中學(xué)考試全書 《高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)四十三講》(下)

第三十四講

分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

最對(duì)本部分內(nèi)容的考查呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：

新1.分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是排列組合問題的基礎(chǔ)和依據(jù)，雖然不是每年都單獨(dú)命題，但是

命其中的思想貫穿于整個(gè)排列組合中.

題2.考杳內(nèi)容：兩個(gè)原理.

特3.考查形式：選擇題居多，通常是貫穿于排列組合的其他題目中出現(xiàn).難度一般不大，屬于中低

點(diǎn)檔題型.

預(yù)計(jì)：典型例題仍然要有題目涉及，綜合出現(xiàn)在解答題中的可能性較大.

應(yīng)兩個(gè)原理看起來簡(jiǎn)單，但是要真正學(xué)會(huì)并能理解應(yīng)用不是很容易的事，特別是兩個(gè)原理的整合應(yīng)

試用是高考中丟分的關(guān)鍵因素.

高

分

瓶

頸

命題點(diǎn)1分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）

命題點(diǎn)2分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）

本類考題解答錦囊

命題點(diǎn)1分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）

解答“分類計(jì)算原理”一類試題應(yīng)注意：

1.分類計(jì)數(shù)原理是強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類方法互不干擾，彼此之間的交集是空集，并集是全集.不論哪類方法中的哪一種方法都能

單獨(dú)完成這件事，辦法中的各種方法也是相互獨(dú)立的.

2.正確區(qū)分分步計(jì)數(shù)原理與分類計(jì)數(shù)原理.

I高考最新熱門題

1（典型例題）從1,3,5,7中任取2個(gè)數(shù)字，從0,2,4,6,8中任取2個(gè)數(shù)學(xué)組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共

有一個(gè).（用數(shù)字作答）命題目的與解題技巧：①本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理與排列的基本知識(shí).②抓住0不能在首位且個(gè)位只能是0

或5來討論是正確解題的關(guān)鍵.

［解析］①當(dāng)個(gè)位是0時(shí)，0_

CCA=4X3X4X3=144.

②當(dāng)個(gè)位不是0且含0,5_

則個(gè)位必為5,先為0選位置.

CCCA=2X3X4X2=48.

③當(dāng)不含0時(shí)，個(gè)位必為5,5

CCA=3X6X3X2=108.

二共有144+48+108=300個(gè).

［答案］300

2（2002?廣東、河南）［文理］從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有

A.8種B.12種C.16種D.20種

答案：C指導(dǎo)：甲-*A-B-C-D-?甲

由上表知A,D不為甲.

（1）若B為甲，則不同傳法=4種.

（2）若B不為甲，而C為甲，

貝IJ不同傳法

（3）若9不為甲，C不為甲，則?=2.

綜上知，共有傳球方法4+4+2=10種.

3（典型例題）從長(zhǎng)度分別為1,2,3,4,5的五條線段中，任取三條的不同取法共有n種.在這些取法中，以取出的三條線段為邊可組

成的鈍角三角形的個(gè)數(shù)為m,則m等于

答案：A指導(dǎo)：若選擇三個(gè)不同的數(shù)，(且不含0)共有曷+屑+照++照=168ft.

若選擇三個(gè)不同的數(shù)(含0)共有8+7+6+5+…+1=36種若選擇二個(gè)數(shù)，共有8+7+6+…+1=36種共有168+36+36=240種

4(典型例題)在由數(shù)學(xué)1、2、3、4、5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有

A.56個(gè)B.57個(gè)C.58個(gè)D.60個(gè)

答案：D指導(dǎo)：從01至10中連續(xù)選3個(gè)，共有8種選法，

從11至20個(gè)連續(xù)選2個(gè)，共有9種選法，

從21至30個(gè)選1個(gè)，共有10種選法，

從31至36中選1個(gè)，共有6種選法.

二共有8X9X10X6種號(hào)碼

二共有8X9X10X6X2=8640元故選D.

5(典型例題)從0,1,2,3,4,5中任取3個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中能被5整除的三位數(shù)共有個(gè).(用

數(shù)字作答)

11題點(diǎn)經(jīng)典類型題

1(典型例題)等腰三角形的三邊均為正數(shù).它們周長(zhǎng)不大于10.這樣不同形狀的三角形的種數(shù)為

A.8B.9C.101).11

命題目的與解題技巧：①考查分類計(jì)數(shù)原理；②合理分類，注意條件“周長(zhǎng)不大于10”

［解析］設(shè)三邊為x,y,z,則x+y+zW10,由三邊關(guān)系共有

(1,1,1),(1,2,2),(1,3,3),(1,4,4),(2,2,2),(2,2,3),

(2,3,3),(2,4,4),(3.3,3),(3,3,4)共10種.

