2018-2019學(xué)年上海中學(xué)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2018-2019學(xué)年上海中學(xué)高一(上)期末數(shù)學(xué)試卷

一、填空題

1.函數(shù)f(X)=后孑山(X-1)的定義域?yàn)?

2.設(shè)函數(shù)f(x)=0+1)(x-a)為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為.

x

3.已知y=loge+2(a>0且aWl)的圖象過定點(diǎn)P,點(diǎn)尸在指數(shù)函數(shù)y=/(x)的圖象上，

則/(x)=.

4.方程§2*1=(/)乂的解為.

5.對任意正實(shí)數(shù)x,y,f(xy)=/(x)曠(y),/(9)=4,則f(愿)=.

6.已知第函數(shù)/(x)=("P-5〃z+7)x'"是R上的增函數(shù)，則5的值為.

2"(箕40)1

7.已知函數(shù)f(x)=\.//、的反函數(shù)是fi(x),則fl(4)=______.

log2x(0<x^l)2

8.函數(shù)y=log和2-6X+5I的單調(diào)遞增區(qū)間為.

9.若函數(shù)f(x)=1。ga(x2-ax+2)(a>0且aWl)滿足：對任意x”xz，當(dāng)XiVxzq"!"

時(shí)，/(xi)-f(x2)>0,則a的取值范圍為.

10.已知x>0,定義f(x)表示不小于x的最小整數(shù)，若f(3xt/(x))=/(6.5),則正

數(shù)x的取值范圍為.

11.已知函數(shù)f(x)=log“(m+2)-log(2ni+l+—)(a>0且aWl)只有一個(gè)零點(diǎn)，則

aX

實(shí)數(shù)〃7的取值范圍為.

logj(1-x),

12.已知函數(shù)/(x)=，7,(〃<根)的值域是[-1,1],有下列

22-lx-11-3,n〈x《m

結(jié)論：(1)”=0時(shí)，，吒(0,2]；(2)〃=和，改，2]；(3)n=[0,/)時(shí)，

me(〃，2],其中正確的結(jié)論的序號(hào)為.

二、選擇題

13.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間(1,+8)上是增函數(shù)的是()

B.f()=(1)|x|

A.f(x)=--xX

C.f(x)=-x3D.f(x)=-log2^1

14.已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)，"滿足

f(依-1|)>/(-1),則%的取值范圍是()

A.(-8,0)B.(-°°,0)U(2,+8)

C.(0,2)D.(2,+8)

15.如果函數(shù)/(x)在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)項(xiàng))，使得/(沏+1)=/(xo)+/'(1)成立，則稱

函數(shù)/"(X)為“可拆分函數(shù)”，若f(x)=lg-j為“可拆分函數(shù)”，則a的取值范圍

2X+1

是()

A.(1.|)B.(1,3)C.(1,3]D.(3,+8]

16.定義在(-1,1)上的函數(shù)f(尤)滿足f(x)=/1、-,當(dāng)xe(-I,0]時(shí)，f(x)

f(X-1J+1

-1,若函數(shù)g(x)=1/(x)-馬-爾-加在(-1,1)內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)

x+12

數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(―,—)B.[―,—)C.[―,—)D.(―,—)

416416L42;2'

三、解答題

17.已知函數(shù)f(x)=2*7的反函數(shù)是y=/T(x),g(x)=log4(3x+l).

(1)畫出/(x)=2*-1的圖象；

(2)解方程(x)=g(x).

18.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)=ka-ax((a>0且,依R).

(1)求人的值，并用定義證明當(dāng)。>1時(shí)，函數(shù)/(x)是R上的增函數(shù)；

(2)已知f⑴=■|,求函數(shù)g(x)=/+"2?在區(qū)間[0,I]上的取值范圍.

19.松江有軌電車項(xiàng)目正在如火如荼的進(jìn)行中，通車后將給市民出行帶來便利，已知某條線

路通車后，電車的發(fā)車時(shí)間間隔r(單位：分鐘)滿足2WfW20,經(jīng)市場調(diào)研測算，電車

載客量與發(fā)車時(shí)間間隔，相關(guān)，當(dāng)10W/W20時(shí)電車為滿載狀態(tài)，載客量為400人，當(dāng)2

<f<10時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與(10-力的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2

分鐘時(shí)的載客量為272人，記電車載客量為pCt).

(1)求p(f)的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為6分鐘時(shí)，電車的載客量；

(2)若該線路每分鐘的凈收益為Q=6p(tA1500_60(元),問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少

時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大?

