人教A版高中數(shù)學(xué)必修二《第七章 復(fù)數(shù)》單元導(dǎo)學(xué)案

人教版高中數(shù)學(xué)必修二《第七章復(fù)數(shù)》單元導(dǎo)學(xué)案

7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

知識目標(biāo)

1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴(kuò)充過程.

2.理解復(fù)數(shù)的概念、表示法及相關(guān)概念.

3.掌握復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)相等的充要條件.

核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：復(fù)數(shù)及相關(guān)概念；

2.邏輯推理：復(fù)數(shù)的分類；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：復(fù)數(shù)相等求參.

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】：復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)相等的充要條件.

【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】：復(fù)數(shù)的概念.

【學(xué)習(xí)過程】

一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入

閱讀課本68-69頁,填寫。

1.復(fù)數(shù)的概念：z=a+bi（a,6WR）

（警）

（復(fù)數(shù)的代數(shù)形jjCIzq+l）-（虛數(shù)單位,i2=rl）

（朝）

全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合￡{a+bi|a,8WR},叫做復(fù)數(shù)集.

2.復(fù)數(shù)相等的充要條件

設(shè)a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，那么a+Ai=c+dio.

3.復(fù)數(shù)的分類

[實(shí)數(shù)"=0）

z=a+6i（a,]<^（回0）（■1純非虛純虛數(shù)數(shù)心（aW。O））

思考：復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間存在怎樣的關(guān)系?

小試牛刀

1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)若a,6為實(shí)數(shù)，則2=且+歷為虛數(shù).()

(2)若a為實(shí)數(shù)，則z=a一定不是虛數(shù).()

(3)如果兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0,那么這兩個復(fù)數(shù)相

等.()

2

2.在2+巾，>,8+5i,(1-^3)i,0.68這幾個數(shù)中，純虛數(shù)的個數(shù)為

()

A.0B.1C.2D.3

3.若a—2i=6i+l,a,Z?eR,則a'+4n.

4.設(shè)加6R,復(fù)數(shù)z=-1—加+(27一3)i.

(1)若z為實(shí)數(shù)，則m=；

⑵若z為純虛數(shù)，則加=.

【自主探究】

題型一復(fù)數(shù)的概念

例1下列命題中，正確命題的個數(shù)是()

①若x,yGC,則x+yi=l+i的充要條件是x=y=l；

②若a,8WR且a>8,則a+i>8+i；

③若V+/=0,則x=『=0；

④一個復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個復(fù)數(shù)的實(shí)部等于零；

⑤一1沒有平方根；

⑥若aGR,則(a+l)i是純虛數(shù).

A.0B.1C.2D.3

跟蹤訓(xùn)練一

1.下列命題正確的是.

①復(fù)數(shù)一i+l的虛部為一1.

②若Z1,ZzGC且Z1—Z2>0,則Z^Zz.

③任意兩個復(fù)數(shù)都不能比較大小.

題型二復(fù)數(shù)的分類

x—Y—6

例2實(shí)數(shù)x分別取什么值時，復(fù)數(shù)z=--—+（r-2x-15）i是（1）實(shí)數(shù)；

x十3

（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).

跟蹤訓(xùn)練二

1.實(shí)數(shù)加為何值時，z=lg（序+2加+1）+（石+3加+2）i是（1）實(shí)數(shù)；（2）虛

數(shù)；（3）純虛數(shù).

題型三復(fù)數(shù)相等的充要條件

例3根據(jù)下列條件，分別求實(shí)數(shù)x,y的值.

⑴*—"+2xyi=2i；

（2）（2x—l）+i=y—（3—y）i.

跟蹤訓(xùn)練三

1.已知/仁⑵nf-2m+A—{—l,2,4i},若"U/仁從求實(shí)

數(shù)m的值.

【達(dá)標(biāo)檢測】

1.已知復(fù)數(shù)2=才一（2—6）i的實(shí)部和虛部分別是2和3,則實(shí)數(shù)a,6的值

分別是（）

A.木,1B.小，5

C.土/,5D.±y[2,1

2.若（1+i）+（2-3i）=a+8i（a,bGR,i是虛數(shù)單位），則a+b=（）

A.1B.2

C.3D.0

3.已知/一7+2xyi=2i,則實(shí)數(shù)x=,y=.

4.如果（序一l）+（/—2〃）i>l則實(shí)數(shù)/的值為.

5.實(shí)數(shù)加分別取什么數(shù)值時，復(fù)數(shù)z=（序+5加+6）+（/—2必一15）i

（1）是實(shí)數(shù)；（2）是虛數(shù)；（3）是純虛數(shù)；（4）是0.

