2022-2023學年九年級數(shù)學下冊舉一反三系列專題6.6 圖形的位似變換【八大題型】（舉一反三）（蘇科版）含解析

2022-2023學年九年級數(shù)學下冊舉一反三系列專題6.6圖形的位似變換【八大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1位似圖形的相關概念辨析】 1【題型2判斷位似中心】 2【題型3求位似圖形的相似比】 3【題型4求位似圖形的長度】 4【題型5求位似圖形的面積】 5【題型6求位似圖形的周長】 6【題型7求位似圖形的坐標】 8【題型8格點中作位似圖形】 9【知識點1位似圖形】1、定義：一般的，如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點,所在的直線都經(jīng)過同一點，且有=，那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點叫做位似中心2、性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比3、畫圖步驟：（1）尺規(guī)作圖法：①確定位似中心；②確定原圖形中的關鍵點關于中心的對應點；=3\*GB3③描出新圖形（2）坐標法：在平面直角坐標系中，將一個多邊形每個頂點的橫坐標、縱坐標都乘于同一個數(shù)，所對應的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標原點，它們的相似比為【題型1位似圖形的相關概念辨析】【例1】（2022·全國·九年級專題練習）下列命題：①兩個相似多邊形面積之比等于相似比的平方：②兩個相似三角形的對應高之比等于它們的相似比；③在△ABC與△A'B'C'中，ABA'B'=ACA'CA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-1】（2022·江蘇·九年級專題練習）下列語句中，不正確的是（

）A．位似的圖形都是相似的圖形B．相似的圖形都是位似的圖形C．位似圖形的位似比等于相似比D．位似中心可以在兩個圖形外部，也可以在兩個圖形內(nèi)部【變式1-2】（2022·四川達州·九年級期末）下列說法中正確的有（

）①位似圖形都相似；②兩個等腰三角形一定相似；③兩個相似多邊形的面積比是2:3，則周長比為4:9；④若一個矩形的四邊形分別比另一個矩形的四邊形長2，那么這兩個矩形一定相似．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-3】（2022·山東青島·九年級單元測試）關于對位似圖形的4個表述中：①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；②位似圖形一定有位似中心；③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么，這兩個圖形是位似圖形；④位似圖形上任意兩點與位似中心的距離之比等于位似比．正確的個數(shù)()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型2判斷位似中心】【例2】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形，且點D與點G是一對對應點，點D2，2，點GA．(-2，0) B．(-1，0) C．【變式2-1】（2022·北京師大附中九年級階段練習）圖中的兩個三角形是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點P B．點O C．點M D．點N【變式2-2】（2022·全國·九年級單元測試）下列四邊形ABCD和四邊形EFGD是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點E B．點F C．點G D．點D【題型3求位似圖形的相似比】【例3】（2022·湖北恩施·二模）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC與△DEF是位似圖形，則△ABC與△DEF的相似比為（

）．A．12 B．13 C．2【變式3-1】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為點O，△ABC的面積與△DEF面積之比為16：9，則CO:OF的值為（

）A．3：4 B．4：7 C．4：3 D．7：4【變式3-2】．（2022·福建廈門·模擬預測）如圖，把△AOB縮小后得到△COD，則△AOB與△COD的相似比為______．【變式3-3】（2022·全國·九年級單元測試）△ABC三個頂點A(3,?6)、B(6,?2)、C(2,?-1)，以原點為位似中心，得到的位似圖形△A'B'C'三個頂點分別為A'(1,?2)，B'(2,?23)，C(23【題型4求位似圖形的長度】【例4】（2022·重慶·一模）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，且位似中心為O，OB:OF=3:2，若線段AC=9，則線段DE的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【變式4-1】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，已知△ABC與△A′B′C′是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，且OAOA'=12，若點A（﹣1，0），點C（1【變式4-2】（2022·全國·九年級專題練習）在平面直角坐標系中，已知A(6,?3)、B(6,?0)兩點，以坐標原點O為位似中心，相似比為13，把線段AB縮小后得到線段A'B'【變式4-3】（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若矩形AEFG與矩形ABCD位似，點F在矩形ABCD的內(nèi)部，且相似比為3:4，則點C、F之間的距離為_________．【題型5求位似圖形的面積】【例5】（2022·河北·石家莊外國語教育集團九年級階段練習）如圖，△ABC與△ADE成位似圖形，位似中心為點A，若AD:AB=1:3，則△ADE與△ABC面積之比為（

）A．1:2 B．1:3 C．1:9 D．1:16【變式5-1】（2022·重慶市巴川中學校八年級期末）如圖，△ABC與△A'B'C'位似，位似中心為點O，OA'=2AA'，△ABC的面積為9，則△A'B'C'面積為（

）A．4 B．6 C．92 D．【變式5-2】（2022·全國·九年級課時練習）如圖，已知?ABCD的面積為24，以B為位似中心，作?ABCD的位似圖形?EBFG，位似圖形與原圖形的位似比為23，連接AG、DG．則△ADG【變式5-3】（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以O為位似中心的位似圖形，且位似比為，點A1，A2，A3在x軸上，延長A3C2交射線OB【題型6求位似圖形的周長】【例6】（2022·浙江溫州·二模）如圖，已知△ABC與△DEF是位似圖形，O是位似中心，若OA＝2OD，則△ABC與△DEF的周長之比是（

）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．6：1【變式6-1】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心是O，若OA∶OE＝1∶3，且四邊形ABCD的周長為4，則四邊形EFGH的周長為（

）A．12 B．16 C．20 D．24【變式6-2】（2022·重慶南岸·九年級期末）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為點O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周長為2，則△DEF的周長為（）A．4 B．6 C．8 D．18【變式6-3】（2022·全國·九年級課時練習）如圖，△ABC與△DEF位似，點O是位似中心．若OA:AD=2:3，△DEF與△ABC的周長差為12cm，則△ABC的周長為（

