專題 平行四邊形中的最值問題（解析版）

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》專題平行四邊形中的最值問題題型一與平行四邊形有關(guān)的最值問題題型一與平行四邊形有關(guān)的最值問題【例題1】（2022秋?榆樹市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB=82，點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)，連結(jié)PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連結(jié)PQ，則PQA．4 B．8 C．42 D．【分析】設(shè)PQ與AC交于點(diǎn)O，過O作OP′⊥BC于P′．先求出OP′＝4，當(dāng)P與P′重合時(shí)，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′，從而求解．【解答】解：設(shè)PQ與AC交于點(diǎn)O，過O作OP′⊥BC于P′．如圖所示：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝82，∴AC＝82，∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴OA＝OC=12AC＝4∴OP′＝4，當(dāng)P與P′重合時(shí)，OP的值最小，則PQ的值最小，∴PQ的最小值＝2OP′＝8．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到當(dāng)P與P′重合時(shí)，OP的值最小，則PQ的值最?。咀兪?-1】（2022春?溧水區(qū)期中）如圖，∠AOB＝30°，OB＝4，點(diǎn)P為射線OA上任意一點(diǎn)，連接PB．以PO、PB為鄰邊作平行四邊形POQB，連接PQ，則線段PQ的最小值為．【分析】當(dāng)PQ⊥OA時(shí)，PQ最短，利用平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵四邊形PBQO是平行四邊形，∴PH＝HQ，OH＝HB，當(dāng)PQ⊥OA時(shí)，PQ最短，∵∠AOB＝30°，OB＝4，∴OH＝2，∴PQ＝2PH＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定和性質(zhì)解答．【變式1-2】（2021秋?泰山區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD＝120°，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)E是直線BC上的點(diǎn)，點(diǎn)F是直線CD上的點(diǎn)，連接AF，AE，EF，點(diǎn)M，N分別是AF，EF的中點(diǎn)．連接MN，則MN的最小值為（）A．1 B．3-1 C．32 D【分析】因?yàn)椴徽撛趺醋兓疢N始終是△AEF的中位線，MN=12AE這個(gè)等量關(guān)系不發(fā)生變化，當(dāng)AE最小時(shí)，MN就最小，根據(jù)垂線段最短性質(zhì)知，當(dāng)AE⊥BC時(shí)，AE取最小值，求出此時(shí)的【解答】解：∵點(diǎn)M，N分別是AF，EF的中點(diǎn)．∴MN=12當(dāng)AE⊥BC時(shí)，AE的值最小，此時(shí)MN取最小值，∵四邊形ABCD是平行四邊形中，AB∥CD，∠BCD＝120°，∴∠B＝60°，∵AE⊥BC，∴∠BAE＝30°，∴BE=12AB＝∴AE=A∴MN=1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，垂線段最短定理，關(guān)鍵是運(yùn)用垂線段最短性質(zhì)求得AE的最小值．【變式1-3】（2021春?雁塔區(qū)校級(jí)月考）在平行四邊形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，過點(diǎn)A分別作BC，CD的垂線，垂足分別為M、N，連接MN，則MN的最小值為（）A．3 B．3 C．23 D．2【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求FC，AN，EN，AE的長，即可求解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)N作NE⊥AD于E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠D＝60°，∵CF⊥AB，AN⊥CD，∴AN∥CF，∠BCF＝30°，∴四邊形AFCN是平行四邊形，BF=12BC＝2，CF=3BF＝∴AN＝CF＝23，∵AN⊥CD，∠D＝60°，∴∠NAD＝30°，∴EN=12AN=3，AE=3∵AM⊥BC，NE⊥AD，∴AM∥EN，∴當(dāng)MN⊥EN時(shí)，MN有最小值為3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2022?瑤海區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，BD⊥AD，AB=2AD，E是AB的中點(diǎn)，P是邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，若AD＝2，則PE+PBA．22 B．23 C．10 D．210【分析】如圖，作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接AE′，BE′，BE′交AD于點(diǎn)P，連接PE，此時(shí)PE+PB的值最?。霉垂啥ɡ砬蟪鯞E′，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接AE′，BE′，BE′交AD于點(diǎn)P，連接PE，此時(shí)PE+PB的值最小．∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∵AB=2AD∴∠DAB＝45°，∴AD＝BD＝2，AB＝22，∵AE＝EB=2，E，E′關(guān)于AD∴∠PAE′＝∠PAE＝45°，AE′＝AE=2∴BE′=A∴PE+PB的最小值＝PB+PE′＝BE′=10故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃虇栴}，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題，屬于中考常考題型．