2021年四川中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的變化

2021年四川中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的變化

一.選擇題（共7小題）

1.（2021?宜賓）下列圖形是軸對稱圖形的是（）

A.(-3,1)B.(3,1)C.(3,-1)D.(-1,-3)

4.（2021?廣安）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)55°得到△AQE,若NE=70。且A。

_LBC于點(diǎn)F,則/BAC的度數(shù)為（）

5.（2021?宜賓）如圖，在矩形紙片ABCZ）中，點(diǎn)E、F分別在矩形的邊AB、AO上，將矩

形紙片沿CE、CF折疊，點(diǎn)B落在〃處，點(diǎn)。落在G處，點(diǎn)C、H、G恰好在同一直線

上，若AB=6,AD=4,BE=2,則。尸的長是（）

C.3返

D.3

2

6.（2021?眉山）我國某型號運(yùn)載火箭的整流罩的三視圖如圖所示,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)（單位:

米）計算該整流罩的側(cè)面積（單位：平方米）是（）

A.7.2mB.11.52irC.12TTD.13.44TT

7.（2021?廣元）如圖，在△A8C中，/4CB=90°，AC=8C=4,點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn),

點(diǎn)P是4c邊上一個動點(diǎn)，連接以為邊在PO的下方作等邊三角形P。。，連接

CQ.則CQ的最小值是（）

C.&D.3

2

填空題（共3小題）

8.（2021?廣安）如圖，將三角形紙片ABC折疊，使點(diǎn)B、C都與點(diǎn)A重合，折痕分別為

DE、FG.己知/ACB=15°,AE=EF,OE=?,則BC的長為

BEF

9.（2021?資陽）將一張圓形紙片（圓心為點(diǎn)。）沿直徑對折后，按圖1分成六等份折

疊得到圖2,將圖2沿虛線AB剪開，再將△AOB展開得到如圖3的一個六角星.若/

CDE=15°,則N08A的度數(shù)為.

10.（2021?資陽）如圖，在菱形ABCD中，NBAQ=120°,QE_LBC交BC的延長線于點(diǎn)E.連

結(jié)AE交BD于點(diǎn)F,交CQ于點(diǎn)G.FHLCD于點(diǎn)H,連結(jié)CF.有下列結(jié)論：①AF=

CF；②AF2=EF?FG；③FG：EG=4：5；④cosNGF4=2叵.其中所有正確結(jié)論的

14

序號為

三.解答題（共4小題）

II.（2021?達(dá)州）2021年，達(dá)州河邊新建成了一座美麗的大橋.某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組組織

了一次測橋墩高度的活動，如圖，橋墩剛好在坡角為30°的河床斜坡邊，斜坡BC長為

48米，在點(diǎn)D處測得橋墩最高點(diǎn)A的仰角為35°,CD平行于水平線BM,CD長為1673

米，求橋墩AB的高（結(jié)果保留1位小數(shù)）.（sin35°^0.57,cos35°弋0.82,tan35°弋

0.70,?21.73）

12.（2021?廣元）如圖，某無人機(jī)愛好者在一小區(qū)外放飛無人機(jī)，當(dāng)無人機(jī)飛行到一定高度

。點(diǎn)處時，無人機(jī)測得操控者A的俯角為75°,測得小區(qū)樓房BC頂端點(diǎn)C處的俯角為

45°.已知操控者A和小區(qū)樓房BC之間的距離為45米，小區(qū)樓房BC的高度為15、行米.

（1）求此時無人機(jī)的高度；

（2）在（1）條件下，若無人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度

繼續(xù)向前勻速飛行.問：經(jīng)過多少秒時，無人機(jī)剛好離開了操控者的視線？（假定點(diǎn)A,

B,C,。都在同一平面內(nèi).參考數(shù)據(jù)：tan75°=2+遍，tanl5°=2-計算結(jié)果保

留根號）

D飛行方向

…牙夕〈李：一…-

1、

AB

13.（2021?廣元）如圖1,在△A5C中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)。是AB邊上一點(diǎn)（含

端點(diǎn)A、B）,過點(diǎn)8作BE垂直于射線CQ,垂足為E,點(diǎn)F在射線CQ上，且EF=BE,

連接AF、BF.

