No.31全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽模擬試題

PAGENo.31高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試卷1、已知的大小關系是.2、設，且恒成立，則的最大值為3、對于的一切實數(shù)，使不等式都成立的實數(shù)的取值范圍是4、已知，設，，，那么的大小關系是5、不等式的解集是.6、函數(shù)的最小值為7、若，且，則的最小值是.8、若，則的最大值是．9、設，求的最小值．10、求，則s的整數(shù)部分11、圓周上寫著紅藍兩色的數(shù)。已知，每個紅色數(shù)等于兩側相鄰數(shù)之和，每個藍色數(shù)等于兩側相鄰數(shù)之和的一半。證明，所有紅色數(shù)之和等于0。（俄羅斯）12、設，求證：．（第二屆“友誼杯”國際數(shù)學競賽題）烏魯木齊市高級中學數(shù)學競賽培訓題2參考答案1、解法1，..解法2，.解法3=.解法4原問題等價于比較與的大小.由得，..ABCxyOb-abb+a圖1解法5如圖1，在函數(shù)的圖象上取三個不同的點A（，）、B（，）、C（，）.ABCxyOb-abb+a圖1由圖象，顯然有，即，即，亦即.解法6令，單調遞減，而，，即，.2、解法1原式．．而+，且當，即時取等號．．．故選．解法2，，已知不等式化為．由，即，故由已知得，選．解法3由，知，有．又，即，由題意，．故選．解法4，．已知不等式可變形為．記，則．由題意，．故選．解法5于是．比較得．故選．3、解法1題設等價于或或，即或或,所以或或，即.解法2已知不等式即，令，則當，即時，是的一次函數(shù)，因為，即時不等式恒成立，所以在上的圖象恒在軸的下方，故有，即，解得.又當時，，適合題意，當時，不合題意.故的取值范圍是.4、解法1設，.，而是減函數(shù)，，即.，，.，即.故.解法2由題意，令，則，，，，，，是減函數(shù)，又，，即..解法3、，，是單調減函數(shù)，，.，.又，即，.5、解設y=，由，得定義域為[，3].即原不等式在定義域內恒成立，故所求解集為[，3].題目改為“的解集是，結果一樣。6、解法1.因為兩個互為倒數(shù)的數(shù)，在它們等于時，其和可以取到絕對值的最小值.即當，即或時，的絕對值最小.又，故時，的絕對值最小.又，.選.解法2因為，聯(lián)想到，于是令，，則.，當且僅當，即時，.故選.解法3設，.，.，即.故選.解法4.由此聯(lián)想到萬能公式:，故令，則，.又，,,即..故選.解法5，，當且僅當，即時取等號..故選.解法6，，當時取等號.故選.解法7由去分母并整理，得.，，即，或.，，.當時，由，解得，.故選.7、證明，于是，，當且僅當時取等號，的最小值是.推廣2若，且，則的最小值是.證明，，.同理.故，當且僅當時取等號.的最小值是.推廣3若，且，則的最小值是.證明由均值不等式得，,從而，當且僅當時取等號.故的最小值是.8、解法1引入?yún)?shù)t,，又，．考慮到待求最值的二元式是，故令，解得或（舍去），故只需令，即可得．因此，，當且僅當，即時取等號.．解法2已知條件式即.令即代入待求式,并化簡,得.故當且僅當時，有最大值160．解法3令.從而有即代入已知等式,得,即．解法4,而即．解法5設代入條件得令,則．解法6設則即①.由題設x,y不同時為0,故不妨設,則將①式兩邊同除以,得當時,由解得;當時,．綜上,.故．解法7.故當時,．9BA．解可從絕對值的幾何意義上去想，以為例，如圖：BA1234所給的式子的幾何意義是數(shù)軸上坐標為的點N與坐標為1、2、3、4的4個點的距離的和．顯然，當N在線段AB之外時，和大于N在線段AB上時的和；當N在線段AB上時，N接近AB的中點，和就逐漸變小，N重合于AB的中點時，和達到最?。驗?，所以當取2或3時，最?。畬τ诤褪絊=，設數(shù)軸上的點A、B分別表示1949、2001，則線段AB的中點的坐標是．拓展運用同樣的思想方法，可以得到下面的定理1對于函數(shù)，若是奇數(shù)，則當時，取得最小值；若是偶數(shù)，則當時，取得最小值10、解若是等差數(shù)列,>0,則(是公差).由此，得.又知=.，，評析顯然是數(shù)列的前項的和，直接求和，無法可依.能否用裂項相消法將每一項拆成異號的兩項之和呢？考慮到，于是將變?yōu)?，再放大為，或縮小為，便使問題獲解.這是一道用“放縮法”求解不等式問題的好題目。但用“放縮法”解題，必須把握好放縮的“度”.就以此題為例，若將，就得，這樣就沒法確定到底是1998還是1999了.若做到這里，我們便應考慮到題中的1不作變形，問題就會得到解決.此題來源于高中代數(shù)下冊（必修）P132第33題：用數(shù)學歸納法證明，.1992年全國高考“三南”試題：證明不等式：.這兩個結論合起來就有.此結論就是.11、解:將所有紅數(shù)的和記為,所有藍數(shù)的和記為，對任意兩個a，b，c都有a＋c＝b或2b（視b為紅數(shù)還是藍數(shù)而定）