［答案］C

2(典型例題)三人傳球，由甲開始發(fā)球，并作第?次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有

A.6種B.8種C10種D.16種

3(典型例題)如果三位數(shù)的十位數(shù)字既大于百位數(shù)字也大于個(gè)位數(shù)字，則這樣的三位數(shù)?共有

A.240個(gè)B.285個(gè)C.231個(gè)D.243個(gè)

4(典型例題)某體育彩票規(guī)定：從01至36共36個(gè)號(hào)中抽出7個(gè)號(hào)為一注，每注2元。某人想從01至10中選3個(gè)連續(xù)的號(hào)，從11至20

中選2個(gè)連續(xù)的號(hào)，從21至扣中選1個(gè)號(hào)，從31至36中選1個(gè)號(hào)組成一注，則這個(gè)人把這種特殊要求的號(hào)買全，至少要

A.3360元B.6720元C.4320元D.8640元

m新高考命題探究

1如圖34—1—1,花壇內(nèi)有五個(gè)花池，有五種不同顏色的花卉可供栽種，每個(gè)花池內(nèi)只能種同種顏色的花卉，相鄰兩池

的花色不同，則最多有幾種栽種方案

A.180種B.240種C.360種D.420利，/'廠\

D指導(dǎo)：⑴當(dāng)1；2,4：3,5.僅三種花卉時(shí)，有混種.(Jp147

(2)當(dāng)1；2,4；3,5恰四種時(shí)，有川種.圖34-1-1

⑶當(dāng)1；2,4;3,5恰四種時(shí)，有混種.

(4)當(dāng)栽種五種時(shí)，有種.

2在編號(hào)為1,2,3,4的四塊土地上分別試種編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)品種的小麥，但1號(hào)地不能種1號(hào)小麥，2號(hào)地不能種2號(hào)小麥,

3號(hào)地不能種3號(hào)小麥，那么有多少不同的試種方案？

分兩類.04號(hào)地種4號(hào)小麥，1號(hào)地有2種試種方法，2、3號(hào)

地只有1種試種方法，共有2種種法.②土地編號(hào)與小麥

編號(hào)都不相同，第1號(hào)土地有3種試種方法，若1號(hào)地種的

是第1.號(hào)小麥，則第1.號(hào)土地有3種種法，余下的兩塊地只有

1種種法，共有3X3=9種試種方法.由分類計(jì)數(shù)原理試種方

案共有2+9=11種.

命題點(diǎn)2分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）

本類考題解答錦囊

解答“分類計(jì)數(shù)原理”一類試題要弄清以下兩問題：

1.分步計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各個(gè)步驟缺一不可，需要一次完成所有的步驟才能完成事件，步與步之間互不影響，即前一步使用什么方法不

影響后一步采取什么方法，也就是步與步之間相互依存，只有連續(xù)性，但每步中的不同方法卻相互獨(dú)立，互不干擾.

2.通常把完成題設(shè)事件的所有方法分為若干個(gè)“互斥類”，又在同一類中將完成事件的方法分成若干個(gè)“獨(dú)立步”，以保證“不重、

不漏”.

I高考最新熱門題

1（典型例題）將3種作物種植在如圖34-1-2,5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不一

能種植同?作物，不同的種植方法共有一種。（以數(shù)字作答）||||

命題目的與解題技巧：①本小題主要考查分類、分步計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決圖34-1-2

實(shí)際問題的能力.②抓住了3種種子都種在試驗(yàn)田中這一特點(diǎn)，是正確解題的關(guān)鍵.

［解析］分別用a,b,c表示3種作物，先安排第?塊田，有3種方法，不妨設(shè)先放入a,再安排第二塊田有b或c兩種作物，有2

種方法，不妨設(shè)放入A,下面對(duì)第三塊田種?；騝進(jìn)行分類:

（1）若第三塊田種c,則第四、五塊田分別有2種方法,共2X2種方法；

（2）若第三塊田種a,則第四塊田仍有b或c兩種作物可放；

①若第四塊田放c>則第五塊田有2種方法；

②若第四塊田放b,則第五塊田只能放c,有2種方法.綜上,共有3x2x［2x2+（2+l）］=42種方法.

［答案］42

2（典型例題）某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同

插法的種數(shù)為

A.42B.30C.20D.12

答案：A指導(dǎo)：第一步，先插入第一個(gè)節(jié)目，有6種插入法.

第二步，再插入第二個(gè)節(jié)目，有7種插人法.

故共有7X6=42種.

3（典型例題、河南）圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)（n>l）,以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為?

答案：2n（n-l）指導(dǎo)：2n（n-l）圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)，因此，有n條直徑，每條直徑為斜邊，有2n—2個(gè)直角三角形，故共有

n?（2n-2）=2n（n-l）個(gè)直角三角形.

4（典型例題）設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸跳動(dòng)，每次向正方向或負(fù)方向跳1個(gè)單位，經(jīng)過5次跳動(dòng)質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)（3,0）（允

許重復(fù)過此點(diǎn)）處，則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)方法共有種（用數(shù)字作答）.

答案：5指導(dǎo)：設(shè)每次跳動(dòng)的值為x（i=l,2,2,3,5）,則根據(jù)題意得5=3.必有4個(gè)1和一個(gè)T,共有方法

=5（種）.