答案

小試牛刀

1.(l)x(2)V(3)V

2.C.

3.5.

4.(1)-(2)-1

乙

自主探究

例1【答案】A

【解析】①由于x,yEC,所以x+yi不一定是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，不符合復(fù)

數(shù)相等的充要條件，①錯.

②由于兩個虛數(shù)不能比較大小，所以②錯.

③當(dāng)x=l,y=i,時，x2+y2=0也成立，所以③錯.

④當(dāng)一個復(fù)數(shù)實(shí)部等于零，虛部也等于零時，復(fù)數(shù)為0,所以④錯.

⑤一1的平方根為土i，所以⑤錯.

⑥當(dāng)a=-l時，(a+l)i=0是實(shí)數(shù)，所以⑥錯.故選A.

跟蹤訓(xùn)練一

1.【答案】①.

【解析】①復(fù)數(shù)一i+l=l—i，虛部為一1,正確；②若Z2不全為實(shí)數(shù)，

則為，Z2不能比較大小，錯誤；③若兩個復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，可以比較大小，錯誤.

例2【答案】⑴x=5時，z是實(shí)數(shù).(2)xW—3且xW5時，z是虛數(shù).(3)x

=-2或x=3時，z是純虛數(shù).

殳—2x—15—0

【解析】(1)當(dāng)x滿足—八''即x=5時，z是實(shí)數(shù).

/十3W0,

/—2x~15W0,

(2)當(dāng)x滿足《即矛#—3且時，z是虛數(shù).

[x+3#0,

fx~x—6_

(3)當(dāng)x滿足1*+3'即x=-2或x=3時，z是純虛數(shù).

/一2x—15W0,

跟蹤訓(xùn)練二

1.【答案】⑴加=—2時，z為實(shí)數(shù).⑵合一2且加#—1時，z為虛數(shù).⑶加

=0時，z為純虛數(shù).

m1〉0,-1,

【解析】(1)若z為實(shí)數(shù)，則..即

m+3/z/+2=0,”=-2或R=-1,

解得力=-2..?.當(dāng)加=-2時，z為實(shí)數(shù).

石+2/0+1>0,7W—1,

(2)若z是虛數(shù)，則即

m+3加+2W0,7W-2且mW—1,

解得加W—2且加W—1.當(dāng)加W—2且rW—1時，z為虛數(shù).

lg(zs+2zz?+l)=0,na+2勿+1=1,

⑶若z為純虛數(shù)，則即，,即

疝+3加+2#0,m+3勿+2#0,

7=0或必=—2,

—1且加W—2.

解得力=0..,.當(dāng)/=0時，z為純虛數(shù).

5

x=l,x=~l,x=],

例3【答案】(1)或⑵

.7=1.y=—1.

y=4.

【解析】(1)/+2xyi=2i,且x,y￡R,

x—y=Q,x=l,x=—l,

°c解得或

〔2打=2,g]ly=-i.

(2)V(2^—1)+i=y—(3—y)i,且x,yWR,

5

2x—l=y,x=5,

11=-(3-,).解得

y=4.

跟蹤訓(xùn)練三

1.【答案】1或2.

【解析】因?yàn)镴/UN=N,所以心,

所以2而+(/+加-2)i=-1或/-2加+(序+zzz—2)i=4i.

由復(fù)數(shù)相等的充要條件得

ni_2zz?=一1?J/一2m=0,

+/z?—2=0或]序+加一2=4,

解得m=\或r=2.

所以實(shí)數(shù)加的值是1或2.

當(dāng)堂檢測

1-2.CA

3.~1-1

4.2

5.【答案］(1)卯=5或一3；(2)/W5且加W—3.(3)加=-2.(4)/=-3.

【解析】由序+5加+6=0得，加=-2或加=—3,由序一2R—15=0得/

=5或m=—3.

(1)當(dāng)序-2加-15=0時，復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù),

m=5或—?3；

(2)當(dāng)/一2加一15W0時，復(fù)數(shù)z為虛數(shù),

.,.加W5且*一3.

iff—2m—15W0,

(3)當(dāng)《時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù),

+5勿+6=0.

zz?=—2.

—2zz?-15=0,

(4)當(dāng)《。時，復(fù)數(shù)z是0,.?.〃?=—3.

[/?+5/7/+6=0.

7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

知識目標(biāo)

.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來表示復(fù)數(shù)及它們之間

的---對應(yīng)關(guān)系；

2.掌握實(shí)軸、虛軸、模等概念;

3.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法.