20.對于定義域?yàn)?。的函?shù))，=/(x),若存在區(qū)間［a,勿u。，使得/(x)同時(shí)滿足，(T)f

(x)在［。，句上是單調(diào)函數(shù)，②當(dāng)/(x)的定義域?yàn)椋坌∏袝r(shí)，/(%)的值域也為［a,b］,

則稱區(qū)間［〃，句為該函數(shù)的一個(gè)“和諧區(qū)間”.

(1)求出函數(shù)/(x)=/的所有“和諧區(qū)間”［a,h］；

(2)函數(shù)f(x)=|g-3|是否存在“和諧區(qū)間”3,勿？若存在，求出實(shí)數(shù)。，》的值；

若不存在，請說明理由；

(3)已知定義在(2,k)上的函數(shù)f(x)=2m—多有“和諧區(qū)間”，求正整數(shù)k取最小

x-1

值時(shí)實(shí)數(shù)，”的取值范圍.

2

21.定義在R上的函數(shù)g(x)和二次函數(shù)〃(x)滿足：g(x)+2g(-x)=/+--9,h

e

(-2)—h(0)-1,〃(-3)--2.

(1)求g(x)和/?(x)的解析式；

(2)若對于x”X2&\-1,11，均有h(%,)+axi+52g(也)+3-e成立，求a的取值范

圍；

'g(x),x>0

(3)設(shè)/(x)=4,、>，在(2)的條件下，討論方程力/Yx)l=a+5的解的個(gè)

h(x),x<0

數(shù).

2018?2019學(xué)年上海中學(xué)高一(上)期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、填空題

1.函數(shù)/(X)=劣2-廿加(x-1)的定義域?yàn)?1，2]

2-x>0

【解答】解:由題意可得解得1VXW2,

x-l>0'

故函數(shù)的定義域?yàn)椋?1,2],

故答案為：(1,2]

2.設(shè)函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)”的值為1

X

【解答】解：f(x)=x,(l-a)x-a是奇函數(shù),

X

/./(-X)=-/(X)，即x2+(a-l)x-a=_x2+(l-a)x-a,

-xX

22

Ax+(a-1)x-a=x~+(1-a)x-a,

/.(aT)x=(l-a)x,

故答案為：1.

3.已知y=logd+2(a＞0且。*1)的圖象過定點(diǎn)P,點(diǎn)P在指數(shù)函數(shù)y=/(x)的圖象上,

則/(x)=2”.

【解答】解：由。的任意性，x=l時(shí)，y=2,故y=log?x+2(。＞0且oWl)的圖象過定

點(diǎn)P(1,2),

把尸(1,2)代入指數(shù)函數(shù)/(x)=a,。＞0且aWl,得a=2,

所以/(無)=2\

故答案為：2\

4.方程923f4-1=(y)X的解為=|_.

【解答】解：由題意，9Zv+，=-V，

3X

.?.9但1.3*=1,

32但13，=1,

32(2v+l)+A=b即35**2=i.

5x+2=0,

故答案為：-

5

5.對任意正實(shí)數(shù)羽y,/(xy)=/(x)+fCy),/(9)=4,則f（北）=_1

【解答】解：令x=y=3,則/(9)=2f(3)=4,

?"⑶=2,

令x=y=dl，則f(3)=2f(巡)=2，

故答案為：1.

6.已知某函數(shù)/(X)=(毋-5〃什7)/是R上的增函數(shù)，I貝m?的值為3

2_

【解答】解：函數(shù)/(x)=(w2-5/n+7)”是塞函數(shù)，則m-5m+7=1,

即nf-5m+6=0,

解得m—2或機(jī)=3；

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，/(x)=f不是R上的增函數(shù)，不滿足題意；

當(dāng)機(jī)=3時(shí)，/(x)=f是R上的增函數(shù)，滿足題意.

則〃?的值為3.

故答案為：3.

7.已知函數(shù)/(x)=1/、的反函數(shù)是fl(A,則尸弓)=-1

log2x(,0<.x%lj

【解答】解：由題意，xWO,2X=^,：,x=-l,

：.f'(―)=-1.

2

故答案為-1.

8.函數(shù)y=log/*-6x+5l的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,1),[3,5）

【解答】解：函數(shù)，=|f-6x+5|的圖象如圖，

內(nèi)層函數(shù)大于0的減區(qū)間為(-8,1),[3,5)；

而外層函數(shù)y=i°gj?為定義域內(nèi)的減函數(shù)，

4

函數(shù)尸log/-6x+5|的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,|),⑶5).

