函數(shù)奇偶性知識點(diǎn)與經(jīng)典題型歸納-文檔

PAGEPAGE5PAGE5函數(shù)奇偶性知識梳理1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義（1）奇函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻麑?nèi)的任意一個，都有，則這個函數(shù)叫奇函數(shù).（2）偶函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果對?nèi)的任意一個，都有，則這個函數(shù)叫做偶函數(shù).（3）奇偶性：如果函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說函數(shù)具有奇偶性.（4）非奇非偶函數(shù)：無奇偶性的函數(shù)是非奇非偶函數(shù).注意：（1）奇函數(shù)若在時有定義，則．（2）若且的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．2．奇(偶)函數(shù)的基本性質(zhì)(1)對稱性：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱．(2)單調(diào)性：奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反．3.判斷函數(shù)奇偶性的方法（1）圖像法（2）定義法eq\o\ac(○,1)首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；eq\o\ac(○,2)確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；eq\o\ac(○,3)作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)．例題精講【例1】若函數(shù)是偶函數(shù)，求的值.解：∵函數(shù)f(x)＝ax2＋bx是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)．∴ax2＋bx=ax2-bx.∴2bx=0.∴b＝0.【例3】已知函數(shù)在軸左邊的圖象如下圖所示，畫出它右邊的圖象.題型一判斷函數(shù)的奇偶性【例4】判斷下列函數(shù)的奇偶性.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）解：（1）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱．∵∴，即是偶函數(shù)．（2）的定義域?yàn)橛捎诙x域關(guān)于原點(diǎn)不對稱故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（3）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函數(shù)．（4）的定義域?yàn)閧2}，由于定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（5）的定義域?yàn)閧1，－1}，由且，所以所以圖象既關(guān)于原點(diǎn)對稱，又關(guān)于y軸對稱故既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．（6）顯然定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．當(dāng)x>0時，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)；當(dāng)x<0時，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)．即即∴為奇函數(shù)．題型二利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值【例2】若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(3)＝2，求f(－3)和f(0)的值.解：∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.【例5】已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，求g(1).解：由f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)得，所以－f(1)＋g(1)＝2①f(1)＋g(1)＝4②由①②消掉f(1)，得g(1)＝3.題型三利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式【例6】已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f(x)＝x3－x2，當(dāng)x>0時，求f(x)的解析式.解：當(dāng)時，有所以又因?yàn)樵赗上為偶函數(shù)所以所以當(dāng)時，.【例7】若定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，求.解：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)所以，因?yàn)棰偎运寓谟散佗谑较?，?課堂練習(xí)仔細(xì)讀題，一定要選擇最佳答案喲！1.函數(shù)是（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)2.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）A.2B.1C.0D.-23.f(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)≥2，則當(dāng)x≤0時，有（）A．f(x)≤2B．f(x)≥2C．f(x)≤－2D.f(x)∈R4.已知函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，y=f（x－2）在［0，2］上是單調(diào)減函數(shù)，則（）A.f（0）＜f（－1）＜f（2） B.f（－1）＜f（0）＜f（2）C.f（－1）＜f（2）＜f（0） D.f（2）＜f（－1）＜f（0）5.已知函數(shù)f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函數(shù)，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是（）A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.既奇且偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)6.定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，又f（－3）=0，則不等式xf（x）＜0的解集為（）A.（－3，0）∪（0，3） B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞） D.（－∞，－3）∪（0，3）7.若f(x)在[－5,5]上是奇函數(shù)，且f(3)<f(1)，則下列各式中一定成立的是()A．f(－1)<f(－3)B．f(0)>f(1)C．f(2)>f(3)D．f(－3)<f(5)8.設(shè)f(x)在[－2，－1]上為減函數(shù)，最小值為3，且f(x)為偶函數(shù)，則f(x)在[1,2]上()A．為減函數(shù)，最大值為3B．為減函數(shù)，最小值為－3C．為增函數(shù)，最大值為－3D．為增函數(shù)，最小值為39.下列四個函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上為增函數(shù)的是()A．y＝x^3 B．y＝－x^2＋1C．y＝|x|＋1 D．y＝2－|x|10.若函數(shù)f(x)＝(x＋1)(x＋a)為偶函數(shù)，則a＝()A．1 B．－1C．0 D．不存在11.偶函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有三個交點(diǎn)，則方程f(x)＝0的所有根之和為________．12.如圖，給出了偶函數(shù)y=f(x)的局部圖象，試比較f(1)與f(3)的大小.xyxyO–32–113.已知函數(shù)是奇函數(shù)，求的值.14.已知f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表達(dá)式．15.定義在(－1,1)上的奇函數(shù)f(x)是減函數(shù)，且f(1－a)