專題06 雙垂直型（解析版）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)相似三角形基本模型探究（北師大版）

專題06雙垂直型【基本模型】①如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常見的結(jié)論有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、長(zhǎng)方形中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)射影定理模型，如圖，在和內(nèi)均有射影定理模型．（2）如圖，在圓中也會(huì)出現(xiàn)射影定理模型．【例題精講】例1.如圖，AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，EF⊥AB．證明：△AEF∽△ABE．【答案】見解析．【詳解】證明：∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠DAB，∠ABE＝∠ABC.∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∴∠AEB＝90°.∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°.又∵∠BAE＝∠EAF，∴△AEF∽△ABE例2.如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點(diǎn)，則圖中與△ABC相似的三角形有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，∴共有四個(gè)三角形與Rt△ABC相似．故選：A．例3.如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點(diǎn)，分別以ED、EC為折痕將兩個(gè)角(∠A、∠B)向內(nèi)折起，點(diǎn)A、B恰好落在CD邊的點(diǎn)F處，若AD＝3，BC＝5，則EF的長(zhǎng)是（）A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)【解析】∵AD∥BC，∴∠ADF＋∠FCB＝180°.根據(jù)折疊前后的圖形全等得到DF＝DA＝3，∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°，∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°，∠DFE＝∠EFC＝90°，∴∠FDE＝∠FEC，∴△DEF∽△ECF，∴eq\f(EF,CF)＝eq\f(DF,EF)，∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15，∴EF＝eq\r(15).故選A.【變式訓(xùn)練1】如圖，在中，，是邊上的高．（1）若，則________；（2）若，則________；（3）若，則________．【答案】①.4②.③.【詳解】解：（1）∵在中，，是邊上的高．∴∠ADC=∠ACB=90°，又∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，即，解得：AD=4，故答案為：4；（2）由（1）知△ADC∽△ACB，∴，即，解得：AD=2，或AD=﹣8（舍去），在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD=，故答案為：；（3）在Rt△ADC中，AC=5，CD=4，由勾股定理得：AD=，由（1）中△ADC∽△ACB，∴，即，解得：BC=，經(jīng)檢驗(yàn)，BC=，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】如圖，在中，，則的長(zhǎng)是（）．A. B.6 C. D.【答案】B【詳解】解：∵如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，又∵∠ADC=∠CDB=90°，∴，∴，∴CD2＝BD?AD=9×4＝36，∴CD＝6（舍去負(fù)值）．故選：B．【課后訓(xùn)練】1.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（）A．3：2 B．2：3 C．3：13 D．【解析】∵∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴AC∴BCAC=22．如圖，在中，是斜邊上的高，則圖中的相似三角形共有（

）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【答案】C【詳解】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD所以有三對(duì)相似三角形，故選：C．3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知AD＝，那么BC＝_______．【答案】【詳解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴,∵∴BC＝，故答案為：．4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．5．中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，且有，過F點(diǎn)作于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4．【詳解】證明：（1），，，，在和中，