A．6cm B．8cm C．10cm【題型7求位似圖形的坐標】【例7】（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心九年級期中）如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點A（-4，2），B（-2，-2）．以坐標原點O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，△A1OB1與△AOB的位似比為12，則點A的對應點A1【變式7-1】（2022·甘肅·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為位似中心，將△AOB縮小為原來的12，得到△COD，若點A的坐標為（4，2），則AC的中點E【變式7-2】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC中，A，B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是-1,0．以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍．設點B的對應點B'的橫坐標是A．-12m+3 B．-12m+1【變式7-3】（2022·山東·膠州市初級實驗中學模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點O為位似中心，位似比為2：3，點B、E在第一象限，若點A的坐標為（4，0），則點E的坐標是_____．【題型8格點中作位似圖形】【例8】（2022·遼寧撫順·二模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（﹣2，2），B（﹣6，4），C（﹣4，8）．(1)畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1；(2)以坐標原點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的12，得到△A'B'C'，使△ABC與△A'B'C'位于位似中心兩側，請在平面直角坐標系中畫出△A'B'C'(3)設△ABC與△△A'B'C'的周長分別為l1、l2，則l1【變式8-1】（2022·河南南陽·九年級期中）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，每個小正方形邊長均為1，點O和△ABC的頂點均為小正方形的頂點．(1)以O為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A'B'C(2)證明△A'B【變式8-2】（2022·浙江寧波·九年級專題練習）如圖，9×9的方格都是由邊長為1的小正方形組成．?ABCD的頂點都在格點上，請按以下要求在圖1，圖2中畫出相應的格點圖形（頂點均在格點上）．(1)畫出?ABCD繞點A旋轉得到的?AB'C'D(2)請以A為位似中心，作與?ABCD的面積比為14的位似圖形?AEFG【變式8-3】（2022·山西呂梁·九年級期末）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點，以格點為頂點，分別按下列要求畫三角形．(1)在圖②中，請在網(wǎng)格中畫一個與圖①△ABC相似的△DEF；(2)在圖③中，以O為位似中心，畫一個△A1B1C1，使它與△ABC的位似比為2：1．專題6.6圖形的位似變換【八大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1位似圖形的相關概念辨析】 1【題型2判斷位似中心】 4【題型3求位似圖形的相似比】 7【題型4求位似圖形的長度】 10【題型5求位似圖形的面積】 12【題型6求位似圖形的周長】 15【題型7求位似圖形的坐標】 17【題型8格點中作位似圖形】 21【知識點1位似圖形】1、定義：一般的，如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點,所在的直線都經(jīng)過同一點，且有=，那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點叫做位似中心2、性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比3、畫圖步驟：（1）尺規(guī)作圖法：①確定位似中心；②確定原圖形中的關鍵點關于中心的對應點；=3\*GB3③描出新圖形（2）坐標法：在平面直角坐標系中，將一個多邊形每個頂點的橫坐標、縱坐標都乘于同一個數(shù)，所對應的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標原點，它們的相似比為【題型1位似圖形的相關概念辨析】【例1】（2022·全國·九年級專題練習）下列命題：①兩個相似多邊形面積之比等于相似比的平方：②兩個相似三角形的對應高之比等于它們的相似比；③在△ABC與△A'B'C'中，ABA'B'=ACAA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的性質及位似比的概念解答即可．【詳解】①正確，兩個相似多邊形面積之比等于相似比的平方；②正確，兩個相似三角形的對應高之比等于它們的相似比；③正確，根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似可得：在△ABC與△A′B′C′中，ABA④錯誤，因為已知△ABC及位似中心O，能夠作兩個三角形與△ABC位似，且位似比為2．故選：C．【點睛】本題考查了命題的真假判斷，涉及到相似三角形的性質和位似比的有關概念，熟記性質概念是解題的關鍵．【變式1-1】（2022·江蘇·九年級專題練習）下列語句中，不正確的是（

）A．位似的圖形都是相似的圖形B．相似的圖形都是位似的圖形C．位似圖形的位似比等于相似比D．位似中心可以在兩個圖形外部，也可以在兩個圖形內(nèi)部【答案】B【分析】利用位似圖形的性質分別判斷得出即可．【詳解】A、位似的圖形都是相似的圖形，正確，不合題意；B、相似的圖形不一定是位似的圖形，錯誤，符合題意；C、位似圖形的位似比等于相似比，正確，不合題意；D、位似中心可以在兩個圖形外部，也可以在兩個圖形內(nèi)部，正確，不合題意．故選：B．【點睛】此題主要考查了位似圖形的性質，正確掌握位似圖形的相關性質是解題關鍵．【變式1-2】（2022·四川達州·九年級期末）下列說法中正確的有（

）①位似圖形都相似；②兩個等腰三角形一定相似；③兩個相似多邊形的面積比是2:3，則周長比為4:9；④若一個矩形的四邊形分別比另一個矩形的四邊形長2，那么這兩個矩形一定相似．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)位似變換的概念、相似多邊形的判定定理和性質定理判斷．【詳解】解：①位似圖形都相似，本選項說法正確；②兩個等腰三角形不一定相似，本選項說法錯誤；③兩個相似多邊形的面積比是2：3，則周長比為2:④若一個矩形的四邊分別比另一個矩形的四邊長2，那么這兩個矩形對應邊的比不一定相等，兩個矩形不一定一定相似，本選項說法錯誤；∴正確的只有①；故選：A．【點睛】本題考查的是位似變換、相似多邊形的判定和性質，掌握位似變換的概念、相似多邊形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．【變式1-3】（2022·山東青島·九年級單元測試）關于對位似圖形的4個表述中：①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；②位似圖形一定有位似中心；③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么，這兩個圖形是位似圖形；④位似圖形上任意兩點與位似中心的距離之比等于位似比．正確的個數(shù)()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)位似變換的概念和性質對各個選項進行判斷即可．【詳解】相似圖形不一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形，①錯誤；位似圖形一定有位似中心，②正確；根據(jù)位似的定義，除上述條件還需有對應邊平行，或位于同一條直線上，③錯誤；反例如下圖,△ABC∽△A1B1C1，并且每組對應點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點B1，但是這兩個三角形不是位似圖形.

