2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）第28講 與圓有關(guān)的計(jì)算（練習(xí)）（解析版）

第28講與圓有關(guān)的計(jì)算目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01求正多邊形中心角題型02求正多邊的邊數(shù)題型03正多邊形與圓中求角度題型04正多邊形與圓中求面積題型05正多邊形與圓中求周長(zhǎng)題型06正多邊形與圓中求邊心距、邊長(zhǎng)題型07正多邊形與圓中求線段長(zhǎng)題型08正多邊形與圓的規(guī)律問題題型09求弧長(zhǎng)題型10利用弧長(zhǎng)及扇形面積公式求半徑題型11利用弧長(zhǎng)及扇形面積公式求圓心角題型12求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度題型13求扇形面積題型14求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積題型15求圓錐側(cè)面積題型16求圓錐底面半徑題型17求圓錐的高題型18求圓錐側(cè)面積展開圖的圓心角題型19圓錐的實(shí)際問題題型20圓錐側(cè)面上的最短路徑問題題型21計(jì)算不規(guī)則面積題型01求正多邊形中心角1．（2022·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點(diǎn)C在AB上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)=360°÷邊數(shù)，列式計(jì)算分別求出∠AOB，∠BOC的度數(shù)，可得∠AOC=15°，然后根據(jù)邊數(shù)n=360°÷中心角即可求得答案．【詳解】解：連接OC，∵AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、正八邊形、正二十四邊形的性質(zhì)；根據(jù)題意求出中心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·吉林長(zhǎng)春·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)F在DE上，則∠CFD＝度．【答案】36．【分析】連接OC，OD．求出∠COD的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可解決問題．【詳解】如圖，連接OC，OD．∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠COD=360°5=72°∴∠CFD=12∠COD=36°故答案為：36．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．3．（2022·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州教育學(xué)院附中校考二模）如圖，在正十邊形A1A2A3A4A【答案】54【分析】設(shè)正十邊形的圓心O，連接A7O、A4O，再求出∠A7OA4,最后運(yùn)用圓周角定理解答即可．【詳解】解：如圖：設(shè)正十邊形的圓心O，連接A7O、A4O，∵正十邊形的各邊都相等∴∠A7OA4=310∴∠A4A1故填54．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理，根據(jù)題意正確作出輔助線、構(gòu)造出圓周角是解答本題的關(guān)鍵．題型02求正多邊的邊數(shù)4．（2022·上海松江·統(tǒng)考二模）如果一個(gè)正多邊形的中心角為72°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是．【答案】5【詳解】解：∵中心角的度數(shù)=360°n72°=360°nn=5故答案為：5．5．（2022·上海浦東新·統(tǒng)考二模）一個(gè)正n邊形的一個(gè)內(nèi)角等于它的中心角的2倍，則n=．【答案】6【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)中心角的求法求出中心角的度數(shù)列方程求解即可．【詳解】∵正n邊形的一個(gè)內(nèi)角和=（n﹣2）?180°，∴正n邊形的一個(gè)內(nèi)角=180°×（∵正n邊形的中心角=360°∴180°×（n解得：n=6．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題比較簡(jiǎn)單，解答此題的關(guān)鍵是熟知正多邊形的內(nèi)角和公式及中心角的求法．6．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考二模）一個(gè)正多邊形內(nèi)接于半徑為4的⊙O，AB是它的一條邊，扇形OAB的面積為2π，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是【答案】8【分析】設(shè)∠AOB=n°，利用扇形面積公式列方程nπ×42360=2π【詳解】解：設(shè)∠AOB=n°，∵扇形OAB的面積為2π，半徑為4∴nπ×∴n=45°，∴360°÷45°=8，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是8，故答案為8．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，扇形面積，圓心角，掌握正多邊形與圓的性質(zhì)，扇形面積公式，圓心角是解題關(guān)鍵．題型03正多邊形與圓中求角度7．（2022·山東青島·統(tǒng)考二模）如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，則∠EBC的度數(shù)為（

A．54° B．60° C．71° D．72°【答案】D【分析】先根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和求出每個(gè)內(nèi)角，再根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠ABE=∠AEB，然后利用三角形內(nèi)角和求出∠ABE=12【詳解】解：∵五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，∴∠A=∠ABC=155-2×180°=108°，AB∴∠ABE=∠AEB，∴∠ABE=12∴∠EBC故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和公式，角的和差計(jì)算，掌握?qǐng)A內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和公式，角的和差計(jì)算是解題關(guān)鍵．8．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，連接BD．則∠CBD的度數(shù)是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】根據(jù)正六邊形的內(nèi)角和求得∠BCD，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】∵在正六邊形ABCDEF中，∠BCD＝(6-2)×180°6＝120°，BC∴∠CBD＝12（180°﹣120°）＝30°故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟記多邊形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．9．（2022·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，∠GOK的兩邊OG,OK，分別與AB,CB，相交于點(diǎn)M，NA．∠GOK=60° BC．S四邊形OMBN=112S【答案】C【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行證明即可．【詳解】解：如下圖所示，連接OA，∵點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，∴OA=OB=OC，∠FAB=∠ABC∴∠OAM=180∴∠OAM∵∠GOK∴∠OMB+∠ONB故A選項(xiàng)不符合題意．∵∠OMA∴∠OMA∴△OAM≌△OBN∴∠OMA=∠ONB故D選項(xiàng)不符合題意．∴MB+故B選項(xiàng)不符合題意．∴S四邊形∴S四邊形故C選項(xiàng)符合題意．故選：C【點(diǎn)睛】此題考查正六邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖，在正五邊形ABCDE中，AC與BE相交于點(diǎn)F，則∠AFE的度數(shù)為．【答案】72°【分析】首先根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角形內(nèi)角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°?108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性質(zhì)得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°．【詳解】∵五邊形ABCDE為正五邊形，∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°?108°）÷2=36°，∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，故答案為72°．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．題型04正多邊形與圓中求面積11．（2022·河北廊坊·統(tǒng)考二模）如圖，兩張完全相同的正六邊形紙片（邊長(zhǎng)為2a）重合在一起，下面一張保持不動(dòng)，將上面一張紙片六邊形A'B'C'DA．3:1 B．4:1 C．5:2 D．2:1【答案】A【分析】求出正六邊形和陰影部分的面積即可解決問題．【詳解】解：如下圖，正六邊形由六個(gè)等邊三角形組成，過點(diǎn)O作OH⊥CD于點(diǎn)H，OG⊥根據(jù)題意，正六邊形紙片邊長(zhǎng)為2a，即CD∴OC=∵OH⊥∴CH=∴在Rt△OCH中，同理，OG=∴S△∴正六邊形的面積=6×3∵將上面一張紙片六邊形A'B'又∵GH=∴陰影部分的面積=a∴空白部分與陰影部分面積之比是=63故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、平移變換等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．12．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)P是邊AF上的點(diǎn)，記圖中各三角形的面積依次為S1,SA．S1+S2=2S3 B．【答案】B【分析】正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)P是邊AF上的點(diǎn)，記圖中各三角形的面積依次為S1,S2,【詳解】解：正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)P是邊AF上的點(diǎn)，記圖中各三角形的面積依次為S1則有S3=1∴S3故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．13．（2022·浙江杭州·杭州育才中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）邊長(zhǎng)為a的正方形的對(duì)稱軸有條，這個(gè)正方形的外接圓的面積是．【答案】41【分析】正方形的對(duì)稱軸有4條，然后根據(jù)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)就是外接圓的直徑求得外接圓的半徑，從而計(jì)算面積即可．【詳解】任何正方形的對(duì)稱軸都有4條；∵正方形的邊長(zhǎng)為a，∴正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為：2a∵正方形的對(duì)角線是正方形的外接圓的半徑，∴正方形的外接圓的半徑為22∴正方形的外接圓的面積為：πr故答案為：4，12【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是弄清正多邊形的有關(guān)元素與圓的關(guān)系，如本題中的外接圓的半徑就是正方形對(duì)角線長(zhǎng)的一半．14．（2022·寧夏銀川·?？既＃┤鐖D，已知⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OM是3，則陰影部分的面積是【答案】4π-【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)可求出∠DOE=60°，進(jìn)而得出△DOE是正三角形，由圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系可求出半徑OD，邊長(zhǎng)DE【詳解】解：如圖，連接OD，OE，∵六邊形ABCDEF是⊙O∴∠∵OD∴△DOE∵⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OM是3∴OD=OMsin∴S∴S故答案為4【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形面積與圓面積的計(jì)算，掌握?qǐng)A內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)以及圓的面積的計(jì)算方法是解決問題的關(guān)鍵15．（2022·四川成都·校考模擬預(yù)測(cè)）求半徑為20的圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)和面積.【答案】它的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為203，面積為【分析】作正三角形ABC關(guān)于⊙O的內(nèi)接三角形，過點(diǎn)O作BC的垂線AD，垂足為D，連接OB，根據(jù)正三角形的性質(zhì)，得出∠OBD=30°，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，得出BD的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理，得出BC【詳解】解：如圖，作正三角形ABC關(guān)于⊙O的內(nèi)接三角形，過點(diǎn)O作BC的垂線AD，垂足為D，連接OB∵半徑為20的圓的內(nèi)接正三角形，∴OB=20∵AD∴AD是∠BAC∴∠BAD又∵BO=∴∠ABO∴∠OBD在Rt△∴BD∵BD∴BC∴AD∴S∴它的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為203，面積為300【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓，解直角三角形，根據(jù)正三角形的性質(zhì)得出∠OBD題型05正多邊形與圓中求周長(zhǎng)16．（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，有公共頂點(diǎn)O的兩個(gè)邊長(zhǎng)為5的正五邊形（不重疊），以點(diǎn)O為圓心，5為半徑作弧，構(gòu)成一個(gè)“蘑菇”形圖案（陰影部分），則這個(gè)“蘑菇”形圖案的周長(zhǎng)為（

