《自動控制原理》課件第4章

第一節(jié)根軌跡的基本概念第二節(jié)根軌跡方程第三節(jié)繪制根軌跡的基本法則第四節(jié)控制系統(tǒng)根軌跡分析第五節(jié)應(yīng)用根軌跡解決工程問題第六節(jié)廣義根軌跡第七節(jié)利用MATLAB進(jìn)行根軌跡分析第四章根軌跡法第一節(jié)根軌跡的基本概念

為了具體說明根軌跡的概念,設(shè)控制系統(tǒng)如圖4-1所示。閉環(huán)傳遞函數(shù)為

式中，K為開環(huán)增益，Ko為根增益。圖4-1閉環(huán)控制系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式s2+2s+Ko=0的根是根據(jù)圖4-2所示的根軌跡圖,可以獲得系統(tǒng)的下述性能。

1.穩(wěn)定性

因?yàn)楦壽E全部位于s平面的左半部,故閉環(huán)系統(tǒng)對所有Ko>0的值都是穩(wěn)定的。

2.穩(wěn)態(tài)性能

因?yàn)殚_環(huán)傳遞函數(shù)有一個(gè)極點(diǎn)位于s平面原點(diǎn)(圖中用×號表示),所以系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng),階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零,靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv即為根軌跡上對應(yīng)的K值。

3.暫態(tài)性能

(1)當(dāng)0＜Ko＜1即0<K<0.5時(shí),閉環(huán)特征根為兩個(gè)實(shí)根,系統(tǒng)呈過阻尼狀態(tài),階躍響應(yīng)為非周期過程(即單調(diào)過程)。

(2)當(dāng)Ko=1即K=0.5時(shí),閉環(huán)特征根為兩個(gè)相等的實(shí)根,系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。

(3)當(dāng)Ko＞1即K>0.5時(shí),閉環(huán)特征根變?yōu)橐粚曹棌?fù)數(shù),系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài),階躍響應(yīng)變?yōu)樗p振蕩過程，有超調(diào)量出現(xiàn)。

第二節(jié)根軌跡方程

一、根軌跡方程

控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)圖如圖4-3所示,其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(4-1)

閉環(huán)特征方程是

1+G(s)H(s)=0

(4-2)將式(4-2)中的開環(huán)傳遞函數(shù)化成如下形式:

(4-3)式(4-2)的特征方程式可表示為

(4-4)根軌跡方程為一復(fù)數(shù)方程式,根據(jù)等號兩邊相角和幅值相等的條件,可得到繪制根軌跡的兩個(gè)基本條件,即

(4-5)

(4-6)二、根軌跡方程的應(yīng)用

1.用相角條件求根軌跡曲線

例4-1

設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

判斷點(diǎn)s1(－1,j1)和s2(－0.5,－j1)是否在其根軌跡上。

解將開環(huán)零、極點(diǎn)表示在圖4-4上(無開環(huán)零點(diǎn)),其中

p1=0,p2=－1。作p1、p2

引向

s1

的矢量(s1－p1)、(s1－p2)。

用量角器量得(也可通過計(jì)算得到)圖4-4例4-1向量圖同樣用作p1、p2引向s2的矢量,并用量角器量得該兩向量的相角

2.用幅值條件確定Ko值

例4-2

求例4-1中根軌跡上s2點(diǎn)(－0.5,－j1)對應(yīng)的Ko值。

解根據(jù)式(4-5)幅值條件得第三節(jié)繪制根軌跡的基本法則

一、根軌跡分支數(shù)(法則一)

根軌跡在s平面上的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù)n,也就是說，分支數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)。二、根軌跡對稱于實(shí)軸(法則二)

實(shí)際系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的系數(shù)都是實(shí)數(shù),其特征根為實(shí)數(shù)根或共軛復(fù)數(shù)根,因此根軌跡對稱于實(shí)軸。三、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)(法則三)

根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn),終止于開環(huán)零點(diǎn),如果n≠m,則有(n－m)條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。

將式(4-5)左邊取極限,得

例4-3

已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試確定根軌跡的分支數(shù)及起點(diǎn)、終點(diǎn)。

解將開環(huán)傳遞函數(shù)改寫成

式中,開環(huán)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的最高階次n=2,故根軌跡的分

支數(shù)為2(即有兩條根軌跡)。

開環(huán)有兩個(gè)極點(diǎn):p1=0,p2=－1/T;