【變式1-5】（2021秋?海州區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD為底邊向右作腰長為10的等腰△ADP，Q為邊BC上一點(diǎn)，BQ＝4，連接PQ，則PQ的最小值為．【分析】過點(diǎn)P作PH⊥AD交于點(diǎn)H，在AD上取一點(diǎn)M，使得AM＝BQ＝4，連接PM，BQ．求出PM，MQ．可得結(jié)論．【解答】解：過點(diǎn)P作PH⊥AD交于點(diǎn)H，在AD上取一點(diǎn)M，使得AM＝BQ＝4，連接PM，BQ．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵AM＝BQ，∴四邊形ABQM是平行四邊形，∴MQ＝AB＝6，∵PD＝PA＝10，PH⊥AD，∴DH＝AH＝6，∴PH=PA∴HM＝AH＝AM＝6﹣4＝2，∴PM=PH2∴PQ≥PM﹣MQ＝217-6∴PQ的最小值為217-6故答案為：217-6【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-6】（2022?榆林模擬）如圖，在Rt△ABC中，AC＝23，BC＝2．點(diǎn)P是斜邊AB上任意一點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)．連接PD并延長，使DE＝PD．以PE，PC為邊構(gòu)造平行四邊形PCQE，則對(duì)角線PQ的最小值．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AB＝4，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵AC＝23，BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝4，∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝DC，∵PD＝DE，∴PE＝2PD，當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)PQ⊥AB，對(duì)角線PQ最小，∴2PD＝BC＝2，∴PE＝2，∴2PC＝AB＝4，∴PC＝2，∴平行四邊形PEQC是菱形，∴PQ＝23，故答案為：23．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，題中主要涉及直角三角形的性質(zhì)的計(jì)算問題，應(yīng)熟練掌握此類問題并能夠求解．【變式1-7】（2021?沂水縣一模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝3，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，則對(duì)角線PQ的最小值為．【分析】如圖（見解答），先利用直角三角形的性質(zhì)可得CD=12AC=32，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CQ，由此可得出當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ取得最小值，此時(shí)【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝3，∴CD=12AC∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴AB∥CQ，∴當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ取得最小值，此時(shí)PQ＝CD=3故答案為：32【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平行線間的距離等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-8】（2021?房縣模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，點(diǎn)H、G分別是邊CD、BC上的動(dòng)點(diǎn)．連接AH、HG，點(diǎn)E為AH的中點(diǎn)，點(diǎn)F為GH的中點(diǎn)，連接EF，則EF的最大值與最小值的差為．【分析】如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先證明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位線定理，可知EF=12AG，求出【解答】解：如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD＝120°，∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝2，∵AM＝DM＝DC＝2，∴△CDM是等邊三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，CM＝DM＝AM，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠ACD＝90°，∴AC＝23，在Rt△ACN中，∵AC＝23，∠ACN＝∠DAC＝30°，∴AN=12AC∵AE＝EH，GF＝FH，∴EF=12∵AG≤AC，∴AG的最大值為AC的長，最小值為AN的長，∴AG的最大值為23，最小值為3，∴EF的最大值為3，最小值為32∴EF的最大值與最小值的差為32故答案為32【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，本題的突破點(diǎn)是證明∠ACD＝90°，屬于中考選擇題中的壓軸題．【變式1-9】如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點(diǎn)P，Q分別是AC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，在P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，PB+PQ的最小值是．【分析】取BC的中點(diǎn)G，連接AG．首先證明∠BAC＝90°，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接CF，作BE⊥CF于E，則BE的長即為PB+PQ的最小值．