）A．4π B．4C．10π D．10【答案】B【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和求出正五邊形的內(nèi)角和，可求得每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，則可求得陰影部分的度數(shù)，再利用圓弧的周長(zhǎng)計(jì)算公式即可求得答案．【詳解】解：正五邊形的內(nèi)角和為：(n∴每個(gè)角為540°÷5=108°，則圖中陰影部分的度數(shù)為：360°-2×108°=144°，則圓弧的長(zhǎng)：144360∴“蘑菇”形圖案的周長(zhǎng)為：4π故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，圓弧的周長(zhǎng)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A弧的周長(zhǎng)計(jì)算公式．17．（2022·江西吉安·統(tǒng)考一模）某校開展“展青春風(fēng)采，樹強(qiáng)國信念”科普大閱讀活動(dòng)．小明看到黃金分割比是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系，它具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，應(yīng)用時(shí)一般取0.618．特別奇妙的是在正五邊形中，如圖所示，連接AB，AC，∠ACB的角平分線交邊AB于點(diǎn)D，則點(diǎn)D就是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AD>BD，已知ACA．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm【答案】C【分析】證明BC=CD=AD=6.18（cm），可得結(jié)論．【詳解】解：由題意，點(diǎn)D是線段AB的黃金分割點(diǎn)，∴ADAB∵AB=AC=10cm，∴AD=6.18（cm），∵∠ABC=∠ACB=72°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠CAD=36°，∠CDB=∠CBD=72°，∴BC=CD=AD=6.18（cm），∴五邊形的周長(zhǎng)為6.18×5=30.90（cm），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，黃金分割等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題．18．（2022·云南昆明·統(tǒng)考二模）我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，即通過圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開始，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，…．邊數(shù)越多割得越細(xì)，正多邊形的周長(zhǎng)就越接近圓的周長(zhǎng)．再根據(jù)“圓周率等于圓周長(zhǎng)與該圓直徑的比”來計(jì)算圓周率．設(shè)圓的半徑為R，圖1中圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)l6=6R，則π≈lA．l12=24RC．l12=24R【答案】A【分析】求出正多邊形的中心角，利用三角形周長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：∵十二邊形A1∴∠A∵OM⊥A1A2∴∠A∵正n邊形的周長(zhǎng)=n∴圓內(nèi)接正十二邊形的周長(zhǎng)l12故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質(zhì)，求出正十二邊形的周長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．19．（2022·浙江·統(tǒng)考二模）如圖1是學(xué)生常用的一種圓規(guī)，其手柄AB=8mm，兩腳BC=BD=56mm，如圖2所示．當(dāng)∠CBD(1)求A離紙面CD的距離．(2)用該圓規(guī)作如圖3所示正六邊形，求該正六邊形的周長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，結(jié)果精確到0.1）【答案】(1)52.8(2)403.2mm【分析】（1）連接CD，過點(diǎn)B點(diǎn)作BE⊥CD，垂足為E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得∠CBE=37°，解直角三角形CBE，分別求得（2）根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑，等于CD的長(zhǎng)，即可求得正六邊形的周長(zhǎng)．【詳解】（1）如圖，連接CD，過點(diǎn)B點(diǎn)作BE⊥CD，垂足為∵BC∴CE∴BE∴AE即A離紙面CD的距離為52.8mm（2）∵CE∴CD=2CE∵正六邊形的邊長(zhǎng)等于外接圓的半徑，則正六邊形周長(zhǎng)=6CD=6×67.2=403.2【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型06正多邊形與圓中求邊心距、邊長(zhǎng)20．（2022·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考三模）半徑為2的圓內(nèi)接正六角形的邊長(zhǎng)是（）A．1 B．2 C．3 D．23【答案】B【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可知∠COD=60°，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可知【詳解】解：如圖，連接OC、

∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于圓O，∴∠COD∵OC=∴△OCD∴OC=∵OC=∴CD=2故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2022·河南信陽·統(tǒng)考三模）如圖1，動(dòng)點(diǎn)P從正六邊形的A點(diǎn)出發(fā)，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ACP的面積y（cm2）隨著時(shí)間x（s）的變化的關(guān)系圖象，則正六邊形的邊長(zhǎng)為（