開環(huán)有一個(gè)有限零點(diǎn):z1=－1/τ。

根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn),即起始于0和－1/T。其中一條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn),即－1/τ,另一條終止于無窮遠(yuǎn)處。其根軌跡圖如圖4-5所示。圖4-5例4-3系統(tǒng)的根軌跡四、實(shí)軸上的根軌跡(法則四)

在坐標(biāo)軸上向右看去，實(shí)軸上凡有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)的區(qū)段就是根軌跡的一部分。即實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè),實(shí)數(shù)零點(diǎn)和實(shí)數(shù)極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。

圖4-6所示系統(tǒng)在s平面上三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1、p2、p3和一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)z1的一種分布情況,其中p1、p2是一對共軛極點(diǎn),

p3、z1分別是實(shí)數(shù)極點(diǎn)和零點(diǎn)。圖4-6實(shí)軸上的根軌跡五、根軌跡的漸近線(法則五)

如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m小于極點(diǎn)數(shù)n,當(dāng)根增益Ko→∞時(shí),有n－m條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)處,漸近線就是決定這n－m條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)處的方位。漸近線法則包含三個(gè)參數(shù),即漸近線條數(shù)、漸近線夾角和漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)。

(1)漸近線的條數(shù)(分支數(shù)),有n－m條。

(2)漸近線的夾角ja。假設(shè)在無窮遠(yuǎn)處有特征根sk,則s平面上所有開環(huán)有限零點(diǎn)zi和極點(diǎn)pj的向量相角都相等,即

∠(sk－zi)=∠(sk－pj)=ja,用它代入相角條件式(4-6),得所以漸近線的夾角為

(4-7)

當(dāng)k=0時(shí),漸近線的夾角最小,k增大時(shí),夾角值重復(fù)出現(xiàn),所以獨(dú)立的漸近線只有n－m條。

(3)漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)σa。假定在無窮遠(yuǎn)處有閉環(huán)特征根sk,則s平面上所有的開環(huán)有限零點(diǎn)zi和極點(diǎn)pj到sk的向量長度都相等。于是我們可以認(rèn)為,對于無限遠(yuǎn)閉環(huán)極點(diǎn)sk而言,所有開環(huán)零、極點(diǎn)都匯集在一起,其位置為σa,如

圖4-7中所示,它就是所求漸近線的交點(diǎn)。圖4-7根軌跡圖當(dāng)Ko→∞和sk→∞時(shí),可認(rèn)為zi=pj=σa,則幅值條件式(4-5)的倒數(shù)形式改寫為

(4-8)

上式右邊展開式為而式(4-12)的左邊可用長除法處理為

當(dāng)s→∞時(shí),上述兩個(gè)相等的多項(xiàng)式可略去除前兩項(xiàng)以外的其他項(xiàng),故可以只考慮兩個(gè)多項(xiàng)式的第二項(xiàng),即sn－m－1項(xiàng)的系數(shù)相等的條件,得所以漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為

即

(4-9)

例4-4

已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試確定根軌跡漸近線在s平面上的位置。

解從已知的開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)數(shù)看出,該系

統(tǒng)的根軌跡有三條漸近線,由式(4-9)可知它們在實(shí)軸上的交點(diǎn)為漸近線與實(shí)軸正方向的夾角由式(4-7)得六、根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)(法則六)

兩條根軌跡分支在s平面上的某點(diǎn)相遇,然后又立即分開的點(diǎn),叫做根軌跡的分離點(diǎn)(或會合點(diǎn))。它對應(yīng)于特征方程中的二重根。由于根軌跡具有共軛對稱性,分離點(diǎn)與會合點(diǎn)必須是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)成對出現(xiàn)。在一般情況下,分離點(diǎn)與會合點(diǎn)位于實(shí)軸上。

在圖4-8上畫出了兩條根軌跡。圖4-8分離點(diǎn)與會合點(diǎn)

1.重根法求分離點(diǎn)和會合點(diǎn)

按重根法求分離點(diǎn)和會合點(diǎn)的方法如圖4-8所示,無論分離點(diǎn)或會合點(diǎn),都表示特征方程式在該點(diǎn)上出現(xiàn)重根。只要找到這些重根,就可以確定分離點(diǎn)或會合點(diǎn)的位置。

若代數(shù)方程f(x)=0具有重根x1,則必然同時(shí)滿足f′(x1)=0,f″(x1)=0。

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程1+G(s)H(s)=0,為求其重根,令式中,N(s)、D(s)分別為開環(huán)傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式與分母多項(xiàng)式,則閉環(huán)特征方程式及其導(dǎo)數(shù)可改寫為

