2024屆上海市黃浦區(qū)高三上學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試（一模）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2上海市黃浦區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試（一模）數(shù)學(xué)試題一、填空題1.已知集合，則__________．〖答案〗〖解析〗集合，所以.故〖答案〗為：2.若函數(shù)為偶函數(shù)，則_______〖答案〗1〖解析〗函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，，，.3.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則滿足的復(fù)數(shù)為__________．〖答案〗〖解析〗，則，則，為，即，故〖答案〗為：.4.若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則此雙曲線的離心率為__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，代入可得，解得，由曲線方程可知，故，所以雙曲線的離心率為，故〖答案〗為：5.已知向量，則向量與夾角的余弦值為__________．〖答案〗〖解析〗向量，所以向量與夾角的余弦值.故〖答案〗：6.若一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為__________．〖答案〗〖解析〗棱長(zhǎng)為的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則球的直徑等于正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，即，則該球的體積.7.某城市30天的空氣質(zhì)量指數(shù)如下：29，26，28，29，38，29，26，26，40，31，35，44，33，28，80，86，65，53，70，34，36，，31，38，63，60，56，34，74，34．則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為__________．〖答案〗56〖解析〗顯然，30個(gè)數(shù)據(jù)由小到大排列為：26，26，26，28，28，29，29，29，31，31，33，34，34，34，35，36，38，38，40，44，，53，56，60，63，65，70，74，80，86，或者26，26，26，28，28，29，29，29，31，31，33，34，34，34，35，36，38，38，40，，44，53，56，60，63，65，70，74，80，86，由，得這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為上述排列后的從小到大的第23個(gè)數(shù)56.故〖答案〗為：568.在中，三個(gè)內(nèi)角對(duì)邊分別為，若，則的值為__________．〖答案〗〖解析〗，即，則，因?yàn)椋?，所以，所以，故〖答案〗為?9.某校共有400名學(xué)生參加了趣味知識(shí)競(jìng)賽（滿分：150分），且每位學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)均不低于90分．將這400名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)分組如下：，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則這400名學(xué)生中競(jìng)賽成績(jī)不低于120分的人數(shù)為__________．〖答案〗〖解析〗由頻率分布直方圖可知，解得，這400名學(xué)生中競(jìng)賽成績(jī)不低于120分的人數(shù)為，故〖答案〗為：10.若是一個(gè)三角形的內(nèi)角，且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)，令，解得：，令，解得：則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)，則，是一個(gè)三角形的內(nèi)角，，，，要使，只能令，得，且，此時(shí)，則，則，解得，是一個(gè)三角形的內(nèi)角，，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則，，，要使，只能令，得，且，此時(shí)，則，則，解得，與矛盾，函數(shù)在區(qū)間上是不能是單調(diào)遞減函數(shù)，綜上所述，，故〖答案〗為：.11.設(shè)是首項(xiàng)為3且公比為的等比數(shù)列，則滿足不等式的最小正整數(shù)的值為__________．〖答案〗25〖解析〗是首項(xiàng)為3且公比為的等比數(shù)列，，則，即有，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則，則，要滿足不等式，則為奇數(shù)，此時(shí)，解得：，則滿足不等式的最小正整數(shù)的值為，故〖答案〗為：25.12.若正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，高為，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最小值為__________．〖答案〗8〖解析〗設(shè)在底面的射影為，則為底面的中心，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由題可知，則，，,,，設(shè)，故，，，，，，設(shè)中點(diǎn)為，且，，設(shè)是平面的平面方程，且該平面的一個(gè)法向量為，作為與該平面的對(duì)稱點(diǎn)，，設(shè)，中點(diǎn)為，故在該平面上，面，故，，解得，，故，.故〖答案〗為：8.二、選擇題13.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗求解不等式可得，求解絕對(duì)值不等式可得或，據(jù)此可知：“”是“”的充分而不必要條件.本題選擇A選項(xiàng).14.從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗記3名男同學(xué)為，2名女同學(xué)為，從5名同學(xué)中任選2名的結(jié)果有：，共10個(gè)，選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的事件含有的結(jié)果有，共7個(gè)，所以選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是.