2022-2023學年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學八年級（上）期中數(shù)學試卷

2022-2023學年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學八年級（上）期中數(shù)學

試卷

一、選擇題（共30分，每題3分）第1-10題均有四個選項，其中符合題意的選項只有一個.請

將選擇題答案填寫在答題卡的表格中.

2.（3分）點M（1,2）關于x軸對稱點的坐標為（）

A.(-1,2)B.(-1,-2)C.(2,-1)D.(1,-2)

3.（3分）用三角板作△A8C的邊上的高，下列三角板的擺放位置正確的是（）

B.

D.

3兩點間的距離，小陰同學在池塘一側(cè)選取一點O,

測得04=12米，08=7米，則A,B間的距離不可能是（)

C.10米D.18.9米

5.（3分）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，這個多邊形是（)

A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.八邊形

6.（3分）如圖，△AB8XDEF,OF和AC,FE和CB是對應邊.若乙4=100°,NF=

7.（3分）如圖，Rt/XABC中，ZC=90°,8。平分N4BC交4c于點。，點E為48的中

點，若AB=12,8=3,則△OBE的面積為（）

8.（3分）如圖，正方形紙片A8CZ）：

①先對折使AB與CD重合，得到折痕EF-,

②折疊紙片，使得點A落在EF的點H上，沿和CH剪下厶臺?！?

則判定△BC4為等邊三角形的依據(jù)是（）

A.三個角都相等的三角形是等邊三角形

B.有兩個角是60°的三角形是等邊三角形

C.三邊都相等的三角形是等邊三角形

D.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形

9.（3分）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形邊長均為1,ZXA8C的頂點均落在格點上，若點A

的坐標為（-2,-1）,則到△A8C三個頂點距離相等的點的坐標為（）

10.（3分）老師布置的作業(yè)中有這么一道題：

如圖，在△ABC中，。為8c的中點，若AC=3,AD=4.則AB的長不可能是（）

A.5B.lC.8D.9

甲同學認為A8,AC,AO這條三邊不在同一個三角形中，無法解答，老師給的題目有錯

誤.乙同學認為可以從中點。出發(fā)，構(gòu)造輔助線，利用全等的知識解決.丙同學認為可

以從點C作平行線，構(gòu)造輔助線，利用全等的知識解決.你認為正確的是（）

A.甲B.乙C.丙D.乙和丙

二、填空題（共24分，每題3分）

11.（3分）蓋房子時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，使

窗框不變形，這樣做的數(shù)學原理是°

12.（3分）等腰三角形的兩邊長為4和6,則此等腰三角形的周長為.

13.（3分）如圖，點A、E、B、產(chǎn)在同一條直線上，AC//DF,AC=DF9要使

FED,則可以補充一個條件：.

E

A

B

14.（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=40°,8。為NABC的平分線，則NBQC

15.（3分）如圖，在三角形ABC中，NAC2=90°,C￡>丄AB于點。，ZB=30",且A￡>

16.（3分）如圖，ZVIBC中，DE、FG分別是AB、AC的垂直平分線，BC=4cm,ZBAC

17.（3分）如圖，=AB=60,E,F分別為線段A8和射線8。上的一點，若點E

從點8出發(fā)向點4運動，同時點尸從點B出發(fā)沿射線8。運動，二者速度之比為3：1,

當點E運動到點4時，兩點同時停止運動.在射線4c上取一點G,使△AEG與aBEF

全等，則AG的長為.

18.（3分）如圖，等腰△ABC中，AB=AC,NBAC=120°,4。丄0c于。，點。是線段

A。上一點，點P是8A延長線上一點，若0P=0C,則下歹IJ結(jié)論：?ZAP0+ZDC0=

30°；②NAP0=N￡>C0；③△POC是等邊三角形；@AB=OA+AP.其中正確的

是__________

三、解答題（共46分，第19題4分，第20-25題，每題5分，第26,27題，每題6分）

19.（4分）如圖，已知AB=AD,AC=AE.求證：NB=/D.

20.（5分）如圖，AO平分NC4E,NB=30°,/C4E=144°,求乙與NACO的度

數(shù).