由以上聯(lián)立方程式消去Ko,可得

(4-10)為便于記憶,式(4-10)可寫成

(4-11)

由于既然可以用式(4-11)確定分離點(diǎn),同樣可用下式確定根軌跡的分離點(diǎn):

即

(4-12)

2.公式法求分離點(diǎn)和會合點(diǎn)

分離點(diǎn)(或會合點(diǎn))的坐標(biāo)d是下列方程的解：

(4-13)

式中,zi為各開環(huán)零點(diǎn)的坐標(biāo)值,pj為各開環(huán)極點(diǎn)的坐標(biāo)值。如果開環(huán)系統(tǒng)無有限零點(diǎn)，則在上式中取證明式(4-13)的方法有多種，參見文獻(xiàn)［7］、［8］。

也可根據(jù)相角條件用圖4-9為例說明如下。在圖中相鄰的兩極點(diǎn)p1、p2之間選一試驗(yàn)點(diǎn)sx,其坐標(biāo)為(－d1,ε),其中ε為正極小量。如果sx是根軌跡上的點(diǎn)，則根據(jù)相角條件有圖4-9分離點(diǎn)位置的確定由于上式中角度值都很小，可認(rèn)為

即

例4-5

已知控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

試求根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。

解［方法一］用式(4-12)求分離點(diǎn):

解出s1=－0.423,

s2=－1.578。［方法二］用式(4-13)求分離點(diǎn)：

即

3s2+6s+2=0

解出s1=－0.423,s2=－1.578(舍去)。

即s1為此系統(tǒng)的分離點(diǎn)。

例4-6已知D(s)=s(s+2)+K*(s+4)=0,求閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)。

解因

所以

［方法一］按式(4-10)先寫出D=s(s+2),則D′=2s+2、

N=s+4,則N′=1,將D、D′、N、N′代入式(4-10)中，得

s2+8s+8=0

解出分離點(diǎn)s1=－1.17,會合點(diǎn)s2=－6.83,據(jù)此繪出根軌跡如圖4-10所示。圖4-10例4-6根軌跡圖［方法二］

用式(4-13)求分離點(diǎn)和會合點(diǎn):

即

得

s2+8s+8=0

同樣解出分離點(diǎn)s1=－1.17,會合點(diǎn)s2=－6.83。七、根軌跡的起始角與終止角(法則七)

根軌跡的起始角也叫初射角，是指起始于開環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起點(diǎn)處的切線與水平線正方向的夾角;而根軌跡的終止角也叫入射角,是指終止于開環(huán)零點(diǎn)的根軌跡在終點(diǎn)處的切線與水平線正方向的夾角。二者主要針對復(fù)數(shù)極點(diǎn)零點(diǎn)而言。

下面以圖4-11所示的開環(huán)零、極點(diǎn)分布為例,說明起始角的求取。圖4-11根軌跡起始角在圖4-11所示的s平面上,靠近起點(diǎn)p1取一點(diǎn)s1,根軌跡相角方程有

當(dāng)s1無限靠近p1時(shí),則各開環(huán)零、極點(diǎn)引向s1的向量,就變成各開環(huán)零、極點(diǎn)引向p1的向量,這時(shí),∠(s1－p1)即為起始角

θp1,故

(4-14)將上面的分析加以推廣,得到在一般情況下計(jì)算起始角的公式為

(4-15)

根據(jù)同樣的分析方法,可求得在一般情況下計(jì)算開環(huán)零點(diǎn)處的根軌跡終止角公式為

(4-16)

例4-7

設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。

解開環(huán)極點(diǎn)p1=0,p2,3=－0.5±j1.5,p4=－2.5；

開環(huán)零點(diǎn)z1=－1.5,z2,3=－2±j。

(1)實(shí)軸上(0,－1.5)和(－2.5,-∞)為根軌跡段。

(2)漸近線

(3)根軌跡起始角和終止角由根軌跡對稱性,有

該系統(tǒng)的起始角、終止角及根軌跡圖如圖4-12所示。圖4-12例4-6根軌跡八、根軌跡與虛軸交點(diǎn)(法則八)

根軌跡與虛軸相交,交點(diǎn)處閉環(huán)極點(diǎn)位于虛軸上,即閉環(huán)特征方程有一對純虛根±jω,系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。因此將s=jω代入特征方程中,得

