第2章 一元一次不等式與一元一次不等式組（教師版）-八年級數(shù)學(xué)下冊

第2章一元一次不等式與一元一次不等式組知識點(diǎn)01：不等式1.不等式：用符號“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠連接的式子叫做不等式.易錯(cuò)指導(dǎo)：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：對于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個(gè)不等式的解集．解集的表示方法一般有兩種：一種是用最簡的不等式表示，例如，等；另一種是用數(shù)軸表示，如下圖所示：（3）解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式．2.不等式的性質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．知識點(diǎn)02：一元一次不等式1.定義：不等式的左右兩邊都是整式，經(jīng)過化簡后只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，這樣的不等式叫做一元一次不等式．易錯(cuò)指導(dǎo)：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式．2.解法：解一元一次不等式步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1.

易錯(cuò)指導(dǎo)：不等式解集的表示：在數(shù)軸上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定邊界點(diǎn)，二是定方向，三是定空實(shí).3.應(yīng)用：列不等式解應(yīng)用題的基本步驟與列方程解應(yīng)用題的步驟相類似，即：（1）審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量；（2）設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；（3）找：找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超過”“超過”等關(guān)鍵詞的含義；（4）列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：檢驗(yàn)是否符合題意，寫出答案.易錯(cuò)指導(dǎo)：列一元一次不等式解應(yīng)用題時(shí)，經(jīng)常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超過”、“不大于”、“不小于”等表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語，弄清它們的含義是列不等式解決問題的關(guān)鍵.知識點(diǎn)03：一元一次不等式組

關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成一個(gè)一元一次不等式組．

易錯(cuò)指導(dǎo)：（1）不等式組的解集：不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分叫做這個(gè)不等式組的解集.（2）解不等式組：求不等式組解集的過程，叫做解不等式組.

（3）一元一次不等式組的解法：分別解出各不等式，把解集表示在數(shù)軸上，取所有解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.

（4）一元一次不等式組的應(yīng)用：①根據(jù)題意構(gòu)建不等式組，解這個(gè)不等式組；②由不等式組的解集及實(shí)際意義確定問題的答案．知識點(diǎn)04：一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式（組）方程（組）、不等式問題函數(shù)問題從“數(shù)”的角度看從“形”的角度看求關(guān)于、的一元一次方程＝0（≠0）的解為何值時(shí)，函數(shù)的值為0？確定直線與軸（即直線＝0）交點(diǎn)的橫坐標(biāo).求關(guān)于、的二元一次方程組的解．為何值時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的值相等？確定直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo).求關(guān)于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集為何值時(shí)，函數(shù)的值大于0？確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2021春?武侯區(qū)校級期中）靜怡準(zhǔn)備用70元在文具店買A，B兩種筆記本共7本，A種筆記本每本10元，B種筆記本每本8元，如果至少要買4本A種筆記本，請問靜怡購買的方案有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種解：設(shè)靜怡準(zhǔn)備買A種筆記本x本，則購買B種筆記本（7﹣x）本，根據(jù)題意可知，10x+8（7﹣x）≤70，7﹣x＞0，解得，x＜7，∵x≥4，∴4≤x＜7，∴x可取4，5，6，∴共三有種方案．故選：B．2．（2分）（2022春?思明區(qū)校級期末）已知a＜b，下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)+2＜b+1 B．﹣3a＞﹣2b C．m﹣a＞m﹣b D．a(chǎn)m2＜bm2解：A、不等式的兩邊都減1，不等號的方向不變，故A錯(cuò)誤；B、不等式的兩邊都乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變，B選項(xiàng)沒有乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，故B錯(cuò)誤；C、∵a＜b，∴﹣a＞﹣b∴m﹣a＞m﹣b，故C正確；D、∵m2≥0，a＜b∴am2≤bm2，故D錯(cuò)誤；故選：C．3．（2分）（2022春?增城區(qū)期末）如圖，已知：函數(shù)y＝3x+b和y＝ax﹣3的圖象交于點(diǎn)P（﹣2，﹣5），則根據(jù)圖象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（）A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2解：∵函數(shù)y＝3x+b和y＝ax﹣3的圖象交于點(diǎn)P（﹣2，﹣5），則根據(jù)圖象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，故選：B．4．（2分）（2020?南京二模）若不等式組有解，則k的取值范圍是（）A．k＜2 B．k≥2 C．k＜1 D．1≤k＜2解：因?yàn)椴坏仁浇M有解，k＜2．故選：A．5．（2分）（2018春?唐河縣期中）如圖，已知直線y＝ax+b與直線y＝x+c的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，根據(jù)圖象有下列四個(gè)結(jié)論：①a＜0；②c＞0；③對于直線y＝x+c上任意兩點(diǎn)A（xA，yA）、B（xB，yB），若xA＜xB，則yA＞yB；④x＞1是不等式ax+b＜x+c的解集，其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①③ C．①④ D．③④解：∵直線y＝ax+b，y隨x的增大而減小，∴a＜0，①正確；∵直線y＝x+c與y軸交于負(fù)半軸，∴c＜0，②錯(cuò)誤；直線y＝x+c中，k＝1＞0，∴y隨x的增大而增大，∴xA＜xB，則yA＜yB，③錯(cuò)誤；x＞1是不等式ax+b＜x+c的解集，④正確；故選：C．6．（2分）（2020?長安區(qū)校級模擬）已知關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．解：由于不等式組有解，則，必定有整數(shù)解0，∵，∴三個(gè)整數(shù)解不可能是﹣2，﹣1，0．若三個(gè)整數(shù)解為﹣1，0，1，則不等式組無解；若三個(gè)整數(shù)解為0，1，2，則；解得．故選：B．7．（2分）（2023春?香坊區(qū)校級期中）如圖，在數(shù)軸上表示不等式3x﹣6＞0的解集，正確的是（）A． B． C． D．解：3x﹣6＞0，3x＞6，x＞2，在數(shù)軸上表示為，故選：B．8．（2分）（2023春?新民市期中）已知關(guān)于x的不等式組的最小整數(shù)解是2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．﹣3≤m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3≤m≤﹣2解：解不等式≥2，得：x≥4+m，解不等式x﹣4≤3（x﹣2），得：x≥1，∵不等式組的最小整數(shù)解是2，∴1＜4+m≤2，解得﹣3＜m≤﹣2，故選：B．