21.（5分）已知：如圖，點8是NMAN邊AM上的一定點（其中NAMN<45°）,

求作：△ABC,使其滿足：①點C在射線AN上，②NACB=2NA.

下面是小兵設計的尺規(guī)作圖過程.

作法：

①作線段AB的垂直平分線I,直線/交射線AN于點。；

②以點8為圓心，8。長為半徑作弧，交射線AN于另一點C；

③連接8C,則△ABC即為所求三角形.

根據(jù)小兵設計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：???直線/為線段AB的垂直平分線，

：.AD=BD(),(填推理的依據(jù))

ZA=Z,

NBDC=NA+/ABO=2NA；

,:BC=BD,

：.ZACB=ZBDC(),(填推理的依據(jù))

22.(5分)如圖，在△ABC中，。是邊A8上一點，E是邊AC的中點，作CF〃AB交。E

的延長線于點F.若NB=NACB,CE=5,CF=7,求08的長.

23.(5分)如圖，在平面直角坐標系x0y中，直線/是第一、三象限的角平分線.已知△

ABC的三個頂點坐標分別為A(3,0),B(5,3),C(6,1).

(1)若△ABC與△A'B'C關于y軸對稱，畫出△WBC；

(2)若直線/上存在點P,使AP+8P最小，則點P的坐標為,AP+BPM

最小值為.

24.（5分）在學習完全等三角形及軸對稱的知識后，小明經(jīng)過思考得出猜想：“如果一個三

角形一邊上的中點到另兩條邊的距離相等，那么這個三角形是等腰三角形”.

老師說小明的猜想是正確的.請你幫助小明完成以上猜想的證明.

已知:

求證:

證明:

25.（5分）如圖，在AABC中，NB=2NC,AD1.BC,垂足為。，判斷48、CO和BD這

三條線段的數(shù)量關系（用等式表示），并證明.

26.（6分）在平面直角坐標系X。），中，點A的坐標為（0,3）,點B在x軸上，過點B作

BC丄A8,且BC=AB.這樣得到的點C稱為點A關于點8的“伴隨點”.

并寫出“伴隨點”的坐標：;

（2）在下列各點中：①（2,-1）,②（-3,-1）,③（5,2）,能成為點A關于點B

的“伴隨點”的是（填序號）；

（3）若點B坐標為（小0）,直接寫出點4關于點B的“伴隨點”的坐標（用。表示）.

27.（6分）在△A8C中，NA8C為銳角，A8=5,BC=3,作外角/P8A的平分線M8,在

MB上找一點。，使得。C=D4,過點。作。E丄BP交于點E.

（1）在圖1中，依題意補全圖形；

（2）直接寫出BE的值;

（3）如圖2,當/ABC為鈍角時，猜想AB,BC,8E之間的數(shù)量關系，并說明理由.

2022-2023學年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學八年級（上）期中數(shù)學

試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共30分,每題3分）第1-10題均有四個選項，其中符合題意的選項只有一個.請

將選擇題答案填寫在答題卡的表格中.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義進行判斷即可.

【解答】解：根據(jù)軸對稱圖形的定義：軸對稱圖形沿一條直線對折兩邊能夠完全重合可

知,

選項A、B、。中的圖形都是軸對稱圖形，

只有選項C中的圖形不是軸對稱圖形，符合題意.

故選：C.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的識別，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關鍵.

2.（3分）點M（1,2）關于x軸對稱點的坐標為（）

A.（-1,2）B.（-1,-2）C.（2,-1）D.（1,-2）

【分析】兩點關于x軸對稱，那么讓橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)即可.

【解答】解：???2的相反數(shù)是-2,

.?.點M（1,2）關于x軸對稱點的坐標為（1,-2）.

故選：D.

【點評】本題考查兩點關于x軸對稱的坐標的特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù).

3.（3分）用三角板作△ABC的邊BC上的高，下列三角板的擺放位置正確的是（)

【分析】根據(jù)高線的定義即可得出結(jié)論.

【解答】解：B,C,。都不是△ABC的邊BC上的高,

故選：A.

【點評】本題考查的是作圖-基本作圖，熟知三角形高線的定義是解答此題的關鍵.