核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：復(fù)平面及復(fù)數(shù)的幾何意義的理解；

2.邏輯推理：根據(jù)平面與向量的關(guān)系推出復(fù)數(shù)與向量的一一對應(yīng)及復(fù)數(shù)模公

式；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點(diǎn)一一對應(yīng)求參數(shù)和求復(fù)數(shù)的模；

4.數(shù)學(xué)建模:根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,數(shù)形結(jié)合，多方位了解復(fù)數(shù)的幾何意義，

提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】：理解復(fù)數(shù)的幾何意義，根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式描出其對應(yīng)的點(diǎn)

及向量.

【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】：根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式描出其對應(yīng)的點(diǎn)及向量.

【學(xué)習(xí)過程】

一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入

閱讀課本70-72頁,填寫。

1.復(fù)平面

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bGR)<-----.

(2)復(fù)數(shù)z=a+6i(a,Z>GR)?對應(yīng)~~>.

［規(guī)律總結(jié)］實(shí)軸、虛軸上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系

實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，原點(diǎn)對應(yīng)

的有序?qū)崝?shù)對為(0,0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0,表示的是實(shí)數(shù).

3.復(fù)數(shù)的模

(1)定義：向量”的r叫做復(fù)數(shù)z=a+歷(a,8WR)的模.

(2)記法：復(fù)數(shù)z=a+6i的模記為

(3)公式：|z|=|a+8i|=r=(r20,rdR).

小試牛刀

1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“J”，錯誤的打“義”)

(1)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上.()

(2)在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù).()

(3)復(fù)數(shù)的模一定是正實(shí)數(shù).()

2.復(fù)數(shù)z=—l+3i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.向量a=(l,—2)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是

()

A.z=l+2iB.z=l-2i

C.z=—1+2iD.z——2+i

4.已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部為一1,虛部為2,則|z|=.

【自主探究】

題型一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)關(guān)系

例1求實(shí)數(shù)a分別取何值時，復(fù)數(shù)z=—工^一十3—24—15)式@￡1?)對應(yīng)

a十3

的點(diǎn)z滿足下列條件：

(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi).

(2)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方.

跟蹤訓(xùn)練一

1、實(shí)數(shù)x取什么值時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=y+x—6+(V—2x—15)i的

點(diǎn)Z：

(1)位于第三象限；(2)位于直線x—y—3=0上

題型二復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系

--?--?

例2已知平面直角坐標(biāo)系中。是原點(diǎn)，向量而，仍對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2

-3i,-3+2i,那么向量胡對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()

A.-5+5iB.5-5i

C.5+5iD.-5-5i

跟蹤訓(xùn)練二

1、在復(fù)平面內(nèi)，A,B,。三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2+i,-l+2i.

--A--?--?

（1）求向量48,AC,以對應(yīng)的復(fù)數(shù)；

（2）若/頗為平行四邊形，求〃對應(yīng)的復(fù)數(shù).

題型三復(fù)數(shù)模的計算與應(yīng)用

例3設(shè)復(fù)數(shù)Z1=4+3i,Z2=4—3i.

（1）在復(fù)平面內(nèi)畫出復(fù)數(shù)4/2對應(yīng)的點(diǎn)和向量；

（2）求復(fù)數(shù)4/2的模，并比較它們的模的大小.

例4設(shè)zeC,在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)為Z,那么滿足下列條件的點(diǎn)Z的集

合是什么圖形？

（1）Iz|=1；

（2）l<|z|<2.

跟蹤訓(xùn)練三

1、已知復(fù)數(shù)z=a+/i（aWR）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且口

=2,則復(fù)數(shù)z等于（）

A.-1+^3iB.1+^3i

C.—l+/i或1+包D.-2+/i

【達(dá)標(biāo)檢測】

1.復(fù)數(shù)z=-l—2i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知復(fù)數(shù)z=（加一3）+（加一l）i的模等于2,則實(shí)數(shù)加的值為（）

A.1或3B.1

C.3D.2

3.在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=(加一3)+2近的點(diǎn)在直線y=x上，則實(shí)數(shù)加

的值為.

4.復(fù)數(shù)z=x—2+(3—x)i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)x的取

值范圍是.

5.在復(fù)平面內(nèi)畫出下列復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，并求出各復(fù)數(shù)的模.

Z]=1-i；冬=一益=—2；為=2+2上

答案

小試牛刀

1.(1)V(2)X(3)X

2.B.