(1)求證：/\ABF^/\CBE；

(2)如圖2,連接AE,點(diǎn)P、M、N分別為線段AC、AE,EF的中點(diǎn)，連接尸例、MN、

PN.求NPMN的度數(shù)及迎的值；

PM

(3)在(2)的條件下，若BC=J5，直接寫出△「〃義面積的最大值.

14.某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究:

【觀察與猜想】

(1)如圖1,在正方形A8C。中，點(diǎn)E,F分別是AB,A。上的兩點(diǎn)，連接QE,CF,

DELCF,則感的值為；

CF

(2)如圖2,在矩形A8C。中，A￡>=7,CD=4,點(diǎn)E是AO上的一點(diǎn)，連接CE,BD,

且CELBD,則CE的值為；

BD

【類比探究】

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，NA=NB=90°,點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)、,連接。E,過

點(diǎn)C作。E的垂線交EQ的延長線于點(diǎn)G,交A。的延長線于點(diǎn)F,求證：DE'AB=CF-

AD-.

圖3圖4

【拓展延伸】

(4)如圖4,在RtZ\ABO中，NBAD=90°,AD=9,tanZADB^l,將△AB。沿B。

3

翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處得△C2O,點(diǎn)E,尸分別在邊A8,A。上，連接￡>E,CF,DEL

CF.

①求些的值；

CF

②連接8凡若AE=1,直接寫出8斤的長度.

2021年四川中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的變化

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

1.（2021?宜賓）下列圖形是軸對稱圖形的是（）

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，據(jù)此進(jìn)行分析即可.

【解答】解：A.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

B.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

C.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意：

D.是軸對稱圖形，故本選項符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了軸對稱圖形，正確掌握軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵.

2.（2021?雅安）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-3,-1）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.（-3,I）B.（3,1）C.（3,-1）D.（-1,-3）

【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo).

【專題】平面直角坐標(biāo)系；推理能力.

【分析】根據(jù)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變可得答案.

【解答】解：點(diǎn)4（-3,-1）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)4的坐標(biāo)是（3,-1）,

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn).

3.（2021?達(dá)州）如圖，兒何體是由圓柱和長方體組成的，它的主視圖是（)

【考點(diǎn)】簡單組合體的三視圖.

【專題】投影與視圖；幾何直觀.

【分析】根據(jù)主視圖是從正面看得到的視圖，可得答案.

【解答】解：從正面看下面是一個比較長的矩形，上面是一個比較窄的矩形.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了簡單組合體的三視圖，關(guān)鍵是熟知從正面看得到的圖形是主視圖，

注意圓柱的主視圖是矩形.

4.（2021?廣安）如圖，將△ABC繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)55°得至若NE=70°且AO

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NB4O=55°,NE=/ACB=70°,由直角三角形的性質(zhì)可

得/￡）AC=20°,即可求解.

【解答】解：?.?將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)55°得△4DE,

；.NBAD=55°,ZE=ZACB=10°,

\'AD±BC,

ND4c=20°,

AZBAC=ZBAD+ZDAC=15°.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

5.（2021?宜賓）如圖，在矩形紙片A8C。中，點(diǎn)E、尸分別在矩形的邊AB、AO上，將矩

形紙片沿CE、CF折疊，點(diǎn)8落在H處，點(diǎn)。落在G處，點(diǎn)C、H、G恰好在同一直線

上，若A8=6,A￡）=4,BE=2,則。F的長是（）

D.3

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）.

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；解直角三角形及其應(yīng)用；

推理能力.

【分析】由折疊的性質(zhì)可得8C=C7/=4,NDCF=NGCF,BE=EH=2,/B=NCHE

=90°,由“A4S"可證可得NP=PH,CH=CN=4,通過證明四邊形

BCNM是正方形,可得A/N=BM=4,在中，利用勾股定理可求NP的長，由

銳角三角函數(shù)可求解.