位似圖形上對應兩點與位似中心的距離之比等于位似比，④錯誤．故選A．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質，位似圖形的定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．注意：①兩個圖形必須是相似形；②對應點的連線都經(jīng)過同一點；③對應邊平行．【題型2判斷位似中心】【例2】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形，且點D與點G是一對對應點，點D2，2，點GA．(-2，0) B．(-1，0) C．【答案】A【分析】根據(jù)兩個位似圖形對應頂點所在的直線相交于一點，交點就是位似中心，可得連接DG并延長，其與x軸交點即為位似中心，用待定系數(shù)法求出直線DG解析式，即可求解．【詳解】解；連接DG并延長交x軸于M，∵點D與點G是一對對應點，則可知兩個位似圖形在位似中心的同旁，位似中心就是點M，設直線DG解析式為；y=kx+b，將D2，22k+b=2b=1解得：k=1∴直線DG解析式為y=1令y=0，可得：x=-2，∴M(-2，即位似中心的坐標是(-2，故選A．【點睛】考題考查了判斷位似中心和求解位似中心，待定系數(shù)法求一次函數(shù)，熟練掌握位似中心的定義是解題的關鍵．【變式2-1】（2022·北京師大附中九年級階段練習）圖中的兩個三角形是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點P B．點O C．點M D．點N【答案】A【分析】根據(jù)位似變換的定義：對應點的連線交于一點，交點就是位似中心．即位似中心一定在對應點的連線上．【詳解】點P在對應點M和點N所在直線上，∴兩個三角形的位似中心是：點P．故選A．【點睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質是解題關鍵．【變式2-2】（2022·全國·九年級單元測試）下列四邊形ABCD和四邊形EFGD是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點E B．點F C．點G D．點D【答案】D【分析】利用位似圖形的對應點的連線都經(jīng)過同一點進行判斷．【詳解】四邊形ABCD和四邊形EFGD是位似圖形，它們的位似中心是點D．故選D．【點睛】本題考查了位似變換：兩位似圖形的對應點的連線都經(jīng)過同一點；對應邊平行．【變式2-3】（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，矩形ABCD與矩形EFGO是位似圖形，位似中心在y軸上，對應點B、F的坐標分別為（﹣4，4）、（2，1），則位似中心的坐標為（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4）【答案】B【分析】如圖，連接BF交y軸于P，根據(jù)位似圖形的定義可得點P為位似中心，根據(jù)點B、F坐標可得點C、G坐標，可得CG的長，根據(jù)相似三角形的性質可求出GP的長，即可求出點P的坐標．【詳解】如圖，連接BF交y軸于P，∵矩形ABCD與矩形EFGO是位似圖形，位似中心在y軸上，點B、F為對應點，∴點P為位似中心，∵四邊形ABCD和四邊形EFGO是矩形，點B，F(xiàn)的坐標分別為（﹣4，4），（2，1），∴點C的坐標為（0，4），點G的坐標為（0，1），BC=4，GF=2，OG=1，∴CG＝3，∵BC∥GF，∴△BCP∽△FGP，∴GPPC＝GFBC＝12，PC=CG解得：GP＝1，∴OP=OG+GP=2，∴點P的坐標為（0，2），故選：B．【點睛】本題考查位似圖形的定義、相似三角形的判定與性質，理解位似圖形的定義、熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵．【題型3求位似圖形的相似比】【例3】（2022·湖北恩施·二模）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC與△DEF是位似圖形，則△ABC與△DEF的相似比為（

）．A．12 B．13 C．2【答案】D【分析】△ABC與△DEF是位似圖形，所以△ABC∽△DEF，根據(jù)勾股定理求出AB和DE即可解答．【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，∴△ABC∽△DEF，由圖可知AB=22+22=2∴AB∴△ABC與△DEF的相似比為2，故選：D．【點睛】本題考查位似圖形的性質．【變式3-1】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為點O，△ABC的面積與△DEF面積之比為16：9，則CO:OF的值為（

）A．3：4 B．4：7 C．4：3 D．7：4【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AC∥DF，進而證明△AOC∽△DOF，根據(jù)相似三角形的性質解答即可．【詳解】解：∵△ABC與△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，∵△ABC的面積與△DEF面積之比為16：9，∴ACDF∴△AOC∽△DOF，∴OCOF故選：C．【點睛】本題考查的是位似圖形、相似三角形的性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．【變式3-2】．（2022·福建廈門·模擬預測）如圖，把△AOB縮小后得到△COD，則△AOB與△COD的相似比為______．【答案】5:2【分析】根據(jù)位似變換的性質，三角形的相似比等于OBOD【詳解】解：如圖所示，D2,0∵把△AOB縮小后得到△COD，∴位似比為OBOD=52，則△AOB與故答案為：5:2．【點睛】本題考查的是位似變換的性質，掌握在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或?k是解題的關鍵．【變式3-3】（2022·全國·九年級單元測試）△ABC三個頂點A(3,?6)、B(6,?2)、C(2,?-1)，以原點為位似中心，得到的位似圖形△A'B'C'三個頂點分別為A'(1,?2)，B'(2,?23)，C(23【答案】1:3【分析】由△ABC三個頂點A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原點為位似中心，得到的位似圖形△A′B′C′三個頂點分別為A′（1，2），B′（2，23），C（23，﹣13），根據(jù)位似圖形的性質，即可求得△A′B′C【詳解】解：∵△ABC三個頂點A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原點為位似中心，得到的位似圖形△A′B′C′三個頂點分別為A′（1，2），B′（2，23），C（23，﹣13），∴△A′B′C故答案為1：3．【點睛】本題考查了位似圖形的性質．此題比較簡單，注意以原點為位似中心的位似圖形的位似比是對應點的對應坐標的比．【題型4求位似圖形的長度】【例4】（2022·重慶·一模）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，且位似中心為O，OB:OF=3:2，若線段AC=9，則線段DE的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】利用位似圖形的概念得到AB∥DF，△ABC∽△DFE，進而求出ABDF【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，∴AB∥DF，△ABC∽△DFE，∴ABDF=OB∵AC=9，∴9DE=3故選：C．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質，相似三角形的性質，根據(jù)位似圖形概念得到AB∥DF，△ABC∽△DFE，是解題的關鍵．【變式4-1】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，已知△ABC與△A′B′C′是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，且OAOA'=12，若點A（﹣1，0），點C（1【答案】13【分析】根據(jù)位似圖形的性質和已知求出A′、C′的坐標，根據(jù)兩點間的距離公式求出A′C′即可．【詳解】∵△ABC與△A′B′C′是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，且OAOA'=12，點A（﹣1，0），點C（12，1），∴A′（﹣2，0），C′（1，2），∴A′C′=(-2-1)2故答案為13．【點睛】本題考查了位似變換、坐標與圖形性質、兩點間的距離公式等知識點，求出點A′和C′的坐標是解答此題的關鍵．【變式4-2】（2022·全國·九年級專題練習）在平面直角坐標系中，已知A(6,?3)、B(6,?0)兩點，以坐標原點O為位似中心，相似比為13，把線段AB縮小后得到線段A'B'【答案】1【分析】已知A（6，3）、B（6，0）兩點則AB=3，以坐標原點O為位似中心，相似比為13，則A′B′：AB=1：3．即可得出A′B【詳解】∵A（6，3）、B（6，0），∴AB=3．又∵相似比為13，∴A′B′：AB=1：3，∴A′B【點睛】本題主要考查位似的性質，位似比就是相似比．【變式4-3】（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若矩形AEFG與矩形ABCD位似，點F在矩形ABCD的內(nèi)部，且相似比為3:4，則點C、F之間的距離為_________．【答案】5【分析】連接AC，先由勾股定理求得AC=4，再根據(jù)矩形AEFG與矩形ABCD位似，點F在矩形ABCD的內(nèi)部，且相似比為3:4，得AFAC=34，即可求出AF長，然后由CF=【詳解】解：如圖，連接AC，∵矩形ABCD，∴∠B=90°∴AC=AB∵矩形AEFG與矩形ABCD位似，點F在矩形ABCD的內(nèi)部，且相似比為3:4，∴點F在AC上，∴AFAC=3∴AF=35，∴CF=AC-AF=45-35=5，故答案為：5．【點睛】本題考查矩形的性質，勾股定理，位似圖形的性質，熟練掌握位似圖形的性質是解題的關鍵．【題型5求位似圖形的面積】【例5】（2022·河北·石家莊外國語教育集團九年級階段練習）如圖，△ABC與△ADE成位似圖形，位似中心為點A，若AD:AB=1:3，則△ADE與△ABC面積之比為（