1+G(jω)H(jω)=0

或?qū)懗?/p>

Re［1+G(jω)H(jω)］+jIm［1+G(jω)H(jω)］=0

(4-17)令

(4-18)

由式(4-18)的聯(lián)立方程,可求出虛軸交點(diǎn)ω值和對應(yīng)的臨界根增益Koc值。

例4-8

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及對應(yīng)的臨界根增益Koc

。

解系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

令

s=jω,上式變?yōu)閷?shí)部與虛部分別為零,即

解聯(lián)立方程得九、根之和與根之積(法則九)

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程,在n＞m的情況下,可以表示為

(4-19)根據(jù)代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系,有

(4-20)

(4-21)當(dāng)n－m≥2時(shí),從式(4-19)可以看出,特征方程第二項(xiàng)系數(shù)與Ko無關(guān),閉環(huán)特征根之和總是等于開環(huán)極點(diǎn)(特征根)之和,即

(4-22)

在開環(huán)極點(diǎn)確定的情況下,閉環(huán)特征根之和為一常數(shù)。這表明,隨著Ko變化,若一些特征根增大,另一些特征根必定減小,即一些根軌跡右行時(shí),另一些根軌跡必向左行。當(dāng)開環(huán)有零值極點(diǎn)時(shí)(開環(huán)有一個(gè)以上的積分環(huán)節(jié)),式

(4-21)可變成

(4-23)

例4-9

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為求交點(diǎn)處的臨界Koc值及對應(yīng)的第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。

解由式(4-22)知,閉環(huán)特征根之和為

所以

即閉環(huán)第三個(gè)特征根為－3。由式(4-23)得

因?yàn)閎0=1，所以

結(jié)果與例4-7相同。以上介紹了繪制根軌跡的基本法則，除此之外還有實(shí)軸上分離點(diǎn)的分離角會合角法則，即實(shí)軸上根軌跡離開分離點(diǎn)時(shí)，根軌跡切線的方向角稱為分離角，恒為±90°，會合角也恒為±90°。還有根軌跡點(diǎn)so對應(yīng)的根增益為

例4-10

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。

解將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成繪制根軌跡的標(biāo)準(zhǔn)形式

開環(huán)有四個(gè)極點(diǎn):

p1=0，p2=－20，p3,4=－2±j4

開環(huán)無零點(diǎn)。下面按繪制根軌跡的規(guī)則的順序求根軌跡的有關(guān)參數(shù)。

(1)開環(huán)傳遞函數(shù)有四個(gè)極點(diǎn),故有四條根軌跡。

(2)確定實(shí)軸上的根軌跡:在實(shí)軸上(0～－20)之間為根軌跡段。

(3)根軌跡起點(diǎn):四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)上。

根軌跡終點(diǎn):四條根軌跡均終于無窮遠(yuǎn)處。

(4)根軌跡漸近線:取

(5)根軌跡的分離點(diǎn):

用試探法解出分離點(diǎn)sd=－15。

(6)根軌跡起始角:因開環(huán)有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn),需求

p3,4處的根軌跡起始角,即

根據(jù)對稱性規(guī)則,θp4=+39°。

(7)根軌跡與虛軸交點(diǎn):系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

令s=jω,代入上式，則方程中得

解聯(lián)立方程得

根據(jù)以上結(jié)果畫出概略的根軌跡圖,如圖4-13所示。圖4-13例4-9根軌跡圖圖4-14給出了一些常見的負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布及其對應(yīng)的根軌跡圖,供繪制概略根軌跡圖時(shí)參考。圖4-14常見的根軌跡圖第四節(jié)控制系統(tǒng)根軌跡分析

一、閉環(huán)零、極點(diǎn)與主導(dǎo)極點(diǎn)及偶極子

1.閉環(huán)零、極點(diǎn)的確定

一個(gè)控制系統(tǒng),繪制出根軌跡后,就可利用幅值條件,通過試探法在根軌跡圖上求出對應(yīng)Ko值的全部閉環(huán)極點(diǎn)。下面通過實(shí)例說明如何確定閉環(huán)極點(diǎn)。

例4-11

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

試用根軌跡法求閉環(huán)極點(diǎn)。

解將開環(huán)傳遞函數(shù)改寫成繪制根軌跡的標(biāo)準(zhǔn)形式:

作的根軌跡圖,如圖4-15所示。圖4-15例4-10根軌跡圖由于Ko=1.05,因此在根軌跡圖上用試探法找出對應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)為