）A．2cm B．3cm C．1cm D．3cm【答案】A【分析】如圖，連接BE，AE，CE，BE交AC于點(diǎn)G，證明△ACE為等邊三角形，根據(jù)y的最大值求得△ACE的邊長(zhǎng)，再在直角三角形ABG中用三角函數(shù)求得AB的長(zhǎng)即可．【詳解】】解：如圖，連接BE，AE，CE，BE交AC于點(diǎn)G由正六邊形的對(duì)稱性可得BE⊥AC，△ABC≌△CDE≌△AFE∴△ACE為等邊三角形，GE為AC邊上的高線∵動(dòng)點(diǎn)P從正六邊形的A點(diǎn)出發(fā)，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)△ACP的面積y取最大值33設(shè)AG=CG=a（cm），則AC=AE=CE=2a（cm），GE=3a（cm）∴2a×3a÷2=33（cm）∴a2=3∴a=3（cm）或a=-3（舍）∵正六邊形的每個(gè)內(nèi)角均為120°∴∠ABG=12∴在Rt△ABG中，AGAB=sin∴3∴AB=2（cm）∴正六邊形的邊長(zhǎng)為2cm故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，以圖中y值的最大值為突破口，求得等邊三角形△ACE的邊長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵．22．（2022·四川達(dá)州·四川省渠縣中學(xué)?？级＃┤鐖D，⊙O的內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)是6，則弦心距是．【答案】3【分析】連接OB、OC，過點(diǎn)O作OM⊥BC，交BC于點(diǎn)M，證明△OBC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出BM=12【詳解】解：連接OB、OC，過點(diǎn)O作OM⊥BC，交BC于點(diǎn)M，如圖所示：∵六邊形ABCDEF為圓內(nèi)接正六邊形，∴∠BOC∵OB=OC，∴Δ∴OB=∵OM∴BM=∴OM即弦心距是33故答案為：33【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）某正多邊形的邊心距3，半徑為2，則該正多邊形的面積為．【答案】6【分析】根據(jù)題意畫出圖形，得出OE⊥AB，OE=3，OA=2【詳解】解：如圖所示：由題意可得，OE⊥AB，OE=3，則cos∠故∠AOE∴AE=∴∠AOB=2∠AOE∵360°60°∴正多邊形是正六邊形，則該正多邊形的面積為：6×1故答案為：63【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，正多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明正多邊形是正六邊形．24．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）半徑為6的圓內(nèi)接正三角形的邊心距為．【答案】3【分析】根據(jù)題意畫出圖形，連接OB、OC，作OD⊥BC于D，由含30°的直角三角形的性質(zhì)得出OD即可．【詳解】如圖所示，連接OB、OC，作OD⊥BC于D，則∠ODC=90°，∵∠BOC=13×360°=120°，OB=∴∠OBC=∠OCB=30°，∴OD=即邊心距為3，故答案為：3．

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形來解答．題型07正多邊形與圓中求線段長(zhǎng)25．（2022·江蘇徐州·徐州市第十三中學(xué)校考三模）如圖所示的正八邊形的邊長(zhǎng)為2，則對(duì)角線AB的長(zhǎng)為（

）A．22+2 B．4 C．2+2【答案】A【分析】標(biāo)出點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)，連接CD，連接AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)E作EG⊥AB于G，過點(diǎn)F作FH⊥AB于H，根據(jù)正多邊形和圓的性質(zhì)，矩形的判定定理和性質(zhì)確定∠DAB=∠ABC=90°，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理確定∠DAE=∠AEF=∠FBC=135°，根據(jù)角的和差關(guān)系，平行線的判定定理確定EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，矩形的判定定理和性質(zhì)求出GH的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，等角對(duì)等邊，勾股定理求出GA和HB的長(zhǎng)度，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求出【詳解】解：如下圖所示，標(biāo)出點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)，連接CD，連接AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)E作EG⊥AB于G，過點(diǎn)F作FH⊥AB于H．根據(jù)圖形可知直線AC和直線BD是正八邊形的對(duì)稱軸．∴AC和BD是該正八邊形外接圓的直徑．∴AC=BD，點(diǎn)O為該正八邊形外接圓的圓心．∴OA=OB=OC=OD．∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴四邊形ABCD是矩形．∴∠BAD=∠ABC=90°．∵正八邊形的邊長(zhǎng)為2，∴AE=EF=FB=2，∠DAE∴∠GAE=∠DAE-∠DAB=45°，∠HBF=∠FBC-∠ABC=45°．∴∠AEF+∠GAE=180°．∴EF∥∴∠EGH+∠GEF=180°．∵EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AB，∴∠EGH=∠FHG=∠EGA=∠FHB=90°．∴∠GEF=180°-∠EGH=90°，∠GEA=180°-∠EGA-∠GAE=45°，∠HFB=180°-∠FHB-∠HBF=45°，AE2=∴四邊形EGHF是矩形，∠GAE=∠GEA，∠HFB=∠HBF．∴GH=EF=2，GA=GE，HB=HF．∴22=G∴GA=2，∴AB=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和定理，矩形的判定定理和性質(zhì)，平行線的判定定理和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等角對(duì)等邊，勾股定理，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．26．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作⊙O的切線交對(duì)角線DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則下列結(jié)論不成立的是（A．AE∥BF B．AF∥CD C．【答案】C【分析】連接OA、【詳解】∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BAE=∠ABC∴∠CBD∴∠ABD∴∠EAB∴AE∥BF，故∵∠F∴AF∥CD，故連接AD，過點(diǎn)A作AH⊥DF于點(diǎn)H，則∵∠EDC=108°，∴∠ADF∴AD=AF連接OA、∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠AOB∵OA∴∠OAB∵FA相切于⊙∴∠OAF∴∠FAB∵∠ABD∴∠F∴AB=BF故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、正多邊形與圓、等腰三角形的性質(zhì)和判定、平行線的判定等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．27．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)P是正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn)，AB=4，當(dāng)∠APB=90°時(shí)，連接PD，則線段PDA．211-2 B．213-2【答案】B【分析】取AB中點(diǎn)G，連接BD，過點(diǎn)C作CH⊥BD于H，則BG=2，先求出BD=43，然后根據(jù)∠APB=90°，得到點(diǎn)P在以G為圓心，AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)D、P、G三點(diǎn)共線時(shí)，【詳解】解：取AB中點(diǎn)G，連接BD，過點(diǎn)C作CH⊥BD于H，則BG=2，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BCD∴BH=∴DH=∴BD=4∵∠APB=90°，∴點(diǎn)P在以G為圓心，AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)D、P、G三點(diǎn)共線時(shí)，DP有最小值，在Rt△BDG中，DG=∴PD=故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問題，確定當(dāng)D、P、G三點(diǎn)共線時(shí)，DP有最小值是解題的關(guān)鍵．28．（2022·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）在正六邊形ABCDEF中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)M，則AMCM的值為【答案】2【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可得出∠ABC，∠BCD的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明BM=CM，∠ABM=90°,設(shè)BM=a,【詳解】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BCD=∠ABC=16（6-2）×180°=120°，AB=BC=CD，∴∠BAC=∠ACB=∠CBD=∠CDB=12（180°-120°）=30°，∴CM=BM,設(shè)BM=a,∴AM∴AM故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、多邊形的內(nèi)角與外角以及等腰三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解答本題的關(guān)鍵．題型08正多邊形與圓的規(guī)律問題29．（2022·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，把正六邊形各邊按一定方向延長(zhǎng)，使延長(zhǎng)的線段與原正六邊形的邊長(zhǎng)相等，順次連接這六條線段外端點(diǎn)，可以得到一個(gè)新的正六邊形，.....，重復(fù)上述過程，經(jīng)過2018次后，所得的正六邊形的邊長(zhǎng)是原正六邊形邊長(zhǎng)的（