4.（3分）如圖，為了估計池塘岸邊A,8兩點間的距離，小理同學在池塘一側(cè)選取一點。,

測得0A=12米，08=7米，則A,B間的距離不可能是（）

A.5米B.7.5米C.10米D.18.9米

【分析】根據(jù)三角形的三邊關系定理三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于

第三邊可得12-7<48<12+7,計算出AB的取值范圍可得答案.

【解答】解：連接AB,

根據(jù)三角形的三邊關系可得12-7VABV12+7,

即5<AB<19,

故選：A.

O

【點評】此題主要考查了三角形的三邊關系，關鍵是掌握第三邊的范圍是：大于己知的

兩邊的差，而小于兩邊的和.

5.（3分）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，這個多邊形是（）

A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.八邊形

【分析】此題可以利用多邊形的外角和和內(nèi)角和定理求解.

【解答】解：設所求多邊形邊數(shù)為〃，由題意得

(〃-2)780°=360°X2

解得n=6.

則這個多邊形是六邊形.

故選：C.

【點評】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和、方程的思想.關鍵是記住內(nèi)角和的公式與

外角和的特征：任何多邊形的外角和都等于360°邊形的內(nèi)角和為(n-2)?180°.

6.（3分）如圖，△ABgADEF,DFAC,FE和CB是對應邊.若乙4=100°,ZF=

47°,則/OEF等于（）

【分析】根據(jù)全等三角形的對應角相等、三角形的內(nèi)角和是180度來解答.

【解答】解：:△ABC也△OER。尸和AC,尸E和CB是對應邊，

ZA=ZFDE,

又；乙4=100°,

：.ZFDE=\00°；

VZF=47°,ZFDE+ZF+ZDEF^180°,

AZDEF=1800-ZF-ZFDE=180°-47°-100°=33°；

故選：D.

【點評】本題主要考查的是全等三角形的對應角相等，以及三角形的內(nèi)角和定理.根據(jù)

相等關系，把己知條件轉(zhuǎn)到同一個三角形中然后利用三角形的內(nèi)角和來求解是解決這類

問題常用的方法.

7.(3分)如圖，RtZXABC中，ZC=90°,BO平分NABC交AC于點。，點E為A8的中

點，若A8=12,8=3,則△O8E的面積為(）

c

AEB

A.10B.12C.9D.6

【分析】過。作OF丄A3于F,由角平分線的性質(zhì)求出OF,根據(jù)三角形的面積公式即可

求出△OBE的面積.

【解答】解：過。作力F丄AB于凡

VZC=90°,

：.DC±BC,

平分/ABC,CD=3,

:.DF=CD=3,

?.?點E為A8的中點，的二⑵

：.BE=6,

...△OBE的面積?力F=丄*6乂3=9,

22

故選：C.

【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì),三角形的面積公式，掌握角平分線上的點到

角兩邊的距離相等是解決問題的關鍵.

8.（3分）如圖，正方形紙片ABC。：

①先對折使AB與C。重合，得到折痕EF；

②折疊紙片，使得點A落在EF的點H上,沿BH和CH剪下△BCH.

則判定△BCH為等邊三角形的依據(jù)是（

A.三個角都相等的三角形是等邊三角形

B.有兩個角是60°的三角形是等邊三角形

C.三邊都相等的三角形是等邊三角形

D.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)可得8H=BC,因為E尸是BC的垂直平分

線，利用垂直平分線的性質(zhì)，可得BH=CH,又根據(jù)折疊的性質(zhì)可知BH=A8,故

CH=BC,因此是正三角形.

【解答】解：；四邊形A8CD是正方形，

：.AB=BC=CD=DA,

由翻折變換可得，AB=HB,

：.BH=BC,

是8c的垂直平分線，

：.BH=CH,

:.BH=CH=BC,

...△BHC是正三角形，

故選：C.

【點評】本題考查翻折變換，直角三角形的邊角關系以及等腰三角形的判定，掌握正三

角形的判定方法是正確解答的關鍵.

9.(3分)如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形邊長均為1,△ABC的頂點均落在格點上，若點A

的坐標為(-2,-1),則到厶厶8。三個頂點距離相等的點的坐標為()

A.(0,1)B.(1,0)C.(0,0)D.(1,-1)

【分析】到AABC三個頂點距離相等的點是AB與AC的垂直平分線的交點，進而得出其

坐標.

