北京市朝陽區(qū)2024屆高三下學(xué)期質(zhì)量檢測一數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市朝陽區(qū)2024屆高三下學(xué)期質(zhì)量檢測一數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題）一、選擇題1.已知全集，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗全集，則，所以.故選：D2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，為第一象限的點.故選：A.3.在△ABC中，若a=2bsinA,則B為（）A. B. C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗，，則或，選C.4.已知，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗對于函數(shù)當(dāng)時，，為常數(shù)函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分而不必要條件.故選：A.5.已知直線和圓相交于A，B兩點.若，則（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗D〖解析〗圓的圓心為：，半徑為，則圓心到直線的距離為，由垂徑定理可得.故選：D.6.已知等比數(shù)列的前項和為，且，，則（）A.9 B.16 C.21 D.25〖答案〗C〖解析〗由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，得，.故選：C.7.已知雙曲線：的右焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線，M，N分別是與雙曲線C及其漸近線在第一象限內(nèi)的交點.若M是線段的中點，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)雙曲線的右焦點，過第一象限的漸近線方程為，當(dāng)時，，即，又，因為M是線段的中點，所以，得，所以，即，所以C的漸近線方程為.故選：C.8.在中，，，點在線段上.當(dāng)取得最小值時，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，以所在直線為軸，以的垂直平分線建立軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由，，則，所以，，，設(shè)，則，，則，當(dāng)時，取得最小值，此時，.故選：B9.在棱長為的正方體中，，，分別為棱，，的中點，動點在平面內(nèi)，且.則下列說法正確的是（）A.存在點，使得直線與直線相交B.存在點，使得直線平面C.直線與平面所成角的大小為D.平面被正方體所截得的截面面積為〖答案〗C〖解析〗連接，，所以，，取的中點，連接，所以，點到線段的最短距離大于，所以不存在點，使得直線與直線相交，故不正確；以坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，即，令，則，，所以，所以點到平面的距離為，而，所以不存在點，使得直線平面，故不正確；因為，所以平面，連接交于點，所以為的中點，，所以為直線與平面所成角，因為，在中，，所以，因為與全等，所以，故正確；延長交的延長線于，連接交于，連接，取的中點，的中點，連接，，，，，，平面被正方體所截得的截面圖形為正六邊形，且邊長為，所以截面面積為，故不正確.故選：.10.已知個大于2的實數(shù)，對任意，存在滿足，且，則使得成立的最大正整數(shù)為（）A.14 B.16 C.21 D.23〖答案〗D〖解析〗由，且，，故，即，令，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，即，故，，又，故，即，若，則有，即，由，故.故最大正整數(shù)為.故選：D.第二部分（非選擇題）二、填空題11.在的展開式中，的系數(shù)為___________(用數(shù)字作答)〖答案〗15〖解析〗由二項式的展開式的通項公式，得，令，則，所以系數(shù)為，故〖答案〗為：15.12.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，則__________；設(shè)為原點，點在拋物線上，若，則__________.〖答案〗〖解析〗由拋物線準(zhǔn)線方程為，故，則，，由在拋物線上，故，由，可得，即，即.故〖答案〗為：；.13.已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則__________；的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗由，故在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且有，，，，，由，則，由時，，則關(guān)于對稱，故，則.故〖答案〗為：；.14.已知函數(shù).若曲線在點處的切線與其在點處的切線相互垂直，則的一個取值為_________.〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗，由題意可知，，即，所以，得，，，或，得，，，所以，，,所以的一個取值為.故〖答案〗為：(〖答案〗不唯一)15.設(shè)A，B為兩個非空有限集合，定義其中表示集合S的元素個數(shù).某學(xué)校甲、乙、丙、丁四名同學(xué)從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門高中學(xué)業(yè)水平等級性考試科目中自主選擇3門參加考試，設(shè)這四名同學(xué)的選考科目組成的集合分別為，，，.已知{物理，化學(xué)，生物}，{地理，物理，化學(xué)}，{思想政治，歷史，地理}，給出下列四個結(jié)論：①若，則{思想政治，歷史，生物}；②若，則{地理，物理，化學(xué)}；③若{思想政治，物理，生物}，則；④若，則{思想政治，地理，化學(xué)}其中所有正確結(jié)論的序號是__________.〖答案〗①③〖解析〗對于①：，所以，所以，又{地理，物理，化學(xué)}，所以{思想政治，歷史，生物}，①正確；對于②：，即，所以，所以必為偶數(shù)，又，當(dāng)時，，不符合，所以，且，此時情況較多，比如{物理，地理，生物}，②錯誤；對于③：若{思想政治，物理，生物}，則，所以，③正確；對于④：當(dāng){物理，地理，歷史}時，，滿足，但不是{思想政治，地理，化學(xué)}，④錯誤.故選：①③三、解答題16.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）若，，求的值；（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，確定的〖解析〗式，并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.