9．（2分）（2023春?羅湖區(qū)期中）某學(xué)校舉行“創(chuàng)新杯”籃球比賽，比賽方案規(guī)定：每場比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝1場積2分，負(fù)1場積1分，每只球隊(duì)在全部8場比賽中積分不少于12分，才能獲獎(jiǎng)．小明所在球隊(duì)參加了比賽并計(jì)劃獲獎(jiǎng)，設(shè)這個(gè)球隊(duì)在全部比賽中勝x場，則x應(yīng)滿足的關(guān)系式是（）A．2x+（8﹣x）≥12 B．2x+（8﹣x）≤12 C．2x﹣（8﹣x）≥12 D．2x＞12解：由題意，勝一場得2x分，負(fù)一場得（8﹣x）分，則得不等式：2x+（8﹣x）≥12，故答案為：A．10．（2分）（2018?巴彥淖爾）若關(guān)于x，y的方程組的解滿足x﹣y＞﹣，則m的最小整數(shù)解為（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0解：，①﹣②得：x﹣y＝3m+2，∵關(guān)于x，y的方程組的解滿足x﹣y＞﹣，∴3m+2＞﹣，解得：m＞﹣，∴m的最小整數(shù)解為﹣1，故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?城中區(qū)模擬）如圖所示，函數(shù)y2＝ax+b和y1＝|x|的圖象相交于（﹣1，1），（2，2）兩點(diǎn)．當(dāng)y1＞y2時(shí)，x的取值范圍是x＜﹣1或x＞2．解：∵函數(shù)y＝ax+b和y＝|x|的圖象相交于（﹣1，1），（2，2）兩點(diǎn)，∴根據(jù)圖象可以看出，當(dāng)y1＞y2時(shí)，x的取值范圍是x＞2或x＜﹣1，故答案為：x＜﹣1或x＞2．12．（2分）（2020春?潤州區(qū)期末）已知實(shí)數(shù)x、y滿足2x﹣3y＝4，且x＞﹣1，y≤2，設(shè)k＝x﹣y，則k的取值范圍是1＜k≤3．解：∵2x﹣3y＝4，∴y＝（2x﹣4），∵y≤2，∴（2x﹣4）≤2，解得x≤5，又∵x＞﹣1，∴﹣1＜x≤5，∵k＝x﹣（2x﹣4）＝x+，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，k＝×（﹣1）+＝1；當(dāng)x＝5時(shí)，k＝×5+＝3，∴1＜k≤3．故答案為：1＜k≤3．13．（2分）（2018春?義安區(qū)期末）如圖，已知一次函數(shù)y1＝﹣x+b的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，6），y2＝kx﹣2的圖象與x軸交于點(diǎn)B（2，0），那么使y1＞y2成立的自變量x的取值范圍是x＜4．解：將點(diǎn)A（0，6）代入一次函數(shù)y1＝﹣x+b，得0+b＝6，解得b＝6，故函數(shù)解析式為y1＝﹣x+6；將點(diǎn)B（2，0）代入y2＝kx﹣2，得2k﹣2＝0，解得k＝1，故函數(shù)解析式為y2＝x﹣2，解方程組，解得，∴兩函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），∴使y1＞y2成立的自變量x的取值范圍是x＜4．故答案為：x＜4．14．（2分）（2023?洛陽三模）不等式組的所有整數(shù)解的和是5．解：，由①得：x＞，由②得：x≤3，∴不等式組的解集為＜x≤3，則所有整數(shù)解為2，3，之和為2+3＝5．故答案為：5．15．（2分）（2023春?江北區(qū)期中）如果關(guān)于x的不等式組有且只有3個(gè)奇數(shù)解，且關(guān)于y的方程3y+6a＝22﹣y的解為非負(fù)整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的積為﹣3．解：由，得x≤5，由3x+6＞a+4，得x＞，∵關(guān)于x的不等式組有且只有3個(gè)奇數(shù)解，∴這三個(gè)奇數(shù)解是1，3，5，∴﹣1≤＜1，解得﹣1≤a＜5，由方程3y+6a＝22﹣y，可得y＝，∵方程3y+6a＝22﹣y的解為非負(fù)整數(shù)，∴≥0且為整數(shù)，解得a≤且為整數(shù)，∴﹣1≤a≤且為整數(shù)，∴滿足條件的整數(shù)a的值為﹣1，1，3，∵﹣1×1×3＝﹣3，∴符合條件的所有整數(shù)a的積為﹣3，故答案為：﹣3．16．（2分）（2023春?沙坪壩區(qū)校級期中）若關(guān)于x的一元一次不等式組有解，且關(guān)于y的分式方程的解為整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和為﹣4．