3.B.

4.乖.

自主探究

例1【答案】(1)a<~3.(2)a>5或aV—3.

【解析】(1)點(diǎn)Z在復(fù)平面的第二象限內(nèi)，

(才一8一6

則｛a+3〈°'解得0<_3.

La2—2a—15>0,

a—2a—15>0,

⑵點(diǎn)2在入軸上方,則〈

[a+3W0,

即(a+3)(a—5)>0,解得a>5或—3.

跟蹤訓(xùn)練一

1、【答案】(1)-3<矛<2.(2)x=-2.

【解析】因?yàn)閤是實(shí)數(shù)，所以f+x—6,*—2矛-15也是實(shí)數(shù).

y+才一6<o,

(1)當(dāng)實(shí)數(shù)X滿足，即一3<京2時，點(diǎn)Z位于第三象限.

|y-2^-15<0,

(2)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足(f+x—6)—(*—2x—15)—3=0,即3x+6=0,x=—2

時，點(diǎn)Z位于直線x—y—3=0上.

例2【答案】B.

--A--?

【解析】向量而，仍對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2-3i,-3+2i,根據(jù)復(fù)數(shù)的

--?--?

幾何意義，可得向量的=(2,-3),如=(一3,2).

--?--?--?

由向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算可得向量為=OA-仍=(2+3,-3-2)=(5,

-5),根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)，可得向量胡對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5—5i.

跟蹤訓(xùn)練二

--?--A--?

1、【答案】(1)AB,AC,8c對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+i,-2+2i,-3+

i.

(2)〃對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+i.

【解析】(1)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，由復(fù)數(shù)的幾何意義知：

--?--?--?

OA=(1,0),如=(2,1),%=(—1,2),

所以下=OB~OA=(1,1),

--A--?--?--?--?

~AC=OC-OA=(-2,2),BC=OC-OB={-2>,1),

--A--A--A

所以46,AC,a1對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+i,—2+2i,—3+i.

AA

(2)因?yàn)榱Ρ??為平行四邊形，所以/〃=8。=(-3,1),

OD=OA+萬=(1,0)+(—3,1)=(-2,1).所以〃對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+

1.

例3【答案】（1）圖見解析，4*2對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z「Z2,對應(yīng)的向量

分別為西，區(qū).（2）|馬|=5,閭=5.匕卜㈤.

【解析】（1）如圖，復(fù)數(shù)4,Z2對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1,Z?,對應(yīng)的向量分別為國,

07^.

2222

(2)|Z||=|4+3zhV4+3=5,\z2\=|4-3i\=74+(-3)=5.

所以團(tuán)=區(qū)|.

例4【答案】（1）以原點(diǎn)。為圓心，以1為半徑的圓.

（2）以原點(diǎn)。為圓心，以1及2為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓

環(huán)的邊界.

【解析】（1）由lz|=l得，向量反的模等于1,所以滿足條件|z|=l的點(diǎn)Z

的集合是以原點(diǎn)。為圓心，以1為半徑的圓.

lz<2,

（2）不等式l<|z|<2可化為不等式

[|z>L

不等式Iz|<2的解集是圓Iz|=2的內(nèi)部所有的點(diǎn)組成的集合,

不等式Iz|>1的解集是圓|z|=1外部所有的點(diǎn)組成的集合,

這兩個集合的交集，就是上述不等式組的解集，也就是滿足條件l<|z|<2的

點(diǎn)Z的集合.容易看出，所求的集合是以原點(diǎn)。為圓心，以1及2為半徑的兩個

圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界(如圖).

跟蹤訓(xùn)練三

1、【答案】A.

[a+3=4,l

【解析】由題意得解得a=-l.故z=-l+45i.

當(dāng)堂檢測

1-2.CA

3.9

4.(3,+°0)

5.【答案】圖見解析，\zi\=y/2；|z2|=l；|Z3|=2；\z^=2y/2.

【解析】在復(fù)平面內(nèi)分別畫出點(diǎn)Z(l,-1),乎)，原一2,0),

Z(2,2),則向量Z，劣，Z3,Z分別為復(fù)數(shù)z”a，z3,z,對應(yīng)的向量，如圖所示.

各復(fù)數(shù)的模分別為：1|=嚴(yán)時7=鏡;

22

IZ-A\=7(-2y=2；|zj—>\/2+2=2^2.

7.2.1復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算及其幾何意義

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

知識目標(biāo)

1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則；

2.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.