故答案為：(-8,1),[3,5).

9.若函數(shù)f(x)=log(x2-ax+2)(〃>0且a/l)滿足：對任意x”X2)當(dāng)

0't,/(X,)-f(x2)>0,則。的取值范圍為(1,2、回).

2

【解答】解：?.?尸，-以+2=(x-4)?+2-在對稱軸左邊遞減，

24

，當(dāng)X[<X2W*|fl寸，yi>j2

:對任意的XI、X2,當(dāng)"時(shí)，f(X|)-f(%2)>0^/'(%1)>f(%2)>

故應(yīng)有”>1①

2

又因?yàn)閥=x2-ax+3在真數(shù)位置上所以須有2-3_>0=-2&<“<2衣②

4

綜上得1<a<242

故答案為：(1,2&).

10.已知x>0,定義/(x)表示不小于x的最小整數(shù)，若)=/(6.5),則正

數(shù)x的取值范圍為_春-1]_.

【解答】解：由題意，/(6.5)=7,故)=7,

.\6<3x+f(x)W7,

當(dāng)/(工)=i時(shí)，ovxWi,

此時(shí)6<3x+lW7,解得蔡<x《2,不符合題意；

當(dāng)f(x)=2時(shí)，1VXW2,

此時(shí)6V3x+2<7,解得滿足題意；

當(dāng)f(x)=3時(shí)，2VA<3,

此時(shí)6<3x+3W7,解得l〈x《母，不符合題意；

易知，當(dāng)x>爭寸均不符合題意；

綜上，實(shí)數(shù)X的取值范圍為仔，

故答案為：壹|].

9

11.已知函數(shù)/(X)=log”(g+2)-log”(2/H+1+—)(〃>0且只有一個(gè)零點(diǎn)，則

x

實(shí)數(shù)m的取值范圍為-1或m=0或m--5.

-----------------------------2-

9

【解答】解：函數(shù)/'(x)=log?("ix+2)-log(2m+l+—)(〃>0且〃#1)只有一個(gè)零

f/X

點(diǎn)，

可得f(x)=0,Bpmx+2=2m+\+—>0,有且只有一個(gè)實(shí)根，

X

7n=0,x=2顯然成立；

由+(1-2/n)x-2=0,△=(1-2m)2+8/H=0,

解得m=-/，此時(shí)x=2成立；

99-Y

由m(x-2)=--1=^-,

xx

即(x-2)處2=0,

X

由xW2,可得的+1=0,

2m+2^0,即mW-1.

綜上可得”的范圍是〃區(qū)-1或772=0或m=-右

故答案為：mW-1或m=0或m—-

2

logj(1-x),T《x<n

12.已知函數(shù)/(x)=<萬，(〃〈加)的值域是[-1,1],有下列

22-|XT|_3,n〈x《m

==

結(jié)論：(1)〃=0時(shí)，加￡(0,2]；(2)n~2^'l,,2]；(3)n[09時(shí),

me(%2],其中正確的結(jié)論的序號(hào)為(2)(3)?

【解答】解：當(dāng)%>1時(shí),x-1>0,/(x)=22*i-3=23r-3,單調(diào)遞減，

當(dāng)-1<XV1時(shí)，/J)=22+1-3=2*”-3,單調(diào)遞增，

：.f(x)=22*"-3在(-1,1)單調(diào)遞增,在(1,+8)單調(diào)遞減，.?.當(dāng)x=l時(shí),

取最大值為1，

...繪出22一小"-3的圖象,如圖下方曲線:

logj(l_x),-l<x40

(1)當(dāng)〃=0時(shí)，f(x)=>'2,

22',X-1|-3,0<x<m

由函數(shù)圖象可知：

要使/(x)的值域是［-1,1］,

則怵(1,2］；故(1)錯(cuò)誤；

(2)當(dāng)〃時(shí)，/(x)=log/(1x),

f(x)在［-1,單調(diào)遞增，/(x)的最大值為1,最小值為-1,

：.me(A,2］；故(2)正確；

(3)當(dāng)〃日0,y)時(shí)，nze［l,2］：故(3)正確；

故答案為：(2)(3).

