兩角和與差的正弦、余弦和正切公式-高中數(shù)學人教A 版 （2019）必修第一冊同步提高練習

5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式-高中數(shù)學人教A版（2019）必修第一

冊同步提高練習

冗

1.已知tana=2,則tan（a-一）等于（）

4

1144

A.-B.—C.--D.-

3355

3

2.己知a為銳角，則2tana+———的最小值為（）

tan2a

A.1B.2C.72D.V3

3.在平面直角坐標系xOy中，已知角。的終邊在直線y=2x上，則cos2a的值為（）

2323

A.---B._-c.一D.

5555

4.已知。為銳角，且百sin2a=2sina，則cos2a等于（)

2214

A.-B.c.——D.--

3939

5.已知sin（a-色）=一1,

aG(0,g),則cosoc=()

33

A2立+也B2夜-6「276+125/6-l

D.

6666

6.已知A3C中，A、8、C的對邊分別為a、b、C.若a=c=#+JE，且A=75°,則b等于（）

A.2B.5/6—c.4-273D.4+2V3

4(7T、

7.已知a為第三象限角，tana=一,貝ijcos——\-a=()

3（4）

A夜B五「7A/2D.一述

10101010

8.已知cos|a+—=_VT5,則sin2a=()

、4)10

42,42

A.-B.一C.i一D.±-

5555

9.已知函數(shù)/'（■1）=65皿（8）85（5）+852的一?。?>0）,若/（%）在一工三上單調(diào)遞增，則口

的取值范圍為（)

A.(0,2]B.(0,1]c.r-D.

10.數(shù)學家華羅庚倡導的“0.618優(yōu)選法”在各領(lǐng)域都應用廣泛,0.618就是黃金分割比相=避二1的近似值,

2

黃金分割比還可以表示成2sin18°，則鬲4-病=(

).

2cos2270-1

A.4B.V5+1C.2D.V5-1

sin8=±,則色的值為(

11.在A3C中，內(nèi)角A3所對的邊分別為。/且A=2以)

5h

3438

A.-B.一C.D.

5545

271

12.已知sin2a=—,則cos?a+一)

34

￡12

A.B.一C.D.

6323

13.tan15。的值是.

14.已知sina=2cosa，則sin2a=

(3K、

15.函數(shù)/(x)=cos2x+3cos亍一了)的最大值為

54

16.已知函數(shù)/(x)=sinx+acosx的圖象的一條對稱軸是X=7，若

g(x)=asinx+cosx=Asin(s;+e)(A>0,69>0,0<，<])表示一個簡諧運動，則其初相是.

17.計算sin21°cos9°+cos21°sin9。的結(jié)果是.

18.函數(shù),/(x)=2sinA-sin2A,在［0,2句的零點個數(shù)為

19.在AA8C中，AB=5,N5AC的平分線交邊5c于。.若NAZ)C=45°.3￡)=JL則

sinC=

-，4(、c?,1+sec2a-tanla

20.已知cot(45。+a)=2,則-----------------

1+secla+tanla

21.在A3C中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為〃，b,c.已知。，b,c成等差數(shù)列，且

3asinC-4csin3=0.

(2)求sin(2A+]).

(1)求cosA的值;

22.補充問題中橫線上的條件，并解答問題.

問題：已知a=,b=,寫出函數(shù)/(x)=2cos2cix+sin歷c的一個周期，并求/(1)在

[--7,7-]上的最大值.

46

3+C/7V\

23.在①(sin5-sinC)~=sin?A-sinBsinC,②bsin---=?sinB,③asinB=/?cos[4—不J這

三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答.

問題：ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，包c,若也a+b=2c，，求A和C.

注：若選擇多個條件作答，按第一個解答計分.

24.在A3C中，三個內(nèi)角A,B,。所對的邊分別是a,b,c,且以0114=(2。一313113.

(1)求A的大?。?/p>

(2)若。=2折，且ABC的面積為126，求h+c的值.

