南華大核反應(yīng)堆物理講義第5章 柵格的非均勻效應(yīng)

南華大學(xué)《反應(yīng)堆物理》精品課程電子教材第五章柵格的非均勻效應(yīng)在第四章中，我們討論了均勻堆的臨界擴(kuò)散計(jì)算。在均勻堆中，燃料和慢化劑是均勻混合在一起的，例如，把鈾和慢化劑制成鈾鹽溶液，因而在均勻系統(tǒng)內(nèi)各處都具有相同的物理系數(shù)，如宏觀截面、擴(kuò)散系數(shù)等。但是，由于熱工-水力、機(jī)械工程、堆物理、經(jīng)濟(jì)性等方面的原因，目前的動(dòng)力反應(yīng)堆幾乎都是非均勻的，世界上建成的第一個(gè)反應(yīng)堆也是非均勻的。在非均勻堆中，把燃料制成塊狀，如圓柱狀（棒狀）、環(huán)狀、球狀、片狀（平板狀）等，按一定的幾何形式放置在慢化劑中，構(gòu)成所謂柵格結(jié)構(gòu)的堆芯。最常見的柵格結(jié)構(gòu)是由棒狀燃料構(gòu)成的正方形柵格和三角形柵格（見圖5-1）。通常，把組成柵格結(jié)構(gòu)的基本單元叫做柵元，如正方形柵元和六角形柵格（見圖5-1）。柵元的形狀、燃料棒直徑和燃料的之間的間距——柵距和包殼材料厚度等統(tǒng)稱為柵格參數(shù)。在非均勻柵格中，各個(gè)子區(qū)（燃料、慢化劑等）具有不同的宏觀截面和核參數(shù)，這就給計(jì)算帶來許多困難。本章討論反應(yīng)堆堆芯內(nèi)柵格的非均勻效應(yīng)及均勻化問題。并介紹柵格的熱中子利用系數(shù)，逃脫共振吸收幾率和快中子倍增因子的計(jì)算方法。1．柵格的非均勻效應(yīng)概述在非均勻堆內(nèi)，由于燃料和慢化劑的吸收截面以及其它和性質(zhì)顯著地不同，燃料和慢化劑內(nèi)的中子通量密度分布也就顯著地不同，即使是一個(gè)無限大的非均勻堆，柵格內(nèi)中子通量密度的空間分布也是不均勻。圖5-2給出了裂變中子、共振中子和熱中子三種不同能量的中子在燃料和慢化劑內(nèi)的分布。先看熱中子的分布（見圖5-2中曲線1）。由于燃料的慢化能力比慢化劑的小得多，裂變中子主要在慢化劑內(nèi)慢化，因而，熱中子主要在慢化劑內(nèi)。產(chǎn)生。另一方面由于燃料對(duì)熱中子的吸收截面比慢化劑的大得多，熱中子主要被燃料核吸收，因此，形成從慢化劑流向燃料塊的熱中子流。熱中子進(jìn)入燃料塊后，首先為塊外層的燃料核所吸收，造成燃料塊里層的熱中子通量密度比外層的要低，結(jié)果使燃料塊里層的燃料核未能充分有效地吸收中子，就是說，塊外層燃料核對(duì)里層燃料核起了屏蔽作用，通常把這種現(xiàn)象叫做空間自屏效應(yīng)。正是這種空間空間自屏效應(yīng)，在燃料和慢化劑核子數(shù)比值相同的條件下，非均勻結(jié)構(gòu)使燃料吸收熱中子的能力下降，亦即使熱中子利用系數(shù)減小。這是非均勻堆的一個(gè)缺點(diǎn)。另一方面，同樣由于空間自屏效應(yīng)，燃料核吸收共振中子的能力也下降了。這是因?yàn)楣舱裰凶又饕诼瘎﹥?nèi)產(chǎn)生、而后入射到燃料塊上，故首先為塊表層的燃料核所吸收，而燃料核的共振吸收截面很大，所以在燃料塊內(nèi)共振中子通量密度（圖5-2中曲線2）降的更為急劇。例如，鈾-238核對(duì)能量E為6.7電子伏的中子的吸收截面σ“是7000靶，這種能量的中子穿入鈾塊后，基本上在鈾塊表層全部就被吸收了。而熱中子在鈾塊內(nèi)的平均自由程約為0.003×10?2米，也就是說，這種能量的中子穿入鈾塊后，基本上在鈾塊表層全部就被吸收了。而熱中子在鈾塊內(nèi)的平均自由程約為2.5×10?2米，由此看出，對(duì)共振中子來講，空間自屏效應(yīng)是非常強(qiáng)烈的。此外，裂變中子主要是在慢化劑內(nèi)慢化的，對(duì)于非均勻堆，尤其是當(dāng)燃料塊之間的間距足夠大時(shí)，慢化到共振能量的中子與燃料核碰撞的幾率就要比均勻系統(tǒng)的小，相對(duì)地講，就是與慢化劑核碰撞的幾率加大了。與慢化通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號(hào)南華大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院郵編：421001南華大學(xué)《反應(yīng)堆物理》精品課程電子教材劑核碰撞后，中子能量往往就直接降低到共振能量以下了，這就使的中子在慢化過程中有比較大的幾率逃脫共振吸收。由于存在著這兩個(gè)方面的原因（其中空間自屏效應(yīng)是主要的就減少了燃料塊對(duì)共振中子的吸收，而使逃脫共振幾率增加，這是非均勻堆的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)。最后考慮快中子在柵格內(nèi)的分布。在裂變中子中大約有60%的中子具有1.1兆電子伏以上的能量，具有這樣的能量的中子與鈾-238核相碰時(shí)，就有可能引起鈾-238核裂變。