2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細分與精練 95個專題 524個題型專題52 事件的相互獨立性-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細分與精練(解析版)

專題52事件的相互獨立性題型一事件獨立性的判斷【例1】下列事件A，B是獨立事件的是（）A．一枚硬幣擲兩次，A=“第一次為正面向上”，B=“第二次為反面向上”B．袋中有兩個白球和兩個黑球，不放回地摸兩球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”C．?dāng)S一枚骰子，A=“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，B=“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”D．A=“人能活到20歲”，B=“人能活到50歲”【答案】A【解析】對于A選項，A，B兩個事件發(fā)生，沒有關(guān)系，故是相互獨立事件.對于B選項，A事件發(fā)生時，影響到B事件，故不是相互獨立事件.對于C選項，由于投的是一個骰子，A，B是對立事件，所以不是相互獨立事件.對于D選項，能活到20歲的，可能也能活到50歲，故A，B不是相互獨立事件.綜上所述，本小題選A.【變式1-1】現(xiàn)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．事件“第一次取出的球的數(shù)字是3”，事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，則（）A．與相互獨立B．與相互獨立C．與相互獨立D．與相互獨立【答案】A【解析】根據(jù)題意得，，，，所以，，，，所以A與C相互獨立.故選：A【變式1-2】下列事件A，B是相互獨立事件的是（）A．一枚硬幣擲兩次，A表示“第一次為正面”，B表示“第二次為反面”B．袋中有2個白球，2個黑球，不放回地摸球兩次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．?dāng)S一枚骰子，A表示“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，B表示“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”D．A表示“一個燈泡能用1000小時”，B表示“一個燈泡能用2000小時”【答案】A【解析】A：一枚硬幣拋兩次，A表示“第一次為正面”，B表示“第二次為反面”，因為，故事件A、B是相互獨立事件；B：袋中有2個白球，2個黑球，不放回地摸兩次，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”，表示“第一次摸到白球，第二次摸到白球”事件，則，，故事件A、B不是相互獨立事件；C：擲一枚骰子，A表示“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，B表示“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”，故事件A、B是互斥事件，，故事件A、B不是相互獨立事件；D：A表示“一個燈泡能用1000小時”，B表示“一個燈泡能用2000小時”，是條件概率.故選：A.【變式1-3】（多選）下列事件中，，不是相互獨立事件的是（）A．一枚硬幣拋兩次，A為“第一次為正面”，為“第二次為反面”B．不透明的袋中裝有除顏色外完全相同的2個白球、2個黑球，不放回地摸2個球，A為“第一次摸到白球”，為“第二次摸到白球”C．?dāng)S一枚骰子，A為“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，為“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”D．A為“人能活到70歲”，為“人能活到100歲”【答案】BCD【解析】對于A：一枚硬幣拋兩次，每次都是相互獨立的，其結(jié)果沒有影響，則A為“第一次為正面”與為“第二次為反面”相互獨立；對于B：是不放回摸球，顯然與不相互獨立；對于C：事件A，B是互斥事件，不相互獨立；選項D：事件B受事件A的影響，不相互獨立.故選：BCD【變式1-4】下列關(guān)于概率的命題，正確的有（）A．若事件滿足，則為對立事件B．若事件A，B滿足，則A，B相互獨立C．若對于事件，則兩兩獨立D．若對于事件與相互獨立，且，則【答案】BD【解析】A：因為，是為對立事件的必要條件，不是充分條件，如單位圓的一條直徑把圓分成兩部分，即區(qū)域M和區(qū)域N（不包括邊界），向這兩個區(qū)域投一枚繡花針，如針尖落在區(qū)域M內(nèi)記為事件A，針尖落在區(qū)域N內(nèi)記為事件B，滿足，但A，B不是對立事件，因為針尖還有可能落在直徑上，故錯誤；B：若，則A，B相互獨立，故正確；C：若A，B，C兩兩獨立，則，，故錯誤；D：若事件A與B相互獨立，則，，故正確；故選：BD【變式1-5】下列各對事件中，為相互獨立事件的是（）A．?dāng)S一枚骰子一次，事件M“出現(xiàn)偶數(shù)點”；事件N“出現(xiàn)3點或6點”B．袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白?2黑共5個大小相同的小球，依次不放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲?乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，事件M“從甲組中選出1名男生”，事件N“從乙組中選出1名女生”【答案】ABD【解析】在A中，樣本空間，事件，事件，事件，∴，，，即，故事件M與N相互獨立，A正確.在B中，根據(jù)事件的特點易知，事件M是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，故M與N是相互獨立事件，B正確；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此會對第2次摸到球的概率產(chǎn)生影響，因此不是相互獨立事件，C錯誤；在D中，從甲組選出1名男生與從乙組中選出1名女生這兩個事件的發(fā)生沒有影響，所以它們是相互獨立事件，D正確.