二、選擇題

13.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間(1,+8)上是增函數(shù)的是()

A-f(x)=--xB.?)=(得)兇

x2

C./(x)=-?D.f(x)=-log2答

【解答】解：在A中，/Q）=工-》是奇函數(shù)，在區(qū)間（1,+8）上是減函數(shù)，故A錯(cuò)

X

、口

I天；

在8中，f（x）=（'）㈤是偶函數(shù)，在區(qū)間（1，+8）上是減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

在C中，/（x）=-/是奇函數(shù)且在區(qū)間（1,+8）上是減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

在。中，f（X）=Tog23M是奇函數(shù)且在區(qū)間（1,+oo）上是增函數(shù)，故。正確.

X-1

故選：D.

14.已知/（X）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（-8,0）上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)，"滿足

/（依-1|）（-1）,則%的取值范圍是（）

A.（一，o）B.（-8,0）u（2,+co）

C.（0,2）D.（2,+8）

【解答】解：???偶函數(shù)，在（-8,0）上是增函數(shù)，

二函數(shù)在（0,+8）上為減函數(shù)，

1|）>/（-1）,

：.\m-1|<1,

-\<m-1<1,

.,.0</?<2

故不等式的解集為{刑0<〃1<2},

故選：C.

15.如果函數(shù)/（x）在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)xo,使得/（必+1）=/（xo）V（I）成立，則稱

函數(shù)/（X）為“可拆分函數(shù)”，若f（x）=lgj—為“可拆分函數(shù)”，則a的取值范圍

2X+1

是（）

A.（I，|）B.（1,3）C.（-1,3]D.（3,+8]

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=/g:為“可分拆函數(shù)”，

2X+1

aa-

所以存在實(shí)數(shù)xo，使得lgx+i=l8~+/g去

20+120+13

aa

即x+ix且4>0,

20+12X°+1i

所以“=義?一上"一,令工=2確，則f>0,

2X2X°+1

_3(t+l)_3,3

所以，?

2t+l22(2t+l)

由f>0得

2

即“的取值范圍是（鳥，3）.

2

故選：B.

16.定義在（-1,1）上的函數(shù)/（x）滿足/（x）=———八r，當(dāng)/￡（-1,0］時(shí)，f（x）

f（X-1J+1

=-^—-若函數(shù)g（X）=，（X）-m-mx-m在（-1,1）內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)

x+12

數(shù)〃?的取值范圍是（）

A.(―,-)B.[―,—)C.[―,—)D.(―,—)

416416L422'

【解答】解：當(dāng)xe(-1,0]時(shí)，f(x)=---1,

x+1

當(dāng)工€(0,1)Bj,x-1E(-1,0),

1————

/（X）=-7---r=1=尤，

f（X-l）+11+---1

X

若函數(shù)g（x）=\f（x）-3-〃猶-加在（-1,1］內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn),

即方程「（x）-4-"優(yōu)-m=0在（-1,1］內(nèi)恰有3個(gè)根，

也就是函數(shù)y=,（x）-寺與y=mx+m的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn).

作出函數(shù)圖象如圖:

由圖可知，直線>=〃優(yōu)+加恒過點(diǎn)（-1,0）,

過點(diǎn)（-1,0）與點(diǎn)（0,5）的直線的斜率為5；

22

過點(diǎn)（-1,0）與（1,高）的直線斜率為二，

24

可得1/（x）-g與y=〃a+〃?的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)的，〃的取值范圍為C，5）.

242

故選：C.

三、解答題

17.已知函數(shù)/(x)=2'-1的反函數(shù)是(x),g(x)=log4(3x+l).

(1)畫出f(x)=2'-1的圖象；

(2)解方程(x)=g(x).

【解答】解：(1)如圖所示，

(2)由y=2'-1,解得:x=log2(y+1),

把x與y互換可得：y=log2(x+1),

.*./(x)的反函數(shù)是尸尸(x)=log2(x+1)(x>-1).

方程/I(x)=g(X)即log2(尤+1)=log4(3x+l).

:.(x+1)2=3X+1>0,

解得：x=0,1.

18.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)=ka-ax((。＞0且〃Wl),依R).

(1)求人的值，并用定義證明當(dāng)。＞1時(shí)，函數(shù)/(x)是R上的增函數(shù)；

(2)已知f(l)="|，求函數(shù)g(x)=/+"2?在區(qū)間10,1］上的取值范圍.

【解答】解：(1)因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)/(x)=ka-ax((a＞0且aWl),依R).

所以/(0)=k-1=0,解得&=1,

:.于(x)=a-ax,

當(dāng)a>1時(shí)，任取X\，X2E(-8,4-00)，且汨<X2,

X]<X21/.^X1<6fX2，艮口QX]一QX2V0，

6/X,+X2>O,

?,./(即)<f(%2)，

所以函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù).