【解答】解：如圖，延長E”交CF于點(diǎn)尸，過點(diǎn)P作MNLCQ于N,

；將矩形紙片沿CE、C尸折疊，點(diǎn)B落在“處，點(diǎn)力落在G處，

:.BC=CH=4,4DCF=/GCF,BE=EH=2,NB=NCHE=90°,

在△CPH和△(?P代中，

"ZCHP=ZCNP=90°

、ZGCF=ZDCF，

CP=CP

:.叢CPHWACPN(AAS),

：.NP=PH,CH=CN=4,

VZB=ZBCD=90°,MNLCD,

四邊形BCNM是矩形，

又；CN=CB=4,

四邊形BCNM是正方形，

:.MN=BM=4,

：.EM=2,

,：EP1=EM2+PM2,

：.（2+NP）2=4+（4-NP）2,

3

?.,tan/QCF=l^^L

CNCD

￡

.TDF

??---~----,

46

：.DF=2,

故選:A.

【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和

性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?眉山）我國某型號運(yùn)載火箭的整流罩的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)（單位：

米）計算該整流罩的側(cè)面積（單位：平方米）是（）

A.7.2nB.11.5如C.12nD.13.44n

【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體.

【專題】投影與視圖；空間觀念.

【分析】根據(jù)幾何體的三視圖得這個幾何體是上面圓錐下面是圓柱，再根據(jù)圓錐的側(cè)面

是扇形和圓柱的側(cè)面是長方形即可求解.

【解答】解：觀察圖形可知：

圓錐母線長為：J（等）2+1.飛=2（米），

所以該整流罩的側(cè)面積為：nX2.4X4+nX（2.44-2）X2=12n（平方米）.

答：該整流罩的側(cè)面積是12n平方米.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了由三視圖判斷幾何體，幾何體的表面積，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)幾

何體的三視圖得幾何體，再根據(jù)幾何體求其側(cè)面積.

7.（2021?廣元）如圖，在△ABC中，NACB=90°,AC=BC=4,點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，

點(diǎn)尸是AC邊上一個動點(diǎn)，連接P￡>,以PC為邊在PQ的下方作等邊三角形尸QQ,連接

CQ.則CQ的最小值是（）

A.2/3.B.1C.V2D.3

22

【考點(diǎn)】垂線段最短；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等腰直角三角形；

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【分析】如圖在的下方作等邊△C￡>T,作射線TQ.證明△CDP絲△77）。（SAS）,推

出NDCP=NDT2=90°,推出NCT0=3O°,推出點(diǎn)。在射線7。上運(yùn)動，當(dāng)CQJ_T。

時，C。的值最小.解法二：在CQ的上方，作等邊△CDW,連接PM,過點(diǎn)M作

C8于H.利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可.

【解答】解：如圖在C￡>的下方作等邊△CO7,作射線TQ.

'：ZCDT=ZQDP=60°,DP=DQ,DC=DT,

：.ZCDP=ZQDT,

在△C￡?P和△7DQ中，

rDP=DQ

<ZCDP=ZTDQ>

DC=DT

：./\CDP^/\TDQ(SAS),

:.NDCP=/DTQ=90°,

；.NCTD=60°,

：.ZCTQ=30°,

.?.點(diǎn)。在射線7。上運(yùn)動(點(diǎn)T是定點(diǎn)，NCTQ是定值)，

當(dāng)CQLTQ時，CQ的值最小，最小值=CT?sin30°=1CT=1CD=1BC=1,

224

解法二：如圖，CO的上方，作等邊△CCM,連接PM,過點(diǎn)例作于”.

0

V/\DPQ,△DCM都是等邊三角形，

：.ZCDM=-ZPDQ=60Q,

,:DP=DQ,DM=DC,

：./\DPM^/\DQC(SAS),

：.PM=CQ,

PM的值最小時，C。的值最小，

當(dāng)PM1MH時，PM的值最小最小值=C”=JLCD=1,

；.CQ的最小值為I.

故選：B.

B

【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂線段最短，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和

性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考

?？碱}型.