25.在三角形ABC中，角A,B,。分別對應這邊。，b,c.已知sinB=三，且從=〃?.

(1)求」一+」一的值；

tanAtanC

(2)若accos3=12,求a+c的值.

26.如圖帶有坐標系的單位圓。中，設NAOx=a,ZBOx=j3fAAOB=a-。，

(1)利用單位圓、向量知識證明：cos(a-/?)=coscrcos/?+sinasin(3

eI兀45

(2)若a￡一,兀,cos(cr-/7)=--,tana=--,求cos4的值

(2

27.已知頂點在坐標原點，始邊在x軸正半軸上的銳角a的終邊與單位圓交于點A,將角a的

終邊繞著原點0逆時針旋轉(zhuǎn)。［。＜。＜|j得到角P的終邊.

sin2a,一一

(I)求7-------一一的值；

2cosa-sirra

(2)求sin求cos。的取值范圍.

28.如圖，矩形ABC。的四個頂點分別在矩形AB'C'D'的四條邊上，AB=3,BC=5.如果AB與A6'的

夾角為c,那么當a為何值時，矩形A'8'C'。的周長最大？并求這個最大值.

參考答案

1.A

71

分析：利用兩角差的正切可求tan（a-了）的值.

,冗、tana-l2-11

解答:tan(a----)=-----------

41+tana1+2-3

故選：A.

點評：本題考查兩角差的正切，此類問題，利用公式直接計算即可，本題屬于基礎題.

2.D

3

分析：方法一：根據(jù)。為銳角，可知tana>0,再對2tana+——化簡，可得

tan2a

31(3)

2tana+———tana+------,再利用基本不等式即可求出結(jié)果;

tan2a21tan6z)

方法二：根據(jù)。為銳角，可知sina>0,cosa>0,再利用同角基本關(guān)系和二倍角關(guān)系對2tana+--------

tan2a

31[sinex3cosex.\

化簡，可得2tana+——=-------+———,再利用基本不等式即可求出結(jié)果.

tan2a2(cosasina)

解答：方法一：為銳角，???tana>0,

?33(l-tan2。)j(3、1I~

??2tanerd---------=2tan+--------------=—tanad--------2—x2jtana---------

tan2a2tana21tanaJ2\tana

37C

當且僅當tana=------,即tana=6，a時等號成立.

tana3

方法二：為銳角，Asin(7>0,cosez>0,

.332sina3cos2a4sin2?+3cos2asin2a+3cos2a

??2tana+--------=---------+----------=----------------------=--------------------

tan2acosasin2a2sinacosa2sinacosa

1(sina3cosasina3cosa

+--------6,

21cosasinacosasina

sina3cosa71

當且僅當r-----=——即a=］時，等號成立.

cosasina

點評：本題主要考查了三角函數(shù)同角的基本關(guān)系和二倍角公式應用，以及基本不等式在求最值中的應用.

3.B

分析：由任意角的三角函數(shù)的定義求出tana,再利用二倍角公式和齊次式化簡cos2a,代入tana的值化

簡即可.

解答：在角。的終邊直線y=21上任取一點R>,2M（mwO）4iJtana=--=2,

八2.cos2a-sin2a1-tan2a1-43

cos2a=cosa-sm2a=----z--------z—=-------z-=------=——，

cosa+sin-al-tan~a1+45

故選:B.

點評：本題考查任意角三角函數(shù)的定義，二倍角公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,屬于基礎題.

4.C

分析：由6$11120=25由2可得以）5二=~^~，再利用cos2a=285?a-1計算即可.

解答：因為2gsinacosa=2sina，sinawO,所以cosa==~，

所以cos2a=2cos2a-1=——1=——.

故選：C.

點評：本題考查二倍角公式的應用，考查學生對三角函數(shù)式化簡求值公式的靈活運用的能力，屬于基礎題.