燃料制成塊狀后，裂變中子在燃料塊內(nèi)產(chǎn)生，它在飛出塊以前就可能與鈾-238核碰撞，亦即增加了鈾-238核快中子裂變的幾率，而每次鈾-238核裂變平均要釋放出兩個(gè)以上的快中子，結(jié)果使快中子倍增效應(yīng)增加，亦即使快中子倍增系數(shù)增大。由于飛出燃料塊的裂變中子在慢化劑內(nèi)被慢化，因此，一般地講，1.1兆電子伏以上的快中子通量密度分布如圖5-2中曲線3所示，燃料塊內(nèi)的平均中子通量密度比慢化劑內(nèi)的要高。綜合上述可知，柵格內(nèi)的中子通量密度分布是不均勻的?？臻g自屏效應(yīng)對(duì)熱中子的利用是不利的，但卻對(duì)逃脫共振吸收有利。通過合理地選擇燃料塊的直徑或厚度、燃料之間的間距（通常叫做柵距可使熱中子利用系數(shù)與逃脫共振幾率的乘積增加，亦即使無限介質(zhì)增殖系數(shù)增加。例如，在1943年前后，當(dāng)時(shí)可用做核燃料的只有天然鈾，可用做慢化劑的有輕水和石墨。分析表明，由天然鈾和輕水所組成的裝置是不可能達(dá)到臨界的，由于輕水的吸收截面比較大；同樣，由天然鈾和石墨所組成的均勻系統(tǒng)，無論怎樣選擇它們相互間的核子數(shù)之比，也都無法使無限介質(zhì)增殖系數(shù)大于1，可達(dá)到的最大值約為0.85。因而天然鈾-石墨均勻系統(tǒng)也是不可能達(dá)到臨界的。但是，進(jìn)一步分析表明，若將天然鈾制成棒狀，插入石墨塊形成非均勻柵格結(jié)構(gòu)，此時(shí)雖然熱中子利用系數(shù)減少了，但卻使逃脫共振幾率增加了，如果設(shè)計(jì)得當(dāng)，可以使無限介質(zhì)增殖系數(shù)大于1，就是說，天然鈾-石墨非均勻系統(tǒng)所做的分析是正確的。這就是為什么世界上第一個(gè)建成的反應(yīng)堆是非均勻的原因。因此在有足夠的富集鈾（或重水）之前，建成的所有反應(yīng)堆都是天然鈾-石墨非均勻堆。上述因柵格的塊結(jié)構(gòu)所引起的效應(yīng)，以及由其所產(chǎn)生的各種參數(shù)的變化，通常叫做非均勻效應(yīng)，亦叫做塊效應(yīng)。在計(jì)算非均勻堆的參數(shù)時(shí)必須加以考慮。2.柵格的均勻化處理2.1柵格的均勻化在非均勻堆內(nèi)，可以將中子通量密度的分布（如圖5-3所示）看成是由兩部分中子通量密度疊加而成的，一部分是沿整個(gè)堆變化的宏觀的中子通量密度分布，另一部分為柵元內(nèi)精細(xì)的中子通量密度分布。在堆為有限大小時(shí)，柵元交界面上的凈中子流一般并不等于零。但是，如果堆內(nèi)燃料塊的數(shù)目足夠大時(shí)，例如在一個(gè)電功率90萬千瓦的壓水堆內(nèi)有4萬多根燃料棒，亦即有4萬多燃料柵元，那末，如略去柵元中子通量密度的起伏，宏觀上看，非均勻堆內(nèi)的中子通量密度分布和均勻堆內(nèi)的相同（見圖5-3）。因此，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，均把非均勻堆先等效成一個(gè)均勻堆，然后進(jìn)行等效均勻堆的能譜和臨界計(jì)算。這樣，前面幾章所討論的有關(guān)均勻堆的能譜計(jì)算、臨界計(jì)算等理論和方法就可用于非均勻堆。但在這種等效均勻堆的參數(shù)時(shí)，它的有效截面或有效群常數(shù)，必須是考慮了柵元的非均勻效應(yīng)后所得到的。即在計(jì)算各個(gè)能群的群常數(shù)時(shí)，都必須考慮到非均勻效應(yīng)的影通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號(hào)南華大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院郵編：421001南華大學(xué)《反應(yīng)堆物理》精品課程電子教材響。因此，非均勻堆的計(jì)算分成兩步進(jìn)行：（1）計(jì)算非均勻柵格的物理參數(shù)，在計(jì)算這些參數(shù)時(shí)必須考慮到非均勻效應(yīng)——這是本章要著重討論的問題。（2）把非均勻系統(tǒng)等效成一個(gè)均勻系統(tǒng)，這個(gè)均勻系統(tǒng)具有上述考慮到了非均勻效應(yīng)的物理參數(shù)或群常數(shù)，然后采用前幾章所述的均勻堆的理論來計(jì)算能譜、臨界大小、中子通量密度或功率分布等等。這樣的處理方法叫做非均勻堆的均勻化處理。進(jìn)行均勻化處理是所依據(jù)的原理是：均勻化后單位柵元的各種核反應(yīng)的核反應(yīng)率應(yīng)與原非均勻柵元的保持相等。由此可見，非均勻反應(yīng)堆臨界計(jì)算的關(guān)鍵，在于考慮柵格的非均勻效應(yīng)，求出等效均勻系統(tǒng)的有效截面和有關(guān)均勻化參數(shù)。2.2均勻化有效截面的計(jì)算在柵格的均勻化計(jì)算中，通常是取出一個(gè)代表性柵元來進(jìn)行研究，由這個(gè)柵元計(jì)算所得到的物理參數(shù)或群常數(shù)就被看作為柵格中所有同類柵元的物理參數(shù)。