二.填空題（共3小題）

8.（2021?廣安）如圖，將三角形紙片ABC折疊，使點(diǎn)B、C都與點(diǎn)A重合，折痕分別為

DE、FG.已知NACB=15°,AE=EF,DE=M，則8c的長為_4+2\^.

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）.

【專題】推理填空題；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【分析】由折疊的性質(zhì)得出AF=FC,/砌C=NC=15°,得出NAFE=30°,

由等腰三角形的性質(zhì)得出/EAF=NAFE=30°,證出△4BE是等邊三角形，得出/BAE

=60°,求出AE=BE=2,證出NBA尸=90°,利用勾股定理求出4凡即CF,可得8c.

【解答】解：：把三角形紙片折疊，使點(diǎn)8、點(diǎn)C都與點(diǎn)A重合，折痕分別為。E,FG,

：.BE=AE,AF=FC,/陽C=/C=15°,

ZAFE=30°,又AE=EF,

：.ZEAF=ZAFE=30c',

AZA￡B=60°,

...△45E是等邊三角形，NAED=NBED=30°,

.\ZBAE=60°,

VD￡=V3>

：.AE=BE=AB=—型—=2,

cos30

:.BF=BE+EF=4,NBAF=60°+30°=90°,

FC=AF=QBF?-AB2=W^

：.BC=BF+FC=4+2?,

故答案為：4+2丘.

【點(diǎn)評】此題考查了翻折變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、

直角三角形的性質(zhì)；根據(jù)折疊的性質(zhì)得出相等的邊和角是解題關(guān)鍵.

9.（2021?資陽）將一張圓形紙片（圓心為點(diǎn)O）沿直徑對折后，按圖1分成六等份折

疊得到圖2,將圖2沿虛線AB剪開，再將△408展開得到如圖3的一個六角星.若N

CDE=75°,則/084的度數(shù)為135°.

圖1圖2圖3

【考點(diǎn)】剪紙問題.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】根據(jù)翻折可以知道且NCDE=75°,CD=CE,求出NAOB

2

和/OAB的度數(shù)即可求NOBA的度數(shù).

【解答】解：由題知，/AOB=Lx180°=30°,

6

由翻折知CD=CE,

2

,：ZCDE=J5°,

：.ZDCE=\80°-75°-75°=30°,

；.NOAB=/OCE=_^X30。=15。，

.?./。&4=180°-AAOB-ZOAB=]SQ°-30°-15°=135°,

故答案為：135°.

【點(diǎn)評】本題主要考查剪紙問題，熟練掌握剪紙中的翻折是解題的關(guān)鍵.

10.（2021?資陽）如圖，在菱形ABCD中，ZBAD=120°,DE1.BC交BC的延長線于點(diǎn)E.連

結(jié)AE交8。于點(diǎn)F,交CQ于點(diǎn)G.FHLCD于點(diǎn)H,連結(jié)CF.有下列結(jié)論：①AF=

CF；②AF2=EF?FG；③FG：EG=4：5；④cos/G"/=±叵.其中所有正確結(jié)論的

14

序號為@@③④.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；相似三角

形的判定與性質(zhì)；解直角三角形.

【專題】推理填空題；矩形菱形正方形：推理能力；應(yīng)用意識.

【分析】由菱形ABC。的對稱性可判斷①正確，利用△CFGS^EFC,可得CF2=EF，GF,

從而判斷②正確，設(shè)AO=CD=8c=n?,Rt^CQE中，CE=CZ>cos60°=LcD=Ln,BE

22

='”,可得迎=坦=畀=2,設(shè)AF=2〃，則3=4尸=2〃,"=3〃,可得尸6=魚7,￡6=

2EFBE3_33

2m

EF-FG=$〃,從而FG:EG=（&）:（$“）=4:5,可判斷③正確，設(shè)CE=f,RtZsC￡）E中，CD

333

=2，=A￡>,￡>E=?f,RtZ\B￡>E中，8￡>=2QE=2?f,可求出DF==-^Zlf,RtADF//

55

中，F(xiàn)H=1DF=^R^ADE中，AE={AD2+DE2=J（2t）2+（右t）2=有「，即

__2MI

可得EF=3AE=^[it,FG=&EF=^[it,R3HG中，cos/GFH=IK=，"=

55915FGW7+

_W

3返1,即可判斷④正確，

14

【解答】解：???菱形ABC。，

對角線BQ所在直線是菱形ABC。的對稱軸，沿直線8。對折，A與C重合,

...AF=C匕故①正確,

ZFAD=ZFCD,

'：AD//BC,

：.ZFAD=ZFEC,

：.NFCD=ZFEC,

又NCFG=NEFC,

:./XCFGSXEFC、

.CF=GF

"EFCF'