【解答】解：取BC的中點(diǎn)G，連接AG．∵AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等邊三角形，∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接CF，作BE⊥CF于E，則BE的長即為PB+PQ的最小值（垂線段最短），∵作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，即BC＝BF，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴△BCF是等邊三角形，BE=32×4＝∴BP+PQ的最小值為23．故答案為：23．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃虇栴}、等邊三角形的判定和性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對(duì)稱，根據(jù)垂線段最短解決最值問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．題型二與矩形有關(guān)的最值問題題型二與矩形有關(guān)的最值問題【例題2】（2021?內(nèi)江模擬）如圖，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，點(diǎn)P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，則OP的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由矩形的性質(zhì)可得OA＝OB＝OC＝OD=12BD＝6，由等腰三角形的性質(zhì)可求∠OAD＝∠ODA＝【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD=12BD＝∵∠BOC＝120°＝∠AOD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，當(dāng)OP⊥AD時(shí)，OP有最小值，∴OP=12OD＝故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022春?永春縣期末）如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，AB＝6，BC＝2．當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)B與O不重合），A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)E在AB邊上，AE＝2EB，四邊形OADE的面積為263，則OA+OBA．7 B．50 C．8 D．8.5【分析】由面積關(guān)系可求OA×OB＝14，由勾股定理可求36＝AO2+BO2，即可求解．【解答】解：如圖，∵AB＝6，AE＝2BE，∴AE＝4，BE＝2，∴S△AED=12×AD×AE=12×∵四邊形OADE的面積為263∴S△AOE=14∵AE＝2BE，∴S△AOB＝7，∴12×OA×OB＝∴OA×OB＝14，∵AB2＝AO2+BO2，∴36＝AO2+BO2，∴（AO+BO）2＝36+28，∴AO+BO＝8（負(fù)值舍去），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的面積公式，勾股定理等知識(shí)，求出OA×OB＝14是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022秋?南安市期末）如圖，點(diǎn)P是長方形ABCD內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知AB＝7，BC＝15，若△PBC的面積等于30，則點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)距離之和PB+PC的最小值是．【分析】首先證明動(dòng)點(diǎn)P在與CD平行且與CD的距離是3的直線l上，過點(diǎn)B作直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′C交直線l于點(diǎn)P，B′C的長就是所求的最短距離．【解答】解：設(shè)△BPC中BC邊上的高是h．∵S△PBC＝30，BC＝15，∴12?BC?h＝30∴h＝4，∴動(dòng)點(diǎn)P在與CD平行且與CD的距離是4的直線l上，過點(diǎn)B作直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′C交直線l于點(diǎn)P，B′C的長就是所求的最短距離，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵BC＝15，B′B＝15，∴B′C=152故答案為：152．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)．得出動(dòng)點(diǎn)P所在的位置是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2021?阜新）如圖，折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在CD邊上，GH為折痕，已知AB＝6，BC＝10．當(dāng)折痕GH最長時(shí)，線段BH的長為．【分析】由題知，當(dāng)E點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)GH最長，設(shè)BH＝x，則CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，根據(jù)勾股定理計(jì)算出x的值即可．【解答】解：由題知，當(dāng)E點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)GH最長，設(shè)BH＝x，則CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，由勾股定理得，HC2+CE2＝HE2，即（10﹣x）2+62＝x2，解得x＝6.8，故答案為：6.8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的翻折，矩形的性質(zhì)以及勾股定理的知識(shí)，確定當(dāng)D點(diǎn)與E點(diǎn)重合時(shí)GH最長時(shí)解題的關(guān)鍵．