根據(jù)上述核反應(yīng)率保持相等的條件，等效均勻化系統(tǒng)內(nèi)第I種元素核的吸收、裂變和散射等有效宏觀截面由下式定義：<Σ>=單位時(shí)間應(yīng)的次數(shù)（5-1）式中，x=a、f、s,分別表示吸收、裂變、散射；〈〉表示等效均勻系統(tǒng)的參數(shù)。在某一能群內(nèi)，如在第g群內(nèi)，?Eg=Eg?1?Eg，第I種元素的x反應(yīng)的有效宏〈Σ,g式中，V為柵元體積，Ni(r)為空間r處第i種元素的核密度，σ為第I種元素與中子發(fā)生x反應(yīng)的微觀截面。若柵元內(nèi)的中子通量密度φ（r,E）可以表示成φ（r,E）=φ（r）?(E),且認(rèn)為柵元內(nèi)各個(gè)區(qū)的中子能譜是相同的，則（5-2）式簡(jiǎn)化成Eσ(E)?(E)dE〈Σ,g式中，N為第j區(qū)內(nèi)第I中元素的核密度。定義通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號(hào)南華大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院郵編：421001iσ(E)?(E)dEσx,g≡?(E)dE為第i中元素核的第g群x反應(yīng)的平均微觀截面。同時(shí)定義j為第j區(qū)內(nèi)的平均中子通量密度。j=∫Vjφ(r)dV利用（5-4）和（5-5）式，將（5—3）簡(jiǎn)化成〈Σ,g而柵元的有效宏觀截面為（以下為簡(jiǎn)便起見，略去群的標(biāo)號(hào)g）〈Σx將（5—6）式代入（5—7）式，同時(shí)注意到j(luò)區(qū)的宏觀截面Σx,j=Nσ〈Σxx,j?式中，V為柵元體積，φ為柵元的平均中子通量密度=r)dV（5—9）根據(jù)（5—7）和（5—6）式，柵元有效宏觀截面〈Σx〉也可寫成下面工程計(jì)算中常用的形式〈Σxiσgi（5—10）式中Ni為單位柵元體積內(nèi)第I種元素的核子數(shù)，Ni=NVj/V，gi稱為I種核gi（5—6）、（5—8）和（5—10）式便是均勻化柵元各通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號(hào)南華大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院郵編：421001公式。對(duì)于均勻系統(tǒng)，對(duì)所有區(qū)φj/φ等于1，那么gi=1，因而（5-6）、（5-8）和（5-10）式便與均勻堆的一樣了，這是可以預(yù)見的事。可以看出，均勻化計(jì)算的關(guān)鍵問題在于正確地求出非均勻柵元內(nèi)各區(qū)的中子通量密度分布，這將在本章第3節(jié)和第4節(jié)以及下冊(cè)有關(guān)章節(jié)中給予討論。對(duì)于共振吸收效應(yīng)，根據(jù)第三章第3節(jié)的討論，表征共振吸收部分的群截面為N0ΣIeff,jN0ΣIeff,jln(Eg?1?Eg)Ugln(Eg?1?Eg)Ug式中i∈g表示對(duì)g能群內(nèi)的所有共振峰求和，而總的吸收截面將等于共振吸收〈ΣaΣa0Σres〉但要注意到，實(shí)際上由于柵元內(nèi)各區(qū)的材料和吸收截面及其核性質(zhì)的不同，各區(qū)內(nèi)的中子能譜是不同的，尤其是熱中子的空間能譜分布。因此中子通量密度的能量、空間變量不能分離。即不能表示成φ（r,E)=φ(r)?(E)的形式。所以，上面介紹的方法是一種近似處理辦法。為了得到更精確的結(jié)果，必須直接求出熱中子的φ（r,E)分布。目前往往應(yīng)用輸運(yùn)方法，例如，碰撞幾率法或Sn方法，求出柵元內(nèi)熱中子的φ（r,E)的分布或快中子和熱中子的φ（r,E)的分布。這將在下冊(cè)通常，輕水反應(yīng)堆的堆芯是由燃料組件組成的，燃料組件內(nèi)一般還包括燃料以外的其它一些材料，如構(gòu)成控制棒、可燃毒物棒和測(cè)量導(dǎo)管等部件的材料。這時(shí)在對(duì)各種柵元作均勻化處理后，尚須進(jìn)行以燃料組件為單位的均勻化計(jì)算（見圖5-4以求得燃料組件的均勻化有效截面，然后才能用這些有效截面進(jìn)行臨界計(jì)算，求出堆內(nèi)中子通量密度或功率分布等。因?yàn)椋研緭Q料設(shè)計(jì)時(shí)往往是以組件為單位進(jìn)行臨界和燃耗計(jì)算的。燃料組件均勻化和柵元均勻化一樣，一般要以組件為單位進(jìn)行二維擴(kuò)散或輸運(yùn)計(jì)算，求出組件內(nèi)的中子通量密度分布φg(x,y)然后以此通量密度做權(quán)重函數(shù)類似（5-6）式那樣求出組件的熱群或少群的有效截面。應(yīng)該指出，在非均勻堆內(nèi)，特別是在石墨氣冷反應(yīng)堆內(nèi)，中子沿平行于燃料塊方向和沿垂直于燃料塊方向的擴(kuò)散或輸運(yùn)是不一樣的。