）A．(2)2016倍 B．(3)2017倍 C．【答案】C【分析】先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出∠1的度數(shù)，再根據(jù)AD=CD=BC判斷出△ABC的形狀及∠2的度數(shù)，求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出，經(jīng)過2018次后，即可得出所得到的正六邊形的邊長(zhǎng)．【詳解】∵此六邊形是正六邊形，∴∠1=180°-120°=60°，∵AD=CD=BC，∴△BCD為等邊三角形，∴BD=12AC∴△ABC是直角三角形又∵BC=12AC∴∠2=30°，∴AB=3BC=3CD，同理可得，經(jīng)過2次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長(zhǎng)（3）2倍，∴經(jīng)過2018次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長(zhǎng)的（3）2018，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓，解答此題的關(guān)鍵是熟知正多邊形內(nèi)角的性質(zhì)及直角三角形的判定定理，此題有一定的難度．30．（2022·廣東湛江·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)O重合，AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)P．將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A【答案】-【分析】首先確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)4次一個(gè)循環(huán)，推出經(jīng)過第2023次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵正六邊形ABCDEF邊長(zhǎng)為2，中心與原點(diǎn)O重合，AB∥∴AP=1∴OP=∴第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,-1第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為-1,-第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為-3第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,3∴4次一個(gè)循環(huán)，∵2023÷4=∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為-3故答案為：-3【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，規(guī)律型問題，坐標(biāo)與圖形變化——旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．31．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點(diǎn)F在y軸正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，那么經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（-32，-3） B．（32，-332） C．（-3，【答案】A【分析】如圖，連接AD，BD．首先確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)6次一個(gè)循環(huán)，由2025÷6=337???3，推出經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的D3【詳解】解：如圖，連接AD，BD．在正六邊形ABCDEF中，AB=1，AD=2，∴BD在RtΔAOF中，AF=1∴∠OFA∴OA∴OB∴D(3∵將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，∴6次一個(gè)循環(huán)，∵2025÷6=337???3，∴經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的D3∵D與D∴D3(-∴經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(-32，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，規(guī)律型問題，坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．題型09求弧長(zhǎng)32．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考三模）一根鋼管放在V形架內(nèi)，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是24cm，若∠ACB=60°，則劣弧AB的長(zhǎng)是（A．8πcm B．16πcm C．32πcm【答案】B【分析】先利用v形架與圓的關(guān)系求出∠C+∠AOB=180°，由∠C=60°，可求∠AOB=120°，由OB=24cm，利用弧長(zhǎng)公式求即可．【詳解】解：∵AC與BC是圓的切線，∴OA⊥AC，OB⊥CB，∴∠OAC=∠OBC=90°，∴∠C+∠AOB=360°-∠OAC-∠OBC=360°-90°-90°=180°，∵∠C=60°，∴∠AOB=180°-60°=120°，∵OB=24cm,∴l(xiāng)AB=120×π故選擇B．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，四邊形內(nèi)角和，弧長(zhǎng)公式，掌握直線與圓的位置關(guān)系，四邊形內(nèi)角和，弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．33．（2023·甘肅天水·統(tǒng)考一模）如圖，一條公路（公路的寬度忽略不計(jì)）的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ˋB），點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，半徑OA=90m，圓心角∠AOB=80°，則這段彎路（A．20πm B．30πm C．【答案】C【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和弧長(zhǎng)公式，可以計(jì)算出這段彎路（AB）的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵半徑OA=90m，圓心角∠AOB=80°，∴這段彎路（AB）的長(zhǎng)度為：80π故選C【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確弧長(zhǎng)計(jì)算公式l34．（2022·廣東中山·統(tǒng)考一模）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與AMB所在圓相切于點(diǎn)A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則AMB的長(zhǎng)是（

）A．11πcm B．112πcm C．7πcm【答案】A【分析】如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠PAO=∠PBO=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得【詳解】解：如圖，∵PA，PB分別與AMB所在圓相切于點(diǎn)A，B．∴∠PAO∵∠P＝40°，∴∠AOB∵該圓半徑是9cm，∴AMB=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，求弧長(zhǎng)，牢記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．35．（2023·湖北武漢·校考一模）某仿古墻上原有一個(gè)矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個(gè)圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖．已知矩形的寬為2m，高為23mA．5π3m B．8π3m C．【答案】C【分析】利用勾股定理先求得圓弧形的門洞的直徑BC，再利用矩形的性質(zhì)證得ΔCOD是等邊三角形，得到∠COD=60°【詳解】如圖，連接AD，BC，交于O點(diǎn)，∵∠BDC=90°∴BC是直徑，∴BC=∵四邊形ABDC是矩形，∴OC=∵CD=2∴OC=∴ΔCOD∴∠COD∴門洞的圓弧所對(duì)的圓心角為360°-60°=300°，∴改建后門洞的圓弧長(zhǎng)是300°π×故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式，矩形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，從實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵．36．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在半徑為5的⊙O上，連接AB，BC，CD，AD．若∠ABC=108°，則劣弧AC

【答案】4【分析】先利用圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求出∠D的度數(shù)，再利用圓周角定理求出∠【詳解】解：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠ABC∴∠D∴∠AOC∴劣弧AC的長(zhǎng)為144×π故答案為：4π【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，弧長(zhǎng)公式，熟練運(yùn)用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．37．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）如圖是放于水平桌面上的魚缸，其主體部分的軸截面是圓心為O的弓形AMB，與桌面CD相切于點(diǎn)M，開口部分AB與桌面CD平行，測(cè)得開口部分AB=40cm，MB=205cm

(1)求弓形AMB的半徑；(2)求優(yōu)弧AMB的長(zhǎng)．【答案】(1)25(2)635【分析】（1）連接MO并延長(zhǎng)MO交AB與點(diǎn)N，根據(jù)垂徑定理可得AN=BN=20，在Rt△BMN中，BM2=BN2+MN2（2）連接AO、BO，根據(jù)正切的定義以及已知條件得到∠BMN=26.5°，進(jìn)而求得【詳解】（1）連接MO并延長(zhǎng)MO交AB與點(diǎn)N

由題意知，MO⊥∴∠OMC又∵AB∴∠BNO即NO⊥∴AN在Rt△BMN中，∴(205∴MN設(shè)⊙O半徑為r，則OB=OM在Rt△ONB中，∴r2解得：r=25∴弓形AMB的半徑為25．（2）連接AO、BO，

∵tan∠OMB∴∠BMN在⊙O中，∠∴∠AOB=53°×2=106°∴n∴l(xiāng)【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，圓周角定理，求弧長(zhǎng)，解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型10利用弧長(zhǎng)及扇形面積公式求半徑38．（2021·安徽·統(tǒng)考三模）如圖，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C是劣弧AB的中點(diǎn)，若∠BAC＝30°，劣弧AB的長(zhǎng)為23π，則⊙O的半徑為【答案】1【分析】連接OC、OB，根據(jù)已知求出∠COB的度數(shù)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出即可．【詳解】解：如圖，連接OB、∵點(diǎn)C是劣弧AB的中點(diǎn)，劣弧AB的長(zhǎng)為23∴劣弧BC的長(zhǎng)為13∵∠BAC∴∠BOC根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式得60π∴r=1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和弧長(zhǎng)公式，能求出∠COB的度數(shù)和熟記弧長(zhǎng)公式是解此題的關(guān)鍵．39．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是4πcm，面積是12πcm【答案】6【分析】根據(jù)扇形面積公式S=【詳解】解：∵S∴12π解得r=6故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式S=40．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）如圖，用一個(gè)圓心角為150°的扇形圍成一個(gè)無底的圓錐，如果這個(gè)圓錐底面圓的半徑為2cm，則這個(gè)扇形的半徑是cm

【答案】24【分析】利用底面周長(zhǎng)=展開圖的弧長(zhǎng)可得．【詳解】設(shè)扇形的半徑為rcm，則解得：r=故答案為：245【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖問題，解答本題的關(guān)鍵是確定“底面周長(zhǎng)=展開圖的弧長(zhǎng)”這個(gè)等量關(guān)系，然后由扇形的弧長(zhǎng)公式和圓的周長(zhǎng)公式求值．41．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在⊙O中，弦AB與CD交于點(diǎn)E，點(diǎn)C為AmB