(2)由⑴知，k=l,又因?yàn)?⑴=y,

a-a'=^-,解得a=2或-《(舍)，

22

所以g(x)=2%22=4*+47=4*+士，

4X

令r=4”,(lWfW4)

則y=?+-^-,

17

所以fE[2,---],

4

函數(shù)g(x)=f+"2,在區(qū)間[0,1]上的取值范圍[2,-21].

4

19.松江有軌電車項(xiàng)目正在如火如荼的進(jìn)行中，通車后將給市民出行帶來便利，已知某條線

路通車后，電車的發(fā)車時(shí)間間隔r(單位：分鐘)滿足2WfW20,經(jīng)市場調(diào)研測算，電車

載客量與發(fā)車時(shí)間間隔，相關(guān)，當(dāng)10W/W20時(shí)電車為滿載狀態(tài)，載客量為400人，當(dāng)2

<f<10時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與(10-f)的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2

分鐘時(shí)的載客量為272人，記電車載客量為0C).

(1)求p(/)的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為6分鐘時(shí)，電車的載客量；

(2)若該線路每分鐘的凈收益為Q=6p(tA1500一60(元),問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少

時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大?

【解答】解：⑴由題意知，P⑺=［00-k(10jt1,24t<10(%為常數(shù))，

400,10<t<20

?：p(2)=400-k(10-2)2=272,:.k=2.

.(、400-k(10-t)2,2<t<10

：.p(z)=<.

400,10<t<20

：.p(6)=400-2(10-6)2=368；

(2)由Q=6p(t)；1500_6o,可得

—(-12t2+180t-300),2<t<lC

Q=<:'

—(-60t+900),10<t<20

t

當(dāng)2Wf<10時(shí)，Q=18O-(12什斗。)<180-2^12t-^=60.

當(dāng)且僅當(dāng)f=5時(shí)等號(hào)成立；

當(dāng)10W/W20時(shí)，Q=-60+9詈W-60+90=30,當(dāng)r=10時(shí)等號(hào)成立.

當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，最大為60元.

20.對于定義域?yàn)椤５暮瘮?shù))，=/(x),若存在區(qū)間［a,勿u￡),使得/(x)同時(shí)滿足，

(x)在［a,回上是單調(diào)函數(shù)，②當(dāng)/(x)的定義域?yàn)橐?，切時(shí)，/(x)的值域也為［a,b\,

則稱區(qū)間［a,切為該函數(shù)的一個(gè)“和諧區(qū)間”.

(1)求出函數(shù)/(X)=儲(chǔ)的所有“和諧區(qū)間”［a,b］；

(2)函數(shù)f(x)=|g-3|是否存在“和諧區(qū)間”［。，勿？若存在，求出實(shí)數(shù)。，人的值；

若不存在，請說明理由；

(3)已知定義在(2,k)上的函數(shù)f(x)=2m—J有“和諧區(qū)間”，求正整數(shù)k取最小

x-l

值時(shí)實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

【解答】解：(1)?.?函數(shù)/CO=f；

：.f(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增；

再令/(x)=x=x9

：.x=-1,0,1；

：.f(x)=/的“和諧區(qū)間”為：[-1,0J>[0,1]>[-1,1]；

(2)假設(shè)函數(shù)f(x)=|g-3|存在和諧區(qū)間，

3|=x；

；.，+3x-4=0或x2-3x+4=0

①當(dāng)』+3x-4=o,即彳=-4或1；在[-4,1]內(nèi)f(x)不單調(diào)，故不成立；

②當(dāng)f-3x+4=0時(shí)，x無解，故不成立；

綜上所述：函數(shù)f(x)=|不存在和諧區(qū)間；

(3)?.?函數(shù)f(x)=2m-%有“和諧區(qū)間”；

.V(%)在(2,k)內(nèi)單調(diào)遞增，且/(x)=x在定義內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;

二2m-r=斑定義內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;

X-1

44

即：2tn=x+-----=x-l+-----+1：

x-1x-1

VxG(2,k),

??2m^2,(x-1)，即m

:函數(shù)g(x)=x?&在(2,3)內(nèi)單調(diào)遞減，在(3,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

X-1

???Q3；

:函數(shù)g(x)=x」r^直線尸2，”在(2,k)有兩個(gè)交點(diǎn)，g(2)=6

X-1

,4

??kt-丁