:.CI^=EF*GF,

...4F2=EF?GF,故②正確，

:菱形48C。中，/54。=120°,

；.NBCD=120°,ZDC￡=60°,NCBD=NCDB=30°,AD=CD=BC,

設(shè)A￡)=CO=BC=機(jī)，

,：DELBC,

：.ZDEC=90°,

為△CDE中，CE=CO,cos60°

22

BE=—m,

2

?:AD"BE,

.AF=AD=m=2

"WBE31T.目

2m

設(shè)AF=2〃，則CF=AF=2”,EF=3〃，

又CF1=FG'EF,

：.(2n)2=FG>3n,

：.FG=hi,

3

；.EG=EF-FG=>〃,

3

...尸G:EG=(&):(且?)=4:5,故③正確，

33

設(shè)CE=t,

□△COE中，CD=2t=AD,DE=6,

R"QE中，BD=2D￡=2A/3T,

'：AD//BE,

?DF=AF=AD=_2

"BFEFBE3"

：.DF=^BD=^&t,

55_

為△Of?/中，F(xiàn)H=、DF=^^t,

25

RtAAZJE中'^￡=^/AD2+DE2=7（2t）2+（V3t）2=a^Z,

：.EF=^E=—^-t,

55

VFG:￡G=4:5,

:.FG=2EF=^Hi,

915_

273l_

RtZ\FHG中，cosNGFH=m=~7與^=入歷［故④正確,

FGW714

15

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)評】本題考查菱形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及菱形的軸對稱性、三角形相似的判定及性質(zhì)、

勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形性質(zhì)，從圖中找出常用的相似三角形模型

解決問題.

三.解答題（共4小題）

11.（2021?達(dá)州）2021年，達(dá)州河邊新建成了一座美麗的大橋.某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組組織

了一次測橋墩高度的活動，如圖，橋墩剛好在坡角為30°的河床斜坡邊，斜坡8c長為

48米，在點(diǎn)D處測得橋墩最高點(diǎn)A的仰角為35°,CD平行于水平線BM,CD長為16a

米，求橋墩AB的高（結(jié)果保留1位小數(shù)）.（sin35°20.57,cos35°-0.82,tan35°?

0.70,A/3^1.73）

BM

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題；解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【分析】過點(diǎn)C作CEJ_8M于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。于點(diǎn)F,延長。C交AB于點(diǎn)G,

根據(jù)正弦、余弦的定義求出CE、BE,可得OG的值，根據(jù)正切的定義求出AG,結(jié)合圖

形計算，得到答案.

【解答】解：過點(diǎn)C作CELBM于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。于點(diǎn)F,延長。C交A8于

點(diǎn)G,

在RtZiCEB中，ZCBE=30°,BC=48米，

.*.CE=BUsin30°=Ax48=24（米），BE=BC?cos30°=48X返々24X1.73=4152

22

（米），

DG=BF=BE+EF=BE+CD=41.52+16??=41.52+27.68=69.2（米），

在Rt^AOG中，AG=OG?tan/4OG=69.2Xtan35°心69.2X0.70=48.44（米），

.".AB=AG+BG=AG+CE=48.44+24=72.44^72.4（:米），

答：橋墩A8的高約為72.4米.

