插值法模擬空缺實驗點

關(guān)于插值法模擬空缺實驗點線性插值(一次插值)(1/2)兩點插值函數(shù)p1(x):分段插值法先判斷x落在哪個區(qū)間[x0,x1],[x1,x2],…,[xn-1,xn]如落在[xi-1,xi]區(qū)間，則利用兩點線性插值計算公式計算外推：如果落在x0左邊或xn右邊，則使用[x0,x1]或[xn-1,xn]作為插值空間。y=p1(x)y=f(x)x1x0y0y1y=p1(x)y=f(x)x1x0y0y1xnxn-1…ynyn-1…第2頁,共24頁，2024年2月25日，星期天線性插值(一次插值)(2/2)例1:在進行統(tǒng)計檢驗時，已知計算出的值為4.28，欲求其在自由度f=9時的概率值，查分布表發(fā)現(xiàn)沒有4.28對應(yīng)的概率值。已知試用線性分段插值求其概率值。第3頁,共24頁，2024年2月25日，星期天拉格朗日(Lagrange)插值多項式Lagrange插值原理一元三點Lagrange插值(分段拋物線插值)Matlab實現(xiàn)一元三點Lagrange插值第4頁,共24頁，2024年2月25日，星期天Lagrange插值原理(1/4)對于兩個結(jié)點:基函數(shù)：性質(zhì)：第5頁,共24頁，2024年2月25日，星期天Lagrange插值原理(2/4)對于三個結(jié)點:基函數(shù)：性質(zhì)：第6頁,共24頁，2024年2月25日，星期天Lagrange插值原理(3/4)對于n+1個結(jié)點:基函數(shù)：性質(zhì)：一元n+1點Lagrange)插值多項式：第7頁,共24頁，2024年2月25日，星期天Lagrange插值原理(4/4)例2:已知某種難溶物質(zhì)在不同溫度的酸中溶解度，試求30℃時的溶解度。第8頁,共24頁，2024年2月25日，星期天分段拋物線插值對于n個插值結(jié)點x1<x2<…<xn，選擇最靠近插值點x的相鄰三個點，得到一元三點插值函數(shù)判斷插值點x位置和選點方式xixi+1xxi-1xi+2第9頁,共24頁，2024年2月25日，星期天Matlab實現(xiàn)一元三點Lagrange插值輸入數(shù)據(jù)Xi(i=1…n)的值從小到大排列。開始輸入數(shù)據(jù)Xi,Yi(i=1…n)判斷插值點位置No=1根據(jù)一元三點Lagrange插值公式計算y0輸出結(jié)果結(jié)束X0<=X2輸入插值點X0No=n-2X0>Xn-1Xi<X0<=Xi+1X0–

Xi-1>Xi+2-X0falseNo=i-1trueNo=i第10頁,共24頁，2024年2月25日，星期天埃爾米特(Hermite)插值(1/3)已知函數(shù)y=f(x)在n個點處:對應(yīng)的函數(shù)值為對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值為次數(shù)不超過2n-1次多項式P2n-1(x)滿足這樣的插值多項式稱為Hermite插值多項式幾何意義:p(x)與f(x)都經(jīng)過共同點，且在這些點的切線處切線相等第11頁,共24頁，2024年2月25日，星期天埃爾米特(Hermite)插值(2/3)經(jīng)推導(dǎo)，Hermite插值多項式為:第12頁,共24頁，2024年2月25日，星期天埃爾米特(Hermite)插值(3/3)實際應(yīng)用中使用分段插值法，對于區(qū)間[x1,x2],插值結(jié)點為n=2，由前式得三次的hermite插值Matlab函數(shù)：y=pchip(x,y,xi)第13頁,共24頁，2024年2月25日，星期天三次樣條函數(shù)插值對于給定的插值序列(xi,yi)(i=0,1,…,n)，有n+1個插值點:對應(yīng)的函數(shù)值為,則在區(qū)間[x0,xn]上插值函數(shù)S(x)滿足一下三個條件:(1)插值條件，即(2)連續(xù)條件，即在整個區(qū)間[x0,xn](i=1,…,n-1)上，結(jié)點xi處有一階和二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)：(3)在每個子區(qū)間[xi-1,xi](i=1,…,n)上S(x)都是三次多項式。