5（典型例題）如圖10-1-3所示，-個(gè)地區(qū)分為52個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同顏色，/

現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種.（以數(shù)字作答）

答案：72指導(dǎo)：先排1區(qū)，有4種方法；再排2區(qū)，有3種方法；接著排3區(qū)，有2種排法.下面對(duì)4區(qū)涂色

情況進(jìn)行分類；若4區(qū)與2區(qū)同色，有1種方法，此時(shí)5區(qū)有2種方法，若4區(qū)與2區(qū)不同色，則1、2、3區(qū)不

同色，故4區(qū)也只有1種方法，此時(shí)5區(qū)只有1種方法，故共有4X3X2X（1X2+1X1）=72（種）.

II題點(diǎn)經(jīng)典類型題

1（典型例題）甲乙丙三個(gè)單位分別需要招聘工作人員2人、1人、1人，現(xiàn)從10名應(yīng)聘人員中招聘4人到甲乙丙三個(gè)單位，那么不同的招

聘方法共有

A.1260種B.2025種C.2520種D.5040種

命題目的與解題技巧：①考查分步計(jì)數(shù)原理與組合知識(shí)；②合理分步是解決此類問題的關(guān)鍵

［解析］第一步先從10人中選2個(gè)有種，再從8人中選1個(gè)人有種，再從7人中選1個(gè)人有種，故共有C*?C；=2520種

方法.

［答案］C

2（典型例題）某文藝團(tuán)體下基層進(jìn)行宣傳演出，原準(zhǔn)備的節(jié)目表有6個(gè)節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對(duì)順序不變，在它們之間再插入2個(gè)

小品節(jié)目，并且這2個(gè)小品節(jié)目在節(jié)目表中既不排頭，也不排尾，那么不同的插入方法有

A.20種B.30種C.42種1）.56種

答案：B指導(dǎo)：由題意知，將第一個(gè)小品節(jié)目插人節(jié)目單中，有武

種插法.

將第二個(gè)小品節(jié)目插入節(jié)目單中，有種插法.

則共有Cg或=30種安排方法.

3(典型例題)由0,1,2,…，9這十個(gè)數(shù)字組成的、無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之差的絕對(duì)值等于8的個(gè)數(shù)為

A.180B.196C。210D.224

答案：C指導(dǎo)：由題意知可能情況有

(1)08」(2)?80,⑶.19,⑷9

對(duì)⑴、(2)都有不同數(shù)字相=8X7=56種.

對(duì)(3)、(4)都有不同數(shù)字=49種.

則共有(56+49)X2=210種不同四位數(shù).

4(典型例題)某電子器件的電路中，在A、B之間有C、D、E、F四個(gè)焊點(diǎn)(如圖34—1-5).如果焊點(diǎn)脫落，則有可能。

導(dǎo)致電路不通，今發(fā)現(xiàn)工A、B間電路不通，則焊點(diǎn)脫落的不同情況有種._cj一:一￡

答案：13指導(dǎo)：焊點(diǎn)C是否脫落有12種選法.1)、E、F均有2種選法.則有Z%16種方案.

而全不脫落電路暢通，有1種方案，恰D、E中一個(gè)脫落，

圖34-1-5

種方案.故斷路方案有16-1-=13種.

III新高考命題探究

1.某銀行儲(chǔ)蓄卡的密碼是一個(gè)4位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為卜位、個(gè)位上的數(shù)字(如2816)的方法設(shè)計(jì)密碼，當(dāng)積為

-一位數(shù)時(shí)，十位上數(shù)字選0.千位、百位上都能取0.這樣設(shè)計(jì)出來的密碼共有

A.90個(gè)B.99個(gè)C.100個(gè)D.112個(gè)

答案：C指導(dǎo)：千位上數(shù)字的取法引C；o,百位上數(shù)字的取法共設(shè)計(jì)方案=10。種，也即有100個(gè)密碼.

2.如圖34T-6所示，用不同的五種顏色分別為A、B、C、D、E五部分著色，相鄰部分不能用同種顏色，但同一種顏

色可以重復(fù)使用，也可不使用，則符合這種要求的不同著色的方法種數(shù)是圖34_1_6

A.120B.240C.480I).540

答案：D指導(dǎo)：為A著色有eg種，為B著色有種為C著色

種，為E著色有種.

為D著色有Cl種.故共有=540種

第三十五講排列與組合

最對(duì)木部分內(nèi)容的考查呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：

新1.排列組合不僅是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)問題，同時(shí)在實(shí)際中有很大的用處，因比在高考中經(jīng)常有題目涉

命及.

題2.考查內(nèi)容：排列、組合的概念、排列數(shù)與組合數(shù)、排列組合的應(yīng)用.

特3.考查形式：?jiǎn)为?dú)命題是通常出現(xiàn)在選擇或填空題中，有時(shí)候和組合及概率相結(jié)合出現(xiàn)在解答題

點(diǎn)中.難度相對(duì)較小，屬于高考中的中低檔題目'

預(yù)計(jì)：典型例題仍然要有題目涉及，出現(xiàn)在解答題中的可能性較大.

應(yīng)1.排列中讀不清題目中的關(guān)鍵字(如“在”與“不在”、“鄰”與“不鄰”等)是導(dǎo)致丟分的因素之

試

高2.組合中讀不清題目中的關(guān)鍵字的口“恰好”、“至多”、“至少”、“既有…又有…”等)是導(dǎo)致丟分

同的因素之一.

分3.針對(duì)于不同類型的題目靈活使用不同的方法是本部分的難點(diǎn).