解：由一元一次不等式組得：x≤1且x，∵一元一次不等式組有解，∴，解得：a≤1，解分式方程得：y＝，∵分式方程的解是整數(shù)，y≠1，∴當(dāng)a+1＝1時(shí)，a＝0；當(dāng)a+1＝2時(shí)，a＝1；當(dāng)a+1＝4時(shí)，a＝3，不符合題意；當(dāng)a+1＝﹣1時(shí)，a＝﹣2；當(dāng)a+1＝﹣2時(shí)，a＝﹣3；當(dāng)a+1＝﹣4時(shí)，a＝﹣5，y＝1，不符合題意；∴符合條件的所有整數(shù)a的和為：0+1﹣2﹣3＝﹣4．故答案為：﹣4．17．（2分）（2023春?龍泉驛區(qū)期中）若整數(shù)m使關(guān)于x的不等式組有解，且使關(guān)于x的分式方程＝﹣1有整數(shù)解，則整數(shù)m的值為6．解：解不等式組得，∵不等式組有解，∴3m+2＞﹣2m+17，解得m＞3，分式方程＝﹣1兩邊同乘（x+2）（x﹣2），得：mx﹣x2﹣2x＝﹣x2+4，∴x＝，∵方程有整數(shù)解，m＞3，且≠±2，∴m＝6．故答案為：6．18．（2分）（2022春?辛集市期末）一個(gè)工程隊(duì)規(guī)定要在6天內(nèi)完成300土方的工程，第一天完成了60土方，現(xiàn)在要比原計(jì)劃至少提前兩天完成任務(wù)，請列出以后幾天平均每天至少要完成的土方數(shù)x應(yīng)滿足的不等式為3x≥300﹣60．解：由題意，列出不等關(guān)系x（6﹣1﹣2）+60≥300，化簡得3x≥300﹣60．19．（2分）（2016春?岱岳區(qū)期中）今年三月份甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)承包了面積1800m2的區(qū)域綠化，已知甲隊(duì)每天能完成100m2，需綠化費(fèi)用為0.4萬元；乙隊(duì)每天能完成50m2，需綠化費(fèi)用為0.25萬元，要使這次的綠化總費(fèi)用不超過8萬元，至少應(yīng)安排甲隊(duì)工作10天．解：設(shè)應(yīng)安排甲隊(duì)工作y天，根據(jù)題意得：0.4y+×0.25≤8，解得：y≥10．即：至少應(yīng)安排甲隊(duì)工作10天；故答案為：10．20．（2分）（2019春?南岸區(qū)校級期末）自2019年起，全國全面啟動(dòng)生活垃圾分類工作．到6月底，某市部分小區(qū)先投入“垃圾分類”工作中：這部分小區(qū)平均每個(gè)小區(qū)有72戶業(yè)主參加，其中參加戶數(shù)低于60戶的小區(qū)平均每個(gè)小區(qū)有56戶業(yè)主參加，參加戶數(shù)不低于60戶的小區(qū)平均每個(gè)小區(qū)有84戶業(yè)主參加．根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每個(gè)小區(qū)同時(shí)新增10戶業(yè)主參加，則此時(shí)參加戶數(shù)低于60戶的小區(qū)平均每個(gè)小區(qū)有58戶，參加戶數(shù)不低于60戶的小區(qū)平均每個(gè)小區(qū)有90戶業(yè)主參加，且該市這部分小區(qū)個(gè)數(shù)不低于50，且不高于70，則這部分小區(qū)有56個(gè)．解：設(shè)低于60戶的有x個(gè)小區(qū)，不低于60戶的有y個(gè)小區(qū)每個(gè)小區(qū)增加10戶，則設(shè)低于60戶的會在x戶的基礎(chǔ)上減少e戶，不低于60戶的會在y戶的基礎(chǔ)上增加e戶即：低于60戶有（x﹣e）個(gè)小區(qū)，不低于60戶的有（y+e）個(gè)小區(qū)由題意得：72（x+y）＝56x+84y化簡得：4x＝3y①同時(shí)有：58（x﹣e）+90（y+e）＝82（x+y）化簡得：3x﹣y＝4e②由①②解得：x＝2.4e，y＝3.2e∵x，y，e都是正整數(shù)，且50≤x+y≤70∴50≤5.6e≤70∴e＝10，x＝24，y＝32∴x+y＝56故答案為：56．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（8分）（2023?衡水三模）（1）已知a＝﹣1，求代數(shù)式的值；（2）解不等式組，并把其解集表示在數(shù)軸上．解：（1）＝?＝，當(dāng)a＝﹣1時(shí)，原式＝＝2；（2）解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜4，∴不等式組的解集是﹣1≤x＜4，在數(shù)軸上表示不等式組的解集為：．22．（8分）（2023春?