2023-2024學年人教A版必修第二冊 8-6-2 第二課時　直線與平面垂直的性質(zhì) 課件（55張）

8第二課時直線與平面垂直的性質(zhì)新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.從相關定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與平面的垂直關系數(shù)學抽象2.歸納出直線與平面垂直的性質(zhì)定理邏輯推理3.了解直線與平面、平面與平面的距離直觀想象知識梳理·讀教材01題型突破·析典例02知能演練·扣課標03目錄CONTENTS01知識梳理·讀教材?

?問題

（1）如果直線a垂直于一個平面α，直線b與直線a平行，那么直線b與平面α是否垂直？猜測結果并說明理由；（2）如果兩條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線具有怎樣的位置關系？猜測結果并說明理由.

?

?

?知識點一

直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線

平行?符號語言圖形語言?

?作用①線面垂直?線線平行；②作平行線平行a∥b

在長方體ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'所在直線與平面ABCD位置關系如何？這兩條直線又有什么樣的位置關系？提示：棱AA'，BB'所在直線都與平面ABCD垂直；這兩條直線互相平行.知識點二線面距與面面距1.直線與平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上

任意一點?到這個平面的距離.2.平面與平面的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的

任意一點?到另一個平面的距離都相等.任意一點任意一點?

?是不是任意的直線與平面、平面與平面間都有距離？提示：不是.只有當直線與平面平行、平面與平面平行時才涉及距離問題.?

?1.△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關系是（

）A.相交B.異面C.平行D.不確定解析：∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l(xiāng)⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，∴l(xiāng)∥m.2.若直線AB∥平面α，且點A到平面α的距離為2，則點B到平面α的距離為

?.

答案：23.如圖，?ADEF的邊AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，則CE＝

?.

02題型突破·析典例?

?題型一線面垂直有關性質(zhì)的理解【例1】已知直線m，n和平面α，若n⊥α，則“m?α”是“n⊥m”的（

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析

若n⊥α，m?α，則n⊥m，故充分性成立，若n⊥m，n⊥α，則m?α或m∥α，故必要性不成立，故“m?α”是“n⊥m”的充分不必要條件.故選A.通性通法1.線面垂直的性質(zhì)定理揭示了“垂直”與“平行”這兩種特殊位置關系之間的轉化.2.常用的線面垂直的性質(zhì)還有：①b⊥α，a?α?b⊥a；②a⊥α，b∥a?b⊥α；③a⊥α，a⊥β?α∥β.?

?（多選）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC，則下列選項正確的是（

）A.AD1與平面A1DC相交B.AD1⊥平面A1DCC.AD1與MN異面D.AD1∥MN解析：因為AD1∩A1D＝O，則點O∈平面A1DC且點A?平面A1DC，A正確；因為AD1⊥A1D，AD1⊥CD，且CD∩A1D＝D，所以AD1⊥平面A1DC，B正確；又因MN⊥平面A1DC，則AD1∥MN即D正確，C錯誤.故選A、B、D.題型二直線與平面垂直的性質(zhì)的應用【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求證：EF∥BD1.證明

如圖所示，連接A1C1，C1D，B1D1，BD.∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，∴EF⊥平面A1C1D，

①∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.∵四邊形A1B1C1D1為正方形，∴A1C1⊥B1D1，又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，而BD1?平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D，

②由①②可知EF∥BD1.通性通法證明線線平行常用的方法（1）利用線線平行定義：證共面且無公共點；（2）利用三線平行基本事實：證兩線同時平行于第三條直線；（3）利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉化為證線面平行；（4）利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉化為證線面垂直；（5）利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉化為證面面平行.?

?如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.證明：因為AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因為AD＝AP，E是PD的中點，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因為MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因為MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.題型三空間中的距離問題【例3】如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中求出下列距離：（1）點A到平面BB1D1D的距離；

（2）點C到平面BDC1的距離.

通性通法求點到平面的距離的兩種方法（1）構造法：根據(jù)定義構造垂直于平面的直線，確定垂足位置，將所求線段化歸到三角形中求解；（2）等積變換法：將所求距離看作某個幾何體（多為棱錐）的高，利用體積相等建立方程求解.無論是求直線與平面的距離還是求平面與平面的距離，最終都轉化為點到平面的距離.?

?

2.如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，求AD到平面PBC的距離.

?

