山東省青島市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)直線的傾斜角為，，由直線的一個(gè)方向向量為，得，則.故選：C．2.已知向量，，且與互相垂直，則實(shí)數(shù)等于（）A. B.或 C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗，，由與互相垂直，有，解得或．故選：C．3.已知雙曲線的焦距為，則雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，，焦點(diǎn)為，則，解得，又，則雙曲線的漸近線方程為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為．故選：B．4.正四面體各棱長均為，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，四面體是正四面體，且棱長，所以.故選：D．5.點(diǎn)在橢圓上，，點(diǎn)到直線的距離為，則（）A.與無關(guān) B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在橢圓上，則，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以，又，所以．故選：C．6.過三點(diǎn)，，的圓交軸于，兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)圓的方程為，則

，，，∴，令，可得，

，

．故選：D．7.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二除以余，五五數(shù)之剩三除以余，七七數(shù)之剩二除以余，問物幾何現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：已知正整數(shù)滿足三三數(shù)之剩二，將符合條件的所有正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗被3除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，所以，所以，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又為正整數(shù)，所以最小值為，故選：B8.已知拋物線與過焦點(diǎn)的一條直線相交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于弦的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.準(zhǔn)線的方程是 B.以為直徑的圓與軸相切C.的最小值為 D.的面積最小值為〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A：由拋物線的方程可知其焦點(diǎn)為，故準(zhǔn)線的方程為：，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即直線方程：，易得，則以為直徑的圓半徑為，此時(shí)不與軸相切，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得，，；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，由，得，得，，，，易知直線的方程為，由，得，，，綜上所得，的最小值為，故C正確．對(duì)于D：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得，，所以；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，且此時(shí)最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：C．二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.為調(diào)研某地空氣質(zhì)量，連續(xù)天測得該地是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，單位：的日均值，依次為，，，，，，，，，，則（）A.這組數(shù)據(jù)的極差為 B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為或 D.這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，極差為，故A正確；對(duì)于B，這組數(shù)據(jù)從小到大依次是：，，，，，，，，，，所以眾數(shù)為，故B正確；對(duì)于C，這組數(shù)據(jù)從小到大依次是：，，，，，，，，，，所以中位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋赃@組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故D正確．故選：ABD10.下列有關(guān)直線與圓的結(jié)論正確的是（）A.方程表示的直線必過點(diǎn)B.過點(diǎn)且在，軸上的截距相等的直線方程為C.圓和圓的公共弦所在的直線方程為D.若圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于，方程可化為，直線過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)截距為時(shí)，直線方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以圓與圓相交．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程得，與圓的一般方程作差，可得，即，所以圓與圓的公共弦所在的直線方程為，故C正確；對(duì)于D，若圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則圓心到直線的距離等于，即，解得，故D正確．故選：ACD11.在等比數(shù)列中，，，則（）A.的公比為 B.的前項(xiàng)和為C.的前項(xiàng)積為 D.〖答案〗AB〖解析〗對(duì)A，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，得，所以，所以，所以，所以數(shù)列的公比為，故A正確對(duì)B，因?yàn)?，所以的前?xiàng)和為，故B正確；對(duì)C，的前項(xiàng)積為，故C錯(cuò)誤對(duì)D，因?yàn)?，所以的前?xiàng)和為，故D錯(cuò)誤．故選：AB12.已知雙曲線，點(diǎn)為雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)分別作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，兩點(diǎn)，則（）A.雙曲線的離心率為B.存在點(diǎn)，使得四邊形為正方形C.四邊形的面積為D.四邊形的周長最小值為〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)，由題意得，故，故，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由雙曲線的方程可得漸近線方程為，兩漸近線夾角為直角，由對(duì)稱性可知，若四邊形為正方形，則到兩條漸近線的距離相等，所以當(dāng)為雙曲線右頂點(diǎn)時(shí)，四邊形為正方形，故B正確；C選項(xiàng)，設(shè)，則

