浙江省杭州市西湖區(qū)保俶塔實驗學(xué)校2024年九年級下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題

2024年浙江省杭州市西湖區(qū)保俶塔實驗中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（4月份）一、選擇題（本大題有10個小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個選項是符合題意）（共10小題）1．的相反數(shù)是（）A． B． C． D．20242．下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．趙爽弦圖 B．笛卡爾心形線C．科克曲線 D．斐波那契螺旋線3．某校元旦文藝演出中，10位評委給某個節(jié)目的評分各不相同，去掉1個最高分和1個最低分，剩下的8個評分與原始的10個評分相比，下列說法正確的是（）A．平均數(shù)不發(fā)生變化 B．中位數(shù)不發(fā)生變化C．方差不發(fā)生變化 D．平均數(shù)和中位數(shù)都不發(fā)生變化4．如圖為商場某品牌椅子的側(cè)面圖，，與地面平行，，則（）A． B． C． D．5．如圖是一把圓弧形傘面的雨傘簡易圖，傘面的圓心為，若的度數(shù)為，傘柄，則傘面展開距離為（）A． B． C． D．6．從甲地到乙地有一段上坡路與一段平路，如果保持上坡速度為每小時3千米，平路速度為每小時4千米，下坡速度為每小時5千米，那么從甲地到乙地需54分鐘，從乙地到甲地需42分鐘．問：從甲地到乙地全程是多少千米？小紅將這個實際問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組問題，設(shè)未知數(shù)、，已經(jīng)列出一個方程為，那么另一個方程是（）A． B． C． D．7．如圖1是裝滿液體的高腳杯示意圖，測量發(fā)現(xiàn)點到地面的距離為29，，，若用去一部分液體后，液面下降的高度恰好等于此時的液面，則（）A．9 B．8 C．6 D．58．將4張長為、寬為的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個邊長為的正方形，圖中空白部分的面積為，陰影部分的面積為．若，則、滿足（）A．或 B．或 C．或 D．或．9．如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，點，是函數(shù)圖象上任意一點，有下列結(jié)論：①二次函數(shù)的最小值為；②若，則；③若，則；④一元二次方程的兩個根為和．其中正確的是（）A．① B．①② C．②③ D．①④10．如圖，平行線，分別經(jīng)過直徑的兩個端點，為上一點，過點作交于點，若，之間的距離為16，，，則的長為（）A． B．21 C． D．二、填空題（本大題有6個小題，每小題3分，共18分）（共6小題）11．如果，那么_______．12．分解因式_______．13．如圖，飛鏢游戲板中每一塊小正方形除顏色外都相同，任意投擲飛鏢1次（假設(shè)每次飛鏢均落在游戲板上），擊中有顏色的小正方形（陰影部分）的概率為_______．14．中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志．如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計的圓曲線（即圓?。?，高鐵列車在轉(zhuǎn)彎時的曲線起點為，曲線終點為，過點，的兩條切線相交于點，列車在從到行駛的過程中轉(zhuǎn)角為．若圓曲線的半徑，則這段圓曲線的長為_______．15．某校積極推行“互動生成的學(xué)本課堂”，九年級某學(xué)習(xí)小組在操作實踐過程中發(fā)現(xiàn)了一個有趣的問題：將直尺和三角板（三角板足夠大，直尺足夠長）按如圖所示的方式擺放在平面直角坐標(biāo)系中，直尺的左側(cè)邊在直線上，在保證直角三角板其中一條直角邊始終過點，同時使得直角頂點在直線上滑動，三角板的另一直角邊與軸交于點，則的最小值為_______．16．如圖，在，，為邊上的一點，將沿翻折，得到△．連接，，若，，則，點到邊上的距離為_______．三、解答題（本大題有8個小題，共72分，解答應(yīng)寫文字說明、證明過程或演算步驟）（共7小題）17．（1）計算：；（2）化簡：．18．隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，人們?nèi)ド虉鲑徫锏闹Ц斗绞礁佣鄻?、便捷．某校?shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了一份調(diào)查問卷，要求每人選且只選一種最喜歡的支付方式．現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題：（1）這次活動共調(diào)查了人_______；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，表示“支付寶”支付的扇形圓心角的度數(shù)為_______；（3）在一次購物中，小明和小亮都想從“微信”“支付寶”“銀行卡”三種方式中選一種方式進(jìn)行支付，請用畫樹狀圖或列表的方法，求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率．19．如圖，在等腰中，，，的平分線交邊上的中線于點．（1）求證：．（2）若，求的長．20．如圖所示，雙曲線的圖象與一次函數(shù)的圖象交于，兩點．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）設(shè)直線與軸交于點，若為軸正半軸上一點，當(dāng)?shù)拿娣e為3時，求點的坐標(biāo)．21．一酒精消毒瓶如圖1，為噴嘴，為按壓柄，為伸縮連桿，和為導(dǎo)管，其示意圖如圖2，，，．當(dāng)按壓柄按壓到底時，轉(zhuǎn)動到，此時（如圖3)．（1）求點轉(zhuǎn)動到點的路徑長；（2）求點到直線的距離（結(jié)果精確到．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，22．如圖，在矩形中，，，是射線上的一個動點，過點作，交射線于點，射線交射線于點，設(shè)．（1）當(dāng)時，連接，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）當(dāng)時，求的值．