【變式2-4】（2021春?沭陽縣期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC為斜邊在矩形的外部作直角三角形BEC，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，則EF的最大值為（）A．8 B．9 C．10 D．241【分析】取BC中點(diǎn)O，連接OE，OF，根據(jù)矩形的性質(zhì)可求OC，CF的長，根據(jù)勾股定理可求OF的長，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求OE的長，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可求得當(dāng)點(diǎn)O，點(diǎn)E，點(diǎn)F共線時(shí)，EF有最大值，即EF＝OE+OF．【解答】解：如圖，取BC中點(diǎn)O，連接OE，OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠BCD＝90°，∵點(diǎn)F是CD中點(diǎn)，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∴CF＝3，CO＝4，∴OF=CF∵點(diǎn)O是Rt△BCE的斜邊BC的中點(diǎn)，∴OE＝OC＝4，∵根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：OE+OF＞EF，∴當(dāng)點(diǎn)O，點(diǎn)E，點(diǎn)F共線時(shí)，EF最大值為OE+OF＝4+5＝9．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，找到當(dāng)點(diǎn)O，點(diǎn)E，點(diǎn)F共線時(shí)，EF有最大值是本題的關(guān)鍵．【變式2-5】（2022春?儀征市期中）如圖，矩形ABCD的邊AB＝7，BC＝3，點(diǎn)E在邊AB上，且AE＝1，F(xiàn)為AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EG，連接CG，則CG的最小值為（）A．2 B．3 C．10 D．13【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝HE，AF＝HG，∠A＝∠H＝∠AEH＝90°，則點(diǎn)G在平行于AB，且與AB的距離為1的直線上運(yùn)動(dòng)，即當(dāng)HG＝AD＝3時(shí)，GC有最小值，由勾股定理可求解．【解答】解：將△AEF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△HEG，延長HG交BC于點(diǎn)N，∴AE＝HE，AF＝HG，∠A＝∠H＝∠AEH＝90°，∴HG∥HN，則點(diǎn)G在平行于AB，且與AB的距離為1的直線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)HG＝AD＝3時(shí)，GC有最小值，∵∠HEB＝∠B＝∠EHN＝90°，∴四邊形EHNB是矩形，∴HE＝BN＝1，BE＝HN＝6，∴CN＝2，GN＝3，∴CG=CN故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，確定點(diǎn)G的軌跡是解題的關(guān)鍵．【變式2-6】（2022春?晉安區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在BC上，且AP＝CQ，連接CP，QD，則PC+QD的最小值為（）A．8 B．10 C．12 D．20【分析】連接BP，則PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，在BA的延長線上截取AE＝AB＝4，連接PE、CE，則PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，再根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：如圖，連接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝6，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四邊形DPBQ是平行四邊形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，則PC+QD＝PC+PB，則PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，在BA的延長線上截取AE＝AB＝4，連接PE，則BE＝2AB＝8，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分線，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，連接CE，則PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∴CE=BE∴PC+PB的最小值為10，即PC+QD的最小值為10，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)，證出PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE是解題的關(guān)鍵．【變式2-7】（2022春?瑤海區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)N、O、P．M分別是邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），若AN＝CP、BO＝DM，且AB＝2BC＝2，則四邊形MNOP周長的最小值等于（）A．25 B．23 C．5 D．3【分析】首先利用SAS證明△AMN≌△COP，得MN＝PO，同理得，NO＝MP，則四邊形MNOP是平行四邊形，作點(diǎn)N關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接ON'，PN'，求出ON'的長，從而解決問題．