試探時(shí),一般先找實(shí)數(shù)極點(diǎn),再用根之和規(guī)則找出共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。

2.主導(dǎo)極點(diǎn)

離虛軸最近且附近又無閉環(huán)零點(diǎn)的閉環(huán)極點(diǎn),對系統(tǒng)的動態(tài)過程起主導(dǎo)作用,稱之為主導(dǎo)極點(diǎn)。

3.偶極子

如果閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的距離比它本身的模值小一個(gè)數(shù)量級,則稱這對零、極點(diǎn)為偶極子。遠(yuǎn)離原點(diǎn)的偶極子對系統(tǒng)的動態(tài)性能和靜態(tài)性能影響均可以忽略,這就是零、極點(diǎn)的對消作用。

例4-12已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

要求估算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)σ%、tr和ts。

解該閉環(huán)系統(tǒng)有3個(gè)極點(diǎn)：s1=－1.5,s2,3=－4±j9.2,

有1個(gè)零點(diǎn)：z=－1.6。閉環(huán)零極點(diǎn)分布如圖4-16所示。

由圖可見，閉環(huán)極點(diǎn)s1和閉環(huán)零點(diǎn)z構(gòu)成偶極子，所以閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)應(yīng)為s2,3,此時(shí)系統(tǒng)可近似為一個(gè)二階系統(tǒng)圖4-16例4-12系統(tǒng)的閉環(huán)零極點(diǎn)分布圖對比二階系統(tǒng)可得

所以二、閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布與系統(tǒng)階躍響應(yīng)的定性關(guān)系

繪制出一個(gè)系統(tǒng)的根軌跡,如增益Ko確定,就可求出所有的閉環(huán)極點(diǎn)。由時(shí)域分析方法可知,如給系統(tǒng)輸入一個(gè)單位階躍函數(shù),其輸出的一般表達(dá)式為

(4-24)

由上式我們可以得出閉環(huán)零、極點(diǎn)與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系。三、附加開環(huán)零點(diǎn)極點(diǎn)對系統(tǒng)的影響

1.開環(huán)零點(diǎn)對根軌跡的影響

增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn),對系統(tǒng)根軌跡有以下影響:

(1)改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布;

(2)改變了漸近線的條數(shù)、傾角和分離點(diǎn);

(3)若增加的開環(huán)零點(diǎn)和某個(gè)極點(diǎn)重合或距離很近,構(gòu)成開環(huán)偶極子,則兩者相互抵消,因此,可加入一個(gè)零點(diǎn)來抵消有損于系統(tǒng)性能的極點(diǎn);

(4)根軌跡曲線將向左彎曲,有利于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能,增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2.開環(huán)極點(diǎn)對根軌跡的影響

增加一個(gè)開環(huán)極點(diǎn),對系統(tǒng)根軌跡有以下影響;

(1)改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布;

(2)改變了根軌跡的分支數(shù);

(3)改變了漸近線的條數(shù)、傾角和分離點(diǎn);

(4)根軌跡曲線將向右移彎曲,不利于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能,降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

例4-13

已知某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

若給此系統(tǒng)增設(shè)一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)(p=－2),或增設(shè)一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)

(z=－2)。試分別討論對系統(tǒng)根軌跡和系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。

解依據(jù)根軌跡的繪制規(guī)則,繪制出根軌跡分別示于圖4-17(a)、(b)、(c)中。圖中:

(a)為原系統(tǒng)的根軌跡;

(b)為附加極點(diǎn)后的根軌跡;

(c)為附加零點(diǎn)后的根軌跡。圖4-17附加零極點(diǎn)對根軌跡的影響

例4-14

單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖,并討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解依據(jù)繪制根軌的規(guī)則,求得有關(guān)數(shù):

開環(huán)極點(diǎn)有三個(gè):p1=0,p2=0,p3=－10。有三條根軌跡且

均終止于無窮處;

分離點(diǎn):sd=0;

漸近線傾角:ja=±60°,180°;

漸近線與實(shí)軸交點(diǎn):sa=－3.33;

根軌跡與虛軸交點(diǎn):kc=0,ω=0。繪制出的根軌跡如圖4-18(a)所示。圖中有兩條根軌跡始終位于s平面的右半部,即閉環(huán)極點(diǎn)始終有兩個(gè)位于s平面的右半平面,無論開環(huán)增益取何值,系統(tǒng)均不穩(wěn)定。對系統(tǒng)某參數(shù)無論取何值，閉環(huán)系統(tǒng)均不穩(wěn)定，這樣的系統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。顯然，此系統(tǒng)屬于結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。圖4-18例4-14根軌跡若給此系統(tǒng)附加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn),使系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)?/p>