故選：B.15.若實(shí)數(shù)滿足，則必有（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，，整理可得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋O(shè)，則方程變?yōu)?，解得，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，代入等式成立，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,由可得，整理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；所以，因?yàn)椋?，故D正確；故選：D.16.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于定點(diǎn)，記點(diǎn)集中距離原點(diǎn)O最近的點(diǎn)為點(diǎn)，此最近距離為．當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，關(guān)于下列結(jié)論：①點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；②的取值范圍是．正確的判斷是（）A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立C①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立〖答案〗C〖解析〗由題意知，點(diǎn)集表示以為中心，邊長(zhǎng)為2且各邊均平行或垂直于坐標(biāo)軸的正方形及其內(nèi)部，如圖，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)大于或等于1時(shí)，在上述正方形的左下頂點(diǎn)，如圖，此時(shí)點(diǎn)的軌跡方程為；當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)小于1時(shí)，在上述正方形的左側(cè)邊與x軸的交點(diǎn)，如圖，此時(shí)點(diǎn)的軌跡方程為，所以點(diǎn)的軌跡方程為，故①錯(cuò)誤；記，如圖，結(jié)合圖形，則，又，所以，左側(cè)等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)依次共線時(shí)取到，右側(cè)等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)依次共線時(shí)取到，故②正確.故選：C.三、解答題17.已知等比數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列，其第3、4、5項(xiàng)的乘積為1000，并且這三項(xiàng)分別乘以4、3、2后，所得三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意正整數(shù)n，數(shù)列的前n項(xiàng)和，向量的模為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由分別乘以4,3,2后依然成等差數(shù)列，得，所以有，即，由，可得，解得：或，因?yàn)榈缺葦?shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列，所以．代入解得：，所以；（2）因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)也滿足上式，所以．則，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.18.如圖，平面平面，四邊形是正方形，．（1）證明：平面；（2）求二面角的正切值．（1）證明：由于，所以四邊形是等腰梯形，，所以到的距離是，所以.依題意，平面平面，四邊形是正方形，由此以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，由于，所以，所以平面.（2）解：平面的一個(gè)法向量為，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，則，則，所以.19.某公園的一個(gè)角形區(qū)域如圖所示，其中．現(xiàn)擬用長(zhǎng)度為100米的隔離檔板（折線）與部分圍墻（折線）圍成一個(gè)花卉育苗區(qū)，要求滿足．（1）設(shè)，試用表示；（2）為使花卉育苗區(qū)的面積最大，應(yīng)如何設(shè)計(jì)？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1），，，，，設(shè),，則,，則，，則，則，即，即則，則，則則則，則，則，則，則，則，即，即，即.（2）設(shè)，由（1）得，則，，，，，，，要使花卉育苗區(qū)的面積最大，則，即，故當(dāng),時(shí)，花卉育苗區(qū)的面積最大，最大為.20.設(shè)a為實(shí)數(shù)，是以點(diǎn)為頂點(diǎn)，以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，是以點(diǎn)為圓心、半徑為1的圓位于y軸右側(cè)且在直線下方的部分．（1）求與的方程；（2）若直線被所截得的線段的中點(diǎn)在上，求a的值；（3）是否存在a，滿足：在的上方，且有兩條不同的切線被所截得的線段長(zhǎng)相等？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)，則，解得，故，依題意有.（2）設(shè)被所截得的線段為，中點(diǎn)為，聯(lián)立和有，故，故，代入得：，解得.（3）如圖，在的上方時(shí)，拋物線和圓無(wú)交點(diǎn)，聯(lián)立和有且，解得，顯然，切線斜率存在，設(shè)切線方程為，由為四分之一圓知，又圓心到切線的距離等于半徑：，故，切線方程為，與聯(lián)立得，設(shè)被所截得的線段為，則，，記，則，，記，則，依題意有：對(duì)給定的，使得和有兩個(gè)交點(diǎn)，由知使即可，否則在上單調(diào)，不存在使得，而，故只需，解得，綜上所述：.21.設(shè)函數(shù)與的定義域均為，若存在，滿足且，則稱函數(shù)與“局部趨同”．（1）判斷函數(shù)與是否“局部趨同”，并說(shuō)明理由；（2）已知函數(shù)．