﹣1的伴隨數(shù)，與﹣3x+5是關(guān)于2的伴隨數(shù)．（2）若a與2b是關(guān)于3的伴隨數(shù)，2b與c是關(guān)于﹣5的伴隨數(shù)，c與d是關(guān)于10的伴隨數(shù)，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．（3）現(xiàn)有A＝8x2﹣6kx+13與B＝2（4x2﹣3x+k）（k為常數(shù)）始終是數(shù)n的伴隨數(shù)，求n的值．14．（2022春?朝陽區(qū)校級期末）新定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù)，就稱這兩個方程為“友好方程”，如：方程2x＝6和3x+9＝0為“友好方程”．（1）若關(guān)于x的方程3x+m＝0與方程2x﹣6＝4是“友好方程”，求m的值．（2）若某“友好方程”的兩個解的差為6，其中一個解為n，求n的值．

15．（2022秋?西城區(qū)校級期中）已知點P，點A，點B是數(shù)軸上的三個點．若點P到原點的距離等于點A，點B到原點距離的和的2倍，則稱點P為點A和點B的“2倍點”．（1）已知點A表示1，點B表示﹣2，下列各數(shù)﹣6，﹣3，0，6在數(shù)軸上所對應的點分別是P1，P2，P3，P4，其中是點A和點B的“2倍點”的有；（2）已知點A表示32，點B表示m，點P為點A和點B的“2倍點”，且點P到原點的距離為10，求m（3）已知點A表示a（a＜0），將點A沿數(shù)軸負方向移動3個單位長度，得到點B．當點P為點A和點B的“2倍點”時，直接寫出點P與點A的距離（用含a的式子表示）．16．（2022秋?天河區(qū)校級期中）已知|a+1|+（b﹣4）2＝0，c是?12的倒數(shù)，且a，b，c分別是點A，B，（1）直接寫出a，b，c的值，并在數(shù)軸上標出點A，B，C；（2）定義：在數(shù)軸上，若點D到點E、F的距離之和為6，則點D叫做E和F的“幸福中心”．①若點G是B和C的“幸福中心”，且點G表示的數(shù)是整數(shù)，求所有滿足條件的點G表示的數(shù)之和；②點Q表示7，點P從點Q出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左運動，同時，點M，N分別從點A，B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向右運動，經(jīng)過多少秒時，點P是M和N的“幸福中心”？

17．（2022秋?寶安區(qū)校級期中）定義：數(shù)軸上有兩點A，B，如果存在一點C，使得線段AC的長度是線段BC的長度的2倍，那么稱點C為線段AB的“幸運點”．（1）如圖①，若數(shù)軸上A，B兩點所表示的數(shù)分別是﹣2和4，點C為線段AB上一點，且點C為線段AB的“幸運點”，則點C表示的數(shù)為；（2）如圖②，若數(shù)軸上A，B兩點所表示的數(shù)分別是﹣4和﹣1，點C為數(shù)軸上一點，若點C為線段AB的“幸運點”，則點C表示的數(shù)為；（3）如果數(shù)軸上點A表示的數(shù)是2001，點B表示的數(shù)是2025，動點P從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度向右勻速運動，設(shè)運動的時間為t秒．當t為何值時，點P是線段AB的“幸運點”．18．（2021秋?金華期末）定義：在一個已知角內(nèi)部，一條線分已知角成兩個新角，其中一個角度數(shù)為另一個角度數(shù)的兩倍，我們把這條線叫做這個已知角的三等分線．（1）如圖，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分線，求∠AOC的度數(shù)．（2）點O在線段AB上（不含端點A，B），在直線AB同側(cè)作射線OC，OD．設(shè)∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．①當OC是∠AOD的三等分線時，求t的值．②當OC是∠BOD的三等分線時，求∠BOD的度數(shù)．

19．（2021秋?薛城區(qū)期末）新定義：若∠α的度數(shù)是∠β的度數(shù)的n倍，則∠α叫做∠β的n倍角．（1）若∠M＝20°22′，請求出∠M的3倍角的度數(shù)；（2）如圖1，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，請直接寫出圖中∠AOB的所有2倍角；（3）如圖2，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度數(shù)．20．（2021秋?咸安區(qū)期末）新定義問題如圖①，已知∠AOB，在∠AOB內(nèi)部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC、∠BOC、∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線OC為∠AOB的“幸運線”．（本題中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【閱讀理解】（1）角的平分線這個角的“幸運線”；（填“是”或“不是”）【初步應用】（2）如圖①，∠AOB＝45°，射線OC為∠AOB的“幸運線”，則∠AOC的度數(shù)為；【解決問題】（3）如圖②，已知∠AOB