【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題、仰角俯角問題，掌握仰角

俯角的定義、坡度坡角的定義、銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

12.（2021?廣元）如圖，某無人機(jī)愛好者在一小區(qū)外放飛無人機(jī)，當(dāng)無人機(jī)飛行到一定高度

。點(diǎn)處時，無人機(jī)測得操控者A的俯角為75°,測得小區(qū)樓房BC頂端點(diǎn)C處的俯角為

45°.已知操控者A和小區(qū)樓房BC之間的距離為45米，小區(qū)樓房BC的高度為15近米.

（1）求此時無人機(jī)的高度；

（2）在（1）條件下，若無人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度

繼續(xù)向前勻速飛行.問：經(jīng)過多少秒時，無人機(jī)剛好離開了操控者的視線？（假定點(diǎn)A,

B,C,。都在同一平面內(nèi).參考數(shù)據(jù)：tan75°=2+73-tan15°=2-計算結(jié)果保

留根號）

D飛行方向

AB

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】(1)過點(diǎn)D作DE^AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF±DE于點(diǎn)F,由題意得AB=45

米，/D4E=75°,NDCF=45°,再由銳角三角函數(shù)定義表示出AE的長，然后表示求

出CF=BE的長，進(jìn)而得到AE+BE=^^=+OE-15?=45,即可求得。E.

(2)求得AH,即可求得QG=EH,進(jìn)而即可求得無人機(jī)剛好離開操控者的視線所用的

時間.

【解答】解：(1)過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作C/LDE于點(diǎn)尸，如圖所示：

則四邊形BCFE是矩形，

由題意得：AB=45米，/D4E=75°,ZDCF=45°,

在Rt^AOE中，ZAED=90°,

tanZDAE=.55.,

AE

：.AE=―-=咋,

tan75°2-h/3

：四邊形BCFE是矩形，

.?.EF=BC=15?米，F(xiàn)C=BE,

在RtZ\QCF中，ZDFC=90°,

.,.ZCDF=ZDCF=45°,

：.CF=DF=DE-15V3-

：.AB=AE+BE=^+DE-15?=45,

2W3

.\DE=15(2+V3)(米)，

答：此時無人機(jī)的高度為15（2+V3）米-

（2）;DE=15（2+5/3）米，

，AE=-==15（2+盧）=15（米），

2-h/32m

過。點(diǎn)作。G〃AB,交AC的延長線于G,作G”_LAB于H,

在RtZXABC中，NABC=90°,AB=45米，BC=15?米，

..11/8/=因=.15曠3=返,

AB453

在Rt^AGH中，GH=DE=\5（2+相）米，

AH=——?——_15（2+A/3）_（30?+45）米，

tanZGAHV3

3

：.DG=EH=AH-AE=（30我+45）-15=（30?+30）米,

（3OV3+3O）+5=（673+6）（秒），

答：經(jīng)過（6后6）秒時，無人機(jī)剛好離開了操控者的視線.

D飛行方向G

3、

AEBH

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的仰角俯角問題、矩形的判定與性質(zhì)等知識;

掌握仰角俯角定義是解題的關(guān)鍵.

13.（2021?廣元）如圖1,在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)。是AB邊上一點(diǎn)（含

端點(diǎn)A、B）,過點(diǎn)8作BE垂直于射線CZ）,垂足為E,點(diǎn)尸在射線C。上，且EF=BE,

連接AF、BF.

(1)求證：XABFsXCBE；

(2)如圖2,連接AE,點(diǎn)P、M、N分別為線段AC、AE,EF的中點(diǎn)，連接PM、MN、

PN.求NPMN的度數(shù)及弱的值；

PM

(3)在(2)的條件下，若BC=血,直接寫出△「〃義面積的最大值.

【考點(diǎn)】相似形綜合題.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

【分析】(1)根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似證明即可.

(2)如圖2中，延長尸M交A尸于T.證明四邊形MNFT是平行四邊形，推出NTMN=

N4FC=45°,推出/PMN=135°,再證明4尸=A/，EC,利用三角形的中位線定理可得

結(jié)論.

(3)因為MN=&PM,NPMN=135°,PM=LEC,所以當(dāng)EC的值最大時，PM的

值最大，此時△P〃代的面積最大,

【解答】(1)證明：如圖1中，

圖1

：CA=CB,NACB=90°,EF=EB,ZBEF=90°,

:.NCSA=NEB尸=45°,A8=V^BC,BF=^BE,

:.NCBE=NABF,妲=此=?,

BCBE

△ABFs^CBE.