因此，在非均勻堆內(nèi)，擴(kuò)散系數(shù)是和方向有關(guān)的量，精確計(jì)算擴(kuò)散系數(shù)是應(yīng)考慮這個(gè)問題。由前面分析知道，中子能量不同，所產(chǎn)生的非均勻效應(yīng)也是不同的。下面分別討論熱中子能區(qū)、共振中子能區(qū)和快中子能區(qū)內(nèi)中子的非均勻效應(yīng)，目的在于通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號(hào)南華大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院郵編：421001南華大學(xué)《反應(yīng)堆物理》精品課程電子教材求得這些能量中子的有效截面或有效群常數(shù)。應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)于快中子，由于其平均自由程比較大，因而除共振吸收外其它的非均勻效應(yīng)并不嚴(yán)重，一般近似地可以不加考慮而把系統(tǒng)當(dāng)作均勻介質(zhì)處理，而對(duì)于熱中子及共振吸收，柵格的非均勻效應(yīng)則是重要的而必須考慮的。3.擴(kuò)散理論的應(yīng)用，不利因子和熱中子利用系數(shù)前面分析指出，柵元均勻化有效截面計(jì)算的關(guān)鍵在于精確求出各區(qū)的中子通量密度分布。在非均勻堆內(nèi)，柵元內(nèi)熱中子通量密度的分布是不均勻的，如圖5-5示。但是由于柵元中燃料塊是強(qiáng)吸收中子的物質(zhì)，嚴(yán)格講，燃料塊內(nèi)以及燃料塊周圍2-3個(gè)中子平均自由程內(nèi)，擴(kuò)散理論是不適用的，或且說，對(duì)這些區(qū)域，擴(kuò)散理論不能給出正確的中子通量密度分布。這也正是均勻化計(jì)算的困難所在。因而目前工程設(shè)計(jì)中通常要使用更精確的中子輸運(yùn)理論方法來計(jì)算，如求函數(shù)法、Sn方法、碰撞幾率方法和蒙特卡羅方法等。其中以碰撞幾率法和Sn方法在工程上應(yīng)用比較廣泛。遺憾的是，所有這些精確方法的計(jì)算都是非常繁的，并需借助于數(shù)值方法。盡管擴(kuò)散理論在精度上不夠理想，誤差較大，但它卻是最簡(jiǎn)單的方法，并可用解析方法求解在反應(yīng)堆發(fā)展的早期，擴(kuò)散理論廣泛應(yīng)用于柵元的熱中子利用系數(shù)計(jì)算。因而對(duì)它的介紹與了解還是具有重要的意義。本節(jié)討論應(yīng)用擴(kuò)散理論計(jì)算柵元內(nèi)熱中子通量密度的分布。3.1中子不利因子和熱中子利用系數(shù)概念根據(jù)（5-8）式，柵元的有效截面可以寫成〈ΣaΣx,f+ΣΣx,jjVj 式中，φj和φF分別表示第j中物質(zhì)和燃料區(qū)內(nèi)的平均中子通量密度[見（5-5）式]，Σx,j和Σx,F分別為第j以外所有物質(zhì)進(jìn)行的。為簡(jiǎn)單起見，若柵元只含燃料和慢化劑兩種材料，則式中ζΣx,F+Σx,M(VMVF)ζMVF)ζ??（5-16）通常把ζ叫做熱中子不利因子，它表示柵元內(nèi)熱中子分布的不均勻性。通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號(hào)南華大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院郵編：421001南華大學(xué)《反應(yīng)堆物理》精品課程電子教材下面討論熱中子利用系數(shù)的計(jì)算，根據(jù)其在第一章的定義，熱中子利用系數(shù)f定義為柵元內(nèi)燃料吸收的熱中子數(shù)與柵元內(nèi)被吸收的熱中子總數(shù)之比，即燃料吸收的熱中子數(shù)燃料、慢化劑、包殼……燃料、慢化劑、包殼……吸收的熱中子總數(shù)FΣaFφ(r)dVFΣaFφ(r)dV+jΣa,jφ(r)dV?式中分母中的求和是對(duì)除燃料以外的所有區(qū)域進(jìn)行的。若用φj表示第j中物質(zhì)內(nèi)熱中子通量密度的平均值，則（5-17）式便寫成M0(kMr)=I0(kMr)+K0(kMr)（5-29）DFr=a=DMr=a（5-30）式中a為鈾棒半徑。將（5-25）和（5-28）式代入（5-30）式，解后得=I0(kFa)?DF(a),A=IFaM1(kMa)?M0(kMa),式中，M1(kMa)=I1(kMa)?K1(kMa)（5-31）而=φ(r)dV=AF2πrI0(kFr)drπa2=（5-32）通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號(hào)南華大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院郵編：421001所以，熱中子不利因子ζ為ζ=φMφFVΣ=F(ka)+VFΣa,F[E(kMa,kMb)FVΣ,MaM,式中F(kFa)=k)E(kMa,kMb)=根據(jù)（5-20）式，得熱中子利用系數(shù)f為?1=F(kFa)+E(kMa,kMb)?1現(xiàn)在來分析一下ζ和f計(jì)算式中的F和(E-1)的意義。