核心素養(yǎng)

1.邏輯推理：根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系推導(dǎo)其幾何意義；

2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算及有其幾何意義求相關(guān)問題；

3.數(shù)學(xué)建模：結(jié)合復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義和平面圖形，數(shù)形結(jié)合，綜合

應(yīng)用.

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義.

【學(xué)習(xí)點(diǎn)】：力口、減運(yùn)算及其幾何意義.

【學(xué)習(xí)過程】

一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入

閱讀課本75-76頁，填寫。

1.復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則

(1)設(shè)Zi=a+6i,Z2=c+di是任意兩個復(fù)數(shù)，則

①+Z2=；

②?—々.

(2)對任意Z”如Z3GC,有

①Zi+Z2=；

②(4+Z2)+Z3=.

2.復(fù)數(shù)加減法的幾何意義

圖3-2-1

—?—?

如圖3-2-1所示，設(shè)復(fù)數(shù)z”Z2對應(yīng)向量分別為%,0Z2,四邊形0Z名為

—?—?

平行四邊形，向量0Z與復(fù)數(shù)對應(yīng)，向量ZZ與復(fù)數(shù)對應(yīng).

思考：類比絕對值凌一品|的幾何意義，Iz—z0|(z,益ec)的幾何意義是什

么？

提示|z-z0|(z,z°ec)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z到點(diǎn)4的距離.

小試牛刀

1.判斷下列命題是否正確(正確的打“，錯誤的打“義”)

⑴復(fù)數(shù)與向量一一對應(yīng).()

(2)復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相加減后結(jié)果只能是實(shí)數(shù).()

⑶因?yàn)樘摂?shù)不能比較大小，所以虛數(shù)的模也不能比較大小.()

2.已知復(fù)數(shù)?=3+4i,z2=3—4i,則Zi+z?等于()

A.8iB.6

C.6+8iD.6-8i

-----------?-----------?

3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1+i與l+3i分別對應(yīng)向量力和防，其中。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，則|力8|等于()

A.^2B.2C.y[lQD.4

4.(5-i)-(3-i)-5i=.

【自主探究】

題型一復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算

例1計算：

(1)(―3+2i)—(4—5i)；

(2)(5—6i)+(—2—2i)—(3+2i)；

(3)(a+M)+(2a-3M)+4i(a,Z?GR).

跟蹤訓(xùn)練一

1.計算:(l)2i-[3+2i+3(-l+3i)];

(2)(a+26i)-(3a—4㈤—5i(a,bGR).

題型二復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義

例2

根據(jù)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，求復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)Zi(%i，yi),Z2(%2，y2)間的

距離.

跟蹤訓(xùn)練二

1、已知四邊形/8口是復(fù)平面上的平行四邊形，頂點(diǎn)4B,C分別對應(yīng)于復(fù)

數(shù)一5—2i,-4+5"2,求點(diǎn)〃對應(yīng)的復(fù)數(shù)及對角線47,加的長.

題型三復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算幾何意義的應(yīng)用

例3已知zGC,且|z+3—4i|=l,求|z|的最大值與最小值.

跟蹤訓(xùn)練三

1.設(shè)z”z>EC,已知|z/=3=1,|z,+z21=y/2,求|ZL幻.

【達(dá)標(biāo)檢測】

1.a,A為實(shí)數(shù)，設(shè)?=2+歷，Z2=a+i,當(dāng)Zi+z2=0時，復(fù)數(shù)a+6i為()

A.1+iB.2+i

C.3D.-2—i

2.已知?=2+i,Z2=l+2i,則復(fù)數(shù)z=Z2—?對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.計算|(3—i)+(—l+2i)一(—l—3i)|=.

2

4.已知復(fù)數(shù)囪=(4一2)+(a—4)i,z2=a—(a—2)i(aeR),且囪一z?為

純虛數(shù)，則a=.

—?—?

5.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)一3-i與5+i對應(yīng)的向量分別是以與必，其中。是

―>—>—>

原點(diǎn)，求向量物+如，胡對應(yīng)的復(fù)數(shù)及48兩點(diǎn)間的距離.

答案

小試牛刀

1.(1)X(2)X(3)X

2.B.

3.B.

4.2-5i.

自主探究

例1【答案】(l)—7+7i.(2)-10i.(3)3a+(4—28)i.

【解析1(1)(―3+2i)—(4—5i)=(—3—4)+[2—(-5)]i=—7+7i.

(2)(5—6i)+(—2—2i)—(3+2i)=[5+(—2)—3]+[(—6)+(—2)—2]i

=-10i.