條件①：的最大值為2；條件②：的圖象關(guān)于點中心對稱；條件③：的圖象經(jīng)過點.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.解：（1）因為，，則，且，則；（2）因為函數(shù)的最小正周期為，則，若選①②，則，且，且，則，則，則，所以；若選擇①③，則，且，則，，則，則，則，所以；若選擇②③，由②可知，，由③可知，，則，所以.，令，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，17.如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，，.（1）求證：；（2）已知，，，是線段上一點，當(dāng)時，求二面角的余弦值.（1）證明：取中點，連接、，由，，故、，又、平面，，則平面，又平面，故；（2）解：由側(cè)面底面，且，平面，平面平面，故平面，又平面，故，即有、、兩兩垂直，故可以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由，，，，，則，，即、、、、，、、，令，則，由，故，解得，故，令平面的法向量為，則有，令，則有，由軸平面，故平面的法向量可為，則，故二面角的余弦值為.18.為提升學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實生活或其他學(xué)科領(lǐng)域中問題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，某市面向全市高中學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模論文征文活動.對于參加征文活動的每篇論文，由兩位評委獨立評分，取兩位評委評分的平均數(shù)作為該篇論文的初評得分.從評委甲和評委乙負(fù)責(zé)評審的論文中隨機(jī)抽取10篇，這10篇論文的評分情況如下表所示.序號評委甲評分評委乙評分初評得分1678274.528086833617668.547884815708577.56818382784868586874719667771.510648273（1）從這篇論文中隨機(jī)抽取1篇，求甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過的概率；（2）從這篇論文中隨機(jī)抽取3篇，甲、乙兩位評委對同一篇論文的評分之差的絕對值不超過的篇數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）對于序號為的論文，設(shè)評委甲的評分為，評委乙的評分為，分別記甲、乙兩位評委對這10篇論文評分的平均數(shù)為，，標(biāo)準(zhǔn)差為，，以作為序號為的論文的標(biāo)準(zhǔn)化得分.對這10篇論文按照初評得分與標(biāo)準(zhǔn)化得分分別從高到低進(jìn)行排名，判斷序號為2的論文的兩種排名結(jié)果是否相同?（結(jié)論不要求證明）解：（1）設(shè)事件為從這10篇論文中隨機(jī)抽取1篇，甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過，又在這10篇論文中，甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過的有篇，所以；（2）由已知的可能取值為，，，，，所以的分布列為所以的數(shù)學(xué)期望為；（3）根據(jù)數(shù)據(jù)序號為2的論文初評得分排名為第，由已知，，明顯序號為7的論文甲乙兩評委評分均最高，故初評得分排名為第，標(biāo)準(zhǔn)化得分排名仍然為第，現(xiàn)在就看初評得分排名為第的序號為的論文其標(biāo)準(zhǔn)化得分排名是否會發(fā)生變化，根據(jù)表中數(shù)據(jù)觀察可得評委甲的評分波動大，故，所以，即，所以序號為2的論文標(biāo)準(zhǔn)化得分排名為第，所以序號為2的論文的兩種排名結(jié)果相同.19.已知橢圓：的離心率為，A，B分別是E的左、右頂點，P是E上異于A，B的點，的面積的最大值為.（1）求E方程；（2）設(shè)O為原點，點N在直線上，N，P分別在x軸的兩側(cè)，且與的面積相等.（i）求證：直線與直線的斜率之積為定值；（ⅱ）是否存在點P使得，若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.（1）解：當(dāng)點是短軸端點時，的面積最大，面積的最大值為，則，得，，所以橢圓的方程為；（2）（ⅰ）證明：設(shè)，，，，由題意可知，，，即，所以；（ⅱ）解：假設(shè)存在點，使得，因為，，，所以，，，則，由（?。┛芍?，，又，所以三點共線，如圖，則，所以，則點與點重合，這與已知矛盾，所以不存在點，使.20.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的不等式無整數(shù)解，求的取值范圍.解：（1），當(dāng)，得，當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，綜上可知，時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，時，函數(shù)的增區(qū)間是，無減區(qū)間.（2）不等式，即，設(shè)，，設(shè)，，所以單調(diào)遞增，且，，所以存在，使，即，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，因為，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，不等式無整數(shù)解，即無整數(shù)解，若時，不等式恒成立，有無窮多個整數(shù)解，不符合題意，若時，即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時，，所以無整數(shù)解，符合題意，當(dāng)時，因為，顯然是的兩個整數(shù)解，不符合題意，綜上可知，.21.若有窮自然數(shù)數(shù)列：滿足如下兩個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，其中，表示，這個數(shù)中最大的數(shù)；②，其中，表示，這個數(shù)中最小的數(shù).（1）判斷：2，4，6，7，10是否為數(shù)列，說明理由；（2）若：是數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，求；（3）證明：對任意數(shù)列：，存在實數(shù)，使得.（表示不超過的最大整數(shù)）（1）解：：2，4，6，7，10不是數(shù)列，理由如下：因為，所以，但，所以不滿足性質(zhì)①，故不是數(shù)列；（2）解：根據(jù)：是數(shù)列可得：滿足：或，或，①若，因為，，成等比數(shù)列，所以，又，所以，所以，得，②若，因為，，成等比數(shù)列，所以，當(dāng)時，，解得，與為自然數(shù)矛盾，舍去；當(dāng)時，，解得，與為自然數(shù)矛盾，舍去；所