5.A

兀4_兀冗

分析：由ae（0,2）,求出仁一§的范圍和cos（a-g）的值，利用cosa=8S[3-1+§]化簡計算可

得答案.

解答：由a￡（0,9,可得a￡（一作，?），則cos（a一生）=?近，

，33。33

71TC

所以cosa=cosf（6Z）+—]

33

.冗、7i.兀、.7i2A/21L>/320+百

=cos（a----）cossm（z6Z----）sm—=-----x——z（——）x——=-------------

333332326

故選：A

點評：本題考查兩角和與差的余弦公式的應用，考查學生計算能力，屬于基礎題.

6.A

分析：由正弦的和角公式可求得sinA=@±^,B=180-A-C,利用正弦定理即可求得結(jié)果.

4

解答：sinA=sin75。=sin（30。+45。）=逆土^,

由。=c知，C=75°,B=30°,sinB=—,

2

a5/64-5/2

4

由正弦定理sinBsinA卡+倉Z?=4sinB=2.

故選:A.

點評：本題考查正弦的和角公式及正弦定理在解三角形中的應用，難度較易.

7.A

分析：先由同角的三角函數(shù)的關(guān)系式求出COS。，Sina,再利用兩角和的余弦公式可求cosff+a1的值.

解答：由已知得cosa=—,sina=—，所以cos—?\-a=——(cosa-sina)=——，

55(4J21710

故選：A.

點評：本題考查同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及兩角和的余弦，前者注意角的范圍對函數(shù)值符號的影響,

本題屬于基礎題.

8.A

分析：由cos［a+可求得cos(2a+￥］的值，由于cos(2a+工］=-sin2a即可解得所求.

I4J10I2)I2)

解答：cos[a+工]=----,cos4--j=2cos**ct1=—，即一sin2a=—，所以

sin2a=—

5

故選:A.

點評：本題考查了二倍角的余弦公式,三角函數(shù)的誘導公式，考查了學生的計算能力，難度較易.

9.D

JT-rr

分析：利用二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)/(X),根據(jù)/(X)在一二,二上單調(diào)遞增，建立不等關(guān)系,

|_64

解出。的取值范圍.

(D717171

I-/、------1---2-----,

解答：因為f(x)=Y3sin2s+匕再呸竺一！=sin(2<yx+義］,由題意得1362解得

CD7T71兀

------1---<—

262

故選：D

點評：本題考查正弦函數(shù)單調(diào)性的應用，考查三角恒等變換，屬于中檔題.

10.C

分析：把加=2sinl8。代入“曲一而中,然后結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與倍角公式化簡求值.

2cos2270-1

解答：解：由題可知2sinl8°=/%='^^->

2

所以病=4sinl8°.

則鬲4-病_2sinl8°，4—4sin?18°

'2cos227°-1-2cos2270-1

_2sinl80?2cosl80

cos54°

_2sin36。

cos54°

=2.

故選：C.

點評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換與化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與倍角公式的應用，是基

礎題.

11.D

分析：由正弦定理和正弦的二倍角公式化f=2cos8,再由角的范圍可得選項.

b

.一_sinAsin2B八八

解答：在AABC中，由正弦定理丁=二一二———=2cosB,

bsinBsinB

jr

且A+5e（0,萬），即0<33〈乃，所以0<8<一,

.3八4a8

又sinBn=-,cosB=-,「.一=一,

55h5

故選：D

點評：本題考查正弦定理和二倍角公式，注意選擇合適的公式進行邊角互化，以及角的范圍，屬于中檔題.

12.A

分析：利用二倍角公式和誘導公式，可得codJ+叫一1+c°s（2a+］）Jsin2a,即得解.

I4）22

a+）sin2tz

解答：已知［sin2a=三，則cos"""1-+c°s2_>-__3_1

3I4J2226

故選：A

點評：本題考查了二倍角公式和誘導公式的綜合應用，考查了學生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于基

礎題.