(3)(a+6i)+(2a—36i)+4i=(a+2a)+(b—38+4)i=3a+(4—28)i.

跟蹤訓(xùn)練一

1.【答案】(l)-9i.⑵-2a+(66-5)i.

【解析】⑴原式=2i—(3+2i—3+9i)=2i—lli=-9i.

(2)原式=-2a+66i—5i=-2a+(66—5)i.

22

例2[答案]IZ1Z2I=7(%i-x2)+(y1-y2).

【解析】因?yàn)閺?fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Zi(%i，yi),Z2(X2，y2)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為Zi=

%i+yit,z2=x2+y2i-

所以ZiZ之間的距離為IZ1Z2I=\z^\=IZi-ZzI

=1(X1-X2)+(71-y2)l

2

=V(^1-x2y+(yi-y2)

跟蹤訓(xùn)練二

1、【答案】〃對應(yīng)的復(fù)數(shù)是l-7i,力。與6〃的長分別是相和13.

【解析】如圖，因?yàn)?。與物的交點(diǎn)也是各自的中點(diǎn)，所以有z尸2養(yǎng)=

乙

g所以z0=zA+ZC—ZB=1-7i,

--?

因?yàn)閆C：Zc—z力=2-(—5—2i)=7+2i,

所以I^|=17+2i|=^/72+22=^53?

---?

因?yàn)锽D：Z[)—zn—(1—7i)—(—4+5i)—5—12i,

—?

所以IBD|=|5-12i|=^/52+122=13.

故點(diǎn)〃對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1—7i,加與劭的長分別是，點(diǎn)和13.

例3【答案】|z1mol,=6,|Z|MM=4.

【解析】由于|z+3—4i|=|z—(―3+4i)|=l,所以在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)z

對應(yīng)的點(diǎn)Z

與復(fù)數(shù)一3+4i對應(yīng)的點(diǎn)。之間的距離等于1,故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡

是以。(一3,4)為圓心，半徑等于1的圓.

而歸表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)。的距離，又|%|=5,

所以點(diǎn)Z到原點(diǎn)。的最大距離為5+1=6,最小距離為5-1=4.

即|z|皿=6,|z|,ni?=4.

跟蹤訓(xùn)練三

1.【答案】加一Z2|=/.

【解析】設(shè)Z[=a+Z?i,Z2=c+di(a,b,c,d@R),

由題設(shè)知才十^=1,/+d=l,(a+c)2+(8+中2=2,

又(a+c)'+(6+d)2=a2+2ac+c2+/>2+28d+d,

可得2ac+2bd=Q.

2J

|z,—z21'=(a—c)+(Z>—d)

=a2+c+Z>2+d—(,2ac-\~2bd)=2,

**?IZ\—z)|—yj2.

當(dāng)堂檢測

1-2.DB

3.5

4.-1

—?―?―?

5.【答案】向量力+位對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2.向量胡對應(yīng)的復(fù)數(shù)為一8—2i.A,

8兩點(diǎn)間的距離為人“7

【解析】向量力+頗f應(yīng)的復(fù)數(shù)為(一3-i)+(5+i)=2.?.?員1=如一仍，，

向量物對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

(-3-i)-(5+i)=-8-2i.：.A,8兩點(diǎn)間的距離為|-8-2i|=2p.

7.2.2復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

知識目標(biāo)

1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算；

2.理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律；

3.理解且會求復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根.

核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：復(fù)數(shù)乘法、除法運(yùn)算法則；

2.邏輯推理：復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算律的推導(dǎo)；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：復(fù)數(shù)四則運(yùn)算；

4.數(shù)學(xué)建模：結(jié)合實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求根公式和復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，解決復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的

方程根問題.

【教學(xué)重點(diǎn)】：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算.

【教學(xué)難點(diǎn)】：求復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根.

【學(xué)習(xí)過程】

一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入

閱讀課本77-79頁，填寫。

1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則

已知z)=a+8i,z2=c+t/i,a,b,c,dGR,則z,,z2=(a+Z>i)(c+(/i)

［提示］復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法是類似的，有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果

中把『換成一1,再把實(shí)部、虛部分別合并.

2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律

對于任意Z1,Zz，Z：；GC,有

交換律??@二_________

結(jié)合律(Zi?Z2)*Z3=______________

乘法對加法的分配律Z|(Z+Z3)=______________

3.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則

,.、.,、ac+bd,be—ad,,、

(a+6i)4-(c+di)=，+]+籍+^i(。+力工0)

小試牛刀

1.復(fù)數(shù)(3+2i)i等于()

A.12—3iB.-2+3i

C.2-3iD.2+3i

2.已知復(fù)數(shù)z=2—i,則的值為()

A.5B.乖

C.3D.y/3

3.(2-i)4-i=.