(2)解：如圖2中，延長PM交4尸于7.

CB

圖2

'：BELCF,

：.ZCEB=90°,

'：△ABFs^CBE,

:.NCEB=NAFB=90°,"=姻_=&,

ECBC

:.AF=?EC,

；NEFB=45°,

AZAFC=45°,

'：AP=PC,AM=ME,

J.PT//CF,PM=LEC,

2

'：AM=ME,EN=NF,

：.MN//AF,MN=1AF,

2

四邊形MNF7是平行四邊形，MN=^PM,

:.NTMN=NAFC=45°,

：.ZPMN=135°,

.?兇=&.

PM

(3)解："：MN=y/2PM>NPMN=135°,PM=LEC,

2

...當(dāng)EC的值最大時，PM的值最大，此時△PMN的面積最大,

:當(dāng)點(diǎn)E與8重合時，EC的值最大，EC的最大值為我,

此時2〃=返，MN=?PM=1,

2

:./XPMN的面積的最大值為JLX返X1、返=」.

2224

【點(diǎn)評】本題屬于相似形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)

鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

14.某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：

【觀察與猜想】

(1)如圖1,在正方形A8C。中，點(diǎn)E,F分別是AB,上的兩點(diǎn)，連接。E,CF,

DELCF,則感的值為1；

CF

(2)如圖2,在矩形A8CZ)中，A￡>=7,CZ)=4,點(diǎn)E是上的一點(diǎn)，連接CE,BD,

且CE_LB￡),則％的值為A；

BD~7~

【類比探究】

(3)如圖3,在四邊形A8C。中，NA=NB=90°,點(diǎn)E為A8上一點(diǎn)，連接。E,過

點(diǎn)C作。E的垂線交EQ的延長線于點(diǎn)G,交的延長線于點(diǎn)F,求證：DE?AB=CF?

AD；

圖3圖4

【拓展延伸】

(4)如圖4,在RtZ\ABO中，NBAD=90°,AD=9,tanZADB^l,將△AB。沿8。

3

翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處得△C2O,點(diǎn)E,尸分別在邊A8,A。上，連接￡>E,CF,DEL

CF.

①求理的值；

CF

②連接8凡若AE=1,直接寫出8尸的長度.

【考點(diǎn)】相似形綜合題.

【專題】幾何綜合題；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圖形的相似；運(yùn)算能力：推理能力.

【分析】(1)如圖1,設(shè)。后與<7F交于點(diǎn)G,由正方形的性質(zhì)得出/A=NFQC=90°,

AD=CD,可證明△?1￡：￡)絲△OFC(A4S),由全等三角形的性質(zhì)得出OE=CF,則可得出

結(jié)論；

(2)如圖2,設(shè)。8與CE交于點(diǎn)G,根據(jù)矩形性質(zhì)得出/A=NEDC=90°,由直角三

角形的性質(zhì)證出/ECQ=/AQB,由相似三角形的判定定理證出△OECs△A3。即可；

(3)如圖3,過點(diǎn)C作CH_LAF交4尸的延長線于點(diǎn)H,證明△OEAsacfH,由相似

三角形的性質(zhì)得出些則可得出結(jié)論；

CFCH

(4)①過點(diǎn)C作CG±AD于點(diǎn)G,連接AC交BD于點(diǎn)H,CG與DE相交于點(diǎn)O,證

明△DEAs^cFG,得出比例線段膽證出圖1」，設(shè)AH=a,則。H=3a,由勾

CFCGDH3

股定理得出a2+(3a)2=92,解方程可求出AH,DH的長，由三角形ACD的面積求出

CG的長，則可求出答案；

②由勾股定理求出AG=a,證明△OEAsabG,由相似三角形的性質(zhì)得出理要，

5CFFG

求出尸G=3,在RtZ\AB尸中，由勾股定理可求出8尸的長.

