理解若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形：讀清華大學(xué)《線性代數(shù)與幾何（上、下）》

理解若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形：讀清華大學(xué)《線性代數(shù)與幾何（上、下）》“高等代數(shù)”課程是大學(xué)數(shù)學(xué)系一門非常重要的基礎(chǔ)課程，通過這門課程的學(xué)習(xí)，可以使大學(xué)低年級(jí)學(xué)生初步掌握線性代數(shù)的基本知識(shí)和方法，培養(yǎng)基本的邏輯推理能力，并且了解代數(shù)與幾何之間深刻的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，同時(shí)為后面學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)系基礎(chǔ)課程打下必要的基礎(chǔ)。高等代數(shù)的主要內(nèi)容是線性代數(shù)，其內(nèi)容在歷史上經(jīng)過了較長(zhǎng)時(shí)間的教學(xué)積累而慢慢形成的。目前已經(jīng)成熟的高等代數(shù)課程主要包括了以下的內(nèi)容：多項(xiàng)式-行列式-矩陣論初步-矩陣的秩與線性方程組-二次型-線性空間-線性變換-相似矩陣與若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形-歐氏空間高等代數(shù)課程體系的邏輯結(jié)構(gòu)極其嚴(yán)謹(jǐn)，內(nèi)容比較抽象。實(shí)踐證明，從幾何的角度來學(xué)習(xí)高等代數(shù)，非常有利于用直觀的幾何形象來揭示高等代數(shù)概念高度濃縮的內(nèi)涵，使學(xué)生更好地理解所學(xué)的抽象理論，同時(shí)也使原來非常緊密的的高等代數(shù)課程結(jié)構(gòu)得到了有效的疏解。另一方面，我們也可以在很大程度上把高等代數(shù)（特別是線性空間和線性變換的理論）看成是高維空間的“解析幾何”，這樣就為高等代數(shù)的抽象理論提供了幾何學(xué)背景的想法。如果站在大學(xué)低年級(jí)學(xué)生的角度來考慮，對(duì)于求解線性方程組、二次型及其矩陣的特征值等問題，還是比較容易理解的。我們可以從這些歷史上經(jīng)典的數(shù)學(xué)題材出發(fā)，引入多項(xiàng)式、行列式、矩陣和二次型理論等最基本內(nèi)容。但是從線性空間開始的后半部分課程的內(nèi)容，一般來說就比較難以理解了，此時(shí)需要綜合運(yùn)用在前半部分課程中學(xué)到的內(nèi)容，并且在抽象數(shù)學(xué)思維的水平上有一個(gè)相當(dāng)大的提升。在線性空間與線性變換的理論中，核心的內(nèi)容是將線性空間分解為不變子空間的直和，從中可以推導(dǎo)出矩陣對(duì)角化的一般結(jié)果——若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。1．矩陣對(duì)角化問題的起源線性代數(shù)的歷史可以給出學(xué)習(xí)線性空間與線性變換理論的思想動(dòng)機(jī)。在線性代數(shù)的歷史發(fā)展進(jìn)程中，二次型及其矩陣的特征值起到了突出的作用，這是因?yàn)樗苯右龑?dǎo)出后續(xù)的“矩陣對(duì)角化”這一線性代數(shù)的中心主題。在18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們解決了二次曲面方程中的二次型化簡(jiǎn)問題。到19世紀(jì)的初期，柯西引入了一般的個(gè)變量的二次型，可以求得實(shí)對(duì)稱矩陣的個(gè)實(shí)特征值及它們所對(duì)應(yīng)的相互正交的單位特征向量，再以這個(gè)特征向量作為列向量，構(gòu)造出階正交矩陣.由可知從而就得到了關(guān)鍵的“矩陣對(duì)角化等式”：如果對(duì)二次型作正交線性替換，則由上式可得上述等式就是柯西所得到的維幾何空間中的主軸定理（也稱為“譜定理”），它使得在作了正交線性替換后得到的新二次型中，每個(gè)平方項(xiàng)的系數(shù)都是二次型矩陣的特征值。主軸定理的本質(zhì)體現(xiàn)在了矩陣對(duì)角化等式中，即相當(dāng)于是將二次型的對(duì)稱矩陣相似變換成了對(duì)角矩陣。到了20世紀(jì)初，希爾伯特將實(shí)二次型的主軸定理從有限維的歐氏空間進(jìn)一步推廣到了無限維的希爾伯特空間，得到了自伴算子的譜分解定理，從而為接下來將要誕生的量子力學(xué)奠定了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。2.若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理及其證明的方法一般對(duì)任意階矩陣來說，如果存在對(duì)角矩陣和可逆矩陣，使得以下等式成立那么我們就稱可以對(duì)角化（也稱相似于）。然而在所有的矩陣中，可以對(duì)角化的矩陣只占少數(shù)。