①AB為直徑；②∠ACD=60°；③(1)從三條信息中選擇兩條作為條件，另一條作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題．你選擇的條件是___________，結(jié)論是___________（填寫序號(hào)），請(qǐng)說明理由．(2)在（1）的條件下，若AD的長(zhǎng)為43π，求【答案】(1)①②；③；理由見解析（答案不唯一）(2)2【分析】（1）任選其中兩條作為已知條件，剩余一條作為結(jié)論，均為真命題，結(jié)合圓當(dāng)中的基本性質(zhì)和定理進(jìn)行證明即可；（2）結(jié)合條件∠ACD=60°可推出【詳解】（1）證明：如圖所示，連接BC，∵點(diǎn)C為AmB的中點(diǎn)，∴AC=BC，情況一：選擇條件是①②，結(jié)論是③，是真命題；理由如下：∵AB為直徑，∴∠ACB∴△ABC為等腰直角三角形，∠∵∠ACD∴∠CEB∴條件是①②，結(jié)論是③，該命題為真命題；情況二：選擇條件是①③，結(jié)論是②，是真命題；理由如下：∵AB為直徑，∴∠ACB∴△ABC為等腰直角三角形，∠∵∠CEB∴∠ACD∴條件是①③，結(jié)論是②，該命題為真命題；情況三：選擇條件是②③，結(jié)論是①，是真命題；理由如下：∵∠ACD=60°，∴∠CAB∵AC=∴∠CAB∴∠ACB∵AB是圓上的弦，∴AB為直徑，∴條件是②③，結(jié)論是①，該命題為真命題；故答案為：①②；③（答案不唯一）；

（2）解：由（1）可知，∠ACD如圖所示，連接OD，∴∠AOD∵AD的長(zhǎng)為43π，設(shè)⊙O∴120πr解得：r=2∴⊙O的半徑為2

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，圓周角定理，弧長(zhǎng)計(jì)算，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等，理解直徑所對(duì)的圓周角為直角及其推論，掌握弧長(zhǎng)計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．題型11利用弧長(zhǎng)及扇形面積公式求圓心角42．（2022·湖南長(zhǎng)沙·一模）已知扇形半徑是3cm，弧長(zhǎng)為32πcm，則扇形的圓心角為【答案】90【分析】已知扇形半徑是3cm，弧長(zhǎng)為32πcm，直接利用弧長(zhǎng)公式l=【詳解】解：l=解得：n=90°故答案為：90．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)計(jì)算公式的應(yīng)用，掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．43．（2021·新疆烏魯木齊·新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考一模）已知扇形面積為24π，弧長(zhǎng)為8π，則此扇形的圓心角為度．【答案】240【分析】根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)為8π，面積為24【詳解】解：設(shè)該扇形的半徑為r，圓心角為n°∵扇形的弧長(zhǎng)為8π，面積為24∴12解得，r=6∵8π∴n故答案為：240．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算、弧長(zhǎng)的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解答．44．（2022·河南駐馬店·校聯(lián)考二模）某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑ED與母線AD長(zhǎng)之比為1:2．制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC．將扇形AEF圍成圓錐時(shí)，（1）求這種加工材料的頂角∠BAC（2）若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）【答案】（1）∠BAC=90°；（2）S陰影=（100-25π）cm【分析】（1）設(shè)ED=x，則AD=2x，根據(jù)圓的周長(zhǎng)求EF弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式求n=90°（2）由AB=AC，∠BAC=90°，可得△ABC為等腰直角三角形，由AD⊥BC可求BD=CD=AD=10cm，利用三角形面積公式求S△BAC=12【詳解】解：（1）設(shè)ED=x，則AD=2x，∴EF弧長(zhǎng)=2π∴n=90°∴∠BAC=90°（2）∵ED=5cm，∴AD=2ED=10cm，∵AB=AC，∠∴△ABC為等腰直角三角形，∵AD⊥∴BD=CD=AD=10cm，∴BC=BD+CD=20cm，∴S△BAC=12BC×∴S扇形EF∴S陰影=S△BAC-S扇形EF=（100-25π）【點(diǎn)睛】本題考查圓錐，側(cè)面展開圖，扇形面積公式，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，利用割補(bǔ)法求陰影面積，掌握?qǐng)A錐，側(cè)面展開圖，扇形面積公式，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，利用割補(bǔ)法求陰影面積是解題關(guān)鍵．題型12求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度45．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考三模）長(zhǎng)為30?cm的細(xì)木條AB用兩個(gè)鐵釘固定在墻上，固定點(diǎn)為點(diǎn)A，B（鐵釘?shù)拇笮『雎圆挥?jì)），當(dāng)固定點(diǎn)B處的鐵釘脫落后，細(xì)木條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與原來垂直的方向，點(diǎn)B落在點(diǎn)C的位置，則點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的路徑BC長(zhǎng)為（

A．450π?cm B．225π?cm【答案】C【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算便可．【詳解】解：點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的路徑BC長(zhǎng)為90180故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求弧長(zhǎng)，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．46．（2022·福建廈門·統(tǒng)考二模）如圖，用一個(gè)半徑為6cm的定滑輪拉動(dòng)重物上升，滑輪旋轉(zhuǎn)了120°，假設(shè)繩索粗細(xì)不計(jì)，且與輪滑之間沒有滑動(dòng)，則重物上升了cm．（結(jié)果保留π）【答案】4【分析】利用題意得到重物上升的高度為定滑輪中120°所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意，重物的高度為120×π×6180故答案為：4π【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式：l=n?π?R18047．（2022·山東濱州·?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=3，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°<α<180°）得到△【答案】23【分析】利用勾股定理求出AB=2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到旋轉(zhuǎn)角為∠BAB'=60°【詳解】解：∵∠C=90°，∠ABC∴AB=2AC，設(shè)AC=x，則AB=2x，由勾股定理得：x2解得：x=1，則：AC=1，AB=2，∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°<α<180°）得到△AB∴旋轉(zhuǎn)角為60°，∴∠BAB'=60°∴點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為：nπr180=故答案為：23【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，解題關(guān)鍵在于找到旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算．48．（2021·廣西河池·統(tǒng)考二模）如圖所示，將一個(gè)半徑OA=10cm，圓心角∠AOB=90°的扇形紙板放置在水平面的一條射線OM上．在沒有滑動(dòng)的情況下，將扇形AOB沿射線OM翻滾至OB再次回到OM上時(shí)，則半徑OA的中點(diǎn)P【答案】10【分析】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解點(diǎn)O經(jīng)過的路線并能正確運(yùn)用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算．仔細(xì)觀察點(diǎn)O經(jīng)過的路線可得，點(diǎn)O經(jīng)過的路線可以分為四段，分別求出四段的長(zhǎng)，再求出其和即可．【詳解】解：連接BP，如圖所示：∵P為AO的中點(diǎn)，OA=10∴PO=5根據(jù)勾股定理得：BP=中點(diǎn)P經(jīng)過的路線可以分為四段，當(dāng)AB切射線OM于點(diǎn)B時(shí)，OB⊥OM，此時(shí)P點(diǎn)繞不動(dòng)點(diǎn)B轉(zhuǎn)過了90°，此時(shí)點(diǎn)90π第二段：OB⊥OM到OA⊥OM，P點(diǎn)繞動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，而這一過程中∴點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)的連線始終垂直射線OM，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為AB的長(zhǎng)，即90π第三段：OB⊥OM到點(diǎn)P落在射線OM上，點(diǎn)P繞不動(dòng)點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)了90°，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為：第四段：OA⊥OM到OB與射線OM重合，點(diǎn)P繞不動(dòng)點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)了90°，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為：∴P點(diǎn)經(jīng)過的路線總長(zhǎng)為：5π故答案為：10π49．（2023·安徽合肥·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，A-1,0，B-(1)以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，作△ABC的位似圖形，得到△A1B1C1，請(qǐng)?jiān)趫D中作出△A1B1C1(2)若將△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A2B2C2，請(qǐng)?jiān)趫D中作出△A2B2C2（點(diǎn)A2【答案】(1)見解析(2)見解析；5【分析】（1）利用網(wǎng)格和位似的性質(zhì)找出各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連線即可解答；（2）利用網(wǎng)格和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可畫出所求作的三角形，利用勾股定理算出OB的長(zhǎng)度，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】（1）如圖，△A（2）如圖，△AOB=∴旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為90π故答案為：52【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)作圖，作圖-位似變換，除上述知識(shí)點(diǎn)外，熟練掌握勾股定理和弧長(zhǎng)公式也是解題的關(guān)鍵．題型13求扇形面積50．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)E，連接BE，則扇形BAEA．π3 B．3π5 C．2【答案】C【分析】解直角三角形求出∠CBE=30°，推出【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC∵BA=BE∴cos∴∠CBE∴∠ABE∴S故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積，三角函數(shù)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出∠CBE51．（2023·福建三明·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)E．則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留【答案】π【分析】先根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值，求出∠ABE，進(jìn)而求出∠【詳解】解：∵矩形ABCD，∴∠A=∠ABC∵以B為圓心，BC的長(zhǎng)為半輕畫弧，交AD于點(diǎn)E，BC=2∴BE=在Rt△ABE中，∴cos∠∴∠ABE=60°∴∠EBC=90°-60°=30°S陰影=30π×故答案為：π3【點(diǎn)睛】本題考查了由特殊角的三角函數(shù)值求角度數(shù)，矩形的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，綜合掌握以上知識(shí)點(diǎn)并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．52．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考一模）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°,BC=4．分別以點(diǎn)B、點(diǎn)C為圓心，線段BC長(zhǎng)的一半為半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點(diǎn)D、E、【答案】4-【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)S陰影=S△ABC-2S扇形CEF即可得答案．【詳解】∵等腰直角三角形ABC中，∠A∴AC=AB=22BC=22，∠B∴S陰影=S△ABC-2S扇形CEF=12AC?故答案為：4-【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)及扇形面積，熟練掌握面積公式是解題關(guān)鍵．53．（2023·江蘇徐州·一模）如圖，C，D是以AB為直徑的半圓上的兩點(diǎn)，∠CAB(1)求證：CD∥(2)若AB=4，∠【答案】(1)答案見解析(2)2【分析】（1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根據(jù)∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，進(jìn)而得到結(jié)論；（2）連結(jié)OC，OD，證明所求的陰影部分面積與扇形COD的面積相等，繼而得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AD⌒=AD∴∠ACD＝∠DBA，