5

AZA=ZFDC=90°,AD=CD,

VDE1CF,

AZDGF=90°,

ZADE+ZCFD=90°,ZADE+ZAED=90Q,

:?/CFD=/AED,

在△AEQ和△。5C中，

<ZA=ZFDC

,NCFD二NAED，

AD=CD

AAED^ADFC(A4S),

：?DE=CF,

.-.DE=1；

CF

圖2

?.?四邊形ABC。是矩形,

.?.NA=/EDC=90°,

；CE_LB。，

AZDGC=90°,

：.ZCDG+ZECD=90°,ZADB+ZCDG=90°,

:?/ECD=NADB,

VZCDE=NA,

:?△DECS/\ABD,

.CEDC4

??—=—=—，

BDAD7

故答案為：1.

7

(3)證明：如圖3,過點(diǎn)C作尸交A尸的延長線于點(diǎn)，,

圖3

■:CGLEG,

.*.NG=N〃=NA=NB=90°,

.?.四邊形A8C”為矩形，

：.AB=CH,ZFCH+ZCFH^ZDFG+ZFDG=90°,

：.ZFCH=ZFDG=AADE,NA=NH=90°,

：.^DEA^/\CFH,

???DE一=A一D

CFCH

???一一D.Ei=5A…D,

CFAB

：.DE9AB=CF*AD；

(4)①如圖4,過點(diǎn)C作CG_LA。于點(diǎn)G,連接AC交8。于點(diǎn)“，CG與。石相交于點(diǎn)

O,

圖4

'：CFLDE,GCLAD,

，ZFCG+ZCFG=ZCFG+ZADE^90°,

ZFCG=ZADE,NBAD=NCGF=90°,

：./\DEA^^CFG,

?DEAD

"CF"CG)

在中，tan/A￡>8=工，AO=9,

3

在中，tanNAOH=L,

3

??AH=—1?

DH3

設(shè)AH=〃，則?！?3a,

,：AH2+DH2=AD2,

(3a)2=92,

???。=卷萬(負(fù)值舍去)，

OH='|^VI5，

?SAADC=1AC.DH=Xw-CG,

卷xf^x豹iHx9CG，

.CG=M

5

DE=AD=9=5

宣友'亙下

?'：AC=,CG=^~,ZAGC=90°,

5

-，MG=VAC2-CG2=^(|V10)2-(-y-)2=l'

由①得△OEAs/XCFG,

.DEAE

'*CF=FG"

又...還①AE=],

CF3

:.FG=3,

5

：.AF=AG-~=2盤=旦,

555

,e-SF=VAB2+AF2=-JS2+(-|)2=-|V29-

【點(diǎn)評】此題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳

角三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，三角形的面積，解

本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì).

考點(diǎn)卡片

1.垂線段最短

(1)垂線段：從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段.

(2)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短.

正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短.它是相

對于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言.

(3)實(shí)際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線

段最短”這兩個中去選擇.

2.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔

助線構(gòu)造三角形.

3.等邊三角形的性質(zhì)

(1)等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等

腰三角形.

①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系:等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形中，

腰和底、頂角和底角是相對而言的.

(2)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊

的垂直平分線是對稱軸.

4.等邊三角形的判定與性質(zhì)

(1)等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ),

它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形,

同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.

(2)等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成

含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形

等.

（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ?/p>

般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角

形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定.

5.等腰直角三角形

（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和

直角三角形的所有性質(zhì).即：兩個銳角都是45°,斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，

三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R,而高又為內(nèi)切圓的直徑（因為等

腰直角三角形的兩個小角均為45°,高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三

角形，則兩腰相等）；

（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=l,則外接圓的半徑R=J5+1,所以r：R=l：

V2+1.

6.菱形的性質(zhì)

（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

（2）菱形的性質(zhì)

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；

④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.

（3）菱形的面積計算

①利用平行四邊形的面積公式.

②菱形面積=工也（。、人是兩條對角線的長度）

2

7.矩形的性質(zhì)

（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

（2）矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對角線：矩形的對角線相等；

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點(diǎn)連線所在

的直線；對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn).

（