求證：對(duì)任意的正數(shù)，都存在正數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”；（3）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（1）解：得，，令，解得：，，且，即不存在，滿足且，則函數(shù)與不是“局部趨同”；（2）證明：函數(shù)，則，若函數(shù)與“局部趨同”，則存在，滿足且，即，且，則若有解，存在正數(shù)，都存在，滿足且，即對(duì)任意的正數(shù)，都存在正數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”，即，其，即有解，設(shè)方程的兩根分別為，不妨設(shè)，則，所以，，而，取，所以對(duì)任意的正數(shù)，都存在正數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”.（3）解：若函數(shù)與“局部趨同”，則且，由，得，即，則，代入，得，即，則若有解，函數(shù)與就“局部趨同”，即有解，令，則，在上，，在上，，則在上，，在上，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最大值為，從趨向于0時(shí)，趨向于，趨向于0，則在從趨向于0時(shí)，趨向于，則，則要使有解，即，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.上海市黃浦區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試（一模）數(shù)學(xué)試題一、填空題1.已知集合，則__________．〖答案〗〖解析〗集合，所以.故〖答案〗為：2.若函數(shù)為偶函數(shù)，則_______〖答案〗1〖解析〗函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，，，.3.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則滿足的復(fù)數(shù)為__________．〖答案〗〖解析〗，則，則，為，即，故〖答案〗為：.4.若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則此雙曲線的離心率為__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，代入可得，解得，由曲線方程可知，故，所以雙曲線的離心率為，故〖答案〗為：5.已知向量，則向量與夾角的余弦值為__________．〖答案〗〖解析〗向量，所以向量與夾角的余弦值.故〖答案〗：6.若一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為__________．〖答案〗〖解析〗棱長(zhǎng)為的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則球的直徑等于正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，即，則該球的體積.7.某城市30天的空氣質(zhì)量指數(shù)如下：29，26，28，29，38，29，26，26，40，31，35，44，33，28，80，86，65，53，70，34，36，，31，38，63，60，56，34，74，34．則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為__________．〖答案〗56〖解析〗顯然，30個(gè)數(shù)據(jù)由小到大排列為：26，26，26，28，28，29，29，29，31，31，33，34，34，34，35，36，38，38，40，44，，53，56，60，63，65，70，74，80，86，或者26，26，26，28，28，29，29，29，31，31，33，34，34，34，35，36，38，38，40，，44，53，56，60，63，65，70，74，80，86，由，得這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為上述排列后的從小到大的第23個(gè)數(shù)56.故〖答案〗為：568.在中，三個(gè)內(nèi)角對(duì)邊分別為，若，則的值為__________．〖答案〗〖解析〗，即，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，故〖答案〗為?9.某校共有400名學(xué)生參加了趣味知識(shí)競(jìng)賽（滿分：150分），且每位學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)均不低于90分．將這400名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)分組如下：，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則這400名學(xué)生中競(jìng)賽成績(jī)不低于120分的人數(shù)為__________．〖答案〗〖解析〗由頻率分布直方圖可知，解得，這400名學(xué)生中競(jìng)賽成績(jī)不低于120分的人數(shù)為，故〖答案〗為：10.若是一個(gè)三角形的內(nèi)角，且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)，令，解得：，令，解得：則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)，則，是一個(gè)三角形的內(nèi)角，，，，要使，只能令，得，且，此時(shí)，則，則，解得，是一個(gè)三角形的內(nèi)角，，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則，，，要使，只能令，得，且，此時(shí)，則，則，解得，與矛盾，函數(shù)在區(qū)間上是不能是單調(diào)遞減函數(shù)，綜上所述，，故〖答案〗為：.11.設(shè)是首項(xiàng)為3且公比為的等比數(shù)列，則滿足不等式的最小正整數(shù)的值為__________．〖答案〗25〖解析〗是首項(xiàng)為3且公比為的等比數(shù)列，，則，即有，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則，則，要滿足不等式，則為奇數(shù)，此時(shí)，解得：，則滿足不等式的最小正整數(shù)的值為，故〖答案〗為：25.12.若正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，高為，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最小值為__________．