高考二輪復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)課件考點(diǎn)突破練8空間向量與空間角距離

考點(diǎn)突破練8空間向量與空間角、距離1.(2022全國(guó)乙,理18)如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點(diǎn).(1)證明:平面BED⊥平面ACD;(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°,點(diǎn)F在BD上,當(dāng)△AFC的面積最小時(shí),求CF與平面ABD所成的角的正弦值.(1)證明

∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴AB=CB.又E為AC的中點(diǎn),AD=CD,∴DE⊥AC,BE⊥AC.又BE∩DE=E,∴AC⊥平面BED.又AC?平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.

(1)求證:SA∥平面PCD;(2)當(dāng)三棱錐S-PCD體積最大時(shí),求點(diǎn)S到平面PCD的距離.(1)證明

如圖所示,連接OP,因?yàn)辄c(diǎn)O為AB的中點(diǎn),點(diǎn)P為SB的中點(diǎn),則OP∥SA,又OP?平面PCD,SA?平面PCD,所以SA∥平面PCD.3.(2023江西九江十校聯(lián)考二)如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D為A1B上一點(diǎn),AD⊥平面A1BC.(1)求證:BC⊥A1B;(2)若AD=,AB=BC=2,P為AC的中點(diǎn),求二面角A-A1B-P的余弦值.(1)證明

∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴AA1⊥平面ABC.又BC?平面ABC,∴AA1⊥BC.∵AD⊥平面A1BC,且BC?平面A1BC,∴AD⊥BC.又AA1?平面A1AB,AD?平面A1AB,AA1∩AD=A,∴BC⊥平面A1AB.而A1B?平面A1AB,∴BC⊥A1B.4.(2023新高考Ⅱ,20)如圖,三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC的中點(diǎn).(1)證明:BC⊥DA;(2)點(diǎn)F滿足

,求二面角D-AB-F的正弦值.(1)證明

如圖,連接AE,DE.∵DB=DC,E為BC的中點(diǎn),∴BC⊥DE.∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,∴△ABD,△ACD均為等邊三角形,且△ABD≌△ACD,∴AB=AC.又E為BC中點(diǎn),∴BC⊥AE.∵AE,DE?平面ADE,AE∩DE=E,∴BC⊥平面ADE.又DA?平面ADE,∴BC⊥DA.(1)證明

如圖,連接AD,CE.因?yàn)辄c(diǎn)P1是正六邊形的中心,所以點(diǎn)P1在直線AD上.所以PP1?平面PAD.又因?yàn)镻P1⊥平面ABCDEF,CE?平面ABCDEF,所以PP1⊥CE.在正六邊形中,因?yàn)锳D∥BC∥EF,且正六邊形內(nèi)角為120°,所以∠ADC=60°.又因?yàn)椤鱀EC中,DE=DC,∠EDC=120°,所以∠DCE=30°,所以∠ADC+∠DCE=90°.所以AD⊥EC.又因?yàn)锳D,PP1都在平面PAD內(nèi),且AD與PP1相交于點(diǎn)P1,所以EC⊥平面PAD.又因?yàn)镋C?平面PEC,所以平面PAD⊥平面PEC.6.(2023新高考Ⅰ,18)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.點(diǎn)A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)證明:B2C2∥A2D2;(2)點(diǎn)P在棱BB1上,當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150°時(shí),求B2P.(1)證明

(方法一)第一步:建系.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CD,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系.第二步:寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).由題意可得A2(2,2,1),B2(0,2,2),C2(0,0,3),D2(2,0,2).第三步:利用線線位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.(方法二

幾何法)第一步:作輔助線.設(shè)棱DD1上的點(diǎn)N滿足DN=AA2=1,取CC1的中點(diǎn)M,連接A2B2,A2N,MN,B2M.第二步:證明平行四邊形.因?yàn)镈N∥AA2,且DN=AA2,故四邊形AA2ND為平行四邊形,所以A2N∥AD,且A2N=AD.同理可證,B2M∥BC,且B2M=BC.因?yàn)锳D∥BC,且AD=BC,所以A2N∥B2M,且A2N=B2M.所以四邊形A2B2MN為平行四邊形.因?yàn)镈2N∥C2M,D2N=C2M=1,所以四邊形C2D2NM為平行四邊形.第三步:由線線平行的傳遞性證明結(jié)論.所以A2B2∥MN,A2B2=MN,MN∥C2D2,MN=C2D2,故A2B2∥C2D2,A2B2=C2D2.所以四邊形A2B2C2D2為平行四邊形.所以B2C2∥A2D2.(2)解

第一步:建系.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CD,CB,CC1