）A．1:2 B．1:3 C．1:9 D．1:16【答案】C【分析】根據(jù)三角形面積比與位似比的關系求解．【詳解】解：由題意得△ADE與△ABC的位似比為1：3，∴△ADE與△ABC面積之比為13故選C．【點睛】本題考查位似三角形的應用，熟練掌握位似三角形的面積比等于位似比的平方是解題關鍵．【變式5-1】（2022·重慶市巴川中學校八年級期末）如圖，△ABC與△A'B'C'位似，位似中心為點O，OA'=2AA'，△ABC的面積為9，則△A'B'C'面積為（

）A．4 B．6 C．92 D．【答案】A【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC∽△A'B'C'，AB∥A'B'，可得△OAB∽△OA'B'，根據(jù)相似三角形的性質得到ABA【詳解】解：∵△ABC與△A'B'C'位似，∴△ABC∽△A'B'C'，AB∥A'B'，∴△OAB∽△OA'B'，∴ABA∴△ABC的面積：△A'B'C'的面積＝9：4，∵△ABC的面積為9，∴△A'B'C'的面積為：4，故選：A．【點睛】本題考查的是位似變換、相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．【變式5-2】（2022·全國·九年級課時練習）如圖，已知?ABCD的面積為24，以B為位似中心，作?ABCD的位似圖形?EBFG，位似圖形與原圖形的位似比為23，連接AG、DG．則△ADG【答案】4【分析】延長EG交CD于點H，由題意可得四邊形AEHD是平行四邊形，則可得此平行四邊形的面積為8，從而可得△ADG的面積．【詳解】延長EG交CD于點H，如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形EBFG是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，∴AD∥EG，∴四邊形AEHD是平行四邊形，∴S△ADG∵位似圖形與原圖形的位似比為23∴BE=2即AE=1∴S?AEHD∴S△ADG故答案為：4．【點睛】本題考查了位似圖形的性質，平行四邊形的性質與判定，掌握這些性質是解題的關鍵．【變式5-3】（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以O為位似中心的位似圖形，且位似比為，點A1，A2，A3在x軸上，延長A3C2交射線OB【答案】2【分析】根據(jù)位似圖形的概念求出OA2，根據(jù)正方形的面積公式計算，總結規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：∵正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為12∴A1∵A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，∴A1B1∥A2B2，∴OA1B1∽△OA2B2，∴OA∵OA1=1，∴OA2=2，∴A1A2=1，∴正方形A1B1C1A2的面積=1=40，∵OA1=A1A2=A1B1=1，∴∠B1OA1=45°，∴OA2=A2B2=2，∴正方形A2B2C2A3的面積=2×2=41，∵A3B3⊥x軸，∴OA3=A3B3=4，∴正方形A3B3C3A4的面積=4×4=16=42，……則正方形A2021B2021C2021A2022的面積為42021-1=42020=24040，故答案為：24040．【點睛】本題考查的是位似圖形的性質、圖形的變化規(guī)律，掌握位似圖形的性質、相似多邊形的性質是解題的關鍵．【題型6求位似圖形的周長】【例6】（2022·浙江溫州·二模）如圖，已知△ABC與△DEF是位似圖形，O是位似中心，若OA＝2OD，則△ABC與△DEF的周長之比是（

）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．6：1【答案】A【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△AOB∽△DOE，根據(jù)相似三角形的性質求出AB：DE，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比解答即可．【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，∴AB∥DE，∴△AOB∽△DOE，∴AB∴△ABC與△DEF的周長之比是2：1．故選A．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質、相似三角形的性質．【變式6-1】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心是O，若OA∶OE＝1∶3，且四邊形ABCD的周長為4，則四邊形EFGH的周長為（

）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【分析】根據(jù)位似的性質，可知兩個四邊形的周長之比也為1∶3，即可得解．【詳解】解：由題知：OA∶OE＝1∶3∴3C故選A．【點睛】本題考查了位似圖形的性質，知道位似圖形周長比等于相似比是解題的關鍵．【變式6-2】（2022·重慶南岸·九年級期末）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為點O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周長為2，則△DEF的周長為（）A．4 B．6 C．8 D．18【答案】B【分析】由△ABC與△DEF是位似圖形，且OA:OD=1:3知△ABC與△DEF的位似比是1:3，從而得出△ABC周長：△DEF周長=1:3，由此即可解答．【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，且OA:OD=1:3，∴△ABC與△DEF的位似比是1:3．則△ABC周長：△DEF周長=1:3，∵△ABC的周長為2，∴△DEF周長=2×3=6故選：B．【點睛】本題考查了位似變換：位似圖形的任意一對對應點與位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對應的周長比等于相似比．【變式6-3】（2022·全國·九年級課時練習）如圖，△ABC與△DEF位似，點O是位似中心．若OA:AD=2:3，△DEF與△ABC的周長差為12cm，則△ABC的周長為（

