指數(shù)與指數(shù)函數(shù)-2021年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

潘劇與潘劇篩劇

【命題解讀】

指數(shù)函數(shù)是高中函數(shù)內(nèi)容的核心知識點之一，在歷年的高考中主要是以簡單題目為主,

指數(shù)累的運算，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)都是要求掌握的知識點。指數(shù)函數(shù)作為一種重要的函

數(shù)模型，要充分理解它的應(yīng)用。

【命題預(yù)測】

預(yù)計2021年的高考對于指數(shù)函數(shù)部分的考察還是以指數(shù)幕的運算和指數(shù)函數(shù)的圖象與

性質(zhì)為主要出題方向。

【復(fù)習(xí)建議】

集合復(fù)習(xí)策略：

1.理解實數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握指數(shù)幕的運算；

2.掌握指數(shù)函數(shù)的概念，圖象和性質(zhì)；

3.理解指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用。

考向一指數(shù)幕及指數(shù)幕的運算

1.新的概念：

m____

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)事:由三風(fēng)叫￡N：且n>l).

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕:在=幅且?guī)?gt;1).

③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)塞等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累無意義.

2.幕的運算：

①a%s=qF(a>0,r,sGQ);

@(a7=ara(a>0,r,jeQ)；

③(aby=aH(a>0,b>0,rGQ).

3.無理指數(shù)注:

一般的無理數(shù)指數(shù)基加(a>0,a為無理數(shù))是一個確定的實數(shù)，有理數(shù)指數(shù)基的運算性

質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)塞.

要例制折

1.計算:(V^xW)6+(-2019)°-4x(王)

【答案】99+TI

【解析】(VIXV5)6+(-2019)°-4X(^)-4(3-兀)4

=(2%6X(3%+1-4X(，2x(3+兀一3

=4x27+l-4xZ-3=99+7i.

4+K

33

2.已知x+婷=3,則等書的值為.

x2-+x-z-6---------------

【答案】c

【解析】若x+x/=3,貝|(x+x/)2=9,即x2+x'2=7,(%2+x'2)2=x+2+xA=5,

又因為x+x」=3＞0,所以X＞0,%2+%-2=V5,

「，3311、,_

因為/+x-2=(X2+%-2)(x+x1-1)=2V5,

3J

所以黑8=粵=2倨3.

考向二指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)

值域(0,+oo)

過定點(0,1)

性質(zhì)當(dāng)x＞。時,.1;當(dāng)x＜。時，。勺＜1|當(dāng)一時當(dāng)尤＜。時,

在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

口典例制折

1.12019青海西寧月考】指數(shù)函數(shù)y=/(x)的圖象經(jīng)過點(加，3),則10)+八一優(yōu))=

【答案】|4

【解析】設(shè)式的=〃3>0且。力1),所以犬0)=*=1.且式附=心=3.所以式0)+/(—忖=1

【答案】B

1(-)xX>0

【解析】作出函數(shù)y=F=2的圖象，如下圖所示,

22“x<0

將丁=(的圖象向左平移1個單位得到/'(x)=

圖象

故選：B

3.12020山東省高一期末】如圖，某湖泊的藍(lán)藻的面積》(單位：機D與時間f(單

位：月)的關(guān)系滿足y=a'，則下列說法正確的是()

A.藍(lán)藻面積每個月的增長率為100%

B.藍(lán)藻每個月增加的面積都相等

C.第6個月時，藍(lán)藻面積就會超過60療

D.若藍(lán)藻面積蔓延到力〃2,3根2,6加2所經(jīng)過的時間分別是4,G，%,則一定有4+/2=4

【答案】ACD

【解析】由圖可知，函數(shù)y="圖象經(jīng)過(1,2),即4=2,則。=2,y=2'；

.??2用—2'=2’不是常數(shù)，則藍(lán)藻每個月的面積是上個月的2倍，則每個月的增長率為

100%,A對、B錯；

當(dāng)/=6時，y=26=64>60,C對；

若藍(lán)藻面積蔓延到2加2,3m2,6//所經(jīng)過的時間分別是九GK，則。=2，2'2=3，

2'3=6，則2'1二"=2x3，即2/'2=6，則D對；

故選：ACD.

事檢測訓(xùn)練

題組一(真題在線)

1.【2019年高考全國n卷文數(shù)】設(shè)其尤)為奇函數(shù)，且當(dāng)定0時，/(x)=eX—1,則當(dāng)x<0時,

危尸

A.e-x-lB.e-J+l

C.-e-x-lD.-e-x+l

2.【2020年高考天津】設(shè)a=3°7/=(g)3,c=logo,70.8,則。，瓦c的大小關(guān)系為

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

3.【2020年高考北京】已知函數(shù)/(%)=2%-x-1,則不等式/(九)>。的解集是

A.(-1,1)B.(-0),-1)[(l,4w)

C.(0,1)D.(―8,0)D(l,+8)

4.【2020年高考全國全卷理數(shù)】已知55<83134<85.設(shè)a=log53,Z?=logs5,c=logi38,則

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

3

5.【2020年高考全國I卷】已知a=log2().2,bl，c=0.2°-.則()

\.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

6.【2019年高考北京】設(shè)函數(shù)/(x)=守+加-乂(a為常數(shù)).若/(x)為奇函數(shù)，則

a=；若/(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是.

