人教版高數(shù)選修2-2第6講：合情推理與演繹推理(學(xué)生版)-東直門仉長娜

PAGEPAGE1合情推理與演繹推理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.推理根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷，這種思維方式叫做推理.推理一般分為合情推理與演繹推理兩類.2.合情推理歸納推理類比推理定義由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理特點(diǎn)由部分到整體、由個別到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步驟通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確的一般性命題(猜想)(1)找出兩類事物之間相似性或一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)3.演繹推理；(2)特點(diǎn)：演繹推理是由一般到特殊的推理；(3)模式：三段論.“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：“三段論”的結(jié)構(gòu)①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷.“三段論”的表示①大前提——M是P.②小前提——S是M.③結(jié)論——S是P.題型一歸納推理例1設(shè)f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，先分別求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明.(1)觀察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此規(guī)律，第五個等式應(yīng)為________________________.已知f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N*)，經(jīng)計(jì)算得f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，則有______.題型二類比推理例2已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，則am＋n＝eq\f(nb－ma,n－m).類比等差數(shù)列{an}的上述結(jié)論，對于等比數(shù)列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，則可以得到bm＋n＝________.(1)給出下列三個類比結(jié)論：①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中結(jié)論正確的個數(shù)是 ()A.0 B.1 C.2 D.3把一個直角三角形以兩直角邊為鄰邊補(bǔ)成一個矩形，則矩形的對角線長即為直角三角形外接圓直徑，以此可求得外接圓半徑r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)(其中a，b為直角三角形兩直角邊長).類比此方法可得三條側(cè)棱長分別為a，b，c且兩兩垂直的三棱錐的外接球半徑R＝________.題型三演繹推理例3已知函數(shù)f(x)＝－eq\f(\r(a),ax＋\r(a))(a>0，且a≠1).(1)證明：函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2))對稱；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值.已知函數(shù)y＝f(x)，滿足：對任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，試證明：f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù). 1.判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確. ()(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理. ()(3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適. ()(4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯誤的. ()(5)一個數(shù)列的前三項(xiàng)是1,2,3，那么這個數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝n(n∈N＋). ()(6)eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，eq\r(6＋\f(b,a))＝6eq\r(\f(b,a))(a，b均為實(shí)數(shù))，則可以推測a＝35，b＝6. ()2.數(shù)列2,5,11,20，x,47，…中的x等于 ()A.28 B.32 C.33 D.273.觀察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，則52011的后四位數(shù)字為 ()A.3125 B.5625 C.0625 D.81254.(2013·陜西)觀察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此規(guī)律，第n個等式可為________.5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列.答案eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)解析對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12，T16＝a1a2…a16，因此eq\f(T8,T4)＝a5a6a7a8，eq\f(T12,T8)＝a9a10a11a12，eq\f(T16,T12)＝a13a14a15a16，而T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)的公比為q16，因此T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：40分鐘)一、選擇題1.(2012·江西)觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于 ()A.28 B.76 C.123 D.199答案C解析觀察規(guī)律，歸納推理.從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三項(xiàng)開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10＋b10＝123.2.定義一種運(yùn)算“*”：對于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：(1)1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+1，則n*1等于 ()A.n B.n＋1 C.n－1 D.n2答案A解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+(n－1).又∵1*1=1，∴n*1＝n3.下列推理是歸納推理的是 ()A.A，B為定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，則P點(diǎn)的軌跡為橢圓B.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C.由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面積S＝πabD.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇答案B解析從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理，故應(yīng)選B.4.已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求證：a<b.證明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B.∴a<b，其中，畫線部分是演繹推理的 ()A.大前提 B.小前提 C.結(jié)論 D.三段論答案B解析由三段論的組成可得畫線部分為三段論的小前提.5.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{bn}(bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n))也為等差數(shù)列.