A．6cm B．8cm C．10cm【答案】B【分析】根據(jù)：位似圖形高、周長的比都等于相似比即可解答．求出△DEF與△ABC的相似比為5:2即可．【詳解】∵OA:AD=2:3∴OA:OD=2:5∴△DEF與△ABC的周長比為5:2∵△DEF與△ABC的周長差為12∴△ABC的周長=12×2故選：B【點睛】本題主要考查了位似比，熟練的掌握位似圖形高、周長的比都等于相似比是解題的關鍵．【題型7求位似圖形的坐標】【例7】（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心九年級期中）如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點A（-4，2），B（-2，-2）．以坐標原點O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，△A1OB1與△AOB的位似比為12，則點A的對應點A1【答案】（-2，1）或（2，-1）【分析】根據(jù)在平面直角坐標系中，以原點為位似中心的位似圖形，如果相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k計算，得到答案．【詳解】解∶∵以坐標原點O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，△∴點A1的對應點的橫縱坐標與點A的橫縱坐標的比值為12或∵A（-4，2），∴A1的坐標為(-4×12故答案為∶(-2，1)或(2，-1)．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質，掌握在平面直角坐標系中，以原點為位似中心的位似圖形，如果相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k是解題的關鍵．【變式7-1】（2022·甘肅·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為位似中心，將△AOB縮小為原來的12，得到△COD，若點A的坐標為（4，2），則AC的中點E【答案】（1，12【分析】根據(jù)位似變換的性質求出點C的坐標，根據(jù)線段中點的性質計算，求出點E的坐標．【詳解】∵以原點O為位似中心，將△AOB縮小為原來的12，得到△COD，點A∴點C的坐標為（4×（-12），2×（-1∴AC的中點E的坐標是（1，12故答案為：（1，12【點睛】本題考查的是位似變換的性質、坐標與圖形性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.【變式7-2】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC中，A，B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是-1,0．以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍．設點B的對應點B'的橫坐標是A．-12m+3 B．-12m+1【答案】A【分析】根據(jù)位似變換的性質得出△ABC的邊長放大到原來的2倍，F(xiàn)O=m，CF=m+1，CE=12（m+1），進而得出點B【詳解】解：過點B’作B’F⊥x軸，過點B作BE⊥x軸，∵點C的坐標是（-1，0）．以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍．點B的對應點B′的橫坐標是m，∴FO=m，CF=m+1，∴CE=12（m∴點B的橫坐標是：-12（m+1）-1=-12（故選：A．【點睛】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質，正確作出輔助線、靈活運用相似三角形的性質是解題的關鍵．【變式7-3】（2022·山東·膠州市初級實驗中學模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點O為位似中心，位似比為2：3，點B、E在第一象限，若點A的坐標為（4，0），則點E的坐標是_____．【答案】（6，6）．【分析】利用位似變換的概念和相似三角形的性質進行解答即可.【詳解】解：∵正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點O為位似中心，位似比為2：3，∴OAOD=解得，OD＝6，OF＝6，則點E的坐標為（6，6），故答案為：（6，6）．【點睛】本題考查了相似三角形、正方形的性質以及位似變換的概念，掌握位似和相似的區(qū)別與聯(lián)系是解答本題的關鍵.【題型8格點中作位似圖形】【例8】（2022·遼寧撫順·二模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（﹣2，2），B（﹣6，4），C（﹣4，8）．(1)畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1；(2)以坐標原點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的12，得到△A'B'C'，使△ABC與△A'B'C'位于位似中心兩側，請在平面直角坐標系中畫出△A'B'C'(3)設△ABC與△△A'B'C'的周長分別為l1、l2，則l1【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析(3)2：1【分析】（1）按照要求作圖即可，如圖1；（2）按照要求作圖即可，如圖1；（3）根據(jù)周長比等于位似比計算求解即可．（1）解：由題意知，A,B,C關于x軸對稱的點坐標分別為-2,-2，（2）解：由題意知，△ABC與△A∴A,B,C對應的位似點的點坐標分別為1,-1，（3）解：由題意知△ABC與△A∴l(xiāng)故答案為：2:1．【點睛】本題考查了畫軸對稱圖形，位似圖形，位似圖形的性質等知識．解題的關鍵在于熟練掌握對稱與位似的知識并靈活運用．【變式8-1】（2022·河南南陽·九年級期中）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，每個小正方形邊長均為1，點O和△ABC的頂點均為小正方形的頂點．(1)以O為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A'B'C(2)證明△A'B【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)位似變換的性質畫出圖形即可；（2）先用勾股定理算出兩個三角形的各邊長，然后根據(jù)對應邊的比相同即可證明結論．（1）解：如圖△A（2）證明：小正方形邊長為1，∴BC=9，AB=62+32B'C'∵ABA'B'=∴ABA∴△A【點睛】本題考查作圖?位似變換、相似三角形的判定，勾股定理等知識點，理解題意、靈活運用所學知識是解答本題的關鍵．【變式8-2】（2022·浙江寧波·九年級專題練習）如圖，9×9的方格都是由邊長為1的小正方形組成．?ABCD的頂點都在格點上，請按以下要求在圖1，圖2中畫出相應的格點圖形（頂點均在格點上）．(1)畫出?ABCD繞點A旋轉得到的?AB'C'D(2)請以A為位似中心，作與?ABCD的面積比為14的位似圖形?AEFG【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【詳解】（1）如圖1

（2）如圖2，3【點睛】本題考查圖形的旋轉、位似，旋轉時，找準旋轉三要素（旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度）是關鍵，注意位似圖形兩種情況．【變式8-3】（2022·山西呂梁·九年級期末）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點，以格點為頂點，分別按下列要求畫三角形．(1)在圖②中，請在網(wǎng)格中畫一個與圖①△ABC相似的△DEF；(2)在圖③中，以O為位似中心，畫一個△A1B1C1，使它與△ABC的位似比為2：1．【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和相似的判定，畫出DE=2（2）利用網(wǎng)格特點，延長AO到A1使A1O=2AO，延長BO到B1使B1O=2BO，延長CO到C1使C1O=2CO，從而得到△A1B1C1．(1)解：如圖②，△DFE為所作；由題意可得：AB=1,BC=5而DE=2∴DE∴△ABC與△DEF相似．(2)如圖③，△A1B1C1為所作．【點睛】本題考查了作圖-位似變換：相似三角形的判定，掌握畫位似圖形的一般步驟為：確定位似中心；分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．專題6.7相似三角形的證明與計算專項訓練（60道）【蘇科版】考卷信息：本套訓練卷共60題，針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對相似三角形的證明與計算的理解！一．解答題（共30小題）1．（2022·遼寧·大連市第三十四中學九年級階段練習）如圖，在ΔABC中，點D在AB邊上，∠ABC=∠ACD.（1）求證：ΔABC∽ΔACD；（2）若AD=4,AB=9求AC的長.2．（2022·廣西賀州·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點E是AD的中點，CF⊥BE于點F，求FC的長．3．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．求證：△ACD∽△ABC．4．（2022·上海·九年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點E、F是對角線BD上的兩點，且BE=EF=FD，AE的延長線交BC于點G，GF的延長線交AD于點H．（1）求HD的長；（2）設△BEG的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）5．（2022·湖南省岳陽開發(fā)區(qū)長嶺中學九年級階段練習）已知：如圖，∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB．6．（2022·全國·九年級專題練習）已知，如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D為BC邊上一點，BD＝2．求證：△ABD∽△CBA．7．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，∠1=∠2，ABAE8．（2022·全國·九年級專題練習）如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，將∠MPN繞點P從PB處開始順時針方向旋轉，PM交邊AB于點E，PN交邊AD于點F，當PE旋轉至PA處時，∠MPN的旋轉隨即停止.（1）如圖2，在旋轉中發(fā)現(xiàn)當PM經(jīng)過點A時，PN也經(jīng)過點D，求證：△ABP∽△PCD（2）如圖3，在旋轉過程中，PEPF（3）設AE=m，連結EF，則在旋轉過程中，當m為何值時，△BPE與△PEF相似.9．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE=30°，求證：△ABD∽△DCE．10．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，連接BD，CE，求CEBD11．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，點E是邊AC上一點，且滿足∠ADE=∠B．(1)證明：ΔADB～(2)若AE=3，AD=5，求AB的長．12．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，△ABC與△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；（1）證明：△ABC∽△ADE．（2）請你再添加一個條件，使△ABC≌△ADE．你補充的條件為：．13．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，BD、CE是△ABC的高．（1）求證：△ACE∽△ABD；（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的長．14．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，AB//EF//CD，E為AD與BC的交點，F(xiàn)在15．（2022·全國·九年級課時練習）（1）如圖1，將直角三角板的直角頂點放在正方形ABCD上，使直角頂點與D重合，三角板的一邊交AB于點P，另一邊交BC的延長線于點Q．則DPDQ（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）將（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他條件不變．①如圖2，若PQ＝5，求AP長．②如圖3，若BD平分∠PDQ．則DP的長為．16．（2022·全國·九年級專題練習）感知：（1）數(shù)學課上，老師給出了一個模型：如圖1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因為ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，進而得到應用：（2）實戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點P是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），點D是AC邊上的一個動點，且∠APD=∠B．①求證：△ABP∽②當點P為BC中點時，求CD的長；拓展：（3）在（2）的條件下如圖2，當△APD為等腰三角形時，請直接寫出BP的長．17．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求證：△ADC∽△DEB．18．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，平行四邊形ABCD中，點E是BC上一線，連接AE，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE=∠B．求證：△ADF∽△DEC；19．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB、AC上，DC與BE相交于點O，且DO=2，BO=DC=6，OE=3．求證：△DOE∽△COB．20．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，點M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于點F，ME交BC于點G.寫出圖中的所有相似三角形，并選擇一對加以證明．21．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，D、E、F分別是△ABC的三邊BC,CA,AB的中點．求證：△DEF∽△ABC．22．（2022·福建·廈門市第五中學八年級期中）定義：若一個三角形最長邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點F在邊AC上，D是邊BC上的一點，AB＝BD，點A，D關于直線l對稱，且直線l經(jīng)過點F．（1）如圖1，求作點F；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長BC，AC，AB分別a，b，c，且滿足下列兩個條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之間的等量關系；②若AE是△ABD的中線．求證：△ACE是“和諧三角形”．23．（2022·全國·九年級專題練習）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點G．（1）求證：DF?AB=BC?DG；（2）當點E為AC中點時，求證：2DF?EG=AF?DG．24．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在這個直角三角形內(nèi)有一個內(nèi)接正方形，正方形的一邊FG在BC上，另兩個頂點E、H分別在邊AB、AC上．（1）求BC邊上的高；（2）求正方形EFGH的邊長．25．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，在正方形ABCD中，E是CD上的一點，F(xiàn)是BC的延長線上的一點，且CE=CF，BE的延長線交DF于點G，求證：△BGF∽△DCF．26．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，F(xiàn)為四邊形ABCD邊CD上一點，連接AF并延長交BC延長線于點E，已知∠D=∠DCE．（1）求證：△ADF∽△ECF；（2）若ABCD為平行四邊形，AB=6，EF=2AF，求FD的長度．27．（2022·安徽安慶·九年級階段練習）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E是BC上的一個動點，連接DE，交AC于點F．（1）如圖①，當CEEB=1（2）如圖②，當點E是BC的中點時，過點F作FG⊥BC于點G，求證：CG=12