根據(jù)圖5-5，可以把(5-20)式改寫成a)，為燃料塊表面上的熱中子通量密度。由于空間自屏效應(yīng)，燃料塊內(nèi)中子通量密度的分布是不均勻的，且φF(a)>。根據(jù)（5-25）和（5-32）式很容易證明F(kFa)就是燃料塊表面上的中子通量密度與燃料塊內(nèi)的平均中子通量密度之比φF(a)F，它是反映燃料塊自屏效應(yīng)大小的一個(gè)量，通常叫屏蔽系數(shù)，并用F表示之。由此可見5-38）式右端的第一項(xiàng)是表示由于自屏效應(yīng)——有時(shí)也稱為塊內(nèi)效應(yīng)所引起的燃料塊內(nèi)吸收的減小。再看（5-38）式右端第二項(xiàng)的物理意義。由于慢化劑的擴(kuò)散系數(shù)總是有限值，因此慢化劑內(nèi)的平均熱中子通量密度總是大于慢化劑內(nèi)表面上的通量密度，即M>φM(a)，由此可見5-38）式的第二項(xiàng)是由于慢化劑內(nèi)中子通量密度分布不均勻所引起的附加吸收（有人稱它為塊外效應(yīng)所產(chǎn)生的附加吸收）。把（5-38）式與（5-37）式比較可以看出，這個(gè)附加吸收就等于[E(kM,kMb)?1]，它是一個(gè)很小的值。通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號(hào)南華大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院郵編：421001南華大學(xué)《反應(yīng)堆物理》精品課程電子教材用類似的方法求的板狀和球狀燃料塊的F和（E—1）值。見表5-1。幾何形狀F平板kFacthkFaMMMM球Fk2a2FthkFak3M(b3?a3)MMMab3kFa?thkFa實(shí)際上，柵元內(nèi)除燃料、慢化劑外還有包殼等。在這種多區(qū)的情況下，分析方法與上述相似。最常見情況柵元是由燃料、慢化劑和包殼三區(qū)組成。由于一般包殼厚度很小，而且吸收性很弱，因而可假設(shè)包殼內(nèi)的中子通量密度φc等于常數(shù)并等于燃料棒的表面通量φF(a)或假設(shè)是線性變化。在第一種情況下，=φF=F(kFa),F(kFa)為屏蔽系數(shù)。這樣對(duì)于具有包殼的柵元的熱中子利用系數(shù)為?1=F(kFa)+F(kFa)+E(kMa1,kMb)?1（5-39）式中a1為包殼的外徑，其它符號(hào)及含義均和（5-37）式相同。計(jì)算F(kFa)和E(kMa1,kMb)?1時(shí)需用到許多特殊函數(shù)值，比較復(fù)雜，可以采用下列近似式：2（5-41）式中，x=kFa,y=kMa1和z=kMa；a,a1和b分別為燃料棒、包殼和柵元的外半徑，米；kj=1Lj,j=F，M。4*.用碰撞幾率方法計(jì)算ζ和f嚴(yán)格地講，用擴(kuò)散理論計(jì)算燃料塊內(nèi)中子通量密度分布是不合適的，與輸運(yùn)理論算得的f值相比，用擴(kuò)散理論算得的f值偏高（通常高1—2%）。但采用輸運(yùn)理論（如采用下冊(cè)介紹的方法進(jìn)行計(jì)算雖然精度提高，但工作量增大，且太繁雜。以下介紹一種便于計(jì)算且精度較高的計(jì)算ζ和f的方法，這種方法叫輸運(yùn)-擴(kuò)散近似方法，簡(jiǎn)稱A.B.H.方法，它把輸運(yùn)理論和擴(kuò)散理論結(jié)合起來。在處理慢化劑內(nèi)的中子行徑時(shí)，仍采用擴(kuò)散理論，但此時(shí)采用了應(yīng)用輸運(yùn)理論修正的通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號(hào)南華大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院郵編：421001南華大學(xué)《反應(yīng)堆物理》精品課程電子教材邊界條件；而在處理燃料塊內(nèi)中子行徑時(shí)，則采用基于積分輸運(yùn)理論的碰撞幾率方法。4.1碰撞幾率在用碰撞幾率方法計(jì)算非均勻效應(yīng)時(shí)，經(jīng)常要用到各種幾率，現(xiàn)簡(jiǎn)介如下：（1）首次飛行逃脫幾率P0它表示某區(qū)域（體積為V，表面積為S）內(nèi)均勻、各向同性產(chǎn)生的中子未經(jīng)任何碰撞而逃出該區(qū)域的幾率?？紤]體積內(nèi)位置r處、沿Ω方向運(yùn)動(dòng)的中子。設(shè)l(r,Ω)為中子從r處沿Ω方子，未經(jīng)任何碰撞逃出該區(qū)域的幾率為exp[一Σtl(r,Ω)]，其中，Σt為總截面。