，因?yàn)闈u近線方程為

，所以，所以，則四邊形的面積為，故C正確；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)及基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．四邊形的周長為，故D錯(cuò)誤．故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.一排有個(gè)座位，如果每個(gè)座位只能坐人，現(xiàn)安排四人就座，恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法有__________種用數(shù)字作答．〖答案〗〖解析〗可看成個(gè)坐著人的座位和個(gè)空座位排隊(duì)，先安排個(gè)坐著人的座位，共有種坐法，產(chǎn)生個(gè)空，然后安排空座位到空中，相鄰的兩個(gè)空座位捆在一起，看作一個(gè)元素，有種坐法，然后再從剩余的個(gè)空中選擇兩個(gè)將空座位安上，因?yàn)榭兆幌嗤灾恍枰x出兩個(gè)空位即可，有種坐法，所以共有種坐法．故〖答案〗為：．14.已知拋物線準(zhǔn)線與圓相切，請(qǐng)寫出一個(gè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．〖答案〗（任意一個(gè)均可以）〖解析〗與圓相切且與坐標(biāo)軸平行或垂直的直線有，對(duì)應(yīng)的拋物線方程有：故〖答案〗為：（任意一個(gè)均可以）15.已知是圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，變形可得，則的幾何意義為直線的斜率，是圓上任意一點(diǎn)，圓心，半徑為，則，解得，即的取值范圍為.故〖答案〗為：.16.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，記為在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則__________；使得不等式成立的的最小值為__________．〖答案〗①②12〖解析〗依題意，令，得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可以被整除，于是，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不能被整除，則，所以；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，，即，而，則，即，又為奇數(shù)，則的最小值為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，，而，則，即，因此的最小值為，所以的最小值為.故〖答案〗為：；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知點(diǎn)，，中恰有兩個(gè)點(diǎn)在拋物線上．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若點(diǎn)，在上，且，證明：直線過定點(diǎn)．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，拋物線也關(guān)于軸對(duì)稱，所以點(diǎn)，在上，將點(diǎn)代入拋物線得，，即，所以拋物線的方程為：；（2）由題意可知，直線的斜率一定存在，則設(shè)直線的方程為，由消得：，由韋達(dá)定理得，所以直線，顯然恒過定點(diǎn)．18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明．解：（1）由，當(dāng)時(shí)，則，可得，則；當(dāng)時(shí)，則，可得；綜上所述：可得，可知是首項(xiàng)為，公比為等比數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知：，可得．所以．19.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程（2）一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，其中，求反射光線所在直線的方程．解：（1）設(shè)，由得，化簡得，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：；（2）光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，故入射光線的斜率不為0，故反射光線的斜率不為0，當(dāng)入射光線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)反射光線方程為，此時(shí)直線與無交點(diǎn)，不合要求，舍去，當(dāng)入射光線的斜率存在時(shí)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)由題意知反射光線所在的直線經(jīng)過點(diǎn)，其斜率也一定存在，設(shè)其方程為，即為，設(shè)圓心到反射直線的距離設(shè)為，則，所以，解得舍去或．所以反射光線所在直線的方程為．20.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點(diǎn)．（1）求證：平面EAC⊥平面PBC；（2）二面角P－AC－E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．解：（1）由題意四邊形是直角梯形，，，∴，∴，又平面，平面，∴，，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面；（2）由題意以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則．，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，令，則，平面的一個(gè)法向量是，設(shè)二面角P－AC－E有大小，則，解得，，記直線PA與平面EAC所成角為，，∴．21.在通信技術(shù)中由和組成的序列有著重要作用，序列中數(shù)的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)序列的長度如是一個(gè)長度為的序列長為的序列中任何兩個(gè)不相鄰的序列個(gè)數(shù)設(shè)為，長度為的序列為：，，都滿足數(shù)列，長度為且滿足數(shù)列的序列為：，，，．（1）求，（2）求數(shù)列中，，的遞推關(guān)系（3）記是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：為定值．解：（1）由題意知，長為3的序列中任何兩個(gè)不相鄰的序列為：，所以.設(shè)長為的序列中任何兩個(gè)不相鄰的序列有個(gè)，考慮最后一個(gè)數(shù)：若最后一位是，則只要前位任何兩個(gè)不相鄰，則滿足要求的序列有個(gè)；若最后一位是，則倒數(shù)第二位是，只要前位任何兩個(gè)不相鄰即可，滿足要求的序列有個(gè)，所以；（2）考慮長度為的序列最后一個(gè)數(shù)：若最后一位是，則只要前位任何兩個(gè)不相鄰，則滿足要求的序列有個(gè)；若最后一位是，則倒數(shù)第二位是，只要前位任何兩個(gè)不相鄰即可，則滿足要求的序列有個(gè)，所以；（3）由（2）知，，所以，所以，所以數(shù)列是常數(shù)列，所以為定值.22.已知雙曲線與橢圓