稱S(x)為三次樣條函數(shù)或三次樣條多項式。第14頁,共24頁，2024年2月25日，星期天三次樣條函數(shù)插值三次樣條與分段Hermite插值的區(qū)別:自身光滑，不需要知道f的導(dǎo)數(shù)值Hermite插值依賴于f在所有插值點的導(dǎo)數(shù)值。三次樣條多項式的求解較復(fù)雜Matlab函數(shù)y=spline(x,y,xi)第15頁,共24頁，2024年2月25日，星期天Matlab插值函數(shù)(1/3)對于Lagrange插值，由于lagrange插值可能不收斂，Matlab沒有提供此函數(shù)。Matlab編程實現(xiàn)的Lagrange插值函數(shù)yi=interp1(x,y,xi,'method')其中x,y為已知數(shù)據(jù)值,xi為插值點,yi為xi的插值結(jié)果值)‘method’表示采用的插值方法，缺省時表示線性插值'nearest'最鄰近插值;'linear'線性插值;'spline'三次樣條插值;'pchip'分段三次埃爾米特.第16頁,共24頁，2024年2月25日，星期天Matlab插值函數(shù)(2/3)三次樣條插值yi=interp1(x,y,xi,‘spline’)yi=spline(x,y,xi)例子分段三次埃爾米特插值yi=interp1(x,y,xi,'pchip')yi=pchip(x,y,xi)例子第17頁,共24頁，2024年2月25日，星期天三次樣條插值例子x=0:12;y=tan(pi*x/25);xi=linspace(0,12,25);yi=spline(x,y,xi);plot(x,y,'-',xi,yi,'>');第18頁,共24頁，2024年2月25日，星期天分段三次埃爾米特插值例子x=-3:3;y=[-1-1-10111];t=-3:.01:3;p=pchip(x,y,t);s=spline(x,y,t);plot(x,y,'o',t,p,'-',t,s,'-.')legend('data','pchip','spline')第19頁,共24頁，2024年2月25日，星期天Matlab插值函數(shù)(3/3)例3:在一天24小時內(nèi),從零點開始每間隔2小時測得的環(huán)境溫度為(攝氏度):12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13推測在每一分鐘的溫度.并利用不同的插值方法描繪溫度曲線。第20頁,共24頁，2024年2月25日，星期天應(yīng)用：雙液系相圖的繪制雙液系相圖的繪制是化學(xué),化工等專業(yè)物理化學(xué)實驗課程的一個必做實驗,該實驗采用完全互溶二元液態(tài)混合物,在恒定壓力(外壓)下,采用回流冷凝方法得到氣液平衡時的氣相和液相部分以及沸點,分別測定氣相和液相折光率,再由折光率查,最后繪制沸點—組成關(guān)系圖第21頁,共24頁，2024年2月25日，星期天應(yīng)用：雙液系相圖的繪制環(huán)己烷-乙醇沸點組成相圖數(shù)據(jù)如下：由實驗數(shù)據(jù)得到的沸點組成數(shù)據(jù)做出環(huán)己烷-乙醇雙液系相圖第22頁,共24頁，2024年2月25日，星期天雙液系相圖的繪制t=[78.6277.51 72.87 69.23 66.89 66.00 65.48 65.3281.12 80.37 78.8 76.02 70.73 66.94 65.13 65.02];c1=[00.060.31 0.424 0.492 0.515 0.525 0.5341 0.993 0.960 0.757 0.634 0.571 0.546 0.539];c2=[00.0140.0760.1370.206 0.294 0.381 0.4511 0.995 0.977 0.941 0.873 0.816 0.681 0.54];c1i=linspace(0,1,200);c2i=linspace(0,1,200);t1i=spline(c1,t,c1i);t2i=spline(c2,t,c2i);plot(c1i,t1i,'-r',c1,t,'b