28．（2022·上海市徐匯中學九年級期中）如圖，已知△ABC中，AB=AC，點E、F在邊BC上，滿足∠EAF=∠C求證：（1）BF?CE=AB2（2）AE29．（2022·山東泰安·中考真題）小明將兩個直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對頂角，∠ABC=∠CDE=90°，連接BD，AB=BD，點F是線段CE上一點．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當點F為線段CE的中點時，連接DF（如圖（2），小明經(jīng)過探究，得到結論：BD⊥DF．你認為此結論是否成立？_________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結論互換，即：若BD⊥DF，則點F為線段CE的中點．請判斷此結論是否成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．問題解決：（3）若AB=6,CE=9，求AD的長．30．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，點E為AC的中點，AD⊥BC于點D，ED延長后交AB的延長線于點F，求證：△AEF∽△ABC．31．（2022·浙江杭州·模擬預測）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．點M，N分別是BD，CE的中點，連接AM，AN，MN．（1）求證：△CAE≌△BAD；（2）求證：△AMN∽△ABC；（3）若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN的長．32．（2022·全國·九年級課時練習）在①DP?PB=CP?PA，②∠BAP=∠CDP，③DP?AB=CD?PB這三個條件中選擇其中一個，補充在下面的問題中，使命題正確，并證明．問題：如圖，四邊形ABCD的兩條對角線交于P點，若（填序號）求證：△ABP～△DCP．33．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，且AB是AD，BC的比例中項，求證：BD⊥AC．34．（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在△ABC中，過點C作CD(1)求證：四邊形AFCD是平行四邊形．(2)若GB=3，BC=6，35．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC的中點，DF⊥AE于點F．(1)求證：AFBE(2)已知AB=8,BC=12，求AF的長．36．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點O，點M是AD的中點，連接MC交BD于點N，ON＝1．(1)求證：△DMN∽△BCN；(2)求BD的長；(3)若△DCN的面積為2，直接寫出四邊形ABNM的面積．37．（2022·全國·九年級課時練習）在菱形ABCD中，∠ABC=120°，點E、F分別是邊AB、AD上兩點，滿足AE=DF，BF與DE相交于點G．（1）如圖1，連接BD．求證：△DAE≌△BDF；（2）如圖2，連接CG．①求證：BG+DG=CG；②若FG=m，GC=n，求線段DG的長（用含m、n的代數(shù)式表示）．38．（2022·全國·九年級課時練習）將一副三角尺如圖1放置，其中AD為Rt△ABC中BC邊上的高，DE，DF分別交AB，AC于點M和N．(1)求證：△AMD∽△CND；(2)如圖2，將Rt△DEF繞點D旋轉，此時EF∥BC，且E，A，F(xiàn)共線，判斷AEAD39．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，點P是AC延長線上一點，且PD⊥AD．（1）證明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC與BD相交于點E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的長．40．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點K，E是線段AD上一動點，（1）若BK＝73KC，求CD（2）聯(lián)結BE，若BE平分∠ABC，則當AE＝12AD時，猜想線段AB、BC、CD（3）試探究：當BE平分∠ABC，且AE＝1nAD（n＞2）時，線段AB、BC，CD41．（2022·山東濟寧·中考真題）如圖,在△ABC中,AB=AC，點P在BC上．(1)求作:△PCD,使點D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡,不寫作法)(2)在(1)的條件下,若∠APC=2∠ABC，求證:PD//AB．42．（2022·浙江杭州·中考真題）如圖，在銳角三角形ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F，∠EAF=∠GAC．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求AFAG43．（2022·浙江杭州·中考真題）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求證：△BDE∽△EFC．（2）設AFFC①若BC＝12，求線段BE的長；②若△EFC的面積是20，求△ABC的面積．44．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD為正方形，且E是邊BC延長線上一點，過點B作BF⊥DE于F點，交AC于H點，交CD于G點．(1)求證：△BGC∽△DGF；(2)求證：GD?AB=DF?BG；(3)若點G是DC中點，求GFCE45．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，點D在BC上，且CD＝3cm，現(xiàn)有兩個動點P，Q分別從點A和點B同時出發(fā)，其中點P以1cm/s的速度沿AC向終點C運動；點Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點C運動，過點P作PE∥BC交AD于點E，連接EQ，設動點運動時間為ts（t＞0）．(1)CP＝________，CQ＝________．（用含t的代數(shù)式表示）(2)連接PQ，在運動過程中，不論t取何值時，總有線段PQ與線段AB平行，為什么？46．（2022·河南洛陽·九年級期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在邊BC上，BD=13BC將線段DB繞點D順時針旋轉至DE，記旋轉角為α，連接BE，CE，以CE為斜邊在其一側作等腰直角三角形CEF