13.2-V3

分析：因為tan15°=tan(60°-45°),利用兩角差的正切公式即可求出結(jié)果.

tan60°-tan45°6-1

解答:tan15°=tan（60°-45°）=2-1^3.

1+tan60°-tan4501+百

故答案為：2-6.

點評：本題考查了兩角差的正切公式的應用，屬于基礎題.

4

14.-

5

、4

分析：根據(jù)sina=2cosa,可得到siZaug,從而得到sin2a的值.

解答:因為sino=2cosa,sin?a+cos2a=1,

4

所以sin2a=-,

1.4

所以sin2a=2sinacosa=2sina-sina=sin~2a--.

25

4

故答案為：—.

點評：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，二倍角正弦公式，屬于簡單題.

17

15.—

8

分析：根據(jù)誘導公式和二倍角公式化簡為關(guān)于sinx的二次函數(shù)求最值.

一(3V17

解答：/(X)=l-2sin2x-3sinx=-2sinx+jj+—?

317

.?.當sinx=一二時，/(x)取得最大值工.

4o

17

故答案為：--

8

點評：本題考查三角恒等變形，二次函數(shù)求最值，屬于基礎題型.

1,6.—2萬

3

分析：由對稱性先求出。，再利用輔助角公式即可得到答案.

解答：由題意，/(0)=/(學)，所以a=—走+ax(—3,解得“=-@，

3223

所以g(x)=-ginx+cos.迪(，inx+且。sx)=空sin(x+嗎,

332233

所以初相為2手萬.

27r

故答案為：

點評：本題考查求三角型函數(shù)的初相，涉及到三角型函數(shù)的對稱性、輔助角公式等，是一道容易題.

1

17.-

2

分析：由兩角和的正弦公式化簡即可.

解答：sin210cos90+cos210sin9°=sin(21°+9°)=sin30°=1

故答案為：g

點評：本題考查兩角和與差的正弦公式的應用，是比較基礎的計算題.

18.3

分析：函數(shù)段)=2sinx-sinZr在［0,2句的零點個數(shù)等價于2sinx-sin2x=0在［0,2句的方程根個數(shù)，解

出方程可得答案.

解答：函I數(shù)段)=2sinx-sin2r在［0,2句的零點個數(shù)等價于2亙門-而2%=0在［0,2句的方程根個數(shù)，即

2sinx-2sinxcosx=2sinx(l-cosx)=0

解得sin%=0或cosx=1,x=0,zr,2zr,即函數(shù)y(x)=2sinx-sin2x在［0,2%］的零點個數(shù)為3個,

故答案為：3

點評：本題考查函數(shù)的零點問題，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題.

19.亞

5

分析：由已知結(jié)合正弦定理可求sinNBA。，結(jié)合A3為NBAC的平分線可得NA4D=NCAD,再由

sinC=sin(ND4c+45),結(jié)合和角正弦公式即可求解.

解答：A4B。中，由正弦定理可得，一好一=――，所以sinNBA。=①

sinABADsin13510

AD為NBAC的平分線即sinNBAD=sinZCAD=—

10

??.sinC=sin("AC+N45)=翳號嚕吟昔

故答案為：2叵.

點評：本題考查角的正弦值的計算，涉及正弦定理以及兩角和的正弦公式的應用，考查計算能力，屬于中

等題.

20.2

分析：由cote=」~；；,可得tan（45°+a）=1,利用兩角和的正切公式，1+tanQ，=1,轉(zhuǎn)化

tan。'721-tana2

1+sec2a-tan2acos2a+1-sin2a2cos2a-2sin（zcosa1-tanam⑼

-------------=---------------=-----------------=------，即13得rl解

1+sec2a+tan2acos2a+1+2sin2a2cos?a+2sinacosa1+tana

解答：由題意，cot（45°+6z）=2,故tan（450+a）=；

1+tana1

可得：；-------=~

1-tana2

1+1sin2a

cos2acos2a_cos2a+1-sin2a_2cos2a—2sinacosa

1sin2acos2<z+l+2sin2a2cos2a+2sinacos。

1H----------------1--------------

coslacos2a

1-tana_

-----------=2

1+tana

故答案為：2

點評：本題考查了兩角和的正切公式，二倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系的綜合應用，考查了學生綜合分析,

轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算能力，屬于中檔題

21.（1）」⑵.Mb

416

42

分析：（1）由3。411。一4。4118=0及正弦定理可得3。=4人，又a+c=2b,可得。=一匕，c=-b,

33

再利用余弦定理即可；

（2）由（1）可得sinA,進一步得到sin2A,cos2A,再利用兩角和的正弦公式展開即可.

hc

解答：（1）在A8C中，由正弦定理-----=-----，得bsinC=csin3.

sin5sinC

又由3asinC-4csin8=0,得3asinC=4Z>sinC.

又因為sinCwO,所以3a=4/?.

又由a,b,c成等差數(shù)列，得a+c=2b,

42

所以a=—b,c=—b.

33

4

222

+169b

9--1

---

由余弦定理可得，cosA24-

V15

（2）在ABC中，由（1）可得sinA=Jl-cos2A

從而sin2A=2sinAcosA=

8

cos2A=cos2A-sin?A=——.

8

故sin|2A+—=sin2Acos—+cos2Asin—

I3）33

V1517V3而+7百

X-------X=

8-282------------16

點評：本題考查正余弦定理以及兩角和的正弦公式、倍角公式的應用，考查學生的數(shù)學運算求解能力，是

一道容易題.

22.答案見解析.

分析：提供兩種思路：

補充一：取“=1,b=2,結(jié)合二倍角公式和輔助角公式可得/（幻=夜5也（2》+2）+1,再利用正弦函

4

數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解；

補充二：取〃=1,b=l,結(jié)合二倍角公式和配方法可得/（x）=—2sin2x+sinx+2,再證明

/（》+24）=/（炒得周期，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得最大值.

解答：補充一:

取a=l,b=2,則/（x）=2cos?x+sin2x=cos2x+sin2x+l=V^sin（2x+巳）+1,

4

27r

「?/（X）的一個周期為5-=萬，

c71_71741

XG[----,-J,2x4G[-----,],

464412

???當2x+?=',即x=(時，/(x)取得最大值，最大值為0+1.

補充二：

取。=1,/?=1,則/'(%)=28$21+5111工，

/(x+2^-)=2cos2(x+2^)+sin(x+2^-)=2cos2x+sinx=f(x),

???/a)的一個周期為2萬，

2..o.1217

/(x)=2cosx+sinx=2(1-sin-x)+sinx=-2(sinx——)+—,

48

龍引一￡,芻，，sinxe[—也，』，

4622

117

.?.當sinx=：,/(x)取得最大值，為『

點評：結(jié)論點睛：本題屬于條件不良題型，需補全條件，三角函數(shù)求最值時，一般包含兩種常見題型，一

種是能化簡為y=Asin(a)x+s)類型的函數(shù)，這種求最值，需將?！?9看成一個整體，利用正弦函數(shù)的

圖象求最值，另一種是能化簡為關(guān)于sinx或cosx的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值.

Jr57r

23.條件性選擇見解析，A=上，C=—.

312

分析：若選擇條件①，先由正弦定理和余弦定理求出角A,再利用正弦定理化簡缶+人=2c，把

2萬yd

B=―-C代入，化簡求值即可；若選擇條件②，利用正弦定理和二倍角公式解出sin7的值，進而得出

角A；若選擇條件③，由正弦定理結(jié)合兩角和與差的正弦公式可求出tanA,進而得出角A和。.

解答：(1)選擇條件①，由(sinB-sinC『=sin2A-sinBsinC及正弦定理知，

(b-c)2=a2-be,整理得，b2+c2-a2-he;

**2_2ii

由余弦定理可得，cosA=3^——

2hc2bc2

又因為Ae(O,乃)，所以，A=1.