【解答】解：平面直角坐標系如圖所示，AB與AC的垂直平分線的交點為點。，

...到aABC三個頂點距離相等的點的坐標為(0,0),

y

故選：c.

【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上任意一點，到線段

兩端點的距離相等.

10.（3分）老師布置的作業(yè)中有這么一道題：

如圖，在aABC中，。為8c的中點，若AC=3,AD=4.則AB的長不可能是（）

A.5B.7C.8D.9

甲同學認為AB,AC,AO這條三邊不在同一個三角形中，無法解答，老師給的題目有錯

誤.乙同學認為可以從中點。出發(fā)，構(gòu)造輔助線，利用全等的知識解決.丙同學認為可

以從點C作平行線，構(gòu)造輔助線，利用全等的知識解決.你認為正確的是（）

C.丙D.乙和丙

【分析】延長到E使得AQ=ED=4,利用倍長中線模型證明△A3。絲△ECZ）（SAS）

得到AB=EC,再由三角形三邊的關系即可判斷乙同學的說法；過C作CE//AB交AD

的延長線于E,證明（A4S）,得AB=EC,AO=EO=4,再由三角形三

邊的關系即可判斷丙同學的說法.

【解答】解：如圖，延長A。到E,使得E0=A￡>=4,

則AE=2AD=S,

延長AD到E使得AD=ED=4,

是BC的中點，

；.BD=CD,

在△A8。和△EC。中，

'AD=ED

<ZADB=ZEDC>

BD=CD

.,.△AB。好△EC。（SAS）,

：.AB=EC,

在△人（?￡：中，AE-AC<EC<AE+AC,

即8-3<￡C<8+3,

.?.5<EC<1I.

...AB的長不可能是5；

過C作CE〃AB交AD的延長線于E,

則NBAD=NE,

：￡）是BC的中點，

：.BD=CD,

在△A8。和△ECD中，

，ZBAD=ZE

<ZADB=ZEDC）

BD=CD

A/XABD^/XECD（AAS）,

：.AB=EC,AO=ED=4,

.,.AE=2AD—S,

在中，AE-AC<EC<AE+AC,

即8-3VECV8+3,

.,.5<EC<11,

；.AB的長不可能是5；

綜上所述，甲說法錯誤，乙和丙說法正確.

故選：D.

A

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形三邊的關

系等知識，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵.

二、填空題（共24分，每題3分）

11.（3分）蓋房子時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，使

窗框不變形，這樣做的數(shù)學原理是三角形的穩(wěn)定性。

【分析】用木條固定矩形門框，即是組成三角形，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋.

【解答】解：加上木條后，原不穩(wěn)定的四邊形中具有了穩(wěn)定的三角形，故這種做法根據(jù)

的是三角形的穩(wěn)定性.

故答案為：三角形的穩(wěn)定性.

【點評】本題考查三角形穩(wěn)定性的實際應用.三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的

應用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助

線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得.

12.（3分）等腰三角形的兩邊長為4和6,則此等腰三角形的周長為14或16.

【分析】分腰長為4和腰長為6兩種情況，再結(jié)合三角形三邊關系進行驗證，再求其周

長即可.

【解答】解：

當腰為4時，則三角形的三邊為4、4、6,滿足三角形三邊關系，此時三角形的周長為

14；

當腰為6時，則三角形的三邊為6、6、4,滿足三角形三邊關系，此時三角形的周長為

16；

綜上可知該等腰三角形的周長為14或16.

故答案為：14或16.

【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關鍵，

注意分類討論.

13.(3分)如圖，點A、E、B、F在同一條直線上，AC//DF,AC=DF,要使

FED,則可以補充一個條件：AB=EF.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，由AC〃。凡得/A=/F,從而解決此題.

【解答】解：補充條件：AB=EF.

'：AC//DF,

ZA=ZF.

在△A8C和△FED中，

'BA=EF

,ZA=ZF>

AC=DF

.,.△ABC也△FED(.SAS).

故答案為：AB=EF.

【點評】本題主要考查全等三角形的判定、平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定、

平行線的性質(zhì)是解決本題的關鍵.