對(duì)于不能夠?qū)腔木仃嚕▏?guó)數(shù)學(xué)家若爾當(dāng)（Jordan）在1870年證明了：總是可以使其相似于一種“最接近對(duì)角矩陣的簡(jiǎn)單矩陣”，它就是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形：其中的階矩陣是若爾當(dāng)塊，也就是存在可逆矩陣，使得這個(gè)著名結(jié)論被稱為若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理。這樣就完整地解決了所有矩陣的對(duì)角化問題。若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理的證明可以說是高等代數(shù)課程中最復(fù)雜的一個(gè)證明，該定理的證明方法有好幾種，它們大致可以分為兩類：代數(shù)證明方法（即

-矩陣方法）和幾何證明方法。國(guó)內(nèi)大多數(shù)的高等代數(shù)教材都是用代數(shù)證明方法（其最早的來源是前蘇聯(lián)的高等代數(shù)教材）。代數(shù)證明方法的基本思路是：“將兩個(gè)矩陣是否相似的問題轉(zhuǎn)化為它們的特征矩陣是否可以運(yùn)用初等變換使其等價(jià)的問題，即通過仔細(xì)化簡(jiǎn)若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的特征矩陣，求出若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中的所有若爾當(dāng)塊的初等因子，由于等價(jià)的特征矩陣具有相同的初等因子，這樣就能夠用初等變換的方法來求出所有階方陣的特征矩陣的初等因子，由此就可以求出的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形?！彪m然代數(shù)證明方法的優(yōu)點(diǎn)是比較方便若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算，但是其缺點(diǎn)也是很明顯的：那就是代數(shù)證明的過程冗長(zhǎng)復(fù)雜（證明往往占據(jù)一章的篇幅）。即便一個(gè)學(xué)生能夠完全弄明白這個(gè)代數(shù)證明的全部推導(dǎo)細(xì)節(jié)，他（或她）也可能不清楚這個(gè)證明背后的線性變換幾何圖景。為此一些主要采用代數(shù)證明方法的教材會(huì)在講完證明后，再補(bǔ)充介紹若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理的幾何證明的基本想法。為了使學(xué)生能夠真正理解若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的幾何內(nèi)涵，一個(gè)比較理想和自然的講法是：在講完線性空間和線性變換的基本理論后，直接運(yùn)用線性變換的語言來講若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理的幾何證明。由清華大學(xué)俞正光、魯自群、林潤(rùn)亮這三位老師編寫的《線性代數(shù)與幾何（上、下）》就是這樣一套比較理想的高等代數(shù)教材，它在講完線性空間和線性變換后，直接運(yùn)用了線性變換的語言，來給出若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理的幾何證明，并且從這個(gè)幾何證明中，我們還可以具體地看到導(dǎo)致了若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的線性空間的一組循環(huán)基究竟是怎樣產(chǎn)生的。3.清華大學(xué)《線性代數(shù)與幾何（上、下）》的內(nèi)容介紹《線性代數(shù)與幾何（上）》的第1版由清華大學(xué)出版社在2008年出版，第2版在2014年出版，而《線性代數(shù)與幾何（下）》的第1版在2009年出版，第2版在2015年出版。該套教材經(jīng)過了清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系“線性代數(shù)”教學(xué)團(tuán)隊(duì)十幾年的精心打造和反復(fù)的修改，將幾何與代數(shù)密切地結(jié)合在一起，層次清晰，論證嚴(yán)謹(jǐn)，例題典型豐富，習(xí)題適中（難題比較少）。在筆者看來，該套教材非常適合高等代數(shù)的初學(xué)者，特別是很多中等程度的數(shù)學(xué)系的學(xué)生們。即便是作為與課本配套的參考書，它也能夠使學(xué)生們收益很多，這是因?yàn)樵摃淖髡邆兛偸菑膶W(xué)生的角度來考慮教學(xué)的安排和教材的編寫，從具體的例子出發(fā)，簡(jiǎn)單扼要，循序漸進(jìn)，盡量使用平易的數(shù)學(xué)語言，對(duì)各個(gè)最基本的要點(diǎn)充分地展開解說，并且避免比較專門的技巧。圖1：《線性代數(shù)與幾何（上）》《線性代數(shù)與幾何（上、下）》將高等代數(shù)課程分成了內(nèi)容從具體到抽象的上、下兩冊(cè)。