設(shè)中子在V內(nèi)均勻各向同性地產(chǎn)生，源強(qiáng)為Q，那么，在r處體積元dV內(nèi)、Ω附近dΩ立體角內(nèi)產(chǎn)生的中子數(shù)為dΩdVQ/4冗，在整個(gè)體積V內(nèi)產(chǎn)生的中子未經(jīng)任何碰撞逸出該體積的平均幾率，用P0表示，則有PeΣtl(r,Ω)Qd(5-42)(5-42)eΣt(,Ω)dΩdVP0就叫做首次飛行逃脫幾率。如果把V分成許多與Ω方向平行的長(zhǎng)條體，它的長(zhǎng)度為l，l亦叫弦長(zhǎng)，它的橫截面為(n.Ω)dS，n為外表面上的單位外法線矢量，則dV=n.ΩdSdl。將它代入（5-42）式，對(duì)dl進(jìn)行積分后得PtV.Ω(1eΣtl)dΩdS（5-43）式的具體計(jì)算是相當(dāng)繁雜的。對(duì)于圓柱、平板、球形系統(tǒng)，P0的計(jì)算結(jié)果已制成圖、表（見圖5-8、表5-2以便于使用?，F(xiàn)在討論兩個(gè)極限情況：當(dāng)體積V很小時(shí)，即Σtl<<1時(shí)，則P0=1；當(dāng)PtV通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號(hào)南華大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院郵編：421001南華大學(xué)《反應(yīng)堆物理》精品課程電子教材式中?l叫平均弦長(zhǎng)，對(duì)于圓柱體，（5-45）（5-45）?l=2a，a為圓柱體的半徑。當(dāng)介質(zhì)體積V很大時(shí)，可以用(5-44)式計(jì)算P0。此外，當(dāng)介質(zhì)為黑體時(shí)吸收截面很大，記為Σa,∞,而Σ=Σ,所以Σl>>1，S1(5-46)(5-46)04VΣa,∞lΣa,∞根據(jù)上述兩個(gè)極限情況，提出了下列計(jì)算P0的近似內(nèi)插公式，稱為魏格納有理近似公式：0011+lΣt(5-47)(2)逃脫幾率P它表示某區(qū)域（體積為V，表面積為S）內(nèi)均勻、各向同性產(chǎn)生的中子最終逃出該區(qū)域的幾率；它除包括上述未經(jīng)碰撞而逸出的幾率之外，還包括在體積內(nèi)經(jīng)受碰撞（包括多次碰撞）后最終逃出該區(qū)域的幾率。也就是說，它應(yīng)為首次飛行逃脫幾率與在該體積內(nèi)各次碰撞后逃出該區(qū)域的幾率之和。若用P0表示首次飛行逃脫幾率，Pn表示中子在該體積內(nèi)經(jīng)第n次碰撞后逃出該區(qū)域的幾率，則∞……=ΣPn……n=0(5-48)設(shè)中子在該區(qū)域內(nèi)均勻地、各向同性地產(chǎn)生，且每次碰撞所產(chǎn)生的中子仍為均勻、各向同性地分布；把經(jīng)第n次碰撞后的中子看作第n代中子，中子在該區(qū)域內(nèi)散射碰撞的幾率為ΣsΣt，令C=ΣsΣt，則)2C2P0……代入（5-48）式，得=通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號(hào)南華大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院郵編：421001南華大學(xué)《反應(yīng)堆物理》精品課程電子教材(3)互易關(guān)系式設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由若干個(gè)區(qū)組成，考慮其中兩個(gè)區(qū)1和2（見圖5-9）。它們的體積分別為V1和V2，表面積分別為S1和S2，宏觀吸收截面分別為Σa,1和Σa,2。設(shè)在1區(qū)內(nèi)有均勻、各向同性分布的中子源，源強(qiáng)為Q1，那么，在1區(qū)內(nèi)r'處體積元dV1內(nèi)的中子，對(duì)2區(qū)r處的中子通量密度的貢獻(xiàn)為?r)dV1,（5-50）式中G(r'?r)為格林函數(shù)。若用P1→2表示均勻地各向同性地分布在區(qū)域1內(nèi)的中子在區(qū)域2內(nèi)被吸收的平均幾率，則Σa,2φ2(r)dV2=2dV21G(r'?r)dV1（5-51）若用P2→1表示均勻各向同性分布在區(qū)域2內(nèi)的中子在區(qū)域1內(nèi)被吸收的平均幾率，同理可證明：PdV12G(r'?r)dV2（5-52）由于格林函數(shù)是它宗量的對(duì)稱函數(shù)，即G(r'這一關(guān)系式也叫互易定理。利用互易定理，比較（5-51）與（5-52）式，得=Σa,2V2P2→1（5-54）這個(gè)關(guān)系式叫互易關(guān)系式。用同樣的方法可證明下列互易關(guān)系式：=Σt,2V2P2→1（5-55）式中Σt,1、Σt,2分別為介質(zhì)1和2的總截面，此時(shí)P為總的或首次碰撞幾率，而不再是被吸收的幾率。利用互易關(guān)系式可以推導(dǎo)出其它一些幾率的表達(dá)式。在計(jì)算非均勻柵格的共振吸收時(shí)就要用到這個(gè)關(guān)系式。