又∵∠CAB＝∠DBA，∴∠CAB＝∠ACD，

∴CD∥（2）解：如圖，連結(jié)OC，OD．∵∠ACD＝30°，∴∠ACD＝∠CAB＝30°，∴∠AOD＝∠COB＝60°,∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．∵CD∥∴S△DOC=S△DBC，

∴S陰影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，∵AB＝4，∴OA＝2，∴S扇形COD=nπr2∴S陰影=23【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的面積，同弧所對(duì)的圓周角相等，平行線的判定，掌握定理以及公式是解題的關(guān)鍵．題型14求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積54．（2017·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到△A'B'C，已知ACA．3π2 B．8π3 C．【答案】D【分析】根據(jù)圖形可以得出AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA'+SΔABC【詳解】解：∵△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴SΔABC=S∵AB掃過的圖形的面積=S扇形∴AB掃過的圖形的面積=S扇形∴AB掃過的圖形的面積=60π故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，扇形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．55．（2020·廣東深圳·統(tǒng)考三模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O，H分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)

A．73π-783 B．43【答案】C【分析】整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中線段OH所掃過部分的面積(即陰影部分面積)為以點(diǎn)B為圓心，OB、BH為半徑的兩個(gè)扇形組成的一個(gè)環(huán)形，分別求出OB、BH，即可求出陰影部分面積．【詳解】解：連接BH，BH

∵O、H分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到△∴△OBH∴線段OH所掃過部分的面積(即陰影部分面積)為以點(diǎn)B為圓心，OB、BH為半徑的兩個(gè)扇形組成的一個(gè)環(huán)形，∵∠ACB=90°，∠CAB∴AB=2∴AC=∵H為邊AC的中點(diǎn)，∴CH=∴BH=∴陰影部分面積=120故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，涉及到直角三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．56．（2023·四川瀘州·瀘縣五中校考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，OA=1，將OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到OA1，掃過的面積記為S1，A1A2⊥OA1交x軸于點(diǎn)A2；將OA2繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到OA3，掃過的面積記為S2，A3A4⊥OA3交y

【答案】2【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出扇形的半徑，寫出部分Sn的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律S【詳解】由題意△A1OA2、△∴OA2=2，OA4∴S1=45π×12360=18π∴Sn∴S2022故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及扇形的面積，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律Sn57．（2022·安徽馬鞍山·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，△ABO的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A(2,2)，B(1,3)，把△ABO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A(1)畫出△A1B1O(2)計(jì)算在旋轉(zhuǎn)過程中，△ABO所掃過的面積．(3)以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為2，在第三象限畫出△ABO放大后的△A【答案】(1)見詳解；A1，B1的坐標(biāo)分別為(﹣2,2)，((2)5(3)見詳解【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△A1B1O（2）利用勾股定理的逆定理可知△AOB是直角三角形，從而得出△ABO所掃過的面積=扇形BOB1的面積+（3）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：如圖所示，△A1B1O即為所求；A1，（2）解：OB＝12+32=10，AB＝2∴OB∴△AOB是直角三角形，∴∠OAB＝90°，∴△ABO所掃過的面積＝扇形BOB=90=52（3）解：如上圖所示，△A【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換和位似變換，扇形的面積公式，勾股定理及其逆定理等知識(shí)，準(zhǔn)確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．題型15求圓錐側(cè)面積58．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）已知圓錐的母線長(zhǎng)8cm，底面圓的直徑6cm，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（

）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2【答案】D【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積=12×底面周長(zhǎng)×【詳解】解：底面直徑為6cm，則底面周長(zhǎng)=6π，側(cè)面面積=12×6π×8=24πcm2故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積=12×底面周長(zhǎng)×59．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，主視圖和左視圖均是面積為12的等腰三角形，俯視圖是直徑為6的圓，則這個(gè)幾何體的全面積是（

）A．24π B．21π C．15π【答案】A【分析】這個(gè)幾何體有兩個(gè)視圖為三角形，那么可得是錐體，第3個(gè)視圖是圓，那么這個(gè)幾何體是圓錐，根據(jù)主視圖和左視圖面積均是12的等腰三角形，可以求出三角形的高為4，也就是錐體的高為4，再利用勾股定理求出圓錐的母線長(zhǎng)，最后根據(jù)全面積＝側(cè)面積＋底面積計(jì)算即可．【詳解】解：過O作OC⊥AB于點(diǎn)∵這個(gè)幾何體有兩個(gè)視圖為等腰三角形，俯視圖是直徑為6的圓，∴這個(gè)幾何體是圓錐，底面直徑是6，半徑為3，∵主視圖和左視圖面積均是12的等腰三角形，∴等腰三角形的底邊為AB=6∵OC⊥∴BC=∴12AB?∴OC=4∴OB=∴圓錐的母線長(zhǎng)為5，∴圓錐的全面積為：12故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐表面積的計(jì)算及由三視圖判斷幾何體；判斷出幾何體的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵．注意：圓錐的表面積等于圓錐的側(cè)面積與底面圓的面積之和，圓錐的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面展開圖即扇形的面積．也考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積．60．（2023·廣東汕頭·校考一模）圓錐的底面直徑是8，母線長(zhǎng)是9，則該圓錐的全面積為（

