高中數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原那么：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等

3直觀圖：斜二測(cè)畫法〔角度等于45度或者135度〕

4斜二測(cè)畫法的步驟：〔1〕.平行于坐標(biāo)軸的線依舊平行于坐標(biāo)軸；〔2〕.平行于y軸的線長(zhǎng)度變半，平行于*軸的線長(zhǎng)度不變；〔3〕.畫法要寫好。

空間幾何體的表面積與體積

〔一〕空間幾何體的表面積：1棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和

2圓柱的表面積S2rl2r3圓錐的表面積：S2rlr2

222SrlrRlR4圓臺(tái)的表面積5球的表面積S4R

6扇形的面積公式S扇形nR21lr〔其中l(wèi)表示弧長(zhǎng)，r表示半徑〕3602

注：圓錐的側(cè)面開展圖的弧長(zhǎng)等于地面圓的周長(zhǎng)

〔二〕空間幾何體的體積

1柱體的體積VS底h2錐體的體積V1S底h3

13臺(tái)體的體積

VS上3

平面的基本性質(zhì)43S下)h4球體的體積VR3

公理1假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上全部的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).

公理2假如兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.

公理3經(jīng)過不在同一貫線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

依據(jù)上面的公理，可得以下推論.

推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.

推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.

空間線面的位置關(guān)系共面平行—沒有公共點(diǎn)

(1)直線與直線相交—有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

異面(既不平行，又不相交)

直線在平面內(nèi)—有很多個(gè)公共點(diǎn)

(2)直線和平面直線不在平面內(nèi)平行—沒有公共點(diǎn)

直線在平面外)相交—有且只有一公共點(diǎn)

(3)平面與平面相交—有一條公共直線(很多個(gè)公共點(diǎn))

平行—沒有公共點(diǎn)

異面直線的判定

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證明兩條直線是異面直線通常采納反證法；有時(shí)也可用定理“平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線”.

線面平行與垂直的判定

(1)兩直線平行的判定

①定義：在同一個(gè)平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行.

②假如一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行，即假設(shè)a∥α,a=b,那么a∥b.

③平行于同一貫線的兩直線平行，即假設(shè)a∥b,b∥c,那么a∥c.

④垂直于同一平面的兩直線平行，即假設(shè)a⊥α，b⊥α，那么a∥b

⑤兩平行平面與同一個(gè)平面相交，那么兩條交線平行，即假設(shè)α∥β,α∩γ,β∩γ=b,那么a∥b

⑥假如一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行，即假設(shè)α∩β=b,a∥α,a∥β，那么a∥b.

(2)兩直線垂直的判定

1.定義：假設(shè)兩直線成90角，那么這兩直線相互垂直.

2.一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即假設(shè)b∥c,a⊥b,那么a⊥c

3.一條直線垂直于一個(gè)平面，那么垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線.即假設(shè)a⊥α,bα，a⊥b.

4.假如一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面的垂線垂直.即假設(shè)a∥α,b⊥α,那么a⊥b.

5.三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即假設(shè)α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，那么a⊥b,b⊥c,c⊥a.

(3)直線與平面平行的判定

①定義：假設(shè)一條直線和平面沒有公共點(diǎn)，那么這直線與這個(gè)平面平行.

②假如平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線與這個(gè)平面平行.即假設(shè)aα,bα，a∥b,那么a∥α.

③兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面，即假設(shè)α∥β,lα，那么l∥β.

④假如一個(gè)平面和平面外的一條直線都垂直于同一平面，那么這條直線和這個(gè)平面平行.即假設(shè)α⊥β,l⊥β，lα，那么l∥α.

⑤在一個(gè)平面同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，假如它們與這個(gè)平面的距離相等，那么過這兩個(gè)點(diǎn)的直線與這個(gè)平面平行，即假設(shè)Aα，Bα，A、B在α同側(cè)，且A、B到α等距，那么AB∥α.