瓶

頸

命題點(diǎn)1排列

命題點(diǎn)2組臺(tái)

命題點(diǎn)1排列

本類考題解答錦囊

解答“排列”一類試題應(yīng)注意以下幾方面：

1.本題考查二次函數(shù)的?般式，函數(shù)性質(zhì)和排列組合的應(yīng)用.

2.關(guān)鍵是對(duì)二次函數(shù)、偶函數(shù)弄清楚.

3.“在”與“不在”的問題應(yīng)該使用“優(yōu)先法”.優(yōu)先考慮特殊位置或者特殊元素，對(duì)這些特殊位置或者特殊元素進(jìn)行優(yōu)先排列.

4.“鄰”與“不鄰”的問題中：“鄰”的問題應(yīng)使用“捆綁法”；“不鄰”的問題應(yīng)使用“插空法”.

I高考最新熱門題

1（典型例題）從一1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f（x）=ax、6x+c的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有個(gè)，其

中不同的偶函數(shù)共有________個(gè).（用數(shù)字作答）

命題目的與解題技巧：①本題考查二次函數(shù)的一般式，函數(shù)性質(zhì)和排列組合的應(yīng)用②關(guān)鍵是對(duì)二次函數(shù)，偶函數(shù)弄清楚.

［解析］???aW0,???a應(yīng)從除0外的三個(gè)數(shù)中任取?個(gè)有C；個(gè).b、c應(yīng)從剩下的三個(gè)中任取2個(gè)，有種取法.則組成不同的二次

函數(shù)共有=18個(gè)，組成偶數(shù)函數(shù)必滿足aWO,b=0,則有A；二6個(gè).

［答案］6

2（典型例題）某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)

為

A.Ale；B.C.屋C：D.2A；

答案：B指導(dǎo)：分兩步：①把4名學(xué)生平均分成兩組，有方法：仁尹?=；《；②把兩組學(xué)生分到六個(gè)班級(jí)的兩個(gè)班中，；出種方法,

故共有方案g出常種，選B

3（典型例題）有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，

那么不同排法的種數(shù)是

A.234B.346C.350D.363

答案：B指導(dǎo)：前排中間的3個(gè)座位不能坐，有排法用），其中左；相鄰的分三類，在前排的其中的4個(gè)座位有3度；，則符合條,

的排法的種數(shù)中/）-3至-3A5-11A］=346,故選B另解：分三類：①兩人坐在前排，按要求有4?6+4?5=44

種坐法.

②兩人坐在后排，按要求有：A|2］=110種坐法.

③兩人分別坐在前后排，有8X12X2=192種

.?.共有346種排法.

4（2002?京皖）從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項(xiàng)不同工作.若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，

則選派方案共有

A.280種B.240種C.180種D.96種

答案：指導(dǎo)：

翻譯

因?yàn)榧?、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，因此，翻譯工作從余下的四名志愿者選一人有種，再從余卜一的5人中選3人從事導(dǎo)游、導(dǎo)購、

保潔有種，因此公弟=240題點(diǎn)經(jīng)典類型題

II題點(diǎn)經(jīng)典類型題

1（典型例題）5人排一個(gè)5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相鄰兩天不能排同一人，值日表排法的總數(shù)為

A.120B.324C.720D.1280

命題目的與解題技巧：考杳排列知識(shí)，用“涂色原理”.

［解析〕分五步：5X4X4X4X4=1280,故選D

［答案］D

2（典型例題）用1個(gè)1,2個(gè)2,3個(gè)3這樣6個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)不同的6位數(shù)

A.20B.60C.120D.90

答案：B指導(dǎo)：由題有-^=60故選B.

A弼

3（典型例題）有五名學(xué)生站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲不排在乙的左邊，又不與乙相鄰，而不同的站法有

A.24種B.36種C.60種D.66種

答案：B指導(dǎo)：先排甲、乙外的3人，有宿種排法，再插入甲、乙兩人，有照種方法，又甲排乙的左邊和甲排乙右邊各占;故不同方

法數(shù)有:另?照=36種.

4（典型例題）用0,3,4,5,6排成無重復(fù)字的五位數(shù)，要求偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰，則這樣的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是

A.36B.32C.24D.20

答案：1）指導(dǎo)：按首位數(shù)字的奇偶分兩類：若首位是奇數(shù)，則共有種方法，若首位是偶數(shù)，則共有（母-度）屬種方法....這樣的

五位數(shù)共有照宿+（用-尾）Af=20種.

ni新高考命題探究

1百米決賽有6名運(yùn)動(dòng)員A、B、C、D、E、F參賽，每個(gè)運(yùn)動(dòng)員速度不同，則運(yùn)動(dòng)員A比運(yùn)動(dòng)員9先到終點(diǎn)的比賽結(jié)果共有

A.360B.240C.120D.48

答案：A指導(dǎo)：由A比F先到終點(diǎn).又A與F先到終點(diǎn)的機(jī)會(huì)均等，故只需對(duì)六人全排后除以2即筮/2=360.選A

26名運(yùn)動(dòng)員站在6條跑道上準(zhǔn)備參加比賽，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必須站在第五或第六道，則不同排法種數(shù)共有

A.144B.96C.72D.48

答案：A指導(dǎo)：先為乙選道C；,再為甲選?道余下4人排法有溫，則共有C：C；*=144.