(1)如圖1，當α＝180°時，請直接寫出線段AF與線段BE的數(shù)量關系；(2)當0°＜α＜180°時，①如圖2，（1）中線段AF與線段BE的數(shù)量關系是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，當B，E，F(xiàn)三點共線時，連接AE，判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．47．（2022·全國·九年級課時練習）如圖所示，在正方形ABCD中，E是BC上的點連接AE.作BF⊥AE垂足為H，交CD于F作CG//AE，交BF于G.求證：(1)CG=BH；(2)FC48．（2022·山東淄博·八年級期末）如圖1，已知矩形ABCD對角線AC和BD相交于點O，點E是邊AB上一點，CE與BD相交于點F，連結OE．(1)若點E為AB的中點，求OFFB(2)如圖2，若點F為OB中點，求證：AE＝2BE．(3)如圖2，若OE⊥AC，BE＝1，且OF＝k·BF，請用k的代數(shù)式表示AC2．49．（2022·全國·九年級課時練習）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形ABCD中，點N、M分別在邊BC、CD上，連結AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞點A順時針旋轉90°，點D與點B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而得DM+BN＝MN．【實踐探究】（1）在圖①條件下，若CN＝3，CM＝4，則正方形ABCD的邊長是．（2）如圖②，點M、N分別在邊CD、AB上，且BN＝DM．點E、F分別在BM、DN上，∠EAF＝45°，連接EF，猜想三條線段EF、BE、DF之間滿足的數(shù)量關系，并說明理由．【拓展】（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點M、N分別在邊DC、BC上，連結AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的長．

50．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC邊上動點(不與B,C重合)．連接AE,過點E作EF⊥AE,交DC于點F．(1)求證：△ABE～△ECF；(2)連接AF，試探究當點E在BC什么位置時，∠BAE=∠EAF，請證明你的結論．51．（2022·全國·九年級課時練習）綜合與實踐問題情境：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為斜邊AB上的動點（不與點A，B重合）．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，當AC=BC時，把線段CD繞點C逆時針旋轉90°得到線段CE，連接DE，BE．①∠CBE的度數(shù)為______；②探究發(fā)現(xiàn)AD和BE有什么數(shù)量關系，請寫出你的探究過程；(2)探究證明：如圖2，當BC=2AC時，把線段CD繞點C逆時針旋轉90°后并延長為原來的兩倍，記為線段CE．①在點D的運動過程中，請判斷AD與BE有什么數(shù)量關系？并證明；②若AC=2，在點D的運動過程中，當△CBE的形狀為等腰三角形時，直接寫出此時△CBE的面積．52．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是邊AB上的中線，EF垂直平分CD，分別交AC，BC于E，F(xiàn)，連接DE，DF．(1)求證：△OCE∽△OFD．(2)當AE=7，BF=24時，求線段EF的長．53．（2022·河南駐馬店·九年級期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝22，點D、E分別在邊AC、AB上，AD＝DE＝12AB，連接DE．將△ADE繞點A順時針方向旋轉，記旋轉角為θ（1）[問題發(fā)現(xiàn)]①當θ＝0°時，BECD＝；②當θ＝180°時，BECD＝（2）[拓展研究]試判斷：當0°≤θ＜360°時，BECD（3）[問題解決]在旋轉過程中，BE的最大值為．54．（2022·福建泉州·九年級期中）如圖1，設D為銳角△ABC內(nèi)一點，∠ADB=∠ACB+90°．（1）求證：∠CAD+∠CBD=90°；（2）如圖2，過點B作BE⊥BD，BE=BD，連接EC，若AC?BD=AD?BC，①求證：△ACD∽△BCE；②求AB?CDAC?BD55．（2022·全國·九年級專題練習）所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中較長部分對于全部之比，等于較短部分對于該部分之比，其比值是5-1(1)如圖①，在△ABC中，∠A＝36°，AB=AC，∠ACB的平分線CD交腰AB于點D．請你根據(jù)所學知識證明：點D為腰AB的黃金分割點：(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為斜邊AB上的高，AD>BD，AB=5+1，若點D是AB56．（2022·山東·淄博市臨淄區(qū)教學研究室八年級期末）在矩形ABCD中，AE⊥BD于點E，點P是邊AD上一點．（1）若BP平分∠ABD，交AE于點G，PF⊥BD，如圖（1），證明四邊形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如圖（2），求證：AE?AB=DE?AP．57．（2022·湖南衡陽·九年級期末）如圖，在ΔABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一點，且BE=BD．（1）求證：ΔABE∽ΔACD；（2）若BD=1，CD=2，求AEAD58．（2022·全國·九年級專題練習）[教材呈現(xiàn)]下面是華師大九年級上最數(shù)學教材第76頁的部分內(nèi)容．如圖，E是矩形ABCD的邊CB上的一點，AF⊥DE于點F，AB=3，AD=2，CE=1，證明△AFD∽△DCE，并計算點A到直線DE的距離（結果保留根號）．結合圖①，完成解答過程．[拓展]（1）在圖①的基礎上，延長線段AF交邊CD于點G，如圖②，則FG的長為；（2）如圖③，E、F是矩形ABCD的邊AB、CD上的點，連接EF，將矩形ABCD沿EF翻折，使點D的對稱點D'與點B重合，點A的對稱點為點A'．若AB=4，AD=3，則EF的長為．59．（2022·江蘇蘇州·九年級專題練習）(定義：長寬比為n∶1（n為正整數(shù)）的矩形稱為n矩形．下面，我們通過折疊的方式折出一個2矩形，如圖a所示．操作1：將正方形ABEF沿過點A的直線折疊，使折疊后的點B落在對角線AE上的點G處，折痕為AH．操作2：將FE沿過點G的直線折疊，使點F、點E分別落在邊AF，BE上，折痕為CD．則四邊形ABCD為2矩形．(1)證明：四邊形ABCD為2矩形；(2)點M是邊AB上一動點．①如圖b，O是對角線AC的中點，若點N在邊BC上，OM⊥ON，連接MN．求ON：OM的值；②若AM＝AD，點N在邊BC上，當△DMN的周長最小時，求NB：CN的值；③連接CM，作BR⊥CM，垂足為R．若AB＝22，則DR的最小值＝60．（2022·四川廣元·二模）（1）如圖1，正方形ABCD與調(diào)研直角△AEF有公共頂點A，∠EAF＝90°，連接BE、DF，將△AEF繞點A旋轉，在旋轉過程中，直線BE、DF相交所成的角為β，則BEDF＝________；β（2）如圖2，矩形ABCD與Rt△AEF有公共頂點A，∠EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，連接BE、DF，將Rt△AEF繞點A旋轉，在旋轉過程中，直線BE、DF相交所成的角為β，請求出BEDF的值及β（3）若平行四邊形ABCD與△AEF有公共項點A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB，AF＝kAE(k≠0)，將△AEF繞點A旋轉，在旋轉過程中，直線BE、DF相交所成的銳角的度數(shù)為β，則：①BEDF②請直接寫出α和β之間的關系式．專題6.7相似三角形的證明與計算專項訓練（60道）【蘇科版】考卷信息：本套訓練卷共60題，針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對相似三角形的證明與計算的理解！一．解答題（共60小題）1．（2021·遼寧·大連市第三十四中學九年級階段練習）如圖，在ΔABC中，點D在AB邊上，∠ABC=∠ACD.（1）求證：ΔABC∽ΔACD；（2）若AD=4,AB=9求AC的長.【答案】（1）見解析；（2）6【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定即可求出答案．（2）根據(jù)相似三角形的性質即可求出答案．【詳解】解：（1）證明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴ACAD=AB解得：AC=6.【點睛】本題考查相似三角形，解題的關鍵是熟練運用相似三角形的性質與判定，屬于基礎題型．2．（2022·廣西賀州·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點E是AD的中點，CF⊥BE于點F，求FC的長．【答案】2.4【分析】根據(jù)已知可證明△ABE~?FCB，然后利用相似三角形的性質進行計算即可解答．【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBF，

∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴△ABE∽△FCB

∴ABFC∵BC=3，E是AD的中點，∴AE=1.5，∴BE=2.5，∴2FC=∴FC=2.4．【點睛】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質，是解題的關鍵．3．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．求證：△ACD∽△ABC．【答案】見解析【分析】根據(jù)兩個角相等的兩個三角形相似進行證明即可．【詳解】證明：∵CD⊥AB于D．∴∠ADC=∠ACB=90°，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，解題關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，準確運用進行推理證明．4．（2021·上?！ぞ拍昙壠谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點E、F是對角線BD上的兩點，且BE=EF=FD，AE的延長線交BC于點G，GF的延長線交AD于點H．（1）求HD的長；（2）設△BEG的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】（1）2；（2）7a【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質得AD//BC，根據(jù)相似三角形的判定得△BEG∽△DEA，△BFG∽△DFH，由BE=EF=FD可得出BEED（2）由BE=EF可得△BEG與△EFG的面積相等，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得S△AED與S△DFH的值，S△AED【詳解】解：（1）∵平行四邊形ABCD，BC=8，∴AD//BC，∴△BEG∽△DEA，△BFG∽△DFH，∴BEED=BG∵BE=EF=FD，∴BEED=1∴BG=12AD=4，HD=1∴HD=2；（2）∵BE=EF，∴S△BEG∴S△BFG∵△BEG∽△DEA，△BFG∽△DFH，BEED=1∴S△AED=4a，∴四邊形AEFH的面積=S△AED-S△DFH=【點睛】本題考查平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．5．（2021·湖南省岳陽開發(fā)區(qū)長嶺中學九年級階段練習）已知：如圖，∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB．【答案】4【分析】由∠A＝∠A，∠ABD＝∠C可證明△ADB∽△ABC，由相似三角形的性質可知ADAB=AB【詳解】解：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C，∴△ADB∽△ABC．∴ADAB=AB解得：AB＝4（負值已舍去）．∴AB＝4．【點睛】本題主要考查的是相似三角形的性質和判定，由相似三角形的性質得到2AB6．（2022·全國·九年級專題練習）已知，如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D為BC邊上一點，BD＝2．求證：△ABD∽△CBA．【答案】見解析；【分析】由AB＝4，BC＝8，BD＝2可知ABCB=BDBA，再由∠ABD＝∠CBA可得△【詳解】證明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，∴ABCB又∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA．【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決本題的關鍵．7．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，∠1=∠2，ABAE【答案】見解析【分析】根據(jù)∠1=∠2得到∠BAC=∠EAD，結合ABAE【詳解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE，∴∠BAC=∠EAD，且ABAE∴△ABC∽△AED，由相似三角形對應角相等可知：∴∠C=∠D．【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，屬于基礎題，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決本題的關鍵．8．（2021·全國·九年級專題練習）如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，將∠MPN繞點P從PB處開始順時針方向旋轉，PM交邊AB于點E，PN交邊AD于點F，當PE旋轉至PA處時，∠MPN的旋轉隨即停止.（1）如圖2，在旋轉中發(fā)現(xiàn)當PM經(jīng)過點A時，PN也經(jīng)過點D，求證：△ABP∽△PCD（2）如圖3，在旋轉過程中，PEPF（3）設AE=m，連結EF，則在旋轉過程中，當m為何值時，△BPE與△PEF相似.【答案】（1）見解析；（2）PEPF的值是定值，該定值為12；（3）當m=0或【分析】（1）因為在矩形中，所以只要再證明∠BAP=∠CPD即可；（2）證明邊比為定值，考慮相似三角形，過點F作FG⊥BC于G，創(chuàng)造△PGF并證明其與△EBP相似；（3）使△BPE∽△PFE，那么BEPE【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形

∴∠B=∠C=90°

∴∠BAP+∠BPA=90°∵∠MPN=90°

∴∠CPD+∠BPA=90°

∴∠BAP=∠CPD∴△ABP∽△PCD

（2）過點F作FG⊥BC于G

∴∠FGP=90°

∴∠FGP=∠B，∠PFG+∠FPG=90°易知四邊形ABGF是矩形，∴FG=AB=2∵∠MPN=90°

∴∠EPB+∠FPG=90°

∴∠EPB=∠FPG∴△EBP∽△PGF

∴PE∴PEPF的值是定值，該定值為1（3）∵AE=m

∴BE=2-m①當BEPE∵∠B=∠EPF=90°

∴△BPE∽△PFE∴BEBP∴2-m1∴m=②當BPPE∵∠B=∠EPF=90°

∴△BPE∽△PEF∴BPBE∴12-m∴m=0

綜上，當m=0或32【點睛】本題考察了相似三角形的判定定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交；兩邊對應成比例且夾角相等；三邊對應成比例；兩角對應相等以及性質定理：對應角相等，對應邊成比例.9．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE=30°，求證：△ABD∽△DCE．【答案】見解析【分析】利用三角形的外角性質證明∠EDC=∠DAB，即可證明△ABD∽△DCE．【詳解】證明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∵∠ADE=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE．【點睛】本題考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性質、三角形的外角性質，利用三角形的外角性質證明∠EDC=∠DAB是解題的關鍵．10．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，連接BD，CE，求CEBD【答案】2【分析】由等腰直角三角形的性質可推出∠DAE=∠