中考數(shù)學(xué)知識講解及鞏固練習(xí)：正方形（提高）鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)】

—.選擇題

1.在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別任意取點(diǎn)E、F、G、H.這樣得到的四邊形EFGH

中，是正方形的有（）

A.1個B.2個C.4個D.無窮多個

2.（2015?南湖區(qū)一模）將四根長度相等的細(xì)木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD,轉(zhuǎn)動

這個四邊形，使它形狀改變.當(dāng)/B=90°時（如圖甲），測得對角線BD的長為當(dāng)/B=60°

時（如圖乙），則對角線BD的長為（）

ADA,------------------,D

CB

乙

B.MC.2

3.如圖，正方形ABCD的邊長為2,點(diǎn)E在AB邊上.四邊形EFGB也為正方形，設(shè)AAFC的

面積為S,貝!］（）

A.S=2B.S=2.4C.S=4.D.S與BE長度有關(guān)

4.（2016?畢節(jié)市）如圖，正方形ABCD的邊長為9,將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC

邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH.若BE：EC=2：1,則線段CH的長是（）

BEC

A.3B.4C.5D.6

5.如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為邑，

則H+S2的值為（）

A.16B.17C.18D.19

AD=DC,NADC=NABC=90°,DE±AB,若四邊形ABCD面積為

16,則DE的長為（）

A.3B.2C.4D.8

二.填空題

7.延長正方形ABCD的BC邊至點(diǎn)E,使CE=AC,連結(jié)AE,交CD于F,那么/AFC的度數(shù)為

，若BC=4a〃，則4ACE的面積等于.

8.在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，EF_LAC,EG±BD,垂足分別為F、G,如果AB=572cm,

那么EF+EG的長為.

9.己知：如圖，AABC中，NACB=90°,點(diǎn)0為AABC的三條角平分線的交點(diǎn)，ODXBC,

OE±AC,OFXAB,點(diǎn)D,E,F分別是垂足，且BC=8a〃，CA=6cm,則點(diǎn)0到三邊AB,

AC和BC的距離分別等于cm.

10.如圖所示，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A,分別過頂點(diǎn)B、D作DE，a于點(diǎn)E、BF±?

于點(diǎn)F,若DE=4,BF=3,則EF的長為.

11.（2016?南京）如圖，菱形ABCD的面積為120cm2,正方形AECF的面積為50cm2,則

菱形的邊長為cm.

12.（2015?潮南區(qū)一模）如圖所示，如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形

ACEF,再以AE為邊作第三個正方形AEGM,…已知正方形ABCD的面積Si=l,按

上述方法所作的正方形的面積依次為S2,S3,...Sn（n為正整數(shù)），那么第8個正方形

面積S8=.

三.解答題

13.（2015?西城區(qū)二模）如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。是原點(diǎn),

若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,炳）,則點(diǎn)C的坐標(biāo)？

14.如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，4CDE是等邊三角形，連結(jié)EB、EA,延長BE交邊AD

于點(diǎn)F.

（1）求證：ZSADE0ABCE；

（2）求NAFB的度數(shù).

15.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動，連結(jié)DP交AC于點(diǎn)Q.

⑴試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動到AB上何處時，都有4ADQ絲AARQ；

⑵當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動到什么位置時，AADQ的面積是正方形ABCD面積的-；

6

(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B,再繼續(xù)在BC上運(yùn)動到點(diǎn)C,在整個運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)P

運(yùn)動到什么位置時，4ADQ恰為等腰三角形.

【答案與解析】

選擇題

1.【答案】D；

【解析】在正方形四邊上任意取點(diǎn)E、F、G、H,AH=DG=CF=BE,能證明四邊形EFGH為

正方形，則說明可以得到無窮個正方形.

2.【答案】B；

【解析】解：如圖甲，

,/AB=BC=CD=DA,ZB=90°,

四邊形ABCD是正方形，

連接BD,則AB'+ADJBD)

.\AB=AD=1,

如圖乙，ZB=60°,連接BD

AAABD為等腰三角形，

/.AB=AD=1,

/.BD=V3

故選B.