又由也”+/J=2C得，V2sinA4-sinB=2sinC;

由8二至一。得，亞sin工+sin(紅一C=2sinC；

33v3)

整理得，sinfc--1=-,

I6j2

因為Cejo,@],所以，

I3)6I62j

從而C—g=￡,解得C=^

6412

(2)選擇條件②，因為4+8+。=乃，所以史￡=七一4；

222

由Tsin'+°=asinB得，ftcos—=osin3

22

AAA

由正弦定理知，sinBcos—=sinAsinB=2sin—cos—sinB；

222

AA1

又sin5>0,sin—>0,可得sin—=-；

222

47r7T

又因為4?0,萬)，所以，不故4=一.

263

以下過程同(1)解答.

(3)選擇條件③，由asinB=0cosA一鄉(xiāng)及正弦定理知,

I6J

(兀、

sinAsinB=sinBcosIA---6-J

=旦。、

又sin8>0,從而sinA=cos[A-^sA+nA,

22

解得tanA=;

又因為4?0,乃)，所以，A=|\

以下過程同(1)解答.

點評：方法點睛：本題考查正余弦定理在解三角形中的應用，考查三角恒等變換，解三角形問題中可以應

用正余弦定理的題型有：

1.已知一邊和兩角；

2.已知兩邊和其中一邊的對角；

3.已知兩邊和它們所夾的角；

4.已知三邊.

)

24.(1)一；(2)14.

3

分析：(1)由正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)恒等變換化簡，得到cosA的值，進而求得;

(2)利用三角形的面積公式，得到。c=48,進而結(jié)合余弦定理求解.

解答：解：(.)由正弦定理3=±='得：sinB-SinAj2SinC-Sing)sinB

sinAsinBsmCcosAcos8

在ABC中，0<_8<)，0<C<zr,sinB0,sinC0

:.sinAcosB=(2sinC—sin8)cosA=2sinCcosA—sinBcosA

即sinAcosB+cosAsin8=2sinCcosA

:.sin(A+B)=2sinCcosA,BPsinC=2sinCcosA

17T

又sinCh0,COSA=—,又A=—；

23

(2)S^BC=gbcsinA=曰bc=12若，,bc=48

由余弦定理知：cr-h1+C1-2bccosA，,52=b~+c2-be=(Z?+c)--3bc

(b+c)=3x48+52=196,：.6+c=14.

點評：本題考查正余弦定理，三角形的面積公式，涉及兩角和差的三角函數(shù)公式，屬中檔題.關(guān)鍵要熟練掌

握利用正弦定理進行邊角互化，利用兩角和差的三角函數(shù)公式進行化簡求值.

13

25.(1)y;(2)a+C=3yJ7-

分析：(1)利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，兩角和的正弦公式以及正弦定理化簡，可得一二+―的

tanAtanC

值；

(2)利用余弦定理結(jié)合已知條件求出a+c的值.

g也八、11cosAcosCsin(A+C)sin6sin2B1

解答：(1)------+-------=-------+-------=-------------=--------------=---------------------

tanAtanCsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinAsinCsin8

2

-b-------1--=--1-3

acsinB5

12

(2)Vaccos3=12,/.cosB>0,:.cosB

B

，ac=13,...在ABC中由余弦定理得

a2+c2-2^c-cosB=h2=^>(a+c)2-lac-24=ac=>(6z+c)2=3ac+24=63,

?'?a+c=3s?

點評：本題考查正余弦定理在解三角形中的應用，考查三角恒等變換，屬于中檔題.

26.（1）證明見解析；（2）—.

65

分析：（1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可證明；

（2）根據(jù)角的范圍分別求出正弦和余弦值，利用兩角和的余弦公式計算得出答案.

解答：（1）由題意知：|。4|斗。8|=1，且0A與08的夾角為。一〃，

所以OA-OB=Ix1xcos(a-/7)=cos(a—尸)，

又OA=(cosa.sina