⑥兩個(gè)平行平面外的一條直線與其中一個(gè)平面平行，也與另一個(gè)平面平行，即假設(shè)α∥β,aα，aβ，a∥α，那么α∥β.

⑦假如一條直線與一個(gè)平面垂直，那么平面外與這條直線垂直的直線與該平面平行，即假設(shè)a⊥α,b

b∥α.

⑧假如兩條平行直線中的一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面(或在這個(gè)平面內(nèi))，即假設(shè)a∥b,a∥α,b∥α(或bα)

(4)直線與平面垂直的判定

①定義：假設(shè)一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直.

②假如一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.

即假設(shè)mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,那么l⊥α.

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③假如兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.即假設(shè)l∥a,a⊥α,那么l⊥α。④一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面，即假設(shè)α∥β,l⊥β，那么l⊥α。

⑤假如兩個(gè)平面相互垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面，即假設(shè)α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,那么l⊥α。

⑥假如兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面，即假設(shè)α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,那么a⊥γ。

(5)兩平面平行的判定

①定義：假如兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行，即無公共點(diǎn)α∥β。

②假如一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即假設(shè)a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,那么α∥β。

③垂直于同一貫線的兩平面平行.即假設(shè)α⊥a,β⊥a,那么α∥β。

④平行于同一平面的兩平面平行.即假設(shè)α∥β,β∥γ,那么α∥γ。

⑤一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面平行，即假設(shè)a,bα,

c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,那么α∥β。

(6)兩平面垂直的判定

①定義：兩個(gè)平面相交，假如所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面相互垂直，

即二面角α－a－β=90α⊥β。

②假如一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直，即假設(shè)l⊥β,lα，那么α⊥β。③一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè).即假設(shè)α∥β，α⊥γ，那么β⊥γ。

直線在平面內(nèi)的判定

(1)利用公理1：一貫線上不重合的兩點(diǎn)在平面內(nèi)，那么這條直線在平面內(nèi).

(2)假設(shè)兩個(gè)平面相互垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)，

即假設(shè)α⊥β,A∈α，AB⊥β，那么ABα。

(3)過一點(diǎn)和一條已知直線垂直的全部直線，都在過此點(diǎn)而垂直于已知直線的平面內(nèi)，即假設(shè)A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，那么aα。

(4)過平面外一點(diǎn)和該平面平行的直線，都在過此點(diǎn)而與該平面平行的平面內(nèi)，即假設(shè)Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，那么aβ。

(5)假如一條直線與一個(gè)平面平行，那么過這個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與這條直線平行的直線必在這個(gè)平面內(nèi)，

即假設(shè)a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,那么bα。

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立體幾何

空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原那么：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等

3直觀圖：斜二測(cè)畫法〔角度等于45度或者135度〕

4斜二測(cè)畫法的步驟：〔1〕.平行于坐標(biāo)軸的線依舊平行于坐標(biāo)軸；〔2〕.平行于y軸的線長(zhǎng)度變半，平行于*軸的線長(zhǎng)度不變；〔3〕.畫法要寫好。

空間幾何體的表面積與體積

〔一〕空間幾何體的表面積：1棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和

2圓柱的表面積S2rl2r3圓錐的表面積：S2rlr2

222SrlrRlR4圓臺(tái)的表面積5球的表面積S4R

6扇形的面積公式S扇形nR21lr〔其中l(wèi)表示弧長(zhǎng)，r表示半徑〕3602

注：圓錐的側(cè)面開展圖的弧長(zhǎng)等于地面圓的周長(zhǎng)

〔二〕空間幾何體的體積

1柱體的體積VS底h2錐體的體積V1S底h3

13臺(tái)體的體積

VS上3

平面的基本性質(zhì)43S下)h4球體的體積VR3

公理1假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上全部的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).

公理2假如兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.

公理3經(jīng)過不在同一貫線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

依據(jù)上面的公理，可得以下推論.

推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.

推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.

空間線面的位置關(guān)系共面平行—沒有公共點(diǎn)

(1)直線與直線相交—有且只有一個(gè)