?1.在空間中，到一圓周上各點距離相等的點的集合表示的圖形是（

）A.一個點B.一條直線C.一個平面D.一個球面解析：過圓的圓心作此圓所在平面的垂線，則垂線上的點到圓周的各點距離相等，所以到一圓周上各點距離相等的點的集合是一條直線.故選B.2.已知直線l∩平面α于點O，A∈l，B∈l，A?α，B?α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足為C，BD⊥平面α，垂足為D，AC＝1，則BD＝（

）A.2B.1

3.已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四邊形ABCD一定是

?.

解析：易知BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC.又四邊形ABCD是平行四邊形，

∴平行四邊形ABCD一定是菱形.答案：菱形4.如圖，已知底面是正方形的四棱錐，一條側棱與底面垂直，它的長與底面邊長相等，長度均為1，那么該棱錐中最長的棱長是

?.

03知能演練·扣課標?

?1.已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中，一定能推出m⊥β的是（）A.α∥β，且m?αB.m∥n，且n⊥βC.m⊥n，且n?βD.m⊥n，且n∥β解析：A中，由α∥β，且m?α，知m∥β，不符合題意；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β內(nèi)的任意直線，再由m∥n，知m也垂直于β內(nèi)的任意直線，所以m⊥β，符合題意；C、D中，m?β或m∥β或m與β相交，不符合題意.故選B.2.給出下列條件（其中l(wèi)為直線，α為平面）：①l垂直于α內(nèi)的一五邊形的兩條邊；②l垂直于α內(nèi)三條不都平行的直線；③l垂直于α內(nèi)無數(shù)條直線；④l垂直于α內(nèi)正六邊形的三條邊.其中能夠推出l⊥α的所有條件的序號是（

）A.②B.①③C.②④D.③解析：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.①③都有可能垂直的是平行直線，不能推出l⊥α.故選C.3.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則（）A.α∥β，且l∥αB.α⊥β，且l⊥βC.α與β相交，且交線垂直于lD.α與β相交，且交線平行于l解析：由于m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，則平面α與平面β必相交但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，又直線l滿足l⊥m，l⊥n，則交線平行于l，故選D.4.已知Rt△EFG的直角頂點E在平面α內(nèi)，斜邊FG∥α，且FG＝6cm，EF，EG與平面α分別成30°和45°角，則FG到平面α的距離是（

）

5.（多選）如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列結論中正確的是（

）A.PB⊥BCB.PD⊥CDC.PD⊥BDD.PA⊥BD解析：∵PA⊥矩形ABCD，BD?矩形ABCD，∴PA⊥BD，故D正確；若PD⊥BD，則BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，則過平面外一點有兩條直線與平面垂直，故PD⊥BD不正確，故C不正確；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴PD⊥CD，故B正確；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥BC，又在矩形ABCD中，AB⊥BC，又PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，∴PB⊥BC，故A正確；故選A、B、D.6.（多選）如圖，ABCD是矩形，沿對角線BD將△ABD折起到△A'BD，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，則下列結論正確的是（

）A.A'C⊥BDB.A'D⊥BCC.A'C⊥BCD.A'D⊥A'B解析：∵ABCD是矩形，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，∴A'O⊥平面BCD，又BC?平面BCD，∴BC⊥A'O，又BC⊥CD，且DC∩A'O＝O，∴BC⊥平面A'CD，從而BC⊥A'D，BC⊥A'C.顯然，由矩形ABCD，易知A'B⊥A'D.故B、C、D正確.7.已知A，B兩點在平面α的同側，且它們與平面α的距離相等，則直線AB與平面α的位置關系是

?.

答案：平行8.在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，則其四個面中直角三角形的個數(shù)為

?.

解析：如圖所示，四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，AB⊥BC，AB⊥BD，AB⊥CD，∴△ABC，△ABD為直角三角形，∵BC⊥CD，BC∩AB＝B，BC，AB?平面ABC，∴CD⊥平面ABC，∴CD⊥AC，∴△ACD，△BCD為直角三角形.答案：49.一條與平面α相交的線段，其長度為10cm，兩端點到平面α的距離分別是2cm，3cm，則這條線段與平面α所成角的大小是

?.

解析：如圖，作出AC⊥α，BD⊥α，則AC∥BD，AC，BD確定的平面與平面α交于CD，且CD與AB相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，則AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.答案：30°

11.如圖，設平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是（

）A.EF⊥平面αB.EF⊥平面βC.PQ⊥GED.PQ⊥FH解析：因為EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，所以E，F(xiàn)，H，G四點共面.又PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，則由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG∩EF＝E，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B.12.（多選）如圖，等邊三角形ABC的邊長為1，BC邊上的高為AD，沿AD把△ABC折起來，