設(shè)z1

在［0~－10］之間,則附加零點(diǎn)后的系統(tǒng)根軌跡如圖4-18(b)所示。四、開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)和條件穩(wěn)定系統(tǒng)

例4-15

設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

繪制系統(tǒng)的根軌跡并討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解開環(huán)有四個(gè)極點(diǎn):

其中,p2

位于s平面右半部。所以它屬于開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)。

按照繪制根軌跡圖的一般規(guī)則,繪制該系統(tǒng)的根軌跡的步驟:

(1)按規(guī)則一,因?yàn)閚=4,所以根軌跡有四條分支。

(2)按規(guī)則三,當(dāng)Ko=0時(shí),根軌跡的四條分支分別始于開環(huán)四個(gè)極點(diǎn)p1、p2、p3、p4。當(dāng)Ko→∞時(shí),四條分支中一條終止于開環(huán)零點(diǎn)z=－1,其余三條趨向無窮遠(yuǎn)處(n－m=3)。

(3)按規(guī)則四,在實(shí)軸上根軌跡位于－∞到－1及0到

1之間。

(4)按規(guī)則五,確定分離點(diǎn)與匯合點(diǎn)。因?yàn)橛?/p>

得

3s4+10s3+21s2+24s－16=0

用試湊法求出上式的四個(gè)根為

s1=0.46,s2=－0.79－j2.16,

s3=－0.79+j2.16,s4=－2.22

(5)按規(guī)則六,根軌跡的三條漸近線與實(shí)軸的夾角由式

(4-7)分別算出:

它們在實(shí)軸上交點(diǎn)坐標(biāo)可由式(4-9)算出:

(6)按規(guī)則七,由式(4-15)計(jì)算根軌跡在開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)

p3、p4處的起始角θp3及θp4。

根據(jù)根軌跡的對稱性有

(7)按規(guī)則八,確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)值,以及系統(tǒng)參數(shù)Ko的臨界值koc。本例是一個(gè)高階系統(tǒng),故采用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定其數(shù)值可能會簡明一些。該系統(tǒng)的特征方程為

即其勞斯行列表為使第一列中s1

項(xiàng)等于零的Ko值,就是臨界值koc,由方程

解出

再求解由s2行得到的輔助方程可得出根軌跡與虛軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為始于開環(huán)極點(diǎn)p1(=0)、p2(=1)的兩條根軌跡分支與虛軸共有四個(gè)交點(diǎn),它們分別是±j1.65和±j2.56。這兩條分支的大部分軌跡位于s平面的右半部,只有當(dāng)23.3＜Ko＜35.7時(shí),其根軌跡才在左s平面內(nèi)。因此該系統(tǒng)穩(wěn)定工作的條件是

23.3＜Ko＜35.7

而當(dāng)Ko＜23.3或Ko＞35.7時(shí),系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的。具有這種特性的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。需要說明,從勞斯行列表的第三行和第五行也能求出臨界K值。即Koc′=52,Koc″=0,而此兩值均受到上述Koc值的限制,故應(yīng)該刪去。

本例的根軌跡圖如圖4-19所示。圖4-19例4-15根軌跡圖第五節(jié)應(yīng)用根軌跡解決工程問題

一、應(yīng)用根軌跡解決工程問題

利用根軌跡解決工程問題，實(shí)際上是根據(jù)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求，求出主導(dǎo)極點(diǎn)在s平面的分布區(qū)域，如圖4-20陰影區(qū)所示。圖4-20主導(dǎo)極點(diǎn)分布區(qū)域圖

例4-16

系統(tǒng)如圖4-21所示。若Δ=0.05,要求ts≤12s,

求這時(shí)的根軌跡增益Komax和開環(huán)傳遞系數(shù)Kmax。

解系統(tǒng)的根軌跡圖如圖4-21所示。

因?yàn)棣?0.05,所以取要求ts≤12s,即

所以ζωn≥0.25,即所求問題變成了求系統(tǒng)根軌跡在c點(diǎn)處的Ko、K值。圖4-21系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖這時(shí)的系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

