專題16 直角三角形（講義）（原卷版）

專題16直角三角形核心知識點精講理解直角三角形的的相關性質、勾股定理、勾股定理的逆定理、常用面積關系式等內容；掌握直角三角形的判定方法；理解掌握含30度角的直角三角形的特點；掌握直角三角形斜邊上的中線的特點及運用；理解掌握等腰直角三角形的特點情況。考點1直角三角形的性質1.直角三角形的兩個銳角互余可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°2.在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半4.勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即5.射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項6.常用關系式：由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC考點2含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結論是由等邊三角形的性質推出，體現了直角三角形的性質，它在解直角三角形的相關問題中常用來求邊的長度和角的度數．（3）注意：①該性質是直角三角形中含有特殊度數的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應用；②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．考點3直角三角形斜邊上的中線（1）性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．考點4勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．考點5勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．考點6勾股定理的應用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數學模型解決現實世界的實際問題．④勾股定理在數軸上表示無理數的應用：利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三角形的斜邊．考點7等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設等腰直角三角形內切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R=2+1，所以r：R＝1：2+1【題型1：直角三角形的性質】【典例1】（2023?惠州校級模擬）如圖，直線a∥b，Rt△ABC的直角頂點C在直線b上，若∠1＝40°，則∠2的度數為50°．1．（2023?曲江區(qū)校級三模）如圖，直線a∥b，Rt△ABC的直角頂點A落在直線a上，點B落在直線b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，則∠ABC的大小為（）A．40° B．45° C．50° D．55°2．（2023?麻章區(qū)二模）直角三角形兩銳角的平分線所夾的鈍角的度數為（）A．100度 B．120度 C．135度 D．140度3．（2023?大埔縣一模）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點D，若∠C＝40°，則∠1的度數是（）A．30° B．40° C．50° D．60°4．（2023?羅湖區(qū)校級自主招生）如圖，已知Rt△ABC中，∠B＝30°，BE＝AC，求AB+DE＝480時，DE的長度為．．【題型2：含30度角的直角三角形】【典例2】（2023?海珠區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于點E，BE＝4，則AC＝2．1．（2023?香洲區(qū)校級一模）如圖，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝8，則BD的長為（）A．1 B．2 C．2.5 D．32．（2023?高州市二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于點D，∠BAC＝120°，AD＝5，則BC的長為（）A．7.5 B．10 C．15 D．203．（2023?龍崗區(qū)校級一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，點P是斜邊AB上一點，過點P作PQ⊥AB，垂足為P，交邊AC（或邊CB）于點Q，設AP＝x，當△APQ的面積為143時，x的值為2214．（2023?海珠區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，邊AB的垂直平分線交BC于點D，交AB于點E，連接AD．若BD＝6，則AC＝．【題型3：直角三角形斜邊上的中線】【典例4】（2023?中山市校級一模）如圖，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，∠C＝60°，點D為邊AC的中點，BD＝2，則AB的長為（）A．3 B．23 C．2 D．1．（2023?開平市二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且點D是AB的中點，若△DEF的周長是11，則AF＝55．2．（2023?深圳模擬）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中點，過點B作BD⊥AB，交CE的延長線于點D，若BD＝4，CD＝8，則AC＝6553．（2023?江門二模）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，線段DE的兩個端點D，E分別在邊AC，BC上滑動，且DE＝6，若點M，N分別是DE，AB的中點，則MN的最小值為．【題型4：勾股定理】【典例4】（2023?潮陽區(qū)一模）如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，根據圖中數據，可得出正方形A的面積是（）A．12 B．24 C．30 D．101.（2023?潮南區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為中線，延長CB至點E，使BE＝BC，連接DE，F為DE的中點，連接BF，若AC＝8，BC＝6，則BF的長為（）A．2 B．2.5 C．3 D．42．（2023?惠城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交線段AB于點D；以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段AC于點E．若AE＝2EC，則BCACA．34 B．5-12 C．123．（2023?越秀區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點E，且AC⊥BD，AC＝AD，∠CBD＝∠CAD，CB＝5，CD=45，則ADA．9 B．10 C．403 D．【題型5：勾股定理的逆定理】【典例5】（2022?禪城區(qū)校級模擬）如圖所示的網格是正方形網格，則∠PAB+∠PBA＝°（點A，B，P是網格線交點）．1．（2023?東莞市校級一模）下列長度的三條線段不能組成直角三角形的是（）A．3cm，4cm，5cm B．4cm，3cm，7cmC．6cm，8cm，9cm D．1cm，2cm，2．（2022?南海區(qū)校級三模）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5．將△ABC沿著點A到點C的方向平移到△DEF的位置，圖中陰影部分面積為4，則平移的距離為（）A．3-6 B．6 C．3+6 D．3．（2022?廣東三模）在四邊形ACBD中，AC⊥BC且BC＝2，AD＝3，AB＝4，BD＝5，則∠CAD＝120°．【題型6：勾股定理的應用】【典例6】（2023?南山區(qū)一模）紫砂壺是我國特有的手工制造陶土工藝品，其制作過程需要幾十種不同的工具，其中有一種工具名為“帶刻度嘴巴架”，其形狀及使用方法如圖1．