【解答】解：∵BO＝DM，∴CO＝AM，∵AN＝CP，∠A＝∠C＝90°，∴△AMN≌△COP（SAS），∴MN＝PO，同理得，NO＝MP，∴四邊形MNOP是平行四邊形，作點(diǎn)N關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接ON'，PN'，則NO＝N'O，∴PO+ON的最小值為PN'，由題意知，HN'＝AB＝2，PH＝BC＝1，由勾股定理得，PN'=5∴四邊形MNOP周長的最小值為25，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路線問題，勾股定理等知識(shí)，證明四邊形MNOP是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．【變式2-8】（2021秋?松山區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC＝3，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，則PA+PB+PCA．23+3 B．25 C．23 D．【分析】將△BPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EFC，連接PF、AE、AC，則AE的長即為所求．【解答】解：將△BPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EFC，連接PF、AE、AC，則AE的長即為所求．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△PFC是等邊三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，∴當(dāng)A、P、F、E共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC=AB2∴AC＝2AB，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝23，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE=A故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩點(diǎn)之間線段最短、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．題型三與菱形有關(guān)的最值問題題型三與菱形有關(guān)的最值問題【例題3】（2021春?玉州區(qū)期中）如圖，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝62，CE＝4，點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值（）A．42 B．6 C．210 D．45【分析】先作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)G，再連接BG，過點(diǎn)B作BH⊥CD于H，運(yùn)用勾股定理求得BH和GH的長，最后在Rt△BHG中，運(yùn)用勾股定理求得BG的長，即為PE+PF的最小值．【解答】解：作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)G，連接PG、PE，則PE＝PG，CE＝CG＝4，連接BG，過點(diǎn)B作BH⊥CD于H，則∠BCH＝∠CBH＝45°，∴Rt△BHC中，BH＝CH=22BC＝∴HG＝6﹣4＝2，∴Rt△BHG中，BG=62+∵當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，PE+PF＝PG+PB＝BG（最短），∴PE+PF的最小值是210．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)和軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，解題的關(guān)鍵是得到PE+PF的最小值為BG的長度．【變式3-1】如圖，將兩張長為5，寬為1的矩形紙條交叉，讓兩個(gè)矩形對(duì)角線交點(diǎn)重合，且使重疊部分成為一個(gè)菱形．當(dāng)兩張紙條垂直時(shí)，菱形周長的最小值是4，把一個(gè)矩形繞兩個(gè)矩形重合的對(duì)角線交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，在旋轉(zhuǎn)過程中，得出所有重疊部分為菱形的四邊形中，周長的最大值是（）A．8 B．10 C．10.4 D．12【分析】由矩形和菱形的性質(zhì)可得AE＝EC，∠B＝90°，由勾股定理可求AE的長，即可求四邊形AECF的周長．【解答】解：如圖所示，此時(shí)菱形的周長最大，∵四邊形AECF是菱形∴AE＝CF＝EC＝AF，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，∴AE2＝1+（5﹣AE）2，∴AE＝2.6∴菱形AECF的周長＝2.6×4＝10.4故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用勾股定理求線段的長度是本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022?花都區(qū)二模）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AC＝8，BD＝6，點(diǎn)P為邊AB上一點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合．過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，連接EF，則EF的最小值為（）A．2 B．2.4 C．2.5 D．