即將s=jω代入上式，得

實(shí)部為－2.25ω2－0.33+Ko=0

虛部為－ω2+0.69=0

所以ω=±0.83,根增益Ko=1.88,對應(yīng)的開環(huán)傳遞系數(shù)(即開環(huán)增益)K為

即這時(shí)的根軌跡增益Komax=1.88,開環(huán)傳遞系數(shù)Kmax=0.94。

例4-17

系統(tǒng)如圖4-21所示。若要求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為單調(diào)過渡過程即σ%=0,求這時(shí)的根軌跡增益Komax。

解系統(tǒng)的根軌跡圖如圖4-22所示。

當(dāng)根軌跡增益Ko從0增大到分離點(diǎn)d處的Kod時(shí)，閉環(huán)的三個(gè)極點(diǎn)均落在負(fù)實(shí)軸上，即這時(shí)的系統(tǒng)輸出響應(yīng)均為單調(diào)過渡過程，求出分離點(diǎn)d處的Ked值即為Komax。圖4-22例4-16、例4-17根軌跡圖根據(jù)相角條件得分離點(diǎn)為(－0.423,j0)。

將s=－0.423代入系統(tǒng)得特征方程

由此求得

即這時(shí)的根軌跡增益Komax=0.385。二、系統(tǒng)性能的分析與估算

例4-18

設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

要求：

(1)分析系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡,畫出p=－2,z=－4時(shí)根軌跡圖(要求計(jì)算分離點(diǎn)會合點(diǎn))；

(2)由根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；

(3)分析系統(tǒng)的動態(tài)性能，計(jì)算系統(tǒng)阻尼比ζ取最小值時(shí)的tr、tp、σ%、ts;

(4)計(jì)算系統(tǒng)阻尼比ζ取最小值時(shí)的單位速度穩(wěn)態(tài)誤差essv。

解

(1)系統(tǒng)閉環(huán)極軌跡的復(fù)數(shù)部分為一個(gè)圓。因?yàn)楦壽E上任何一點(diǎn)均滿足特征方程，將根軌跡的復(fù)數(shù)部分s=σ+jω代入閉環(huán)特征方程s(s－p)+Ko(s－z)=0,得

整理得

即(4-25)

(4-26)由式(4-26)得

(4-27)

將式(4-27)代入式(4-25),得

顯然，這是一個(gè)以σ、ω為變量的圓的方程，圓心為(z,0),半徑為將p=－2,z=－4代入，系統(tǒng)的分離點(diǎn)、會合點(diǎn)為d1=－1.172,d2=－6.83。再將分離點(diǎn)和會合點(diǎn)的值代入閉環(huán)特征方程

得分離點(diǎn)處的根增益Ko1=0.343,開環(huán)增益K1=2Ko=0.686

會合點(diǎn)處的根增益Ko2=11.66,開環(huán)增益K2=23.32根軌跡如圖4-23所示。圖4-23例4-18系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡圖

(2)由閉環(huán)根軌跡可知，該系統(tǒng)是一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，即

Ko從0變化到+∞,無論Ko取何值，系統(tǒng)均穩(wěn)定。

(3)動態(tài)性能分析：

①當(dāng)0<Ko≤0.343,即0<K≤0.686時(shí),閉環(huán)有兩實(shí)極點(diǎn)，

響應(yīng)為單調(diào)響應(yīng)(即非周期響應(yīng))系統(tǒng)過阻尼工作狀態(tài)。

②當(dāng)0.343<Ko<11.66,即0.68<K<23.32時(shí),階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程，欠阻尼工作狀態(tài)。

③當(dāng)11.66≤Ko<+∞即23.3≤K<+∞,階躍響應(yīng)為單調(diào)響應(yīng),但過渡過程較快些。④若要求這個(gè)系統(tǒng)所對應(yīng)的阻尼比為最小，也即要求圓的切線與負(fù)實(shí)軸的夾角的余弦為最小，則ζ=cosβ=

cos45°=0.707。ζ=0.707時(shí)所對應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)，可由圓求得為s1,2=－2±j2。因?yàn)樗?/p>

(4)ζ=0.707時(shí),系統(tǒng)的Ko=2,K=2Ko=4,所以essv=0.25。

例4-19

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

其中,H(s)=1。試用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并計(jì)算K=0.525時(shí)的暫態(tài)性能指標(biāo)。

解由函數(shù)

作出根軌跡,如圖4-15所示。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為

相對應(yīng)的Koc=6。所以,當(dāng)Ko=6(即K=3)