14.(3分)如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=40°,8。為NABC的平分線，則NBQC

=75°.

【分析】由AB=AC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N4BC=NC,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定

理得到NABC=NC=(180°-40°)+2=70°,然后利用角平分線的定義求出NO8C,

最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出N8OC.

【解答】解：：A8=AC,

ZABC^ZC,

VZA=40°,

AZABC=ZC=(180°-40°)4-2=70°,

而8。為NABC的平分線，

；.NDBC=LX70。=35。，

2

AZBDC=180°-70°-35°=75°.

故答案為75°.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩底角相等.也考查了三角形的

內(nèi)角和定理.

15.(3分)如圖，在三角形A8C中，NAC8=90°,CD丄AB于點。，/8=30°,且4D

=1,那么BD=3.

【分析】利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解AB的長，再利用-AO計算可

求解.

【解答】解：；/4CB=90°,ZB=30°,

：.AB=2AC,ZA=90°-30°=60°,

'：CD±AB,

：.ZACD=90°-60°=30°,

：.AC=2AD,

：.AB=4AD,

"：AD=\,

；.AB=4,

：.BD=AB-AD=4-1=3.

故答案為：3.

【點評】本題主要考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，求解AB的長是解題的關鍵.

16.（3分）如圖，△A8C中，DE、FG分別是A8、AC的垂直平分線，BC=4cm,ABAC

=100°.則△AOF的周長是4cm,乙DAF=20°.

【分析】由在aABC中，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線

的性質(zhì)，nJWAD=BD,AF=CF,繼而求得/CAF=NC,又由N8AC=

110°,即可求得/B+/C,則可得NBAD+/CAF的度數(shù)，繼而求得ND4F；由AD=B￡>,

AF=CF,即可得△厶￡>/的周長=8仁

【解答】解：???在△A8C中，DE、FG分別為48、AC的垂直平分線，

：.AD^BD,AF=CF,

:.NBAD=NB,NC4F=NC,

VZBAC=100°,

.,.ZB+ZC=80°,

：.ZBAD+ZCAF^80Q,

：.ZDAF^ZBAC-（ZBAD+ZCAF）=20°,

△ADF的周長=A￡）+OF+AF=BO+OF+CF=BC=4CH,

故答案為：4,20.

【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).掌握線段垂直平分

線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解決問題的關鍵.

17.（3分）如圖，NA=NB,4B=60,E,尸分別為線段AB和射線8。上的一點，若點E

從點8出發(fā)向點A運動，同時點尸從點B出發(fā)沿射線8。運動，二者速度之比為3：7,

當點E運動到點A時，兩點同時停止運動.在射線AC上取一點G,使aAEG與△BEF

全等，則AG的長為18或70.

【分析】設BE=3z,則BF=7f,使△AEG與aBEF全等，由NA=NB可知，分兩種情

況：情況一：當BE=AG,BF=AEH<t,列方程解得f,可得AG；情況二：當3E=AE,

BF=AG時，列方程解得f,可得AG.

【解答】解：設BE=3r,則8F=7r,因為NA=N8,使與全等，可分兩

種情況：

情況一：當BE=AG,BF=AE時，

"：BF=AE,AB=60,

It—60-3t,

解得：f=6,

.,.AG=BE=3f=3X6=18；

情況二：當BE=AE,8F=AG時，

'：BE=AE,48=60,

3f=60-3t,

解得：f=10,

.?.AG=BF=7f=7X10=70,

綜上所述，AG=18或AG=70.

故答案為：18或70.

【點評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想是解答此題的關鍵.

18.（3分）如圖，等腰△A8C中，AB=AC,N8AC=120°,4。丄。C于。，點O是線段

AO上一點，點P是84延長線上一點，若OP=OC,則下列結(jié)論：?ZAPO+ZDCO=

30°；@ZAPO=ZDCO：③△POC是等邊三角形；④AB=OA+AP.其中正確的是

【分析】①利用等邊對等角得：ZAPO^ZABO,NDCO=NDBO,則/APO+NOC。

-ZABO+ZDBO^ZABD,據(jù)此即可求解；

②因為點。是線段上一點，所以8。不一定是的角平分線，可作判斷；

③證明NPOC=60°且OP=OC,即可證得△OPC是等邊三角形；

④證明用纟則AO=CE,WAC=AE+CE=AO+AP.