上冊(cè)包括了第1、2、3、4、5、6、7章，主要講授階行列式及其計(jì)算方法、矩陣的代數(shù)運(yùn)算與相抵、3維空間中的平面與直線方程、維向量空間中的線性相關(guān)理論、矩陣的秩與線性方程組解的結(jié)構(gòu)、一般的線性空間理論與歐氏空間初步理論、線性變換理論、矩陣的特征值與相似、二次型與二次曲面等內(nèi)容。圖2：《線性代數(shù)與幾何（下）》《線性代數(shù)與幾何》的下冊(cè)包括了第8、9、10、11、12章，主要講授一元多項(xiàng)式理論、階矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形、歐氏空間進(jìn)一步理論和酉空間、矩陣分析初步理論、射影幾何基礎(chǔ)等內(nèi)容，它們大部分都是高等代數(shù)課程中比較深入的內(nèi)容。4.《線性代數(shù)與幾何（下）》中對(duì)若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理的幾何證明過程在《線性代數(shù)與幾何》下冊(cè)的第9章中，作者完整地給出了關(guān)于線性空間分解的基本理論，用線性變換的幾何方法嚴(yán)格證明了若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理。首先在第1節(jié)用具體的低階矩陣?yán)右肓巳魻柈?dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的重要概念，其中著重講解了冪零變換、循環(huán)基和循環(huán)子空間等基本概念，并且對(duì)一個(gè)具體的3階矩陣，詳細(xì)計(jì)算了它的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形及其循環(huán)基，這個(gè)開頭對(duì)于初學(xué)者來說是非常合適的，他們需要通過具體的例子，建立起若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形、冪零變換和循環(huán)子空間等新概念。接著在第2、3節(jié)中，作者詳細(xì)介紹了如何把一個(gè)有限維線性空間分解成它的一系列子空間的直和，使得線性變換限制到這些子空間上是冪零變換，并且還進(jìn)一步又找到了循環(huán)基，使得線性變換所對(duì)應(yīng)的矩陣是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，這樣便完成了對(duì)若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理的幾何證明。具體來說，作者將這個(gè)幾何證明分成了以下三個(gè)步驟：（一）首先證明定理一（即書上的定理9.12）“對(duì)于復(fù)數(shù)域上線性空間的任意線性變換，可以分解為的根子空間的直和其中的是的全部相異的特征值?！备涌臻g是實(shí)際上特征子空間的一種自然推廣，它們都是線性變換的不變子空間，因此如果用各個(gè)根子空間中的基向量來組成的一個(gè)基，那么在此基下的矩陣就是比較簡(jiǎn)單的準(zhǔn)對(duì)角矩陣（若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是最簡(jiǎn)單的準(zhǔn)對(duì)角矩陣）。作者通過仔細(xì)證明根子空間的基本性質(zhì)，特別是“根子空間的和是直和”的引理，并且運(yùn)用了商空間的基本概念來證明“根子空間的維數(shù)等于特征值的代數(shù)重?cái)?shù)”，這樣就容易推導(dǎo)出定理一的結(jié)論。（二）其次是證明定理二（實(shí)際上就是書上的定理9.7，這里對(duì)記號(hào)稍作改動(dòng)）“對(duì)每個(gè)根子空間的冪零變換，必可分解為循環(huán)子空間的直和使得限制在每個(gè)循環(huán)子空間上是循環(huán)變換?！碑?dāng)我們把線性變換（是恒等變換）限制在根子空間上時(shí)，所得到的變換是一個(gè)冪零變換。作者在定理二的證明過程中，非常仔細(xì)地考察了一系列的值域子空間（或像空間）從中抽絲剝繭般地分離出了一連串的循環(huán)基，從而就能構(gòu)造出一連串的循環(huán)子空間。在閱讀定理二的證明時(shí)，讀者需要仔細(xì)體會(huì)和欣賞作者所采用的很精細(xì)的帶有上下標(biāo)的基向量記號(hào)。（三）現(xiàn)在將以上這兩個(gè)定理的結(jié)論合在一起，也就是把（2）式代入（1）式，便證明了線性空間可以進(jìn)一步分解為循環(huán)子空間的直和。由于線性變換在每個(gè)循環(huán)基下的矩陣是若爾當(dāng)塊，所以立即得到了下面的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理（即書上的定理9.13）：“對(duì)于復(fù)數(shù)域上線性空間的任意線性變換，存在的一個(gè)基，使得在這個(gè)基下的矩陣是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形（即的矩陣與相似）?！睘榱四軐?shí)際計(jì)算