3從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4x100米接力賽，如果甲、乙兩人都不跑第棒，那么不同的參賽方案有

A.180種B.240種C.300種D.360種

答案：指導(dǎo)：分三種情況：⑴甲、乙都不參加，有公=24種；（2）甲、乙僅有1人參加.有2C；*=144種；

（3）甲、乙兩人都參加，有蜀曷72種.由分類計(jì)數(shù)原理.?.共有24+144+72=240種.

命題點(diǎn)2組合

本類考題解答錦囊

解答“組合”一類試題應(yīng)注意以下兒點(diǎn)：

1.讀清題意，確定是排列還是組合.此時(shí)應(yīng)該注意的地方是：選出的元素是否有各自不同的順序或者位置.

2.與排列數(shù)不同，組合數(shù)有較多的性質(zhì)（剩余性質(zhì)和連加性質(zhì)），與以前或以后的很多知識(shí)點(diǎn)都有密切的聯(lián)系，就引起特別注意。

3.注意組合中的關(guān)鍵字：“恰好”、“至多”、“至少”、“既有…又有…”.

4.“多面手”問題：分類討論，分類的依據(jù)應(yīng)該是看多面手分到兩邊中其中?邊的人數(shù).

5.幾何問題：考慮（1）所給點(diǎn)的特點(diǎn)；（2）所構(gòu)成圖形的要求.

I高考最新熱門題

1（典型例題）直角坐標(biāo)xOy平面上,平行直線x=n（n=0,1,2,…，5）與平行直線y=n（n=0,1,2,--5）組成的圖形中,矩形共有

A.25個(gè)B.36個(gè)C.100個(gè)I）.225個(gè)

命題目的與解題技巧：①考查排列組合的計(jì)算問題，以及分析問題、解決問題的能力.②解決計(jì)數(shù)問題的關(guān)鍵是選擇計(jì)數(shù)的出發(fā)點(diǎn)，即

“完成一個(gè)事件”的策略是什么？本題“完成矩形”的構(gòu)造，考慮的著眼點(diǎn)是矩形是由四條邊構(gòu)成，這四條邊從何而來.

［解析］矩形是從平行直線x=n（n=O,1,2,…，5）中選擇兩條，作為一組對(duì)邊.再從平行直線y=n（n=l,0,1,2,…，5）中選擇兩條,

作為另一組對(duì)邊形成的.每一種選擇方案確定一個(gè)不同的矩形，故矩形共有=225個(gè).

［答案］D

2（典型例題）在100件產(chǎn)品中有6件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，至少有1件次品的不同取法的種數(shù)是

A.B.

Goo—C」4D.Aoo—A94

答案：c指導(dǎo)：任取3件產(chǎn)品有C.^o種方法，其中無次品有種方法，故至少有1件次品的方法數(shù)為G%-或4.

3（典型例題）從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有

A.140種B.120種C35種D.34種

答案：D指導(dǎo)：既有女生乂有男生，可以分類表示，三男?女有種選法，二男二女有種，?男三女有C：?可種

選法，則總的不同的選法有C：?+C：?丹+以?Cl=34（種）

4（2002?北京）［理］12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有

A.種B.3種C.種D.種

答案：A指導(dǎo)：先分配4個(gè)人到第一個(gè)路口，再分配4個(gè)人到第二個(gè)路口，最后分配4個(gè)人到第三個(gè)路口.

II題點(diǎn)經(jīng)典類型題

1（典型例題）從4名男生和5名女生中任意選出3人參加?個(gè)會(huì)議，其中至少有1名男生和名女生，則不同的選派方案有

A.140種B.84種C.70種D.35種

命題目的與解題技巧：①考查組合問題.②合理使用加法原理.

［解析］若選兩女一男，則有?種方法，若選兩男一女，則有C?種方法，故共有C?+?=70種.

［答案］C

2（典型例題三校）高三年級(jí)有文科、理科共9個(gè)備課組，每個(gè)備課組的人數(shù)不少于4個(gè)，現(xiàn)從這9個(gè)備課組中抽出12人，每個(gè)備課組至少

1人，組成“年級(jí)核心組”商議年級(jí)的有關(guān)事宜，則不同的抽調(diào)方案共有

A.129種B.148種C.165種D.585種

答案：C指導(dǎo)：本小題可看成將12個(gè)人排成?排，插入8塊板，分成9部分.有C：|=G3］=165種.

3（典型例題）一次考試中，要求考生從試卷上的9個(gè)題目中選6個(gè)進(jìn)行答題，要求至少包含前5個(gè)題目中的3個(gè)，則考生答題的不同選法

的種數(shù)是

A.40B.74C.84I）.200

答案：B指導(dǎo)：若前5題中包含3個(gè)，則共有種，若前5題中包含4個(gè)，則共有種，若前5題中包含5個(gè)，則共有可以

種，不同的選法種數(shù)為C??丹+C??或+C??以=74種.

