簡諧近似和簡正坐標課件

第三章晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動的研究——晶體的熱學性質固體熱容量——熱運動是晶體宏觀性質的表現(xiàn)

杜隆－珀替經驗規(guī)律——一摩爾固體有N個原子，有3N個振動自由度，按能量均分定律，每個自由度平均熱能為kT摩爾熱容量總的內能1晶格振動——研究固體宏觀性質和微觀過程的重要基礎晶格振動——晶體的熱學性質、電學性質、光學性質、超導電性、磁性、結構相變有密切關系

——實驗表明較低溫度下，熱容量隨著溫度的降低而下降摩爾熱容量——與溫度無關——杜隆－珀替經驗規(guī)律2原子的振動——晶格振動在晶體中形成了各種模式的波——簡諧近似下，系統(tǒng)哈密頓量是相互獨立簡諧振動哈密頓量之和——這些諧振子的能量量子，稱為聲子——晶格振動的總體可看作是聲子的系綜

——用一系列獨立的簡諧振子來描述這些獨立而又分立的振動模式——這些模式是相互獨立的，模式所取的能量值是分立的3§3-1簡諧近似和簡正坐標

簡諧近似——只考慮最近鄰原子之間的相互作用研究對象——由N個質量為m的原子組成的晶體偏離平衡位置的位移矢量原子的位置第n個原子的平衡位置3個方向上的分量原子位移宗量一、晶格振動和諧振子4N個原子的位移矢量——體系的勢能函數(shù)在平衡位置按泰勒級數(shù)展開取平衡位置——不計高階項系統(tǒng)的勢能函數(shù)5系統(tǒng)的哈密頓量系統(tǒng)的勢能函數(shù)系統(tǒng)的動能函數(shù)——含有坐標的交叉項6引入簡正坐標——原子的坐標和簡正坐標通過正交變換聯(lián)系起來假設存在線性變換系統(tǒng)的哈密頓量拉格朗日函數(shù)正則動量(坐標變換)7系統(tǒng)的哈密頓量正則方程——3N個獨立無關的方程簡正坐標方程解簡正振動——所有原子參與的振動，振動頻率相同

振動?！喺鴺舜硭性庸餐瑓⑴c的一個振動正則動量8只考察某一個振動模系統(tǒng)能量本征值計算正則動量算符系統(tǒng)薛定諤方程9任意一個簡正坐標——諧振子方程能量本征值本征態(tài)函數(shù)—厄密多項式10系統(tǒng)能量本征值系統(tǒng)本征態(tài)函數(shù)N個原子組成的晶體系統(tǒng)薛定諤方程11把上述經典諧振子的能量用量子力學的結果來表示。量子力學告訴我們，頻率為

的諧振子，其能量為n=0,1,2……（3－57）

（量子力學修正）二、能量量子和聲子

12這表明諧振子處于不連續(xù)的能量狀態(tài)。當n＝0時，它處于基態(tài)，E0＝,稱為零點能。相鄰狀態(tài)的能量差為

,它是諧振子的能量量子，稱它為聲子，正如人們把電磁輻射的能量量子稱為光子一樣。3NS個格波與3NS個量子諧振子一一對應，因此式（3－57）也是一個頻率為ω的格波的能量。頻率為ωi(q)的格波被激發(fā)的程度，用該格波所具有的能量為

ωi(q)的聲子數(shù)n的多少來表征。131.聲子是玻色子

一個模式可以被多個相同的聲子占據(jù)，ω和q相同的聲子不可區(qū)分，自旋為零。滿足玻色統(tǒng)計。除碰撞外，不考慮它們之間的相互作用，則可視為近獨立子系，則玻色統(tǒng)計與玻爾茲曼統(tǒng)計一致。討論玻色子（boson)，得名于印度物理學家玻色.。玻色子是指自旋為整數(shù)的粒子。不遵守泡利不相容原理。在低溫時可以發(fā)生玻色-愛因斯坦凝聚。符合玻色－愛因斯坦統(tǒng)計.142.聲子是一種準粒子粒子數(shù)不守恒，例如溫度升高后聲子數(shù)增加。聲子與聲子，聲子與其它粒子、準粒子互作用，滿足能量守恒。

不具有通常意義下的動量，常把

q稱為聲子的準動量。153.準動量選擇定則準動量的確定只能準確到可以附加任何一個倒格矢Ghω(q)=ω(q+Gh)Ex:二聲子作用

q1＋q2＝q3＋Gh

簡寫成：

q1＋q2＝q3＋Gh

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各個格波可能具有不同的聲子數(shù)，在一定溫度的熱平衡態(tài)，一個格波的平均聲子數(shù)有多少呢？由于聲子間相互作用很弱，除了碰撞外，可不考慮它們之間的相互作用，故可把聲子視為近獨立子系，這時玻色－愛因斯坦統(tǒng)計與經典的玻爾茲曼統(tǒng)計是一致的。三.平均聲子數(shù)17

意義：

頻率為ω的格波溫度