23．（本題12分）已知和是同一直角坐標(biāo)系中的兩條拋物線．（1）當(dāng)時，求拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）判斷這兩條拋物線與軸的交點的總個數(shù)，并說明理由；（3）如果對于拋物線上的任意一點均有，當(dāng)時，求自變量的取值范圍．24．如圖，在中，是的直徑，弦于，點為弦延長線上一點，過點作的切線交AB延長線于點K，切點為，連接交于點．（1）求證：；（2）若，試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，若，，求的長．2024年浙江省杭州市西湖區(qū)保俶塔實驗中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（4月份）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題有10個小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個選項是符合題意）（共10小題）1．【答案】D【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義“只有符號不同的兩個數(shù)是互為相反數(shù)”解答即可．【解答】解：的相反數(shù)是2024，故選：D．【點評】此題考查了相反數(shù)的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．2．【答案】C【分析】根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項正確；D、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；故選：C．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．3．【答案】B【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、方差的意義即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，從10個原始評分中去掉1個最高分和1個最低分，得到8個有效評分．8個有效評分與10個原始評分相比，不變的是中位數(shù)．故選：B．【點評】本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)；中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪虚g的那個數(shù)（或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)）；一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差．4．【答案】A【分析】由平行線的性質(zhì)可得，再利用三角形的外角性質(zhì)可求得的度數(shù)，結(jié)合對頂角相等即可求的度數(shù)．【解答】解：，，，，且是的外角，，．故選：A．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)并靈活運用．5．【答案】D【分析】由，即可求解．【解答】解：如圖，連接，由題意得，，，則，故選：D．【點評】本題考查的是解直角三角形，涉及到圓的基本知識，有一定的綜合性，難度不大．6．【答案】B【分析】設(shè)甲地到乙地的上坡路長，平路長，根據(jù)時間路程速度結(jié)合從甲地到乙地需54分鐘已經(jīng)列出一個方程，再根據(jù)從乙地到甲地需42分鐘，即可得出關(guān)于，的另一個二元一次方程．【解答】解：設(shè)甲地到乙地的上坡路長，平路長，根據(jù)題意得：．故選B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．7．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)即可解答．【解答】解：點到地面的距離為30，，，，，，在中，，又到地面的距離為22，，在△中，，，．故選：D．【點評】本題主要考查點到直線的距離，解題的關(guān)鍵是熟練運用三角函數(shù)解決問題．8．【答案】C【分析】先用、的代數(shù)式分別表示，，再根據(jù)，建立等式即可求解．【解答】解：，，，，整理，得，，或．故選：C．【點評】本題考查了整式的混合運算，熟練運用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．9．【答案】D【分析】利用交點式得到，即，利用配方法得到，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對①進(jìn)行判斷；由于在范圍內(nèi)，而時，有最小值，從而可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)有得到點到直線的距離比點到直線的距離大，所以，解不等式可對③進(jìn)行判斷；把代入一元二次方程得，然后解方程可對④進(jìn)行判斷．【解答】解：設(shè)拋物線解析為，即，，而拋物線開口向上，二次函數(shù)的最小值為，所以①正確；當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，有最小值，，，所以②錯誤；若，則點到直線的距離比點到直線的距離大，，，解或，所以③錯誤；，一元二次方程化為，即，解得，，所以④正確．故選：D．【點評】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．10．【答案】C【分析】過點作于點，的延長線交于點，如圖，利用平行線的性質(zhì)得到，則，再利用平行線分線段成比例定理計算出，則，于是利用勾股定理可計算出，接著根據(jù)圓周角定理得到，然后證明，利用相似比可計算出，最后利用勾股定理可計算出的長．【解答】解：過點作于點，的延長線交于點，如圖，，，，，，，，，在中，，為直徑，，，，，，，，即，解得，在中，．故選：C．【點評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理．二、填空題（本大題有6個小題，每小題3分，共18分）（共6小題）11．如果，那么．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)直接求解即可．【解答】解：，．故答案為：．