類比這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為 ()A.dn＝eq\f(c1＋c2＋…＋cn,n) B.dn＝eq\f(c1·c2·…·cn,n)C.dn＝eq\r(n,\f(c\o\al(n,1)＋c\o\al(n,2)＋…＋c\o\al(n,n),n)) D.dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)答案D解析若{an}是等差數(shù)列，則a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，∴bn＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，即{bn}為等差數(shù)列；若{cn}是等比數(shù)列，則c1·c2·…·cn＝ceq\o\al(n,1)·q1＋2＋…＋(n－1)＝ceq\o\al(n,1)·qeq\f(nn－1,2)，∴dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)＝c1·qeq\f(n－1,2)，即{dn}為等比數(shù)列，故選D.二、填空題6.仔細(xì)觀察下面○和●的排列規(guī)律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的○和●，那么在前120個○和●中，●的個數(shù)是________.答案14解析進(jìn)行分組○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝eq\f(nn＋3,2)，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.7.若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，且f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，當(dāng)n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f[fn－1(x)]，則f3(x)＝________，猜想fn(x)(n∈N*)的表達(dá)式為________.答案eq\f(x,7x＋8)eq\f(x,2n－1x＋2n)解析∵f1(x)＝eq\f(x,x＋2)，fn(x)＝f[fn－1(x)](n≥2)，∴f2(x)＝f(eq\f(x,x＋2))＝eq\f(\f(x,x＋2),\f(x,x＋2)＋2)＝eq\f(x,3x＋4).f3(x)＝f[f2(x)]＝f(eq\f(x,3x＋4))＝eq\f(\f(x,3x＋4),\f(x,3x＋4)＋2)＝eq\f(x,7x＋8).由所求等式知，分子都是x，分母中常數(shù)項(xiàng)為2n，x的系數(shù)比常數(shù)項(xiàng)少1，為2n－1，故fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n).8.在平面幾何中，△ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為eq\f(AE,EB)＝eq\f(AC,BC)，把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐A－BCD中(如圖所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且與AB相交于點(diǎn)E，則類比得到的結(jié)論是________.答案eq\f(BE,EA)＝eq\f(S△BCD,S△ACD)解析易知點(diǎn)E到平面BCD與平面ACD的距離相等，故eq\f(VE－BCD,VE－ACD)＝eq\f(BE,EA)＝eq\f(S△BCD,S△ACD).三、解答題9.已知等差數(shù)列{an}的公差d＝2，首項(xiàng)a1＝5.(1)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并歸納出Sn與Tn的大小規(guī)律.解(1)由于a1＝5，d＝2，∴Sn＝5n＋eq\f(nn－1,2)×2＝n(n＋4).(2)∵Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]＝4n2＋n.∴T1＝5，T2＝4×22＋2＝18，T3＝4×32＋3＝39，T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105.S1＝5，S2＝2×(2＋4)＝12，S3＝3×(3＋4)＝21，S4＝4×(4＋4)＝32，S5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S1＝T1，當(dāng)n≥2時，Sn<Tn.歸納猜想：當(dāng)n＝1時，Sn＝Tn；當(dāng)n≥2，n∈N時，Sn<Tn.10.在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由.解如圖所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).猜想，四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).證明：如圖，連接BE并延長交CD于F，連接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).B組專項(xiàng)能力提升(時間：30分鐘)1.給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)：①“若a，b∈R，則a－b＝0?a＝b”類比推出“若a，b∈C，則a－b＝0?a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，則復(fù)數(shù)a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出“若a，b，c，d∈Q，則a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)?a＝c，b＝d”；③若“a，b∈R，則a－b>0?a>b”類比推出“若a，b∈C，則a－b>0?a>b”.其中類比結(jié)論正確的個數(shù)是 ()A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析①②正確，③錯誤.因?yàn)閮蓚€復(fù)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù)，不能比較大小.2.設(shè)是R的一個運(yùn)算，A是R的非空子集.若對于任意a，b∈A，有ab∈A，則稱A對運(yùn)算封閉.下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉的是()A.自然數(shù)集 B.整數(shù)集C.有理數(shù)集 D.無理數(shù)集答案C解析A錯：因?yàn)樽匀粩?shù)集對減法、除法不封閉；B錯：因?yàn)檎麛?shù)集對除法不封閉；C對：因?yàn)槿我鈨蓚€有理數(shù)的和、差、積、商都是有理數(shù)，故有理數(shù)集對加、減、乘、除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉；D錯：因?yàn)闊o理數(shù)集對加、減、乘、除法都不封閉.3.平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為________.答案eq\f(n2＋n＋2,2)解析1條直線將平面分成1＋1個區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個區(qū)域；……，n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(n2＋n＋2,2)個區(qū)域.4.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n∈N*).證明：(1)數(shù)列{eq\f(Sn,n)}是等比數(shù)列；(2)Sn＋1＝4an.證明(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.故eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n)， (小前提)故{eq\f(Sn,n)}是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列. (結(jié)論)(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了)(2)由(1)可知eq\f(Sn＋1,n＋1)＝4·eq\f(Sn－1,n－1)(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·eq\f(Sn－1,n－1)＝4·eq\f(n－1＋2,n－1)·Sn－1＝4an(n≥2). (小前提)又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1， (小前提)∴對于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an. (結(jié)論)5.對于三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，給出定義：設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)，f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f″(x)＝0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.若f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋3x－eq\f