(4)吸收幾率考慮介質(zhì)1，其體積為V1，表面積為S1；其周圍的介質(zhì)叫介質(zhì)2，它的體積為V2，內(nèi)表面積為S1。介質(zhì)1（或2）的吸收幾率Γ1（或Γ2）定義為各同向性地入射到V1（或V2）表面上的中子在V1（或V2）內(nèi)被吸收的幾率。若用P1、P2分通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號(hào)南華大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院郵編：421001南華大學(xué)《反應(yīng)堆物理》精品課程電子教材別表示均勻各向同性地分布在V1和V2內(nèi)的中子逃出V1和V2的幾率，用Σa,1和a,2Σ分別表示介質(zhì)1和介質(zhì)2a,2的，即從V2逃出的中子全部都打到S1面上，則中子從V1逃出而在V2內(nèi)被吸收的幾率為P1Γ2，中子從V2逃出而在V1內(nèi)被吸收的幾率為P2Γ1。根據(jù)互易關(guān)系式（5-54）有Σa1V1P1Γ2=Σa2V2P2Γ1(5-56)我們可以預(yù)料，Γ1（或Γ2）與介質(zhì)1（或介質(zhì)2）的幾何形狀、尺寸、宏觀吸收截面以及入射到介質(zhì)1（或介質(zhì)2）表面上的中子流的角分布有關(guān)。在V1表面上入射中子流為各向同性地分布的條件下，Γ1只和介質(zhì)1的幾何形狀、尺寸、宏觀吸收截面有關(guān)，而與它周圍介質(zhì)的性質(zhì)無關(guān)。因此，這里不妨假設(shè)介質(zhì)2為黑體，即假設(shè)Σa,2=Σa,∞,Γ2=1。這樣，根據(jù)（5-46）式，介質(zhì)2內(nèi)的逃脫幾率P2為VPV將（5-57）式代入（5-56得1Σa,1P1(5-57)(5-58)同理，不妨假設(shè)介質(zhì)1對(duì)中子吸收來講為黑體，而V2為一般的吸收中子的介質(zhì)，采用同樣的方法可證明22Σa,2PPl2Σa,22P(5-59)式中，l1和l2分別為介質(zhì)1和介質(zhì)2的平均弦長(zhǎng)，它只和介質(zhì)的幾何形狀、尺寸有關(guān)。從（5-58）和（5-59）式可以看出，吸收幾率Γ和該介質(zhì)的平均弦長(zhǎng)、宏觀吸收截面及逃脫幾率有關(guān)，而與其周圍介質(zhì)的性質(zhì)無關(guān)。4.2用A.B.H.方法計(jì)算ζ和f仍討論最簡(jiǎn)單的情況，設(shè)柵元僅僅由燃料和慢化劑組成，假設(shè)：所有中子具有同一能量；熱中子只在慢化劑內(nèi)均勻地各向同性地產(chǎn)生，源強(qiáng)為Sth。設(shè)慢化劑的體積為VM，那么單位時(shí)間柵元內(nèi)產(chǎn)生的熱中子數(shù)為SthVM。在穩(wěn)態(tài)情況下通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號(hào)南華大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院郵編：421001南華大學(xué)《反應(yīng)堆物理》精品課程電子教材單位時(shí)間柵元內(nèi)吸收的熱中子總數(shù)也應(yīng)為SthVM。根據(jù)熱中子利用系數(shù)的定義，f為燃料塊吸收的熱中子與柵元內(nèi)吸收的熱中子總數(shù)之比。在A.B.H.方法中，利用碰撞幾率法求燃料塊內(nèi)吸收的熱中子數(shù)。設(shè)PM表示慢化劑內(nèi)均勻地、各向同性地產(chǎn)生的中子逃出慢化劑的幾率，在柵元僅由燃料和慢化劑組成的簡(jiǎn)單情況下，它也就是從慢化劑逸出首次入射到燃料塊上的幾率。那末，單位時(shí)間從慢化劑逸出，首次入射到燃料塊上的中子數(shù)就是PMSthVM。這些中子進(jìn)入燃料塊后大部分為燃料塊所吸收。但燃料塊對(duì)熱中子來說并不是絕對(duì)黑體，也就是說，必然還有一小部分中子從燃料塊逸出又返回到慢化劑內(nèi)。而其中有一部分又逸出慢化劑再次進(jìn)入燃料塊內(nèi)。這樣，首次進(jìn)入燃料塊內(nèi)的中子有可能多次穿過燃料塊和慢化劑的交界面，而最終為燃料塊或慢化劑所吸收。因此，燃料塊只是吸收逸出慢化劑首次進(jìn)入燃料塊的那些中子中的大部分，而不是全部。設(shè)Γ0表示入射到燃料塊上的中子被燃料塊吸收的幾率。