2023一輪數(shù)學講義+題型細分與精練 95個專題 524個題型專題38 立體圖形的直觀圖-2023一輪數(shù)學講義+題型細分與精練(解析版)

專題38立體圖形的直觀圖題型一斜二測畫法辨析【例1】關于“斜二測畫法”，下列說法不正確的是()A．原圖形中平行于x軸的線段，其對應線段平行于軸，長度不變B．原圖形中平行于y軸的線段，其對應線段平行于軸，長度變?yōu)樵瓉淼腃．在畫與直角坐標系對應的坐標系時，必須是45°D．在畫直觀圖時，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同【答案】C【解析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，平行于x軸或在x軸上的線段其長度在直觀圖中不變，平行于y軸或在y軸上的線段其長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼模⑶一?35°，故選：C.【變式1-1】利用斜二測畫法畫直觀圖時，下列說法中正確的是（）①兩條相交直線的直觀圖是平行直線；②兩條垂直直線的直觀圖仍然是垂直直線；③正方形的直觀圖是平行四邊形；④梯形的直觀圖是梯形.A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】B【解析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得兩條相交直線的直觀圖仍然是相交直線，所以①錯；兩條垂直直線的直觀圖是兩條相交但不垂直的直線，所以②錯；根據(jù)直觀圖的畫法中，平行性保持不變，可得③，④正確.故選：B.【變式1-2】下列說法正確的是（）A．互相垂直的兩條直線的直觀圖仍然是互相垂直的兩條直線B．梯形的直觀圖可能是平行四邊形C．矩形的直觀圖可能是梯形D．正方形的直觀圖可能是平行四邊形【答案】D【解析】A項，原圖形相互垂直的兩條直線在直觀圖中不一定相互垂直，故A項錯誤。B項，原圖形中平行的兩條線段仍然平行，不平行的兩條線段也不會平行，所以梯形的直觀圖不可能為平行四邊形，故B項錯誤。C項，原圖形相互垂直的兩條直線在直觀圖中不一定仍然相互垂直，但是原圖形相互平行的兩條線段在直觀圖中仍然互相平行，所以矩形的直觀圖中對邊仍然平行，所以矩形的直觀圖可能為平行四邊形而不能為梯形。故C項錯誤。D項，原圖形相互垂直的兩條直線在直觀圖中不一定仍然相互垂直，但是原圖形相互平行的兩條線段在直觀圖中仍然互相平行，所以正方形中垂直的兩邊不一定仍然垂直，但是對邊仍然平行，所以正方形的直觀圖可能是平行四邊形。故D項正確。選D【變式1-3】下列命題中正確的是()A．利用斜二測畫法得到的正方形的直觀圖是正方形B．利用斜二測畫法得到的平行四邊形的直觀圖是平行四邊形C．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱D．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺【答案】B【解析】利用斜二測畫法得到的正方形的直觀圖是平行四邊形；利用斜二測畫法得到的平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱；用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體才是棱臺；因此B正確，選B.題型二已知原圖畫直觀圖【例2】按圖示的建系方法，畫水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖．【答案】參考答案見試題解析．【解析】畫法：（1）在圖（1）中作AG⊥x軸于G，作DH⊥x軸于H．（2）在圖（2）中畫相應的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，使∠x′O′y′＝45°．（3）在圖（2）中的x′軸上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′軸上取O′E′＝OE，分別過G′和H′作y′軸的平行線，并在相應的平行線上取G′A′＝GA，H′D′＝HD．（4）連接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去輔助線G′A′，H′D′，x′軸與y′軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A′B′C′D′E′（如圖（3））．【變式2-1】一個菱形的邊長為4cm，一內(nèi)角為60°，將菱形水平放置并且使較長的對角線成橫向，試用斜二測畫法畫出這個菱形的直觀圖?！敬鸢浮恳娊馕?【解析】菱形直觀圖如下：【變式2-2】畫出圖中水平放置的四邊形的直觀圖.【答案】圖見解析.【解析】由斜二測畫法：縱向減半，橫向不變；即可知A、C在對應點，而B、D對應點位置不變，如下圖示：【變式2-3】如圖建立坐標系，得到的正三角形ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是()【答案】C【解析】在A、B、D中，三角形ABC的直觀圖的底面邊長和高均相等，它們是全等的，只有C不全等．【變式2-4】用斜二測畫法畫如圖所示的直角三角形的水平放置圖，正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】可以以直角頂點為坐標原點建立坐標系，由斜二測畫法規(guī)則知，在直觀圖中此角為鈍角，排除C和D，又原三角形的高在軸上，在直觀圖中在上，長度減半，排除A.