專題03 函數(shù)的單調性（五大考點）（原卷版）

專題03函數(shù)的單調性思維導圖核心考點聚焦考點一：利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間考點二：函數(shù)圖象與導函數(shù)圖象的關系考點三：已知單調性求參數(shù)的取值范圍考點四：判斷、證明函數(shù)的單調性考點五：含參數(shù)單調性討論情形一：函數(shù)為一次函數(shù)情形二：函數(shù)為準一次函數(shù)情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型1、可因式分解2、不可因式分解型情形四：函數(shù)為準二次函數(shù)型知識點一、函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系導數(shù)的符號與函數(shù)的單調性：一般地，設函數(shù)在某個區(qū)間內有導數(shù)，則在這個區(qū)間上，①若，則在這個區(qū)間上單調遞增；②若，則在這個區(qū)間上單調遞減；③若恒有，則在這一區(qū)間上為常函數(shù)．反之，若在某區(qū)間上單調遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；若在某區(qū)間上單調遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）．知識點詮釋：1、因為導數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率，故當在某區(qū)間上，即切線斜率為正時，函數(shù)在這個區(qū)間上單調遞增；當在某區(qū)間上，即切線斜率為負時，函數(shù)在這個區(qū)間上單調遞減；即導函數(shù)的正負決定了原函數(shù)的增減．2、若在某區(qū)間上有有限個點使，在其余點恒有，則仍單調遞增（減函數(shù)的情形完全類似）．即在某區(qū)間上，在這個區(qū)間上單調遞增；在這個區(qū)間上單調遞減，但反之不成立．3、在某區(qū)間上單調遞增在該區(qū)間；在某區(qū)間上單調遞減在該區(qū)間．在區(qū)間內，．．（或）是在區(qū)間內單調遞增（或減）的充分不必要條件！例如：，，，而在R上遞增．4、只有在某區(qū)間內恒有，這個函數(shù)在這個區(qū)間上才為常數(shù)函數(shù)．5、注意導函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象間關系．知識點二、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的基本方法設函數(shù)在區(qū)間內可導，（1）如果恒有，則函數(shù)在內單調遞增；（2）如果恒有，則函數(shù)在內單調遞減；（3）如果恒有，則函數(shù)在內為常數(shù)函數(shù)．知識點詮釋：（1）若函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，則，若函數(shù)在內單調遞減，則．（2）或恒成立，求參數(shù)值的范圍的方法——分離參數(shù)法：或．知識點三、利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間的基本步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)；（3）在函數(shù)的定義域內解不等式或；（4）確定的單調區(qū)間．或者：令，求出它在定義域內的一切實數(shù)根．把這些實數(shù)根和函數(shù)的間斷點（即的無定義點）的橫坐標按從小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間，判斷在各個小區(qū)間內的符號．知識點詮釋：1、求函數(shù)單調區(qū)間時，要注意單調區(qū)間一定是函數(shù)定義域的子集．2、求單調區(qū)間常常通過列表的方法進行求解，使解題思路步驟更加清晰、明確．討論單調區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調性討論（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；（3）求根做圖得結論（如能直接求出導函數(shù)等于0的根，并能做出導函數(shù)與x軸位置關系圖，則導函數(shù)正負區(qū)間段已知，可直接得出結論）；（4）未得結論斷正負（若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數(shù)整體的正負）；（5）正負未知看零點（若導函數(shù)正負難判斷，則觀察導函數(shù)零點）；（6）一階復雜求二階（找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導）；求二階導往往需要構造新函數(shù)，令一階導函數(shù)或一階導函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導．（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導正負判斷一階導函數(shù)的單調性，進而判斷一階導函數(shù)正負區(qū)間段）；類型二：含參數(shù)單調性討論（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負）；然后再求有效根；（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系）；（5）導數(shù)圖像定區(qū)間；考點剖析考點一：利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間例1．（2024·河南省直轄縣級單位·高二?？计谀┑膯握{增區(qū)間為.例2．（2024·寧夏銀川·高二寧夏育才中學?？茧A段練習）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是.例3．（2024·福建漳州·高二漳州三中?？迹┖瘮?shù)的增區(qū)間為．變式1．（2024·吉林長春·高二長春外國語學校?？茧A段練習）函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.考點二：函數(shù)圖象與導函數(shù)圖象的關系例4．（2024·高二課時練習）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

例5．（2024·廣東深圳·高二深圳市龍崗區(qū)龍城高級中學?？迹┮阎瘮?shù)的圖像如圖所示，則其導函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．例6．（2024·四川樂山·高二校考）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）

A． B．C． D．變式2．（2024·內蒙古烏蘭察布·高二?？茧A段練習）已知是函數(shù)的導數(shù)．若的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是（

）

A．

B．

C．

D．

考點三：已知單調性求參數(shù)的取值范圍例7．（2024·福建南平·高二福建省南平第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．例8．（2024·廣西南寧·高二賓陽中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的最小值為（