3【分析】由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，BO=12BD＝3，OC=12AC＝4，由勾股定理可求BC的長，可證四邊形OEPF是矩形，可得EF＝OP，OP⊥【解答】解：連接OP，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AC⊥BD，BO=12BD＝3，AO=12∴AB＝5，∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，∴四邊形OEPF是矩形，∴FE＝OP，∵當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP有最小值，此時(shí)S△OBC=12OB×OA=12∴OP＝2.4，∴EF的最小值為2.4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，菱形ABCD的邊長為3，且∠ABC＝60°，E、F是對(duì)角線BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝2，連接AE、AF，則AE+AF的最小值為（）A．23 B．6 C．32 D．13【分析】如圖作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，連接CH交BD于F，則AE+AF的值最小，進(jìn)而得出△AEF周長的最小值即可．【解答】】解：如圖作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，連接CH交BD于F，則AE+AF的值最小．∵AH＝EF，AH∥EF，∴四邊形EFHA是平行四邊形，∴EA＝FH，∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，∵菱形ABCD的邊長為3，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝3，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，在Rt△CAH中，CH=A∴AE+AF的最小值13，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃虇栴}，正方形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．【變式3-4】（2022春?興寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知菱形ABCD的邊長為8，點(diǎn)M是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠ADC＝120°，則MA+MB+MD的最小值是（）A．43 B．83 C．8+3 D．4+4【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接BD，根據(jù)垂線段最短，此時(shí)DE最短，即MA+MB+MD最小，根據(jù)菱形性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可求出DE的長，進(jìn)而可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接BD，∵菱形ABCD中，∠ADC＝120°，∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，∴△ADB是等邊三角形，∴∠MAE＝30°，∴AM＝2ME，∵M(jìn)D＝MB，∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，根據(jù)垂線段最短，此時(shí)DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的邊長為8，∴DE=AD2∴2DE＝83．∴MA+MB+MD的最小值是83．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)．【變式3-5】（2022春?惠民縣期末）如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠DAB＝60°，E為BC的中點(diǎn)，在對(duì)角線AC上存在一點(diǎn)P，使△PBE的周長最小，則△PBE的周長的最小值為（）A．2+23 B．4 C．43 D．6【分析】連接DE．因?yàn)锽E的長度固定，所以要使△PBE的周長最小，只需要PB+PE的長度最小即可．【解答】解：連接DE．∵BE的長度固定，∴要使△PBE的周長最小，只需要PB+PE的長度最小即可，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC與BD互相垂直平分，∴P′D＝P′B，∴PB+PE的最小長度為DE的長，∵菱形ABCD的邊長為4，E為BC的中點(diǎn)，∠DAB＝60°，∴△BCD是等邊三角形，又∵菱形ABCD的邊長為4，∴BD＝4，BE＝2，DE＝23，∴△PBE的最小周長＝DE+BE＝23+2故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱以及最短路線問題、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-6】（2022?安徽一模）如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是（）A．7 B．7-1 C．3 D．【分析】根據(jù)題意，在N的運(yùn)動(dòng)過程中A′在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A′C取最小值時(shí)，由兩點(diǎn)之間線段最短知此時(shí)M、A′、C三點(diǎn)共線，得出A′的位置，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出A′C的長即可．【解答】解：如圖所示：∵M(jìn)A′是定值，A′C長度取最小值時(shí)，即A′在MC上時(shí)，過點(diǎn)M作MF⊥DC于點(diǎn)F，∵在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M為AD中點(diǎn)，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，∴∠FMD＝30°，∴FD=12MD∴FM＝DM×32∴MC=F∴A′C＝MC﹣MA′=7-故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，得出A′點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．【變式3-7】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC＝6，BD＝8，點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PE，求|PC﹣PE|的最大值．