題型三已知直觀圖畫原圖【例3】下圖為一平面圖形的直觀圖，因此平面圖形可能是()【答案】C【解析】根據(jù)直觀圖，平面圖形的一邊在x′軸上，另一邊與y′軸平行，故此平面圖形是左邊為直角腰的直角梯形．【變式3-1】如圖所示，△A′B′C′是△ABC的直觀圖，其中A′C′＝A′B′，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．鈍角三角形【答案】B【解析】由直觀圖看出，三角形中有兩邊分別和兩軸平行且相等，由斜二測畫法知原圖中相應兩邊與兩軸平行，即有兩邊垂直且不等，所以原三角形為直角三角形．【變式3-2】如圖，直觀圖所表示的平面圖形是()A．正三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．直角三角形【答案】D【解析】由直觀圖中，A′C′∥y′軸，B′C′∥x′軸，還原后原圖AC∥y軸，BC∥x軸．直觀圖還原為平面圖形是直角三角形．故選D.題型四空間幾何體的直觀圖【例4】用斜二測畫法畫一個棱長為3cm的正方體的直觀圖.【解析】如圖所示：在空間直角坐標系中畫出一個正方體的直觀圖，擦除坐標軸，即可得到直方圖的直觀圖.【變式4-1】用斜二測畫法畫出底面邊長為2cm，側(cè)樓長為3cm的正三棱柱的直觀圖.【解析】正三棱柱直觀圖如圖：【變式4-2】畫底面半徑為1cm，母線長為3cm的圓柱的直觀圖。【解析】圓柱直觀圖如圖：【變式4-2】用斜二測畫法畫一個正六棱柱的直觀圖.【解析】（1）如圖，在正六邊形中，取所在直線為x軸，的垂直平分線為y軸，兩軸相交于點O.在圖中，畫相應的軸與軸，兩軸相交于點，使；（2）根據(jù)斜二測畫法法，畫出正六邊形水平放置的直觀圖；（3）畫側(cè)棱，過各點分別作z軸的平行線，得到正六棱柱的側(cè)棱；（4）成圖，順次連接，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），【變式4-3】用斜二測畫法畫一個上底面邊長為1cm，下底面邊長為2cm，高（兩底面之間的距離，即兩底面中心連線的長度）為2cm的正四棱臺.【解析】（1）畫軸.如圖（1）所示，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使.（2）畫下底面.以點O為中點，在x軸上截取線段，在y軸上截取線段，分別過點作y軸的平行線，過點作x軸的平行線，設它們的交點分別為，四邊形就是正四棱臺的下底面.（3）畫高.在上截取，過分別作平行于的直線.（4）畫上底面.在平面上用畫正四棱臺下底面的方法畫出邊長為1cm的正四棱臺的上底面的直觀圖.（4）成圖.順次連接，整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線）得到正四棱臺的直觀圖，如圖（2）所示.題型五直觀圖與原圖的周長和面積類型1給原圖求直觀圖的周長或面積【例5-1】若一個三角形，采用斜二測畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積是原三角形面積的（）A．12倍B．2倍C．倍D．22倍【答案】C【解析】以三角形的一邊為軸，高所在的直線為軸，由斜二測畫法知，三角形的底長度不變，高所在的直線為軸，則長度減半，則直觀圖三角形的高為原來的=，故其直觀圖的面積是原三角形面積的倍，故選C.【變式5-1-1】是邊長為1的正三角形，那么的斜二測平面直觀圖的面積（）A． B． C． D．【答案】A【解析】以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標系，畫對應的軸，軸，使，如下圖所示，結(jié)合圖形，的面積為，作，垂足為，則，，所以的面積，即原圖和直觀圖面積之間的關系為，所以，的面積為.【變式5-1-2】?ABC為邊長為的正三角形，則其水平放置《斜二測畫法》的直觀圖的周長為______．【答案】2【解析】如圖所示為邊長為2cm的正三角形，其直觀圖的周長為＝+2+＝（+）+2+（﹣）＝2+.【變式5-1-3】已知等腰梯形，上底，腰，下底，以下底所在直線為軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖的面積為()A.B.C.D.【答案】C【解析】如圖所示，作出等腰梯形的直觀圖：因為，所以，則直觀圖的面積．類型2給直觀圖求原圖的周長或面積【例5-2】如圖是水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖，且軸，軸，則原四邊形ABCD的面積是（）A．14 B． C．28 D．【答案】C【解析】（方法一）還原平面圖形，如圖左所示，延長，交軸于，如圖右所示，畫出平面直角坐標系，取，過點E作軸，在EF上截取，，再過點D作軸，過點A作軸，并截取，.連接BC，可得直觀圖的原平面圖形ABCD.由作出的圖形可知，.（方法二）因為，所以梯形的高為，故，則.故選：C【變式5-2-1】如圖，四邊形是邊長為1的正方形，且它是某個四邊形按斜二測畫法畫出的直觀圖，請畫出該四邊形的原圖形，并求出原圖形的面積.【答案】圖像見解析，【解析】畫出平面直角坐標系，使點與原點重合，在軸上取點，使，再在軸上取點，使，取的中點，連接并延長至點，使，連接，，，則四邊形為正方形的原圖形，如圖所示易知四邊形為平行四邊形.∵，，∴，即原圖形的面積為.【變式5-2-2】如圖，是水平放置的斜二測畫法的直觀圖，，，能否判斷的形狀并求邊的實際長度是多少？【答案】答案見解析【解析】根據(jù)斜二測畫法規(guī)則知：，故為直角三角形，中，，，故.【變式5-2-3】如圖，正方形的邊長為1，