）A．36π B．52π C．100π D【答案】B【分析】圓錐的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2，圓錐的底面積=底面半徑的平方×π【詳解】解：圓錐的側(cè)面積=π圓錐的底面積=π∴圓錐的全面積=36π故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐的全面積，熟知圓錐的側(cè)面積和底面積的求法是解題的關(guān)鍵．61．（2023·山東東營·東營市東營區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）已知圓錐的底面圓半徑為4，側(cè)面展開圖扇形的圓心角為120°，則它的側(cè)面展開圖面積為．【答案】48π【分析】首先根據(jù)底面圓的半徑求得扇形的弧長(zhǎng)，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求得扇形的半徑，然后利用公式求得面積即可．【詳解】解：∵底面圓的半徑為4，∴底面周長(zhǎng)為8π，∴側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)為8π，設(shè)扇形的半徑為r，∵圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是120°，∴120πr180＝解得：r＝12，∴側(cè)面積為π×4×12＝48π，故答案為：48π．【點(diǎn)睛】考查了圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是了解圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)，難度不大．題型16求圓錐底面半徑62．（2021·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，從一塊半徑為1m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓周角為120°的扇形ABC，如果將剪下來的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的底面圓的半徑為m．【答案】1【分析】連接OA，OB，證明△AOB是等邊三角形，繼而求得AB的長(zhǎng)，然后利用弧長(zhǎng)公式可以計(jì)算出BOC的長(zhǎng)度，再根據(jù)扇形圍成圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)即可作答．【詳解】連接OA，OB，則∠BAO=12∠BAC=12又∵OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=1，∵∠BAC=120°，∴BOC的長(zhǎng)為：設(shè)圓錐底面圓的半徑為r2r故答案為13【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長(zhǎng)公式以及扇形弧長(zhǎng)與底面圓周長(zhǎng)相等的知識(shí)點(diǎn)，借助等量關(guān)系即可算出底面圓的半徑．63．（2022·新疆烏魯木齊·烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐母線l=6，扇形的圓心角θ=120°，則該圓錐的底面圓的半徑r長(zhǎng)為【答案】2【分析】結(jié)合題意，根據(jù)弧長(zhǎng)公式，可求得圓錐的底面圓周長(zhǎng)．再根據(jù)圓的周長(zhǎng)的公式即可求得底面圓的半徑長(zhǎng)．【詳解】∵母線l長(zhǎng)為6，扇形的圓心角θ=120°∴圓錐的底面圓周長(zhǎng)=120∴圓錐的底面圓半徑r=故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面展開圖的相關(guān)計(jì)算，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)．掌握?qǐng)A錐側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)是求解本題的關(guān)鍵．64．（2022·廣東中山·校聯(lián)考三模）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4，以A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，得EC，連接AC、AE，用圖中陰影部分作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑為．【答案】2【分析】由正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4，可得AB=BC=4，∠ABC=∠BAF=120°，進(jìn)而求出∠BAC=30°，∠CAE=60°，過B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)得到AH=CH=12AC，BH=2．在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH=23，得到【詳解】解：∵正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4，∴AB=BC=4，∠ABC∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∴∠BAC如圖，過B作BH⊥AC于H，∴AH=CH=12ACBH=在Rt△ABH中，AH=∴AC=2同理可求∠EAF=30°，∴∠CAE∴S扇形∴S圓錐側(cè)∵S圓錐側(cè)∴43∴r=23故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓錐的側(cè)面積，掌握扇形面積公式和圓錐側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．題型17求圓錐的高65．（2020·山東聊城·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，有一塊半徑為1m，圓心角為90°的扇形鐵皮，要把它做成一個(gè)圓錐形容器（接縫忽略不計(jì)），那么這個(gè)圓錐形容器的高為（A．14m B．34m C．【答案】C【分析】首先利用扇形的弧長(zhǎng)公式求得圓錐的底面周長(zhǎng)，求得底面半徑的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得圓錐的高．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面周長(zhǎng)是l，則l=nπr180=則圓錐的底面半徑是：π2÷則圓錐的高是：12-故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．66．（2019·浙江金華·校聯(lián)考一模）如圖，AB是圓錐的母線，BC為底面半徑，已知BC=6cm，圓錐的側(cè)面積為15πcm2，則sin∠ABC的值為（）A．34 B．35 C．45【答案】C【詳解】分析：先根據(jù)扇形的面積公式S=12L?R詳解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R，由題意得15π=π×3×R，解得R=5，∴圓錐的高為4，∴sin∠ABC=45．故選C．點(diǎn)睛：本題考查了圓錐側(cè)面積公式的運(yùn)用，注意一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊之比．67．（2021·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考一模）已知圓錐的母線長(zhǎng)是9cm，它的側(cè)面展開圖的圓心角是120°，則圓錐的高為cm．【答案】62【分析】設(shè)圓錐底面半徑為rcm，那么圓錐底面圓周長(zhǎng)為2πrcm，所以側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)為2πrcm，然后利用扇形的面積公式即可得到關(guān)于【詳解】解：設(shè)圓錐底面半徑為rcm，那么圓錐底面圓周長(zhǎng)為2πrcm所以側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)為2πrcmS圓錐側(cè)面積解得：r=3∴圓錐的高為92故答案為：62【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐側(cè)面展開圖的知識(shí)和圓錐側(cè)面面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．68．（2022·廣東韶關(guān)·?？既＃┤魣A錐側(cè)面展開圖是面積為65πcm2的扇形，扇形的弧長(zhǎng)為【答案】12cm/12厘米【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積=12×弧長(zhǎng)×【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為R，由題意得：65π解得R=13cm．設(shè)圓錐的底面半徑為r，則10π=2πr，解得：故圓錐的高為：13故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是牢記圓錐的側(cè)面積=12×弧長(zhǎng)×題型18求圓錐側(cè)面積展開圖的圓心角69．（2023·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)圓錐體的底面積是其表面積的14，則其側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)為【答案】120°/120度【分析】根據(jù)圓錐的底面積是其表面積的14【詳解】解：設(shè)底面圓的半徑為r，側(cè)面展開扇形的半徑為R，扇形的圓心角為n°．由題意得S底面面積l底面周長(zhǎng)∵個(gè)圓錐體的底面積是其表面積的14∴S扇形l扇形弧長(zhǎng)由S扇形=1故R=3由l扇形弧長(zhǎng)2πr解得n=120故答案為：120°．【點(diǎn)睛】此題通過圓錐的底面和側(cè)面，結(jié)合有關(guān)圓、扇形的一些計(jì)算公式，重點(diǎn)考查空間想象能力、綜合應(yīng)用能力．熟記圓的面積和周長(zhǎng)公式、扇形的面積和兩個(gè)弧長(zhǎng)公式并靈活應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．70．（2022·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考一模）曹老師用一張半徑為18cm的扇形紙板，做了一個(gè)圓錐形帽子（接縫忽略不計(jì)），如果圓錐形帽子的半徑是10cm，則這張扇形紙板的圓心角是．【答案】200°【分析】根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)列式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)扇形紙板的圓心角是n°，根據(jù)題意得：2π×10=18nπ解得：n＝200，所以扇形的圓心角為200°．故答案為：200°【點(diǎn)睛】本題主要考查了求弧長(zhǎng)，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．71．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，要用一個(gè)扇形紙片圍成一個(gè)無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），若該圓錐的底面圓周長(zhǎng)為20πcm，側(cè)面積為240πcm2【答案】150【分析】根據(jù)圓錐底面周長(zhǎng)與展開后所得的扇形的弧長(zhǎng)相等，圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等，利用扇形面積公式與弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為lcm，扇形的圓心角為n°，∵圓錐的底面圓周長(zhǎng)為20πcm，∴圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)為20πcm，由題意得：12×20π×l=240π解得：l=24，則nπ×24解得n=150，即扇形的圓心角為150°，故答案為:150．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與圓錐之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.題型19圓錐的實(shí)際問題72．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）用一張半圓形鐵皮，圍成一個(gè)底面半徑為4cm的圓錐形工件的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則圓錐的母線長(zhǎng)為（