【自主探究】

題型一復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算

例1計算下列各題.

(1)(l-2i)(3+4i)(-2+i)；(2)(2-3i)(2+3i)；(3)(1+i)2.

跟蹤訓(xùn)練一

1.計算：(l-i)2-(2-3i)(2+3i)=()

A.2-13iB.13+2i

C.13-13iD.-13-2i

2.若復(fù)數(shù)(l—i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是()

A.(—8,1)B.(一8,—1)

C.(1,+8)D.(-1,+8)

題型二復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算

例2計算（l+2i）+（3—4i）.

跟蹤訓(xùn)練二

1.復(fù)數(shù)z="y（i為虛數(shù)單位），則|z|=.

1+i4+3i

2.計算:

2-i1—i

題型三復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根問題

例3在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：

（1）X2+2=0;

(2)ax2+bx+c=O^其中匕,ceR,且-4ac<0.

跟蹤訓(xùn)練三

1、已知1+i是方程/+"+。=0的一個根（8,c為實(shí)數(shù)）.

（1）求8,c的值；

⑵試判斷1—i是否是方程的根.

【達(dá)標(biāo)檢測】

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz=l,其中i為虛數(shù)單位，則z等于（）

A.-iB.i

C.-1D.1

2.若復(fù)數(shù)z=i（3—2i）（i是虛數(shù)單位），則7=（）

A.2-3iB.2+3i

C.3+2iD.3-2i

3.復(fù)數(shù)號（為虛數(shù)單位）的實(shí)部等于.

2-i

4.(1+i)2

2+i

a+2i

5.已知復(fù)數(shù)Zi=(-1+i)(l+6i),z=其中a,6eR.若zi與Z2互

21-i

為共貌復(fù)數(shù)，求a,6的值.

答案

小試牛刀

1.B.

2.A.

3.11—2i.

自主探究

例1【答案】(1)-20+15i.(2)13.(3)2i.

【解析】(1)原式=(ll-2i)(-2+i)=-20+15i.

(2)原式=(2—i)(—l+5i)(3—4i)+2i=4—9i?=4+9=13.

⑶原式=l+2i+i?=l+2i—l=2i.

跟蹤訓(xùn)練一

1.【答案】D.

【解析】(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=l-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i.

2.【答案】B.

【解析】因?yàn)閦=(1—i)(a+i)=a+l+(1—a)i,

所以它在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(a+1,1—a),

[a+1VO,

又此點(diǎn)在第二象限，所以，c解得av-l.

[1—a>0,

例2【答案】，+|力

【解析】原式=詈=左轡|提=三券=—：+白.

OT,IOT,LJ1,L)zSOOO

跟蹤訓(xùn)練二

1?【答案】哈.

1-Z1-i11.

【解析】??2=巖==-----.---i,

(1+0(1-0222'

?■?izi=優(yōu)M-+坐

2.【答案】-2+i.

(l+i)(4+3i)l+7i(1+7/)(1+3<)

【解析】=12+i.

(2-z)(l-z)l-3i10

例3【答案】(1)方程/+2=0的根為％=±夜j.

(2)方程的根為x=__L±J-僅2一絲0力

2。2a

【解析】(1)因?yàn)?后i)J(一應(yīng)i)、—？，所以方程/+2=°的根為

x=±V2z.

(2)將方程以2+灰+。=0配方，得h+2]=匕二嬖

(la)4a2

X+2S)

la2a

所以原方程的根為x=__L±J~("-4ac)j.

2。2a

跟蹤訓(xùn)練三

1、【答案】(1)6=—2,c=2.(2)1—i也是方程的一個根.

【解析】(1)因?yàn)?+i是方程f+"+c=0的根，

A(l+i)2+Z?(l+i)+c=0,即(b+c)+(2+8)i=0.

b+c=0,

/.b=~2,c=2.

2+6=0,

⑵將方程化為/-2x+2=0,把l-i代入方程左邊9—2x+2=(l—i)2

—2(1—i)+2=0,顯然方程成立,—i也是方程的一個根.

當(dāng)堂檢測

1.A

2.A

3.—3

a=-2,

5.【答案】一

3=1.