若用N表示在慢化劑內(nèi)產(chǎn)生的中子逸出慢化劑而首次進(jìn)入燃料塊的中子數(shù)（N就等于PMSthVM而這個(gè)中子的經(jīng)歷表示如下：NΓ0N(1—N(1—N(1—N(1—0Γ)0Γ0)Γ1首次進(jìn)入燃料塊并被吸收逃出燃料塊第一次返回慢化劑內(nèi)在慢化劑內(nèi)被吸收逸出慢化劑第二次進(jìn)入燃料塊Γ0第二次進(jìn)入燃料塊并被吸收……燃料塊吸收的中子數(shù)應(yīng)為各次進(jìn)入燃料塊為燃料塊所吸收的中子數(shù)之和，即燃料塊所吸收的中子數(shù)=NΓ0+N(1—Γ0)（1—Γ1）Γ02Γ0+……==PMSthVM根據(jù)熱中子利用系數(shù)的定義，得Γ ΓΓ0Γ1通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號(hào)南華大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院郵編：421001南華大學(xué)《反應(yīng)堆物理》精品課程電子教材FFf=PMSthVM0+]或根據(jù)（5-16）式得熱中子不利因子ζ為ζ==(+)S,aFS,=a,MPM（5-61）式中PF和PM分別為燃料塊和慢化劑的逃脫幾率，SF為燃料塊的表面積。將（5-64）和（5-65）式代入（5-63）式，便得到熱中子不利因子ζ為ζ=?+熱中子利用系數(shù)f為 ?1=, ?1=,+,faFVFPF,1?PM,1?PM,VPM,MaVPM,1?PM?4a,MVMPSMPS可以證明，燃料塊的逃脫幾率PF與屏蔽系數(shù)F之間存在著下列關(guān)系：F=a,F把（5-67）式和前面求得的（5-37）式作一比較。從前面討論知道，在一般情況下，E接近于1，附加吸收項(xiàng)（E—1）是個(gè)很小的量。因此函數(shù)E對(duì)f值影響很小，另一方面，f對(duì)函數(shù)F的值卻是靈敏的。這些結(jié)論同樣地使用于目前通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號(hào)南華大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院郵編：421001南華大學(xué)《反應(yīng)堆物理》精品課程電子教材情況，f對(duì)PM計(jì)算值并不靈敏，而對(duì)PM值卻是靈敏的。因此對(duì)PM計(jì)算精度的要求可以比PF的低，即可以采用近似的方法來計(jì)算PM，亦即采用近似的方法來計(jì)算（5-67）式中的附加吸收項(xiàng)，而不會(huì)帶來大的誤差。在假設(shè)每次碰撞后中子在塊內(nèi)系均勻分布和向同性時(shí)，PF可按（5-49）式計(jì)算。實(shí)際情況并非如此，在A.B.H.方法中，考慮到首次碰撞后中子在塊內(nèi)并非為均勻分布，對(duì)于半徑為的圓柱形燃料棒，近似求得PF為((|l ,ΣaF ,ttF,?aΣt,F ,ΣsF ,ttF,+β2+aΣa,F|)?1|〉J|0表示燃料塊的首次飛行逃脫幾率；α、β為系數(shù)，已制成表，它是aΣt,F的函數(shù)，見圖5-10。缺（214-215）5.快中子倍增效應(yīng)快中子倍增的空間效應(yīng)在非均勻柵格內(nèi)，裂變中子實(shí)在燃料塊內(nèi)產(chǎn)生，這便增加了它與鈾-238和碰撞的幾率。因此，與均勻系統(tǒng)相比，快中子倍增效應(yīng)有所增加。這個(gè)效應(yīng)的大小與柵元快中子的空間分布有關(guān)。因?yàn)榱炎冎凶右坏┻M(jìn)入慢化劑內(nèi)，很快就慢化到鈾-238核的快中子裂變閥以下，所以在較高的能量范圍內(nèi)（如在0.8—10兆電子伏內(nèi)一般地講，燃料塊內(nèi)的快中子通量密度高于慢化劑內(nèi)的通量密度。在快譜計(jì)算中，例如在快群常數(shù)計(jì)算程序MUFT中，在前10群（0.821至10兆電子伏）內(nèi)應(yīng)考慮鈾-238核的快中子倍增效應(yīng)。但是快譜計(jì)算時(shí)假設(shè)系統(tǒng)是均勻的，即認(rèn)為燃料和慢化劑內(nèi)的中子通量密度是相同的，顯然，這就低估了快中子的倍增效應(yīng)。為了考慮非均勻效應(yīng)對(duì)快中子倍增效應(yīng)的影響，在對(duì)非均勻柵格進(jìn)行均勻化處理時(shí)，應(yīng)該象在前面第4節(jié)中所討論的那樣，考慮到快中子通量密度分布的不均勻性。實(shí)際上，計(jì)算時(shí)須知道燃料塊內(nèi)快中子平均通量密度與慢化劑內(nèi)快中子平均通量密度之比。為此，和考慮熱中子空間分布的不均勻性一樣，定義ζF(E)=φF(EφM(E)φj(E)由（5-5）式定義（這里仍以一個(gè)柵元為研究對(duì)象，并認(rèn)為柵元僅由燃料塊通訊地址：湖南省衡陽市常勝西路28號(hào)南華大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院郵編：421001南華大學(xué)《反應(yīng)堆物理》精品課程電子教材ζF(E)叫做快中子有利因子，因?yàn)閷?duì)快中子倍增來講，非均勻效應(yīng)是有利的。類似于熱中子利用系數(shù)，可以定義一個(gè)快中子利用系數(shù)（對(duì)某一能群其定義為燃料內(nèi)快中子從該能群的逸出率與柵元內(nèi)快中子從該能群總的逸出率之比，若fF中子逸出截面，則表示某一能群的快中子利用系數(shù)，ΣR,F表示某一能群的快RFFFRFFF（5-74）fF=RFFFRMMRFFFRMMM