【解答】解：①如圖1,連接0B,

；A3=AC,AD±BC,

：.BD=CD,NBAD=JLNB4C=LX120°=60°,

22

/.OB=OC,ZABC=90°-ZBAD=30°

,:OP=OC,

...OB=OC=OP,

：./APO=AABO,4DC0=ZDBO,

：.ZAPO+ZDCO^ZABO+ZDBO^ZABD=3^,故①正確;

②由①知：ZAPO=ZABO,ZDCO=ZDBO,

,??點O是線段A。上一點，

ZABO與ZDBO不一定相等，

則N4P0與NDC。不一定相等，故②不正確；

@'：ZAPC+ZDCP+ZPBC=\SO°,

：.ZAPC+ZDCP^\50°,

；/APO+/￡>CO=30°,

.\zopc+zocp=no°,

.".ZPOC=180°-(NOPC+/OCP)=60°,

'：OP=OC,

...△OPC是等邊三角形，故③正確；

④如圖2,在AC上截取4E=fi4,

VZ.R4￡=180o-ZBAC=60°,

...△APE是等邊三角形，

...NPEA=NAPE=60°,PE=PA,

NAPO+NOPE=60°,

ZOPE+ZCPE=NCPO=60°,

：.ZAPO=ZCPE,

"：OP=CP,

在△0%和△CPE中,

'PA=PE

<ZAPO=ZCPE>

OP=CP

：./\OPA^^CPE(SAS),

：.AO=CE,

：.AC=AE+CE=AO+AP,

：.AB=AO+AP,故④正確;

故答案為：①③④.

【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與

性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確作出輔助線是解決問題的關鍵.

三、解答題（共46分，第19題4分，第20-25題，每題5分，第26,27題，每題6分）

19.（4分）如圖，已知NBAO=NC4E,AB=AD,AC=AE.求證：/B=ND.

【分析】利用SAS判定aABC纟△AOE,再根據(jù)全等三角形的對應邊相等，對應角相等,

即可證得/B=ND

【解答】證明：；NBAO=NCAE,

：.ZBAC^ZDAE.

；AB=A。，AC=AE,

：.^ABC^^ADE（SAS）.

：.ZB=ZD.

【點評】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、

SAS.AAS.HL.注意：414、5S4不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，

必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

20.（5分）如圖，A。平分NCAE,ZB=30",ZCA￡=144°,求NAO8與NACD的度

數(shù).

【分析】根據(jù)角平分線的定義，由AZ）平分NCAE,得/EAZ）=/NEAC=72°.根據(jù)三

角形外角的性質(zhì)，得/E4Z）=NB+NAOB,故乙4。8=NEAQ-NB=42°.根據(jù)平角的

定義，得/C4E=144°,那么NBAC=180°-/C4E=36°.根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，

得NACr>=/B+/BAC=30°+36°=66°.

【解答】解：平分NCAE,

???NEAO=/NEAC=/X144°=72。.

■:NEAD=NB+NADB,

；.NADB=NEAD-NB=72°-30°=42°.

VZCA￡=144°,

：.ZBAC=\S0a-NCAE=36°.

AZACD=ZB+ZBAC=300+36°=66°.

【點評】本題主要考查角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義、

三角形外角的性質(zhì)是解決本題的關鍵.

21.（5分）已知：如圖，點B是NAMN邊AM上的一定點（其中/AMN<45°）,

求作：ZiABC,使其滿足：①點C在射線AN上，?ZACB=2ZA.

下面是小兵設計的尺規(guī)作圖過程.

作法：

①作線段A8的垂直平分線/,直線/交射線AN于點￡＞；

②以點B為圓心，8。長為半徑作弧，交射線AN于另一點C；

③連接BC,則△ABC即為所求三角形.

根據(jù)小兵設計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：???直線/為線段AB的垂直平分線，

：.AD=BD（線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等）,（填推理的依

據(jù)）

ZA=ZABD,

：.NBDC=ZA+ZABD=2ZA；

?；BC=BD,

：.ZACB^ZBDC（等邊對等角）,（填推理的依據(jù)）

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可.