【解析】Zi=(―l+i)(1+Z?i)=-1—Z?i+i—Z?=(―/?—1)+(1—Z>)i,

_a+2i_(a+2i)(l+i)_a+ai+2i—2_a—2a+2.

z?=1-i=(l-i)(l+i)=2=2+21'

a—2_

2=-b—l,

由于?和Z2互為共貌復(fù)數(shù)，所以有〈,n解得

a十2

.丁=一(I—)，

a=-2,

b=\.

7.3.1復(fù)數(shù)的三角表示式

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

知識目標(biāo)

1.掌握復(fù)數(shù)的三角形式，熟練進(jìn)行兩種形式的轉(zhuǎn)化；

2.培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化，推理及運(yùn)算能力；

3.通過學(xué)習(xí)本節(jié)知識，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美與圖形美.

核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：復(fù)數(shù)三角表示的理解；

2.直觀想象：復(fù)數(shù)的輻角及輻角的主值的含義；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的轉(zhuǎn)化.

【教學(xué)重點(diǎn)】：復(fù)數(shù)三角表達(dá)式的理解及其與代數(shù)表達(dá)式之間的互化.

【教學(xué)難點(diǎn)】：復(fù)數(shù)三角表達(dá)式的理解.

【學(xué)習(xí)過程】

一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入

閱讀課本83-85頁，填寫。

1.復(fù)數(shù)的輻角

以x軸的正半軸為始邊、為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)

z=a+bi的輻角。

適合于的輻角0的值，叫輻角的主值。記作：argz,即

2.復(fù)數(shù)的三角表達(dá)式

一般地,任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成的形式.其中，

r是復(fù)數(shù)的；0是復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角.叫做復(fù)數(shù)z=a

+bi的三角表示式，簡稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分開來叫

做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式.

注意：復(fù)數(shù)三角形式的特點(diǎn)

3、兩個用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的充要條件：

兩個非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們與分別相等.

小試牛刀

1.復(fù)數(shù)l+/i化成三角形式，正確的是()

/2n2兀、

A.2(cos-+isi#n

OO

JIJI

B.2(cos-+isin-)

/5兀，..5兀、

C.2(cosF-+isin-z-)

oo

/11H,11JI

D.2(cos-—+isin-—x)

bb

2.兩個復(fù)數(shù)為、Z2的模與輻角分別相等，是?=0成立的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

3.復(fù)數(shù)一2(sin10°+icos10°)的三角形式為.

【自主探究】

題型一復(fù)數(shù)的三角形式

例1下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？若不是，把它們表示成三角形式.

(1)Z\=cos60°+isin30°；

nn

(2)z2=2(cos~~一isin-)；

(3)z3=—sin9+icos0.

跟蹤訓(xùn)練一

1.下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？若不是，把它們表示成三角形式.

...11,11.

(1)Z|=2(cos-n+isin-JT)；

/、1/22、

(2)z=-(cos-n—isin-n)；

24Jo

(3)Z3=—2(cos，+isin。).

題型二復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示成三角形式

例2畫出下列復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式:

(1)-+—i；(2)1-i.

22

跟蹤訓(xùn)練二

1.把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式：

l3n3兀

(1)1;(2)—2i；(3)^/3—i;(4)—2(sin-+icos—).

題型三把復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式

例3分別指出下列復(fù)數(shù)的模和一個輻角，畫出它們對應(yīng)的向量，并把這些

復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式:

(1)cosjr+isin%；(2)61也

I66)

跟蹤訓(xùn)練三

1.把下列復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式:

(1)Zi=3(cos~+isin

6

(2)z2=2[cos(——)+isin(——)]；

(3)Z3=5(COS135°+isin135°).

【達(dá)標(biāo)檢測】

7TIT

1.復(fù)數(shù)z=cos：+isin：的輻角主值是()

44

3兀八兀八37兀

A.—B.-C.----D.---

4444

2.將復(fù)數(shù)4cos[?+isin(-化成代數(shù)形式，正確的是()

A.4B.-4C.4/D.-Ai

1

3.復(fù)數(shù)一兀.乃的代數(shù)形式是

cos—+zsin---------------

33

4.復(fù)數(shù)2=3105?+*皿?)的模是.

5.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化：

(1)-1+V3z；

54..5"

(2)2cos---Fzsin^

、66

答案

小試牛刀

1.B.

2.A.

3.2(cos260°+isin260°).

自主探究

例1【答案】⑴Zi=g^(cos5+isin；).(2)z2=2(cos空"+

244b

9n

isin~^).

5

(3)z3=cos(—+9)+isin(—+，).

【解析】(1)由“角相同”知，不是三角形式.

Zi=cos60°+isin30°=1+|