【分析】根據(jù)題意找出點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AP，構(gòu)造△PAE中的三邊關(guān)系解答即可．【解答】解：由菱形性質(zhì)可知，C點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AP，則AP＝CP，在△APE中，|PE﹣PA|＜EA，則當(dāng)點(diǎn)P、E、A三點(diǎn)共線時(shí)，|PE﹣PA|取最大值，最大值為AE．∴|PC﹣PE|的最大值為AE．∵菱形ABCD中，對(duì)角線AC＝6，BD＝8，∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∵點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)∴AE＝2.5，∴|PC﹣PE|的最大值為2.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是通過構(gòu)點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)A，轉(zhuǎn)化|PC﹣PE|，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行解題．【變式3-8】如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分別是邊AD、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE+CF＝4，連接BE、EF、FB．（1）證明：BE＝BF；（2）求△BEF面積的最小值．【分析】（1）由在邊長為4的菱形ABCD中，BD＝4，易得△ABD、△CBD都是邊長為4的正三角形，繼而證得△BDE≌△BCF（SAS），則可證得結(jié)論；（2）由△BDE≌△BCF，易證得△BEF是正三角形，繼而可得當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D或點(diǎn)A時(shí)，BE的最大，當(dāng)BE⊥AD，即E為AD的中點(diǎn)時(shí)，BE的最小，此時(shí)△BEF的面積最?。窘獯稹拷猓海?）BE＝BF，證明如下：∵四邊形ABCD是邊長為4的菱形，BD＝4，∴△ABD、△CBD都是邊長為4的正三角形，∵AE+CF＝4，∴CF＝4﹣AE＝AD﹣AE＝DE，又∵BD＝BC＝4，∠BDE＝∠C＝60°，在△BDE和△BCF中，DE=DF∠BDE=∠C∴△BDE≌△BCF（SAS），∴BE＝BF；（2）∵△BDE≌△BCF，∴∠EBD＝∠FBC，∴∠EBD+∠DBF＝∠FBC+∠DBF，∴∠EBF＝∠DBC＝60°，又∵BE＝BF，∴△BEF是正三角形，∴EF＝BE＝BF，當(dāng)BE⊥AD，即E為AD的中點(diǎn)時(shí)，BE的最小值為23，此時(shí)△BEF的面積為34?（23）2＝33【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△BDE≌△BCF是解此題的關(guān)鍵．題型四與正方形有關(guān)的最值問題題型四與正方形有關(guān)的最值問題【例題4】（2022春?海州區(qū)校級(jí)期末）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)M為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，則EF的最小值為（）A．32 B．62 C．3 D【分析】連接MC，證出四邊形MECF為矩形，由矩形的性質(zhì)得出EF＝MC，當(dāng)MC⊥BD時(shí)，MC取得最小值，此時(shí)△BCM是等腰直角三角形，得出MC=22BC＝3【解答】解：連接MC，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，∵M(jìn)E⊥BC于E，MF⊥CD于F∴四邊形MECF為矩形，∴EF＝MC，當(dāng)MC⊥BD時(shí)，MC取得最小值，此時(shí)△BCM是等腰直角三角形，∴MC=22BC=6×2∴EF的最小值為32；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及最小值問題；熟練掌握矩形的對(duì)角線相等是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022春?潼南區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，PE⊥BD于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，若AC＝22，則EF的長的最小值為（）A．2 B．1 C．2 D．2【分析】如圖，連接OP、EF，根據(jù)已知條件和正方形的性質(zhì)可以得到當(dāng)EF最小就是OP最小，然后利用垂線段最短即可求解．【解答】解：如圖，連接OP、EF，∵正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，PE⊥BD于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，∴四邊形OEPF為矩形，∴EF＝OP，∴EF最小時(shí)OP最小，當(dāng)OP⊥BC于P的時(shí)候OP最小，而當(dāng)OP⊥BC時(shí)，P為BC的中點(diǎn)，∴OP=12∵AC＝22，則BC＝2，∴OP＝1，∴EF的長的最小值為1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，同時(shí)也利用了垂線段最短解決問題．【變式4-2】（2021春?萊州市期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在AB上，且BE＝1，F(xiàn)為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則△BFE周長的最小值為．【分析】連接ED交AC于一點(diǎn)F，連接BF，根據(jù)正方形的對(duì)稱性得到此時(shí)△BFE的周長最小，利用勾股定理求出DE即可．