（2）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可.

【解答】解：（1）如圖，AABC即為所求.

（2）?.?直線/為線段AB的垂直平分線，

：.AD=BD（線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等）,

，ZA=ZABD,

：.NBDC=NA+/ABZ）=2/A,

,:BC=BD,

：.ZACB=ZBDC（等邊對等角），

ZACB=2ZA.

故答案為：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等，ZABD,等邊對等角.

【點評】本題考查作圖-復雜作圖，線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解

題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型.

22.（5分）如圖，在△ABC中，。是邊A8上一點，E是邊AC的中點，作CF〃AB交OE

的延長線于點F.若/B=NACB,CE=5,CF=7,求。8的長.

【分析】由ASA證纟△CFE,CF=AD=7,再證4B=AC=10,即可得出結(jié)論.

【解答】解：是邊AC的中點，

：.AE=CE=5,

：.AC^2CE=\0,

\'CF//AB,

：.NA=NFCE,

，ZA=ZFCE

在△A￡>E與△CFE中，<AE=CE，

ZAED=ZFEC

.?.△AD哈ZXCFE(ASA),

:.CF=AD=1,

又；NB=NAC8,

：.AB=AC=10,

：.DB=AB-AD=lO-7^3.

【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)等知識，證明三角形

全等是解題的關鍵，屬于中考常考題型.

23.(5分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線/是第一、三象限的角平分線.已知△

ABC的三個頂點坐標分別為A(3,0),B(5,3),C(6,1).

(1)若△ABC與關于y軸對稱，畫出△A5C,；

(2)若直線/上存在點P,使AP+BP最小，則點尸的坐標為(3,3),AP+BPM

最小值為5.

【分析】(1)利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A,B,C的對應點A',夕，C'即可；

(2)作點B關于直線/的對稱點B",連接AB"交直線/于點P,連接PB,此時PA+PB

的值最小，最小值為線段AB"的長.

【解答】解：(1)如圖，△Ab。即為所求；

(2)如圖，點P即為所求.P(3,3),最小值為5,

故答案為：(3,3),5.

【點評】本題考查作圖-軸對稱變換，軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵學會利用軸

對稱解決最短問題，屬于中考常考題型.

24.(5分)在學習完全等三角形及軸對稱的知識后，小明經(jīng)過思考得出猜想：“如果一個三

角形一邊上的中點到另兩條邊的距離相等，那么這個三角形是等腰三角形”.

老師說小明的猜想是正確的.請你幫助小明完成以上猜想的證明.

已知：

求證：

證明：

【分析】根據(jù)題意寫出己知，求證，然后根據(jù)題意，作出合適的輔助線，再根據(jù)HL可

以證明RtZXOEB也RtZ\Z)FC,從而可以得到/B=NC,再根據(jù)等角對等邊得到AB=AC,

從而可以判段△ABC的形狀.

【解答】已知：在△ABC中，點。為BC的中點，點。到邊AB和AC的距離相等，

求證：AABC是等腰三角形.

證明：作QE丄48于點E,作。尸丄AC于點凡

則NDEB=ZDFC,

由題意可得，BD=CD,DE=DE,

在RtADEB和RtADFC中，

fBD=CD；

IDE=DF'

.".RtADEB^RtADFC(HL),

：.ZB=ZC,

：.AB=AC,

???△ABC是等腰三角形.

【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定，解答本題的關鍵是明

確題意，寫出已知、求證和證明過程.

25.（5分）如圖，在△ABC中，ZB=2ZC,AD1.BC,垂足為。，判斷A3、CO和8。這

三條線段的數(shù)量關系（用等式表示），并證明.

【分析】在CQC截取連接A4,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到

即可證得根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)證得N”AC=NC,即可證得

從而證得AB^BD=CH+DH=CD.

【解答】解：AB+BD=CD,

證明：在C。上截取連接A”，

VAD±BC,

：.AB=AH9

：./AHB=NB,

VZB=2ZC,

/AHB=/C,

NAHB=NC+/HAC,

:?/HAC=2/C,

:?AH=CH,

：.AB