4（典型例題）將1,2,3,9這9個(gè)數(shù)填在如圖35—2-1中的9個(gè)空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下依次增大，當(dāng)3、4

固定在圖中位置時(shí)，所填寫空格的方法有

A.6B.12C.18D.24

答案：A指導(dǎo)：由題意知數(shù)字1,2,9的位置也是固定的，如圖：5,6,7,8四個(gè)數(shù)字在A、B、C、D四個(gè)位置上，A、B位置上的填法

Cl，CsD位置上的填法封，共有C：?C>6種，故選A

m新高考命題探究

1將7名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生，那么互不相同的分配方案共有

A.252種B.112種C.70種D.56種

答案：B指導(dǎo)：由題知，總分配方法有：可可+可。+燎弓+可仁=112種.故選B

2圓周I:有12個(gè)不同的點(diǎn)，過其中任意兩點(diǎn)作弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是

A.A］：B.A"］；C.D.G：

答案：D指導(dǎo)：圓周上任意四個(gè)點(diǎn)的交叉連線交點(diǎn)均在圓內(nèi)且惟?，故只需確定這樣四點(diǎn)的種數(shù).由這四點(diǎn)選法有，故在圓內(nèi)交點(diǎn)個(gè)數(shù)

為C1［,所以選n

T

3設(shè)含有10個(gè)元素的集合的全部子集數(shù)為S,其中由3個(gè)元素組成的子集數(shù)為T,由一的值為?

S

答案：生指導(dǎo)：工=-5_且——^=—

128SC和+C；o+...+C什128

考場(chǎng)

熱身探究性命題綜合測(cè)試

1一架間諜飛機(jī)侵入我領(lǐng)空，空軍某部奉命派出三架戰(zhàn)機(jī)跟蹤攔截，作戰(zhàn)部要求我戰(zhàn)機(jī)分別位于敵機(jī)的左右兩翼和后方成三角之勢(shì)夾擊敵

機(jī)，這樣，我三架戰(zhàn)機(jī)的不同排列方式有（）種

A.3B.6C.9I）.12

答案：B指導(dǎo)：即三架飛機(jī)三種不同占位，故國=6（種）

2要排出一張6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩舞蹈節(jié)目不得相鄰，不同的排法共有（）種

A.A'oB.C.A：-A；I）.Af-Ay

答案：D指導(dǎo)：先排6個(gè)歌唱節(jié)目有種排法，這6個(gè)節(jié)目有7個(gè)空隙（首尾各一個(gè)，中間5個(gè)），在這七個(gè)空隙中將4個(gè)舞蹈節(jié)目插入有

種插法，由分步計(jì)數(shù)原理，共有就種方法.

3現(xiàn)從某校5名學(xué)生中選出4人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三個(gè)課外活動(dòng)小組，要求每個(gè)小組至少有一人參加，且每人只參加一個(gè)活動(dòng)小組，

則不同的參加方案種數(shù)是

A.180B.120C.60D.30

答案：A指導(dǎo)乙叢5名學(xué)生中選4人有C；種選法，然后4人分成3組參加數(shù)理化三個(gè)課外活動(dòng)小組，有Cl?宿種，則共有C：?或?=180

（種）選A

4某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2,3張不同花色的A,有5次出牌的機(jī)會(huì)，每次只能出一種點(diǎn)數(shù)的牌，但張數(shù)不限，此

人有多少種不同的出牌方法？

答案：A?+房+*+^A?+A?+Cj*A?=860種指導(dǎo)：出牌的方法可分為以下幾類：①5張牌全部分開出，有再種方法：歐張2一起出，

3張A分開出，有用種方法；③2張2一起出，3張A分開出，有混種方法；④2張2一起出，3張A分兩次出，有仁?A9種方法：⑤2

張2分開出，3張A一起出，有恁種方法；⑥2張2分開出，3張A分兩次出，有C色絲種方法，因此共有不同的出牌方法

5已知y=f（x）是定義域?yàn)锳={x|lWxW7,xSN）,值域?yàn)锽={0,1}的函數(shù)

（1）試問這樣的函數(shù)f（x）共有多少個(gè)？

（2）若對(duì)于定義域中的4個(gè)不同元素，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都是1,那么這樣的函數(shù)共有多少個(gè)？

答案：（1）函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集上的?個(gè)映射，根據(jù)映射的定義，只要對(duì)集合A中的7個(gè)元素在9中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)即可，

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有2X2X2X…X2=2?=128個(gè)，又0或1沒有原象的映射各有一個(gè),故這樣的函數(shù)f（理共有1282=126個(gè).

（2）因?yàn)槎x域中的4個(gè)元素對(duì)應(yīng)于值域中的1,那么其余3個(gè)元素都對(duì)應(yīng)值域中的0,故這樣的函數(shù)f（x）有Cf=35（個(gè)）.

第三十六講

二項(xiàng)式定理

最對(duì)本部分內(nèi)容的考查呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：

新1.二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考中每年必考的內(nèi)容.

命2.考查內(nèi)容：（1）二項(xiàng)展開式；（2）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：（3）二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)和；（4）

題展開式系數(shù)、系數(shù)和.

特預(yù)計(jì)：20%年高考可能有題目涉及，出現(xiàn)在選擇填空中的可能性較大.