【解答】解：如圖，連接ED交AC于一點(diǎn)F，連接BF，∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴BF＝DF，∴△BFE的周長＝BF+EF+BE＝DE+BE，此時(shí)△BEF的周長最小，∵正方形ABCD的邊長為4，∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，∵點(diǎn)E在AB上且BE＝1，∴AE＝3，∴DE=AD∴△BFE的周長＝5+1＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】此題考查正方形的性質(zhì)：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角以及正方形的對(duì)稱性質(zhì)，還考查了勾股定理的計(jì)算．依據(jù)正方形的對(duì)稱性，連接DE交AC于點(diǎn)F時(shí)△BFE的周長有最小值，這是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2021春?惠山區(qū)期中）如圖，平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC為對(duì)角線作正方形BDCE，連接AD，則AD的最大值是（）A．5 B．9 C．92 D．9【分析】如圖將△BDA繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDM．由旋轉(zhuǎn)不變性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM．∠ADM＝90°，得出△ADM是等腰直角三角形，推出AD=22AM，當(dāng)AM的值最大時(shí)，AD的值最大，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出【解答】解：如圖，將△BDA繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDM，由旋轉(zhuǎn)不變性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD=22∴當(dāng)AM的值最大時(shí)，AD的值最大，∵AM≤AC+CM，∴AM≤9，∴AM的最大值為9，∴AD的最大值為92故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．【變式4-4】（2022?揚(yáng)州三模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接ED，將ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DF，CF，則DF+CF的最小值是（）A．35 B．43 C．52 D．213【分析】連接BF，過點(diǎn)F作FG⊥AB交AB延長線于點(diǎn)G，通過證明△AED≌△GFE（AAS），確定F點(diǎn)在BF的射線上運(yùn)動(dòng)；作點(diǎn)C關(guān)于BF的對(duì)稱點(diǎn)C'，由三角形全等得到∠CBF＝45°，從而確定C'點(diǎn)在AB的延長線上；當(dāng)D、F、C'三點(diǎn)共線時(shí)，DF+CF＝DC'最小，在Rt△ADC'中，AD＝3，AC'＝6，求出DC'＝35即可．【解答】解：連接BF，過點(diǎn)F作FG⊥AB交AB延長線于點(diǎn)G，∵將ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，∴F點(diǎn)在BF的射線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)C關(guān)于BF的對(duì)稱點(diǎn)C'，∵EG＝DA，F(xiàn)G＝AE，∴AE＝BG，∴BG＝FG，∴∠FBG＝45°，∴∠CBF＝45°，∴BF是∠CBC′的角平分線，即F點(diǎn)在∠CBC′的角平分線上運(yùn)動(dòng)，∴C'點(diǎn)在AB的延長線上，當(dāng)D、F、C'三點(diǎn)共線時(shí)，DF+CF＝DC'最小，在Rt△ADC'中，AD＝3，AC'＝6，∴DC'＝35，∴DF+CF的最小值為35，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短路徑；能夠?qū)⒕€段的和通過軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為共線線段是解題的關(guān)鍵．【變式4-5】如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，點(diǎn)E在BC邊上，且BE＝2，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊作等邊△EFG，且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)，連接CG，則CG的最小值為（）A．3 B．2.5 C．4 D．23【分析】以EC為邊作等邊三角形ECH，過點(diǎn)H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，可證四邊形MHNB是矩形，可證MH＝BN，由“SAS”可證△FEH≌△GEC，可得FH＝GC，當(dāng)FH⊥AB時(shí)，F(xiàn)H有最小值，即GC有最小值，即可求解．【解答】解：如圖，以EC為邊作等邊三角形ECH，過點(diǎn)H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，又∵∠ABC＝90°，∴四邊形MHNB是矩形，∴MH＝BN，∵BE＝2，∴EC＝4，∵△EHC是等邊三角形，HN⊥EC，∴EC＝EH＝4，EN＝NC＝2，∠HEC＝60°，∴BN＝4＝MH，∵△FGE是等邊三角形，∴FE＝GE，∠FEG＝60°＝∠HEC，∴∠FEH＝∠GEC，在△FEH和△GEC中，F(xiàn)E=GE∠FEH=∠GEC∴△FEH≌△GEC（SAS），∴FH＝GC，∴當(dāng)FH⊥AB時(shí)，F(xiàn)H有最小值，即GC有最小值，∴點(diǎn)F與點(diǎn)M重合時(shí)，F(xiàn)H＝HM＝4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式4-6】如圖，正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG．點(diǎn)H是CD上一點(diǎn)，且