〖答案〗8〖解析〗設(shè)在底面的射影為，則為底面的中心，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由題可知，則，，,,，設(shè)，故，，，，，，設(shè)中點(diǎn)為，且，，設(shè)是平面的平面方程，且該平面的一個(gè)法向量為，作為與該平面的對(duì)稱點(diǎn)，，設(shè)，中點(diǎn)為，故在該平面上，面，故，，解得，，故，.故〖答案〗為：8.二、選擇題13.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗求解不等式可得，求解絕對(duì)值不等式可得或，據(jù)此可知：“”是“”的充分而不必要條件.本題選擇A選項(xiàng).14.從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗記3名男同學(xué)為，2名女同學(xué)為，從5名同學(xué)中任選2名的結(jié)果有：，共10個(gè)，選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的事件含有的結(jié)果有，共7個(gè)，所以選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是.故選：B.15.若實(shí)數(shù)滿足，則必有（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，，整理可得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，設(shè)，則方程變?yōu)?，解得，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，代入等式成立，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,由可得，整理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；所以，因?yàn)?，所以，故D正確；故選：D.16.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于定點(diǎn)，記點(diǎn)集中距離原點(diǎn)O最近的點(diǎn)為點(diǎn)，此最近距離為．當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，關(guān)于下列結(jié)論：①點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；②的取值范圍是．正確的判斷是（）A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立C①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立〖答案〗C〖解析〗由題意知，點(diǎn)集表示以為中心，邊長(zhǎng)為2且各邊均平行或垂直于坐標(biāo)軸的正方形及其內(nèi)部，如圖，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)大于或等于1時(shí)，在上述正方形的左下頂點(diǎn)，如圖，此時(shí)點(diǎn)的軌跡方程為；當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)小于1時(shí)，在上述正方形的左側(cè)邊與x軸的交點(diǎn)，如圖，此時(shí)點(diǎn)的軌跡方程為，所以點(diǎn)的軌跡方程為，故①錯(cuò)誤；記，如圖，結(jié)合圖形，則，又，所以，左側(cè)等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)依次共線時(shí)取到，右側(cè)等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)依次共線時(shí)取到，故②正確.故選：C.三、解答題17.已知等比數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列，其第3、4、5項(xiàng)的乘積為1000，并且這三項(xiàng)分別乘以4、3、2后，所得三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意正整數(shù)n，數(shù)列的前n項(xiàng)和，向量的模為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由分別乘以4,3,2后依然成等差數(shù)列，得，所以有，即，由，可得，解得：或，因?yàn)榈缺葦?shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列，所以．代入解得：，所以；（2）因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)也滿足上式，所以．則，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.18.如圖，平面平面，四邊形是正方形，．（1）證明：平面；（2）求二面角的正切值．（1）證明：由于，所以四邊形是等腰梯形，，所以到的距離是，所以.依題意，平面平面，四邊形是正方形，由此以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，由于，所以，所以平面.（2）解：平面的一個(gè)法向量為，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，則，則，所以.19.某公園的一個(gè)角形區(qū)域如圖所示，其中．現(xiàn)擬用長(zhǎng)度為100米的隔離檔板（折線）與部分圍墻（折線）圍成一個(gè)花卉育苗區(qū)，要求滿足．（1）設(shè)，試用表示；（2）為使花卉育苗區(qū)的面積最大，應(yīng)如何設(shè)計(jì)？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1），，，，，設(shè),，則,，則，，則，則，即，即則，則，則則則，則，則，則，則，則，即，即，即.（2）設(shè)，由（1）得，則，，，，，，，要使花卉育苗區(qū)的面積最大，則，即，故當(dāng),時(shí)，花卉育苗區(qū)的面積最大，最大為.20.設(shè)a為實(shí)數(shù)，是以點(diǎn)為頂點(diǎn)，以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，是以點(diǎn)為圓心、半徑為1