當制壺藝人把“帶刻度嘴巴架”上圓弧部分恰好貼在壺口邊界時，就可以保證要粘貼的壺嘴、壺把、壺口中心在一條直線上．圖2是正確使用該工具時的示意圖．如圖3，⊙O為某紫砂壺的壺口，已知A，B兩點在⊙O上，直線l過點O，且l⊥AB于點D，交⊙O于點C．若AB＝30mm，CD＝5mm，則這個紫砂壺的壺口半徑r的長為25mm．1．（2023?龍崗區(qū)校級一模）如圖，一根樹在離地面3米處斷裂，樹的頂部落在離底部4米處，樹折斷之前有米．2．（2023?潮州模擬）如圖，一根長為18cm的牙刷置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的長度hcm，則h的取值范圍是．3．（2023?中山市三模）某高鐵站入口的雙翼閘機如圖所示，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為10cm．雙翼的邊緣AC＝BD＝54cm，且與閘機側立面夾角∠ACP＝∠BDQ＝30°．一名旅客攜帶一件長方體行李箱進站，行幫箱規(guī)格為60×80×100（長×寬×高，單位：cm）．當雙翼收回進閘機箱內時，該旅客的行書箱是否可以通過閘機？請說明理由．【題型7：等腰直角三角形】【典例7】（2023?中山市二模）如圖，△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，點A，B，E在同一直線上，BD⊥AE，垂足為點B，點C在BD上，AB＝4，BE＝10．將△ABC沿BE方向平移，當這兩個三角形重疊部分的面積等于△ABC面積的一半時，△ABC平移的距離為2-2或101.（2023?深圳一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝10，用尺規(guī)作圖的方法作線段AD和線段DE，保留作圖痕跡如圖所示，認真觀察作圖痕跡，則△BDE的周長是（）A．8 B．52 C．1522 D2．（2023?廣東模擬）如圖，直線l與m平行，將等腰直角三角板ABC的直角頂點C放在直線m上，若∠2＝20°，則∠1的度數為（）A．20° B．25° C．30° D．35°3．（2023?深圳模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D是BC上的一點，AC＝DC，AB⊥AE，且AE＝AB，連接DE交AC的延長線于點F，ACCF=32，則BD一．選擇題（共7小題）1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D在邊BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于點E．若AC＝12，BC＝16，則AE的長為（）A．6 B．8 C．10 D．122．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，CD⊥AC交AB于點D，CD＝1，則AB的長是（）A．3 B．72 C．4 D．3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分線交BC于點D．若BD＝6，則AC的長為（）A．3 B．4 C．5 D．64．下列四組數，是勾股數的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．30，40，50 C．6，7，8 D．32，42，525．下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝1：2：36．12世紀，印度一位著名數學家婆什迦羅在他的名著《麗羅娃提》中記載了一個有趣的問題：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”這首詩的大意是：在平靜的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一陣強風吹來把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此時，捕魚的人發(fā)現，花在水平方向上離開原來的位置2尺遠，由此可知湖水的深度是（）A．4.25尺 B．3.75尺 C．2.25尺 D．2尺7．下列給出的四組數中，不能構成直角三角形三邊的一組是（）A．1，2，5 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，12，13二．填空題（共5小題）8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，D為邊AB的中點，則∠BCD＝°．9．在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，若AB＝8，則CD的長是．10．如圖是單位長度為1的正方形網格，格點上A、B兩點間的距離為．11．已知直角三角形三邊長分別是a+1，a+2，a+3，則a的值為．12．如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，AD＝3cm，則CD的長是cm．三．解答題（共3小題）13．某校秉承“學會生活，學會學習，學會做人”的辦學理念，將本校的辦學理念做成宣傳牌（AB），放置在教室的黑板上面（如圖所示）．在三月雷鋒活動中小明搬來一架梯子（AE＝5米）靠在宣傳牌（AB）A處，底端落在地板E處，然后移動的梯子使頂端落在宣傳牌（AB）的B處，而底端E向外移到了1米到C處（CE＝1米）．測量得BM＝4米．求宣傳牌（AB）的高度（結果用根號表示）．14．如圖，在△ABC中，D是BC上一點，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17．（1）求∠ADB的度數；（2）求BC的長．15．為了綠化環(huán)境，我縣某中學有一塊空地，如圖所示，學校計劃在空地上種植草皮，經測量AD＝8m，CD＝6m，∠D＝90°，AB＝26m，BC＝24m．求出該空地的面積．一．選擇題（共6小題）1．如圖，S1、S2分別表示邊長為x、y的正方形的面積，且A、B、C三點在一條直線上，若S1+S2＝20，AB＝x+y＝6，則圖中陰影部分的面積為（）A．16 B．12 C．8 D．42．下列各組數是勾股數的是（）A．1.5，2，2.5 B．13，14，15 C．3，4，5 D．3，3．某數學興趣小組開展了筆記本電腦的張角大小的實踐探究活動．如圖，當張角為∠BAF時，頂部邊緣B處離桌面的高度BC為7cm，此時底部邊緣A處與C處間的距離AC為24cm，小組成員調整張角的大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現當張角為∠DAF時（D是B的對應點），頂部邊緣D處到桌面的距離DE為20cm，則底部邊緣A處與E之間的距離AE為（）A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm4．如圖，已知∠ABC＝60°，D是射線BA上一點，E，F是射線BC上的點．已知BD＝6，EF＝2，DE＝DF，則BE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．65．如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（6，4），以點O為圓心，OA的長為半徑畫弧，交x軸的正半軸于點B，則點B的橫坐標介于（）A．5和6之間 B．7和8之間 C．10和11之間 D．8和9之間6．在同一張方格紙上，如果點A用數對表示為（1，1），點B用數對表示為（4，1），點C用數對表示為（1，3），那么這個三角形ABC一定是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形二．填空題（共4小題）7．如圖是某超市購物車的側面簡化示意圖．測得支架AC＝24cm，CB＝18cm，兩輪中心的距離AB＝30cm，則點C到AB的距離為cm．8．筆直的河流一側有一旅游地C，河邊有兩個漂流點A，B．其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現在已經不通，為方便游客決定在河邊新建一個漂流點H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路CH，測得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．則原路線AC＝千米．9．如圖，在等腰△ABC中，AB＝A