）A． B． C． D．例9．（2024·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┤艉瘮?shù)在區(qū)間上不單調，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>1變式3．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考）若函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，則實數(shù)k的值為（

）A．1 B． C．3 D．變式4．（2024·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學?？计谀┮阎瘮?shù)在定義域內單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點四：判斷、證明函數(shù)的單調性例10．（多選題）（2024·貴州黔東南·高三校聯(lián)考階段練習）下列函數(shù)在定義域上為增函數(shù)的有（

）A． B．C． D．例11．（2024·全國·高二隨堂練習）討論函數(shù)在區(qū)間內的單調性．例12．（2024·高二課時練習）已知函數(shù)．討論的單調性．變式5．（2024·河南省直轄縣級單位·高二?？迹┮阎?，且，證明函數(shù)在內是減函數(shù)．考點五：含參數(shù)單調性討論情形一：函數(shù)為一次函數(shù)例13．（2024·全國·高二專題練習）已知函數(shù)，求函數(shù)的單調區(qū)間．例14．（2024·四川眉山·高二?？迹┮阎瘮?shù)．(1)若在上單調遞增，求的取值范圍．(2)求的單調區(qū)間.例15．（2024·甘肅武威·高二統(tǒng)考）已知函數(shù).(1)若曲線在x＝1處的切線與直線2x－y＋3＝0平行，求a的值；(2)求函數(shù)的單調區(qū)間．變式6．（2024·高二課時練習）已知函數(shù)，其中，.討論函數(shù)的單調性；情形二：函數(shù)為準一次函數(shù)例16．（2024·云南師大附中模擬預測）已知函數(shù)，其中．討論的單調性；例17．（2024·云南師大附中高三階段練習）已知函數(shù)．討論的單調性；例18．（2024·高二課時練習）已知函數(shù)設是的導函數(shù)，討論函數(shù)的單調性；情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型1、可因式分解例19．（2024·重慶璧山·高二重慶市璧山來鳳中學校?？茧A段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調性；例20．（2024·廣東江門·高二校考）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的單調增區(qū)間．(2)當時，討論函數(shù)的單調性．例21．（2024·河北滄州·高二?？茧A段練習）討論函數(shù)的單調性例22．（2024·高二課時練習）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調區(qū)間．2、不可因式分解型例23．（2024·全國·高二專題練習）已知函數(shù).討論的單調性．變式7．（2024·江蘇徐州·高二?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)在上是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)討論函數(shù)的單調性．變式8．（2024·高二課時練習）討論函數(shù)的單調性．情形四：函數(shù)為準二次函數(shù)型例24．（2024·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù).(1)證明:，有；(2)設，討論的單調性.例25．（2024·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調性.例26．（2024·全國·高二專題練習）已知函數(shù)，其中，．求函數(shù)的單調區(qū)間；過關檢測一、單選題1．（2024·陜西西安·高二?？计谀┖瘮?shù)的單調遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．2．（2024·河北滄州·高二校考階段練習）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．3．（2024·重慶江北·高二重慶十八中?？迹┤艉瘮?shù)在區(qū)間內存在單調遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2024·重慶永川·高二重慶市永川北山中學校?？茧A段練習）函數(shù)在區(qū)間上是單調減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024·寧夏銀川·高二寧夏育才中學?？茧A段練習）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2024·江西宜春·高二江西省宜豐中學?？迹┮阎瘮?shù)，是函數(shù)的導函數(shù)，則的圖像大致是（

）A．

B．

C．

D．

7．（2024·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學?？茧A段練習）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

8．（2024·河南焦作·高二焦作市第十一中學?？计谀┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·高二課時練習）如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（

）A．在區(qū)間上是減函數(shù)B．在區(qū)間上是減函數(shù)C．在區(qū)間上是增函數(shù)D．在區(qū)間上是增函數(shù)10．（2024·山東淄博·高二?？茧A段練習）已知，下列說法正確的是（

）A．在處的切線方程為 B．的單調遞減區(qū)間為C．在處的切線方程為 D．的單調遞增區(qū)間為11．（2024·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學?？茧A段練習）設函數(shù)，都是單調函數(shù)，其導函數(shù)分別為，，令，則下列說法中一定正確的是（

）A．若，，則單調遞增 B．若，，則單調遞增C．若，，則單調遞減 D．若，，則單調遞減12．（2024·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習）設函數(shù)在上存在導函數(shù)，對于任意的實數(shù)，都有，當時，，，且，若，則實數(shù)的可能取值為（

）A． B． C．1 D．2三、填空題13．（2024·上?！じ叨？茧A段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍為．14．（2024·高二課時練習）函數(shù)在上的單調遞增區(qū)間為.15．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？茧A段練習）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是．16．（2024·北京海淀·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是．四、解答題17．（2024·江蘇揚州·高二揚州市廣陵區(qū)紅橋高級中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，且.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調區(qū)間.18．（2024·浙江杭州·高二杭州市