A．4cm B．8cm C．12cm【答案】B【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，根據(jù)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為半圓形鐵皮的周長(zhǎng)（不包括直徑）列式求解即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，由題意得：2×4π∴l(xiāng)=8故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐的母線長(zhǎng)，熟知圓錐的底面圓周長(zhǎng)為半圓形鐵皮的周長(zhǎng)（不包括直徑）是解題的關(guān)鍵．73．（2020·遼寧盤錦·統(tǒng)考二模）如圖，從一圓形紙片上剪出一個(gè)半徑為R、圓心角為90°的扇形；和一半徑為r的圓，使之恰好圍成如圖所示的圓錐，則R與r的關(guān)系為（

）A．R=2r B．R=4r C．R=22r D．R=6【答案】B【分析】根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得答案．【詳解】扇形的弧長(zhǎng)是：90?πR180=圓的半徑為r，則底面圓的周長(zhǎng)是2πr∵恰好圍成如圖所示的圓錐，∴πR2=2∴R=4r，故選：B．【點(diǎn)睛】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算．解決此類問題時(shí)要緊緊抓住兩者之間的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)．正確對(duì)這兩個(gè)關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵．74．（2020·云南昆明·統(tǒng)考二模）云南是全國擁有少數(shù)民族數(shù)量最多的省份，風(fēng)俗文化多種多樣，使得“云南十八怪”成為云南旅游文化的一張名片，圖①是十八怪中的“草帽當(dāng)鍋蓋”，圖②是一個(gè)草帽的三視圖，根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)計(jì)算出該草帽的側(cè)面積為（）A．240πcm2 B．576πcm2【答案】C【分析】利用勾股定理易得圓錐的母線長(zhǎng)，那么圓錐的側(cè)面積=12底面周長(zhǎng)×【詳解】解：∵圓錐的底面直徑為48cm,則半徑為482=24，又∵圓錐的高為10cm,∴圓錐的母線長(zhǎng)為：102+242=676=26，圓錐的底面周長(zhǎng)(∴該圓錐的側(cè)面積=12×48π×26=624πc故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．也考查了三視圖．75．（2020·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，把矩形紙片ABCD分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形BAF和半徑最大的圓，若恰好能作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則ABAD=

【答案】2【分析】設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)，則DE＝y(tǒng)﹣x，根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)列出方程，求解即可．【詳解】解：設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)，則DE＝y(tǒng)﹣x，根據(jù)題意，得：90π?整理得：x＝2(y﹣x)解得：xy即：ABAD故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．76．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）《九章算術(shù)》中有如下問題：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆高5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有斛．

【答案】22【分析】根據(jù)米堆的底部的弧度即底面圓周的四分之一為8尺，可求出圓錐的底面半徑，從而計(jì)算出米堆的體積，用體積除以每斛的體積即可求得斛數(shù)．【詳解】解：設(shè)米堆所在圓錐的底面半徑為r尺，由題意，得：14∴r=∴米堆的體積為：14∴米堆的斛數(shù)為：35.561.62故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算及弧長(zhǎng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出圓錐的知識(shí)，難度不大．題型20圓錐側(cè)面上的最短路徑問題77．（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，已知圓錐的底面半徑是23，母線長(zhǎng)是63．如果A是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點(diǎn)，則這根繩子的最短長(zhǎng)度是【答案】18【分析】連接AC，過B作BD⊥AC于D，設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角∠ABC為n．利用弧長(zhǎng)公式可求出n的值，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短可得AC為這根繩子的最短長(zhǎng)度，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用∠CBD的正弦值求出AC的長(zhǎng)即可得答案．【詳解】如圖，連接AC，過B作BD⊥AC于D，設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為n．∵兩點(diǎn)間線段最短，∴AC為這根繩子的最短長(zhǎng)度，∵圓錐的底面半徑是23∴AC=2∴nπ×63180解得：n=120°∵BD⊥AC，BC=AB，∴∠CBD=12∠ABC=60°，CD=12∴CD=BC·sin60°=63×32∴AC=2CD=18，故答案為：18【點(diǎn)睛】此題考查了圓錐的計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握?qǐng)A錐的底面圓的周長(zhǎng)和扇形弧長(zhǎng)相等并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．78．（2021·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，如果一只螞蟻從圓錐底面上的點(diǎn)B出發(fā)，沿表面爬到母線AC的中點(diǎn)D處，則最短路線長(zhǎng)為．【答案】33．【分析】將圓錐側(cè)面展開，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”和勾股定理，即可求得螞蟻的最短路線長(zhǎng).【詳解】如圖將圓錐側(cè)面展開，得到扇形ABB′，則線段BF為所求的最短路線．設(shè)∠BAB′＝n°．∵nπ?∴n＝120，即∠BAB′＝120°．∵E為弧BB′中點(diǎn)，∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，Rt△AFB中，∠ABF＝30°，AB＝6∴AF＝3，BF＝62-32∴最短路線長(zhǎng)為33．故答案為：33．【點(diǎn)睛】本題考查“化曲面為平面”求最短路徑問題，屬中檔題.79．（2019·山東泰安·統(tǒng)考二模）圓錐的底面周長(zhǎng)為2π3，母線長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是母線OA的中點(diǎn)，一根細(xì)繩（無彈性）從點(diǎn)P繞圓錐側(cè)面一周回到點(diǎn)P，則細(xì)繩的最短長(zhǎng)度為【答案】1．【詳解】解：如圖，連接AA′，∵底面周長(zhǎng)為2π3，∴弧長(zhǎng)=nπ×2180=2π3，∴n=60°即∠AOA′=60°，∴∠A=60°，∵OA=OA′，∴△AOA′是等邊三角形，∴AA′=2，∵PP′是△OAA′的中位線，∴PP′=【分析】根據(jù)陰影部分面積等于以為直徑的2個(gè)半圓的面積加上減去為半徑的半圓面積即．【詳解】解：在中，，，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，求扇形面積，直徑所對(duì)的圓周角是直角，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．題型21計(jì)算不規(guī)則面積80（2022·寧夏銀川·寧夏銀川二十四中校考一模）如圖，兩個(gè)半徑長(zhǎng)均為2的直角扇形的圓心分別在對(duì)方的圓弧上，扇形CFD的圓心C是AB的中點(diǎn)，且扇形CFD繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，半徑AE，CF交于點(diǎn)G，半徑BE，CD交于點(diǎn)H，則圖中陰影面積等于（

）A．π2-1 B．π2-2【答案】D【分析】先根據(jù)扇形面積公式求出兩扇形面積，再過C分別作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N，連接EC，再證明△CMG≌△CNH，可證得白色部分的面積等于對(duì)角線為2的正方形CMEN得面積，進(jìn)而可求得陰影部分的面積．【詳解】解：∵兩個(gè)直角扇形的半徑長(zhǎng)均為2，∴兩個(gè)扇形面積和為90π過C分別作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N，連接EC，則四邊形CMEN是矩形，∵C是AB的中點(diǎn)，∴∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB，∴CM=CN，∴四邊形CMEN是正方形，∴∠CMG=∠MCN=∠CNH，∴∠MCG+∠GCN=∠NCH+∠GCN=90°，∴∠MCG=∠NCH，∴△CMG≌△CNH（ASA），∴白色部分的面積等于對(duì)角線為2的正方形CMEN的面積，∴空白部分面積為12∴陰影部分面積為π-故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積公式、圓的有關(guān)性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記扇形面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，求出空白部分面積是解答的關(guān)鍵．81．（2015·山東日照·統(tǒng)考一模）如