點(diǎn)

應(yīng)1.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式容易出錯(cuò).第r十1項(xiàng)的二次式系數(shù)為.

試2.二項(xiàng)式系數(shù)、系數(shù)的區(qū)別與使用是本部分的難點(diǎn)內(nèi)容，也是高考中丟分的關(guān)鍵因素之一.

高

分

瓶

頸

命題點(diǎn)1通項(xiàng)公式

命題點(diǎn)2二項(xiàng)展開式的系數(shù)與系數(shù)和

命題點(diǎn)1通項(xiàng)公式本類考題解答錦囊

解答“通項(xiàng)公式”一類試題要注意以下幾方面：

1.熟悉通項(xiàng)公式

2.在二項(xiàng)式的題目中出現(xiàn)“項(xiàng)”的問題（如常數(shù)項(xiàng)、含x的項(xiàng)、含的項(xiàng)、有理項(xiàng)等），通常都要用通項(xiàng)公式.

3.用通項(xiàng)公式解題，通常是解方程的問題，要注意方程的選取.

I高考最新熱門題

1（典型例題）X~~J=展開式中/的系數(shù)為.

命題目的與解題技巧：①本小題主耍考查二項(xiàng)式定理、指定項(xiàng)系數(shù)等基本知識(shí).②利用好二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式J,使問題簡(jiǎn)化.

［解析］

3

令8——r=5得r=2.

2

展開式中r的系數(shù)為=28.

I：答案］28

2（典型例題）若（1—2，）"展開式的第3項(xiàng)為288,則lim（—I——H----1--------）的值是

—xx"

12

A.2B.1C.—D.一

25

答案：A指導(dǎo)：（a+b）”展開式中第r+1項(xiàng)為7;+|=C；?a（"-"，由此知288=丹?（-2*）2解之：x=3則數(shù)列｛々｝是公比為2的等比數(shù)列

2x13

a?

3（典型例題）已知（x-一］展開式中常數(shù)項(xiàng)為1120,其中實(shí)數(shù)。是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是

X

A.28B.38C.1或3*D.1或28

答案：C指導(dǎo)：設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則有4+1=C&?盧，?（_q）r=d?（_4?產(chǎn)2「當(dāng)『=4時(shí),7川為常數(shù)項(xiàng)

X

即：4?（-a）4=1120解：a=±2當(dāng)a=-2時(shí),（8+與展開式中各項(xiàng)系數(shù)和（1+2）8

X

當(dāng)a=2時(shí)，展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為（］-卞8=1

31

4(典型例題)己知+X3)”的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128,則展開式中X,的系數(shù)是.(以數(shù)字作答)

3」

答案：35指導(dǎo)：各項(xiàng)系數(shù)和為2",則2"=128,"=7,7;+|=.(「尸，?(『3),,令電二匕=5,r=3.C；=弓=35.

6

II題點(diǎn)經(jīng)典類型題

1(典型例題)已知(一^+56)”的二項(xiàng)展開式的第六項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，那么n的值是

30。x

A.32B.33C.34D.35

命題目的與解題技巧：①考查二項(xiàng)式定理.②靈活使用通項(xiàng).

5

［解析］T6=c^(—^=y-?(如產(chǎn)=.「否"臼"

30Jx

:*-------(n—5)+1=0.n—35.

30

故選D.

［答案］D

2(典型例題)(x'+"4)”的展開式中，第6項(xiàng)系數(shù)最大，則不含x的項(xiàng)為

X

A.210B.10C.462D.252

答案：A指導(dǎo)：第六項(xiàng)系數(shù)即為第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系統(tǒng)。

310-r

n=10.7；+1=C；o?(x)?(<)'=4產(chǎn)312r令30-3r-2r=0,r=6,;.C［o=4=210

3(典型例題)設(shè)f(x)=l+x+(l+x)2+…+(l+x)n的展開式中x項(xiàng)的系數(shù)和為Tn,則

111

A.—B.—C.-D.1

842

答案：C指導(dǎo)：7；=l+G+C；+..&=匚9..,.胃8/一=工

2n￡+n2

4(典型例題)已知(xjl--)6的展開式的第五項(xiàng)等于—，則lim(x'+x?！?x”)等于

X27L

A.0B.1C.2D.3

3

答案：B指導(dǎo)：7^=C^-x-1)4?(x2)6-4=15x-1=y./.1=2-，

］

2(1------)

力工(婷+/2+/3+....+廣〃)=吧8(U+4+...+/可工——^=吧8。一；)=1

22222

~2

5(典型例題)若(x2+)n的展開式中，只有第四項(xiàng)的系數(shù)最大，那么這個(gè)展開式中的常數(shù)項(xiàng)是—

答案：20指導(dǎo)：由題知產(chǎn)6,?,?常數(shù)項(xiàng)為直二20

6(典型例題)若(五一2)”的展開式中的第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則產(chǎn).

n-44

444

8指導(dǎo)：T5=C^?(V7)"-.(-^)=C>2??:5

.??第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).?.Zj±+(-g)=(V."=8.