時(shí),系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)(也即等幅振蕩);當(dāng)K＞3時(shí),有兩條根軌跡進(jìn)入s右半平面,系統(tǒng)不穩(wěn)定;當(dāng)K＜3時(shí),三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)全在s平面左半部,系統(tǒng)穩(wěn)定。

K=0.525,即Ko=1.05時(shí),根據(jù)例4-11可知,此時(shí)閉環(huán)的三個(gè)極點(diǎn)是圖4-24例4-11主導(dǎo)極點(diǎn)分布由于s3離虛軸的距離大于s1和s2實(shí)部離虛軸距離的七倍,

所以,可以忽略s3的影響,將此三階系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)。

s1、s2稱為主導(dǎo)極點(diǎn),由圖4-24所示的閉環(huán)極點(diǎn)(閉環(huán)特征根)的分布可計(jì)算出系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的性能指標(biāo)為:超調(diào)量

調(diào)整時(shí)間第六節(jié)廣義根軌跡

一、參數(shù)根軌跡

如前所說,繪制根軌跡一般以根增益Ko作為參變量。其實(shí),繪制根軌跡時(shí),可變參數(shù)可以是控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中的任意參數(shù),如某一待定系數(shù)或校正元件的時(shí)常數(shù)等。為了與以根增益Ko作為可變參數(shù)的根軌跡相區(qū)別,我們稱非開環(huán)增益系數(shù)為可變參數(shù)繪制的根軌跡為參數(shù)根軌跡。繪制參數(shù)根軌跡的規(guī)則與繪制常規(guī)根軌跡的規(guī)則完全相同。只是在繪制參數(shù)根軌跡之前,需將控制系統(tǒng)的特征方程進(jìn)行等效變換,將其寫成符合于以非開環(huán)增益系數(shù)的待定參數(shù)k為可變參數(shù)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)形式,即

(4-28)

式中M(s)、N(s)都是復(fù)變量s的多項(xiàng)式,k為可變參數(shù),而且它們必須滿足方程

例4-20

控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

其中參數(shù)K、T已確定,而參數(shù)τ(時(shí)間常數(shù))為待定。試?yán)L制以待定參數(shù)τ為可變參數(shù)的參數(shù)根軌跡。

解該系統(tǒng)的特征方程式1+G(s)H(s)=0為

即

或?qū)⑸鲜降刃У貙懗墒?4-25)的形式為為了便于繪制根軌跡,將上式等號左邊分子、分母多項(xiàng)式中s最高次項(xiàng)的系數(shù)化成1,得到

或其中該等效系統(tǒng)有三個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極點(diǎn)，即

三個(gè)零點(diǎn):

兩個(gè)極點(diǎn):

很明顯,由于該系統(tǒng)m=3,n=2,所以根軌跡中將有一個(gè)分支起始于無限極點(diǎn)p3=－∞。

按照前述的九個(gè)法則,繪制出根軌跡,如圖4-25所示。圖4-25參數(shù)根軌跡根據(jù)法則八,求根軌跡與虛軸交點(diǎn):

由

將s→jω,有

得聯(lián)立方程解得

當(dāng)待定參數(shù)τ

的值大于τc時(shí),控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。所以待定參數(shù)τ的取值范圍是0＜τ＜

例4-21

已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制K與τ同時(shí)變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡族。

解系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為

先令τ=0,畫出K由0→∞時(shí)的根軌跡。當(dāng)τ=0時(shí),系統(tǒng)的特征方程式變成

即

這屬于一般的根軌跡,當(dāng)K

由0→∞時(shí)的根軌跡如圖4-26

所示。圖4-26τ=0時(shí)的根軌跡當(dāng)τ≠0時(shí),再作τ由0→∞時(shí)的根軌跡。因?yàn)榻o定一個(gè)K就有一條參數(shù)根軌跡,所以在不同K值時(shí)作出的參數(shù)

根軌跡,將是一個(gè)根軌跡族。繪制以τ作為可變參數(shù)的根軌跡,需要將閉環(huán)特征方程進(jìn)行等效變換,寫成式(4-25)的標(biāo)準(zhǔn)形式,即等效系統(tǒng)的極點(diǎn)分布就是圖4-25中的根軌跡。不同K值的情況下,有不同的極點(diǎn),這些極點(diǎn)就是參數(shù)根軌跡的起點(diǎn)。也就是說,參數(shù)根軌跡的起點(diǎn)在圖4-26的根