3.【答案】A；

【解析】設(shè)正方形EFGB的邊長是"，貝IS=S梯形AFG8+—S4c尸G

=1X(a+2)Xa+1X2X2—1X(a+2)Xa=2.

222

4.【答案】B

【解析】由題意設(shè)CH=xcm,貝!|DH=EH=(9-x)cm,

VBE：EC=2：1,

/.CE=_BC=3cm

3

.?.在RtZkECH中，EH2=EC2+CH2,

即(9-x)2=32+X2,

解得：x=4,即CH=4cm.

5.【答案】B；

【解析】設(shè)正方形S2的邊長為x,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知，AC=J%,X=42CD,

???AC=2CD,CD=-=2.EC=2A/2,邑=8,丁的邊長為3,S1的面積為3X3

3

=9,Sj+S2=8+9=17.

6.【答案】C；

【解析】如圖，過點(diǎn)D作BC的垂線，交BC的延長線于F,利用互余關(guān)系可得NA=NFCD,

又NAED=NF=90°,AD=DC,利用AAS可以判斷4ADE絲Z^CDF,；.DE=DF,

S四邊形ABC。=S正方形DEBF=16,DE=4,

二.填空題

7.【答案】112.5°,872cm2；

180—135

【解析】NAEC=/CEA=---------=22.5°,ZAFC=90°+22.5°=112.5°,面積等

2

于工x4夜乂4=88。^

2

8.【答案】5cm；

【解析】AC=BD=50x0=lO,EF+EG=-BD=5.

2

9.【答案】2；

【解析】OD=OE=OF,可知四邊形ODCE是正方形，設(shè)CD=CE=x,BD=BF=y,AE=AF

=z,所以x+y=8,y+z=10,x+z=6,解得x=2,即0點(diǎn)到三邊的距

離.

10.【答案】7；

【解析】因為ABCD是正方形，所以AB=AD,NB=NA=90°,則有NABF=/DAE,又

因為DE_La、BF_La,根據(jù)AAS易證△AFB0Z\AED,所以AF=DE=4,BF=AE

=3,則EF的長=7.

11.【答案】13.

【解析】因為正方形AECF的面積為50cm2,

所以AC=V2X50=10cm,

因為菱形ABCD的面積為120cm2,

所以BD=2X120,=24cm,

10

所以菱形的邊長=J（￥）2+（等）2=13cm.

故答案為：13.

12.【答案】128；

【解析】根據(jù)題意可得：第n個正方形的邊長是第(n-1)個的五倍；故面積是第(n

-1)個的2倍，已知第一個面積為1；則那么第8個正方形面積S8=27=128.

故答案為128.

三.解答題

13.【解析】

解：作AD，軸于D,作CE，x軸于E,如圖所示:

貝此ADO=ZOEC=90°,

Z1+Z2=90",

,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,?),

OD=1,AD=-\/3,

???四邊形OABC是正方形，

ZAOC=90°,OC=AO,

Z1+Z3=90°,

Z3=Z2,

在^OCE和^AOD中，

2OEC=NADO

<N3=/2，

OC=AO

:?&OCEV△AOD(AAS),

OE=AD=V3>CE=OD=1,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1).

14.【解析】

解：(1)?..四邊形ABCD是正方形，

；.NADC=NBCD=90°,AD=BC.

VACDE是等邊三角形，

...NCDE=NDCE=60°,DE=CE.

；.NADE=NBCE=30°.

：AD=BC,ZADE=ZBCE,DE=CE,

.'.△ADE^ABCE.

(2)VAADE^ABCE,；.AE=BE,

.\ZBAE=ZABE.

VZBAE+ZDAE=90°,ZABE+ZAFB=90°,NBAE=NABE,

.?.ZDAE=ZAFB,

：AD=CD=DE,AZDAE=ZDEA.

VZADE=30°,；.NDAE=75°,

；./AFB=75°.

15?【解析】

(1)證明：?..四邊形ABCD是正方形，

；.AD=AB,ZDAC=ZBAC=45°,AQ=AQ

/.△ADQ^AABQ(SAS)；

(2)以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)Q作QE_Ly軸于點(diǎn)E,QF_Lx軸于點(diǎn)F.