題組二

1.12019荷澤期末】已知實數(shù)滿足等式2019“=2020",則下列關(guān)系式中不可能成立的是

()

A..0<a<bB.a<b<0

C.0<b<aD.a=b

2.【2020四川省高三模擬沖刺卷】若函數(shù)y=/(x)的大致圖象如圖所示，則/(九)的解

析式可以是

B.f(x\=——--

''ex-e-1

x

e-e

c.D.〃x)="

XX

3.【2019黑龍江七臺河月考】已知危)=3廣)(2金4,b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(2,1),則加)

的值域()

A.[9,81]B.[3,9]

C.[1,9]D.[1,+oo)

4.12019山東省診斷】已知。=自；,b=C，c=log2J則()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

5.12019河北邯鄲月考】方程4%—2/i—3=0的解集是.

6.12019山東淄博月考】已知函數(shù)兀匕為常數(shù)且〃>0,〃邦)的圖象經(jīng)過A(l,

8),5(3,32).

⑴試求mZ?的值；

(2)若不等式？)+(:)—根K)在x￡(—QO,1］時恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

f(x}=l-------

7.12020巴蜀中學(xué)高三高考適應(yīng)性月考】已知2l+1是定義域為R的奇函數(shù),

/(x2-mx+2\>—

且對任意實數(shù)x,都有3,則加的取值范圍是()

A.—2<m<2B.0<m<2

C.-4<m<4D.m>2

8.【2020廣東省惠州市高三模擬】已知函數(shù)/(x)=/+|x|,則滿足了(2x-的

x取值范圍是()

(12}「12、(12}「12、

八七%)C-匕1"0-\2-3)

事答案解析.

題組一

【解析】由題意知/(%)是奇函數(shù)，且當(dāng)它0時，f(x)=-1，

則當(dāng)x<0時，—x>0,則/(—x)=ef—1=—/(x),

得/(x)=—e-￡+l.

故選D.

2.D

【解析】因為a=307>l，

A=(￡p=3°-8>3°7=a，

c=log070.8<log070.7=1,

所以

故選D.

【解析】因為〃尤）=2-x—1,所以“x）〉0等價于2，>x+l，

在同一直角坐標(biāo)系中作出y=2,和y=x+l的圖象如圖：

不等式2*>x+l的解為％<0或%>1.

所以不等式/（力>0的解集為：（―8,0）D（l,W）.

故選：D.

4.A

【解析】由題意可知。、b、ce(O,l),

t7：：log53Jg3lg8<1pg3+lg8V=(Ig3+lg8Y=(lg24V<x

--2

Klog85lg5-lg5(lg5)12)21g5)~[\g25)

4

由〃=k)g85,得8"=5，由55<8加得85”<84,.,.5〃v4,可得/?<§；

4

由C=logi38,得13c=8，由134<85,得134<135°,.,.Sod,可得c>..

綜上所述，a<b<c.

故選：A.

5.B

02

【解析】由對數(shù)函數(shù)的圖像可知：a=log20.2<0；再有指數(shù)函數(shù)的圖像可知：人=2>1,

0<c=0,2°3<b于是可得到：a<c<b.

故選：B

【解析】若函數(shù)/(*)=/+超、為奇函數(shù)，則/(-%)=-/(力建工+戢

(fl+l)(^+/X)=0對任意的X恒成立.

若函數(shù)/(尤)="+aex是R上的增函數(shù)，則1(x)=e'—aex>0恒成立,a<e2x,a<0.

即實數(shù)。的取值范圍是(—,()］

題組二

1.A【解析】設(shè)2019。=2020』,作出y=2019工和y=2020，的圖像如圖所示，由函數(shù)圖像可得，若

/>1,則若貝U若/=1,則〃=/?=0,故B,C,D中關(guān)系式可能成立,A中關(guān)系式

不可能成立.故選A.

2.C【解析】當(dāng)x-0時，f(x)一±8,而A中的/(x)一0,排除A；

當(dāng)x<0時，f(x)<0,而選項B中x<0時，f(x\=--------->0,

'7ex-e-x

ee

選項D中，/(x)=->0,排除B,D,

故選C.

3.C【解析】由兀X)過定點(2,1)可知6=2,因人%)=3廠2在［2,4］上是增函數(shù)，.\/(x)min=

汽2)=32-2=1；/)max=/4)=34-2=9.

4.B【解析】因為〃6=@2=§,》6=Q)3=W，所以又因為C=log2[<log21=0.

5.{x|x=log23}

【解析】設(shè)2'=/,則方程變形為祥一2%—3=0,即。一3)?+1)=0,解得￡=3或/=—1(舍

去)，所以2%=3,所以x=log23,所以方程的解集為{x|x=log23}.

6.見解析

【解析】(1)由題意13,CC解得。=2,6=4.