故選：ABD.題型二相互獨立事件的概率計算【例2】甲、乙兩隊進行排球比賽，采取五局三勝制（當(dāng)一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績可知在每一局比賽中，甲隊獲勝的概率為，乙隊獲勝的概率為.若前兩局中乙隊以領(lǐng)先，則下列結(jié)論正確的是（）A．甲隊獲勝的概率為B．乙隊以3:0獲勝的概率為C．乙隊以3:1獲勝的概率為D．乙隊以3:2獲勝的概率為【答案】B【解析】對于A，在乙隊以領(lǐng)先的前提下，若甲隊獲勝則第三、四、五局均為甲隊取勝，所以甲隊獲勝的概率為，故A錯誤；對于B，若乙隊以獲勝，即第3局乙獲勝，概率為，故B正確；對于C，若乙隊以獲勝，即第三局甲獲勝，第四局乙獲勝，概率為，C錯誤；對于D，若乙隊以獲勝，則第五局為乙隊取勝，第三、四局乙隊輸，所以乙隊以3:2獲勝的概率為，故D錯誤．故選：B．【變式2-1】甲、乙兩人破譯一份電報，甲能獨立破譯的概率為0.3，乙能獨立破譯的概率為0.4，且兩人是否破譯成功互不影響，則兩人都成功破譯的概率為（）A．0.5B．0.7C．0.12D．0.88【答案】C【解析】由題意，甲、乙分別能獨立破譯的概率為和，且兩人是否破譯成功互不影響，則這份電報兩人都成功破譯的概率為.【變式2-2】一只不透明的口袋內(nèi)裝有5個小球，其中3個白球?2個黑球.現(xiàn)有放回地從袋中依次摸出1個球，則前三次摸出的球均為白球的概率是（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】依題意從袋子中摸1個球，摸出的是白球的概率，現(xiàn)有放回地從袋中依次摸出1個球，則前三次摸出的球均為白球的概率為故選：C【變式2-3】已知事件A，B相互獨立，且，，則（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】∵事件A，B相互獨立，且，，∴，故A正確；，故B錯誤；，故C正確；，故D正確.故選：ACD.【變式2-4】袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，下列結(jié)論正確的是（）A．第一次摸到紅球的概率為B．第二次摸到紅球的概率為C．兩次都摸到紅球的概率為D．兩次都摸到黃球的概率為【答案】AB【解析】因為袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，所以第一次摸到紅球的概率為，故A正確；若第一次摸到紅球，則第二次摸到紅球的概率為，故C不正確；若第一次摸到黃球，則第二次摸到紅球的概率為，所以第二次摸到紅球的概率為，故B正確；兩次都摸到黃球的概率為，故D錯誤，故選：AB【變式2-5】概率論起源于賭博問題．法國著名數(shù)學(xué)家布萊爾帕斯卡遇到兩個賭徒向他提出的賭金分配問題：甲、乙兩賭徒約定先贏滿局者，可獲得全部賭金法郎，當(dāng)甲贏了局，乙贏了局，不再賭下去時，賭金如何分配？假設(shè)每局兩人輸贏的概率各占一半，每局輸贏相互獨立，那么賭金分配比較合理的是（）A．甲法郎，乙法郎B．甲法郎，乙法郎C．甲法郎，乙法郎D．甲法郎，乙法郎【答案】A【解析】甲贏得法郎的概率為，乙贏得法郎的概率為，因此，這法郎中分配給甲法郎，分配給乙法郎.故選：A.題型三事件的獨立性、互斥性、對立性綜合【例3】一個口袋內(nèi)裝有大小相同的紅、籃球各一個，若有放回地摸出一個球并記下顏色為一次試驗，試驗共進行三次，則至少摸到一次紅球的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題設(shè)，每次摸到紅、籃球的概率均為，則三次都摸到籃球的概率為，所以至少摸到一次紅球的概率是.故選：B【變式3-1】1．從甲地開車到乙地共有，，三條路線可走，路線堵車的概率為0.06，路線堵車的概率為0.09，路線堵車的概率為0.12，且三條路線是否堵車相互獨立，若小李從這三條路線中隨機選一條，則堵車的概率為（）A．0.06B．0.09C．0.12D．0.27【答案】B【解析】因為路線是隨機選的，所以選擇每條路線的概率都是．選擇走路線且堵車的概率為，選擇走路線且堵車的概率為，選擇走路線且堵車的概率為，所以堵車的概率為．故選：B【變式3-2】甲、乙去同一家藥店購買一種醫(yī)用外科口罩，已知這家藥店出售A，B，C三種醫(yī)用外科口罩，甲、乙購買A，B，C三種醫(yī)用口罩的概率分別如表：購買A種醫(yī)用口罩購買B種醫(yī)用口罩購買C種醫(yī)用口罩甲0.10.4乙0.30.2則甲、乙購買的是同一種醫(yī)用外科口罩的概率為（）A．0.24B．0.28C．0.30D．0.32【答案】B【解析】由表知：甲購買A口罩概率為，乙購買B口罩概率為，所以甲、乙購買同一種口罩的概率.故選：B【變式3-3】某大學(xué)的“籃球”“無人機”“戲劇”三個社團考核挑選新社員，已知大一某新生對這三個社團都很感興趣，決定三個考核都參加，假設(shè)他通過“籃球”“無人機”“戲劇”三個社團考核的概率依次為、、，且他通過每個考核相互獨立，若三個社團考核他都能通過的概率為，至少通過一個社團考核的概率為，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為三個社團考核他都能通過的概率為，至少通過一個社團考核的概率為，所以，即，解得.故選:D.【變式3-4】甲口袋內(nèi)裝有除顏色外均相同的8個紅球和4個白球，乙口袋內(nèi)裝有除顏色外均相同的9個紅球和3個白球，從兩個口袋內(nèi)各摸出一球，那么等于（）A．兩個球都是白球的概率B．兩個球中恰好有一個是白球的概率C．兩個球都不是白球的概率D．兩個球不都是紅球的概率【答案】B【解析】記事件A為甲摸出白球，事件B為乙摸出白球，則，兩個球都是白球的概率為，故A錯；兩球中恰好有一球是白球的概率為：，故B正確；兩個球都不是白球的概率為，故C錯誤；兩個球都是紅球的概率為：，故兩個球不都是紅球的概率為，故D錯.故選：B【變式3-5】甲袋中有個白球，個紅球，乙袋中有個白球，個紅球，這些小球除顏色外完全相同.從甲、乙兩袋中各任