廣東省湛江市雷州市第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

20232024學(xué)年度第二學(xué)期高二年級(jí)開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，，，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求補(bǔ)集，進(jìn)而求出交集.【詳解】，故.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)a等于()A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：計(jì)算，由z1，是實(shí)數(shù)得，從而得解.詳解：復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1，是實(shí)數(shù)，所以，即.故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)共軛的概念，屬于基礎(chǔ)題.3.在正方體中，直線與平面所成角的正弦值為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過(guò)題干條件得到面的法向量，，求法向量和的夾角即可.【詳解】由題知，為平面的一個(gè)法向量，又因?yàn)?，所?故答案為C.【點(diǎn)睛】求線面角，一是可以利用等體積計(jì)算出直線端點(diǎn)到面的距離，除以線段長(zhǎng)度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可．4.已知直線，，若，則實(shí)數(shù)（）A.或1 B.0或1 C.1 D.【答案】D【解析】【分析】討論，根據(jù)兩條直線平行的條件列式可解得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，的斜率不存在，的斜率為0，此時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，解得，故選：D【點(diǎn)睛】本題查了由兩條直線平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.5.直線與圓相切，則實(shí)數(shù)b的值是（）A.或12 B.8或C.8或 D.8或12【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線與圓相切求b的值.【詳解】圓的圓心為，半徑，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得或12.故選：A6.已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，該拋物線上位于第一象限的點(diǎn)A到其準(zhǔn)線的距離為4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式求解即可.【詳解】設(shè)，且，到準(zhǔn)線的距離為，則，解得，則，，.故選：A7.等比數(shù)列{an}中，a4＝2，a7＝5，則數(shù)列{lgan}的前10項(xiàng)和等于()A.2 B.lg50 C.5 D.10【答案】C【解析】【詳解】由題意可知a4a7＝a5a6＝a3a8＝a2a9＝a1a10，即a1a2…a9a10＝105，所以數(shù)列{lgan}的前10項(xiàng)和等于lga1＋lga2＋…＋lga9＋lga10＝lga1a2…a10＝lg105＝5選C8.已知橢圓＝1的左焦點(diǎn)為F1，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.若∠F1BA＝90°，則橢圓的離心率是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，列出關(guān)于的等式關(guān)系，進(jìn)而可得解.【詳解】根據(jù)已知得－＝－1，即，由此得，即－1＝0，即，解得(舍去負(fù)值)．故選：二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.橢圓的焦距是4，則實(shí)數(shù)m的值可能為（）A.5 B.13 C.8 D.21【答案】AB【解析】【分析】分類討論焦點(diǎn)所在的位置，結(jié)合橢圓的性質(zhì)分析求解.【詳解】由題意可知：橢圓的半焦距長(zhǎng)為，若焦點(diǎn)在x軸上，則，解得；若焦點(diǎn)在y軸上，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)的值是5或13.故選：AB10.已知是首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，則（）A. B.或2C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知可求出數(shù)列的公比，即可依次判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】設(shè)的公比為q，∵，，，∴，∴，故選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤．，∴選項(xiàng)C，D正確．故選：ACD.11.已知函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)a的取值可以是（）A.2 B.3 C.4 D.1【答案】BC【解析】【分析】在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象，觀察圖象可得到a的取值范圍.【詳解】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的大致圖象，如圖所示，兩圖象都經(jīng)過(guò)，易知只有時(shí)才能在的區(qū)域有第二個(gè)交點(diǎn)，故的取值范圍.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知雙曲線，（）的離心率為，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的離心率，得到關(guān)于的等式，從而求出的值.【詳解】雙曲線，（）的離心率為，解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.13.若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長(zhǎng)為，則a＝________.【答案】1【解析】【分析】先求得相交弦所在直線方程，然后利用勾股定理列方程，解方程求得的值.【詳解】將兩圓的方程相減，得相交弦所在的直線方程為.圓的圓心為，半徑為.到直線的距離為：，解得.故答案為：14.將石子擺成如圖的梯形形狀，各梯形里石子的個(gè)數(shù)為5，9，14，20，…，即構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第n項(xiàng)即___________．【答案】【解析】【分析】由題意知：,由累加法得通項(xiàng)公式.【詳解】各梯形里石子的個(gè)數(shù)為5，9，14，20，…，可知：，，，，由累加法得：，解得：.故答案為：（或）四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知空間向量．（1）計(jì)算和;（2）求與夾角余弦值．【答案】（1）,（2）．【解析】【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求解；（2）利用空間向量的夾角公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由題可得．【小問(wèn)2詳解】由題可得，，,與夾角的余弦值為．16.已知是一個(gè)等差數(shù)列，且．（1）求的通項(xiàng)公式;（2）求的前項(xiàng)和的最大值．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組即可求解；（2）利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得關(guān)于的二次函數(shù)，利用配方法即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公差為，由已知條件得解得，∴．【小問(wèn)2詳解】，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值4．17.已知拋物線與直線相切．（1）求拋物線C的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)且不與x軸垂直的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)．若，求弦的中點(diǎn)到直線的距離．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）將直線與拋物線方程聯(lián)立，由相切求得，寫(xiě)出拋物線方程.（2）根據(jù)過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式求得，即得的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)得答案.【小問(wèn)1詳解】聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，即，令，因?yàn)?，解得，故拋物線C的方程為．【小問(wèn)2詳解】點(diǎn)即為拋物線C的焦點(diǎn)，設(shè)A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為，則，故，則弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，故弦的中點(diǎn)到直線的距離是．18.如圖，在四棱錐中，底面．（1）求證：平面．（2）若平面與平面的夾角的余弦值為，求點(diǎn)A到平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，可得平面．（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面，平面，平面的法向量，由條件求得，再求點(diǎn)A到平面的距離．【小問(wèn)1詳解】底面平面．．又平面．【小問(wèn)2詳解】設(shè)，取的中點(diǎn)E，易得三角形是正三角形，．又底面平面，．在中，所以，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，得．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，得．所以，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，得．∴點(diǎn)A到平面的距離為．19.對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，“若存在，必有”，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）若數(shù)列滿足，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)？是否具有性質(zhì)？（2）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，設(shè)，求證：若數(shù)列具有性質(zhì)，則必為有限集；（3）已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，且既具有性質(zhì)，又具有性質(zhì)，是否存在正整數(shù)，，使得，，，…，，…成等差數(shù)列.若存在，請(qǐng)加以證明；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題中所給的條件，利用定義判斷可得數(shù)列不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)；（2）根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)，得到數(shù)列元素個(gè)數(shù)，從而證得結(jié)果；（3）依題意，數(shù)列是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，且既具有性質(zhì)，又具有性質(zhì)，可證得存在整數(shù)，使得是等差數(shù)列.【詳解】（1）因?yàn)?，，但，所以?shù)列不具有性質(zhì)，同理可得數(shù)列具有性質(zhì)；（2）因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，所以一定存在一組最小的且，滿足，即，由性質(zhì)的含義可得，，，，所以數(shù)列中，從第項(xiàng)開(kāi)始的各項(xiàng)呈現(xiàn)周期性規(guī)律：為一個(gè)周期中的各項(xiàng)，所以數(shù)列中最多有個(gè)不同的項(xiàng)，所以最多有個(gè)元素，即為有限集；（3）因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，又