青羊區(qū)校級期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于A，與直線交于，直線l2分別與x軸、y軸交于C、D，連接AD．（1）直接根據(jù)圖象寫出關(guān)于x的不等式的解集；（2）求出m、n的值；（3）求出△ABD的面積．解：（1）∵﹣x+m＞x+1，∴x＜﹣；（2）∵直線y＝x+1經(jīng)過B（，n），∴n＝×+1＝．∵直線y＝﹣x+m經(jīng)過B（，），∴＝﹣×+m，∴m＝3；（3）由（2）得直線l2的解析式為y＝﹣x+3，令x＝0，則y＝x+1＝1，∴H（﹣2，0），令x＝0，則0＝﹣x+3，∴y＝3，∴D（0，3），∴△ABD的面積＝△AHD的面積+△HBD的面積＝×（3﹣1）×2+×（3﹣1）×＝．23．（8分）（2023春?即墨區(qū)期中）某文具店在一次促銷活動(dòng)中規(guī)定：消費(fèi)者消費(fèi)滿100元就可享受打折優(yōu)惠．期中考試后，小韋同學(xué)在該店為班級買獎(jiǎng)品，準(zhǔn)備買3支鋼筆和若干本筆記本．已知每支鋼筆10元，每本筆記本4元，那么她至少買多少本筆記本才能享受打折優(yōu)惠？解：設(shè)小韋買x本筆記本才能享受打折優(yōu)惠，依題意得：10×3+4x≥100，解得：．∵x為整數(shù)，∴x的最小值為18．答：小韋至少買18本筆記本才能享受打折優(yōu)惠．24．（8分）（2023春?朝陽區(qū)校級期中）根據(jù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y＝|x﹣3|的圖象和性質(zhì)進(jìn)行研究，探究過程如下，請補(bǔ)充完整．（1）自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，如表是y與x的幾組對應(yīng)值：x…﹣10123456…y…43210m23…其中，m＝1；（2）在所給的平面直角坐標(biāo)系xOy中，已經(jīng)根據(jù)表格信息畫出了部分圖象，請你描出以上表中以其他各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，補(bǔ)全函數(shù)圖象；?（3）觀察以上函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x≥3時(shí)，y隨x的增大而增大；（4）結(jié)合圖象進(jìn)一步探究，①不等式|x﹣3|≥2的解集是x≤1或x≥5；②若關(guān)于x的方程|x﹣3|＝2x+b的解是負(fù)數(shù)，則b的取值范圍為b＞3．解：（1）m＝|4﹣3|＝1，故答案為：1；（2）如圖：（3）當(dāng)x≥3時(shí)，y隨x的增大而增大，故答案為：增大；（4）①由圖象得：不等式|x﹣3|≥2的解集是：x≤1或x≥5，故答案為：x≤1或x≥5；②由題意得：x＜0，∴原方程可化為：3﹣x＝2x+b，解得：x＝1﹣b，由題意得：1﹣b＜0，解得：b＞3，故答案為：b＞3．25．（8分）（2023春?小店區(qū)校級月考）某服裝廠生產(chǎn)一批服裝和領(lǐng)帶，服裝每套定價(jià)300元，領(lǐng)帶每條的定價(jià)為50元，廠方在開展促銷活動(dòng)期間，向客戶提供了如下兩種優(yōu)惠方案：方案一：購買一套服裝贈(zèng)送一條領(lǐng)帶；方案二：服裝和領(lǐng)帶均按定價(jià)的九折出售．某商店老板現(xiàn)要到服裝廠采購服裝30套，領(lǐng)帶x（x≥30）條，請根據(jù)x的不同情況，幫助商店老板選擇最省錢的方案．解：按優(yōu)惠方案（1）購買，應(yīng)付款：300×30+（x﹣30）×50＝50x+7500（元），按優(yōu)惠方案（2）購買，應(yīng)付款：（300×30+50x）×90%＝45x+8100（元），設(shè)y＝（50x+7500）﹣（45x+8100）＝5x﹣600（元），當(dāng)y＜0時(shí)，即（30≤x＜120且為整數(shù)）時(shí)．選方案（1）比方案（2）更省錢，當(dāng)y＝0時(shí)，即x＝120時(shí)．選兩個(gè)方案一樣省錢，當(dāng)y＞0時(shí)，即（x＞120且為整數(shù)）時(shí)．選方案（2）比方案（1）更省錢，如果同時(shí)選擇方案（1）和方案（2），那么為了獲得廠方贈(zèng)送領(lǐng)帶的數(shù)量最多．同時(shí)享有9折優(yōu)惠，可考慮設(shè)計(jì)別的方案（3），就是：先按（1）方案購買30套西服并獲贈(zèng)30條領(lǐng)帶，然后余下的（x﹣30）條領(lǐng)帶按優(yōu)惠方案（2）購買，應(yīng)