【點評】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．分解因式．【答案】．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式．故答案為：．【點評】此題考查了因式分解運用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．13．【答案】．【分析】根據(jù)幾何概率的定義，求出陰影部分占整體的幾分之幾即可．【解答】解：正方形被分成9個小正方形，并且飛鏢落在每個小正方形的可能性是均等的，其中陰影部分是5個小正方形，所以任意投擲飛鏢1次，擊中有顏色的小正方形（陰影部分）的概率是．故答案為：．【點評】本題考查幾何概率，理解規(guī)概率的定義，掌握幾何概率的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．14．【答案】【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算即可．【解答】解：、是的切線，點、點是切點，，，即，，，，這段圓曲線的長為，故選：．【點評】本題考查切線的性質(zhì)，弧長的計算，掌握切線垂直于經(jīng)過切點的半徑以及四邊形的內(nèi)角和定理、弧長的計算公式是正確解答的關(guān)鍵．15．【答案】3．【分析】由可知，取得最大值時，取得最小值，過點作的垂線，構(gòu)造出相似三角形，表示出長即可解決問題．【解答】解：過點作的垂線，垂足為，，，又，，．令，則，，即，當(dāng)時，取得最大值為1．又，的最小值為3．故答案為：3．【點評】本題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，將的最小值轉(zhuǎn)化為的最大值是解題的關(guān)鍵．16．【答案】10【分析】根據(jù)折疊軸對稱的性質(zhì)可得，，，利用相似三角形和，，可求出，的長，進(jìn)而求出，最后利用三角形的面積即可求出答案．【解答】解：過點，垂足為，連接，由折疊得，，，，，，又，，，，，設(shè)，則，，在△中，由勾股定理得，，，解得，，在中，，設(shè)點到的距離為，由△的面積得，，即，，故答案為：．【點評】本題考查折疊軸對稱，相似三角形，解直角三角形，掌握折疊的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的前提，求出、的長是得出正確答案的關(guān)鍵．三、解答題（本大題有8個小題，共72分，解答應(yīng)寫文字說明、證明過程或演算步驟）（共7小題）17．【答案】（1），（2）．【分析】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)，算術(shù)平方根的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計算即可；（2）根據(jù)完全平方公式以及單項式乘多項式的運算法則化簡即可．【解答】解：（1），（2）．【點評】本題主要考查了實數(shù)的運算以及整式的混合運算，熟記相關(guān)定義與運算法則是解答本題的關(guān)鍵．18．【答案】（1）200；（2）；（3）．【分析】（1）用支付寶、現(xiàn)金及其他的人數(shù)和除以這三者的百分比之和可得總?cè)藬?shù)；（2）用乘以“支付寶”人數(shù)所占比例即可得；（3）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩人恰好選擇同一種支付方式的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）這次活動共調(diào)查的人數(shù)為（人，故答案為：200；（2）“支付寶”的人數(shù)為（人，所以表示“支付寶”支付的扇形圓心角的度數(shù)為，故答案為：；（3）將微信記為，支付寶記為，銀行卡記為，列表格如下：共有9種等可能性的結(jié)果，其中兩人恰好選擇同一種支付方式的結(jié)果有3種，則（兩人恰好選擇同一種支付方式）．【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．19．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)平分，可得，再由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，即可求證；（2）根據(jù)勾股定理可得，再由相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【解答】（1）證明：平分，，，，，是邊上的中線，，，；（2）解：，，，，，，，．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．20．【答案】（1）；（2）點的坐標(biāo)為．【分析】（1）直接把，兩點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)求出，的值，進(jìn)而得出點坐標(biāo)，代入雙曲線求出的值即可；（2）設(shè)直線交軸于，交軸于，求出，點的坐標(biāo)，設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)得出的值，進(jìn)而得出點坐標(biāo)．【解答】解：（1）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，，解得，，，．將代入，解得．反比例函數(shù)的解析式為；（2）設(shè)直線交軸于，交軸于，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，解得，，設(shè)點的坐標(biāo)為．，，．的面積為3，，解得，．【點評】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，能根據(jù)函數(shù)圖象求出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．21．【分析】（1）由，求出，可得，根據(jù)弧長公式即可求出點轉(zhuǎn)動到點的路徑長為；（2）過作于，過作于，中，求出，中，，故，即點到直線的距離為，【解答】解：，，，，，，點轉(zhuǎn)動到點的路徑長為；（2）過作于，過作于，如圖：中，，中，，，，點到直線的距離約為，答：點到直線的距離約為．【點評】本題考查圓的弧長及解直角三角形的應(yīng)用，解