函數(shù)的極大值與極小值使用

關(guān)于函數(shù)的極大值與極小值使用知識回顧：

一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)在該區(qū)間如果f′(x)>0,

如果f′(x)<0,則f(x)為增函數(shù);則f(x)為減函數(shù).

如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)=0,則f(x)為常數(shù)函數(shù).第2頁,共23頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性的步驟：1.確定函數(shù)f(x)的定義域.2.求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.解不等式f′(x)>0,得函數(shù)單增區(qū)間;

解不等式f′(x)<0,得函數(shù)單減區(qū)間.第3頁,共23頁，2024年2月25日，星期天yxOaby=f(x)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)x4f(x4)

函數(shù)y=f(x)在點x1

、x2

、x3

、x4處的函數(shù)值f(x1)、f(x2)、f(x3)、f(x4)，與它們左右近旁各點處的函數(shù)值，相比有什么特點?觀察圖像：第4頁,共23頁，2024年2月25日，星期天一、函數(shù)的極值定義一般的，設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對X0附近的所有點，都有f(x)<f(x0),

則f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)；如果對X0附近的所有點，都有f(x)>f(x0),

則f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)；使函數(shù)取得極值的點x0稱為極值點第5頁,共23頁，2024年2月25日，星期天1、在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量(x)的值，極值指的是函數(shù)值(y)。注意2、極值是一個局部概念，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小,并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小。第6頁,共23頁，2024年2月25日，星期天3、函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個。4、極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示。第7頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

觀察圖像并類比于函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系的研究方法,看極值與導(dǎo)數(shù)之間有什么關(guān)系?oa

x0bxy

xx0左側(cè)

x0x0右側(cè)

f

(x)

f(x)

oax0bxy

xx0左側(cè)

x0x0右側(cè)

f

(x)

f(x)增f

(x)>0f

(x)=0f

(x)<0極大值減f

(x)<0f

(x)=0增減極小值f

(x)>0如何判斷f

(x0)是極大值或是極小值？第8頁,共23頁，2024年2月25日，星期天yxO在極值點處，曲線如果有切線，則切線是水平的。aby=f(x)x1

f(x1)=0

x2

f(x2)=0

x3

f(x3)=0

x4

f(x5)=0

x5第9頁,共23頁，2024年2月25日，星期天f

(x)<0yxOx1aby=f(x)在極大值點附近在極小值點附近f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>01、如果在x0附近的左側(cè)f’(x)>0，右側(cè)f’(x)<0，則f(x0)是極大值；2、如果在x0附近的左側(cè)f’(x)<0，右側(cè)f’(x)>0，則f(x0)是極小值；二、判斷函數(shù)極值的方法x2導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點；極值點處的導(dǎo)數(shù)不一定是存在的；若極值點處的導(dǎo)數(shù)存在，則一定為0左正右負(fù)為極大，右正左負(fù)為極小第10頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

練習(xí)1.函數(shù)的定義域為開區(qū)間導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有（）個極小值點。A.1

B.2

C.3

D.4Af

(x)<0f

(x)>0f

(x)=0注意：數(shù)形結(jié)合以及原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像的區(qū)別第11頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例1

求函數(shù)的極值。x(-∞，-2）-2(-2，2）2(2，+∞）y′y解：定義域為R，y′=x2-4由y′=0可得x=-2或x=2當(dāng)x變化時，y′,y的變化情況如下表：因此，當(dāng)x=-2時，y極大值=17/3

當(dāng)x=2時，y極小值=－5++0-0極大值17/3極小值

-5第12頁,共23頁，2024年2月25日，星期天求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟：(2)求導(dǎo)數(shù)f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定義域劃分為部分區(qū)間，并列成表格檢查f’(x)在方程根左右的符號——如果左正右負(fù)（+~-），

那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正（-~+），

那么f(x)在這個根處取得極小值；(1)確定函數(shù)的定義域；第13頁,共23頁，2024年2月25日，星期天鞏固練習(xí)：求函數(shù)的極值

當(dāng)時,有極大值，并且極大值為∴當(dāng)時,有極小值，并且極小值為

解:∵∴

令，得，或下面分兩種情況討論：（1）當(dāng)，即時；（2）當(dāng)，即，或時。當(dāng)變化時，的變化情況如下表：第14頁,共23頁，2024年2月25日，星期天∴a=2.例4:函數(shù)在處具有極值，求a的值分析：f(x)在處有極值，根據(jù)一點是極值點的必要條件可知，可求出a的值.解：∵，∴第15頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

函數(shù)在時有極值10，則a，b的值為

，注意：f/(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件注意代入檢驗鞏固練習(xí)第16頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例2第17頁,共23頁，2024年2月25日，星期天第18頁,共23頁，2024年2月25日，星期天第19頁,共23頁，2024年2月25日，星期天第20頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例3

設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝a有三個不同的實根，求實數(shù)a的取值范圍．【思路點撥】(1)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)