HI新高考命題探究

1在(l+x)3+(l+x)4+…+(l+x)典型例題式中x3的系數(shù)等于

A,C2004B.C2005&2co04D.2c嬴

B指導(dǎo)：x的系數(shù)等］-C孑+C：+eg+…+CZQO4=C：+C：+C：+….+CgoQ4=cgogs故選B

2在(x,+3x+2)'展開式中x的系數(shù)為

A.160B.240C.360D.800

答案：B零指導(dǎo)：由題知x的系數(shù)為c!(3x”Cf?24=240?x

命題點(diǎn)2二項(xiàng)展開式的系數(shù)與系數(shù)和

本類考題解答錦囊

解答“二項(xiàng)展開式的系數(shù)與系數(shù)和”一類試題要注意：

1.區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，不要將兩者混為一談.

2.二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和：二項(xiàng)式系數(shù)和式是結(jié)論性的，記住結(jié)論即可.系數(shù)和的求法是“賦值法”，針對(duì)不同的問題賦不同的值，

通常是“1,-1,0”.

3.注意系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和中的“全和”與“半和

I高考最新熱門題

w，ia2ftt

1(典型例題)若(1—2x)'""+aix+a2x+—+aitws(xeR),則(a。十a(chǎn))+(a.,+a2)+(a,+a3)+—+(a,,+a.(用數(shù)字作答)

命題目的與解題技巧：①本小題主要考杳二項(xiàng)式定理的基本知識(shí)，以及賦值法等基本方法.②觀察式子特點(diǎn)，尋找x賦值為多少時(shí)使已

知所得等式更接近所求，從而使問題迎刃而解.

［解析］令x=0,得a>=l；

令x=l,得bajai+a?+…+a""MB故(a?+ai)+(a0+a2)+(ao+a3)+…+(a?+a優(yōu)艱i?OO3+ao+ai+a2+…+a*，幽,04.

c；+c；+c：+…+c：

［答案］典型例題(典型例題)lim

(C；+C；+C：+—+C：)

A.3B.c.D.6

36

*

答案：B指導(dǎo)：原式=即28_lim_____3x2_____

一“T85—1)(2+〃)

〃(2+3+…+〃)n?----------3

2

an-2b

3(2002?上海)在二項(xiàng)式(l+3x)和(2x+5)的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和分別記為an、bn,n是正整數(shù)，則hm-----------

3an-4hn

?！ㄒ淮?〃-2?7〃

答案:指導(dǎo)：由二項(xiàng)式定理得：%=4"=7〃巴82

23斯-4%-'183?4”-4?7〃2

4(典型例題)若(x+2)"=x"+…+ax3++bx2+cx+2"(n￡N,且n23),Jla:b=3:2,貝Un二_________.

答案：指導(dǎo)：(x+2)〃=C：x"+X21十…十。：一3天3義2”-3+c；-2x2+X2〃T+C：x2”,

故?—等.?.泊X”等…U

II題點(diǎn)經(jīng)典類型題

1(典型例題)若(n￡N+),FL(2—x)n=aO+alx+a2x2+…+anXn,則a0-al+a2-,,,+(-l)nan等于

A.81B.27

C.243D.729

命題目的與解題技巧：①考查二次式定理②靈活運(yùn)用“平和”公式③合理使用“賦值法”

［解析］由題知2n+6=n+2,/.『-4(舍)或2n十6n十2=20An=4.

n

此時(shí)令x=-1,ao-ai+a2-a3+***(-1)an=3-81.

［答案］A

2(典型例題)已知工由=為+五代".(其中叭nez,且OWm〈n).若f(x)=工(一?。；(3一戲=2出了1則;苫諱=

i=mi=0i=0i=l

A.0

B.-2

C.(-1)"

D.n為偶數(shù)時(shí)為0,n為奇數(shù)時(shí)為-2

答案：D指導(dǎo):由題知,只需令x=l則Ya,-=S(-D'C'O-iy=YC*(-2)*=C°(-2)°=C^-2)1+...C；；(-2)n=(1-2)"=(-1)"

i=0

i=0i=0

n

￡%=(-l)-a()=(-1)"-1.-.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),=-2,A當(dāng)”為偶數(shù)時(shí),=0,

/=0i=li=l

3(典型例題)若n是奇數(shù)，則7"++C：7"T+C；7"-2+...+。：-7被9除的余數(shù)是

A.0B.2C.7D.8

答案：C指導(dǎo)：原式=C，7"+C：?7"-1+...C"~l?7+C-l.=(7+l)n-l=8,,-l=(9-l),,-l=C?(-l)09n+c\9n~l(-1)'+1....+C；；(-l)n-l.

tn為奇數(shù),故僑余數(shù)為7。

4(典型例題)若(2—x)'^aj+aix+a,x'+--aiox10,

WJIog2al)+log2as+log45=.

102

答案：12指導(dǎo)，：log2aQ+log2Og-log245=log22+log2Qo?2-log245=10+2+log245-log245=12

m新高考命題探究

1在(l+x)"(n為正整數(shù))的二項(xiàng)展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的和為A,偶數(shù)項(xiàng)的和為B,則(l-xT的值為

A.0B.AB

C.AJ-B2D.A'+B2

答案：C指導(dǎo)：由題知(1-x)”=A-8(l-x)"=A+B;.(1-/)"=(]-X)"(I+X)"-(4-B