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文檔簡介

第十一章曲線積分1一、對弧長的曲線積分的概念1.定義函數f(x,y)在曲線弧上對弧長的曲線積分22.存在條件：3.推廣34.性質45、對弧長曲線積分的計算定理5注意:6例1解7例2解例3解8例3解由對稱性,知9練習題10練習題答案11二、對坐標的曲線積分的概念定義:

函數P(x,y)在有向曲線弧L上對坐標x的曲線積分類似地定義122.存在條件：3.組合形式134.推廣145.性質即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關.156、對坐標的曲線積分的計算定理161718例1解1920例2解21問題：被積函數相同，起點和終點也相同，但路徑不同積分結果不同.22例3解2324問題：被積函數相同，起點和終點也相同，但路徑不同而積分結果相同.25(4)兩類曲線積分之間的聯(lián)系：其中（可以推廣到空間曲線上）26思考題27思考題解答曲線方向由參數的變化方向而定.2829練習題答案301、區(qū)域連通性的分類

設D為平面區(qū)域,如果D內任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復連通區(qū)域.復連通區(qū)域單連通區(qū)域DD三、格林公式312.格林公式定理132邊界曲線L的正向:當觀察者沿邊界行走時,區(qū)域D總在他的左邊.3334xyoLAB

3536解37xyoLyxo38xyo(注意格林公式的條件)39

若區(qū)域

如圖為復連通域，試描述格林公式中曲線積分中L的方向。思考題40思考題解答由兩部分組成外邊界：內邊界：41Gyxo四、第二類曲線積分與路徑無關的條件BA1.定義：如果在區(qū)域G內有422.曲線積分與路徑無關的條件定理243兩條件缺一不可有關定理的說明：44定理34546解47解4849四、小結與路徑無關的四個等價命題條件等價命題505152練習題答案53五、對面積的曲面積分1.定義542.對面積的曲面積分的性質553、計算法則56則57例1解5859解依對稱性知：606162練習題6364練習題答案65六、對坐標的曲面積分1.曲面的側(假設曲面是光滑的)曲面分上側和下側曲面分內側和外側66曲面法向量的指向決定曲面的側.決定了側的曲面稱為有向曲面.曲面的投影問題:672、概念及性質68類似可定義69存在條件:組合形式:70性質:713、計算法7273注意:對坐標的曲面積分,必須注意曲面所取的側.74解7576練習題77練習題答案78七、高斯公式79Gauss公式的實質

表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系.由兩類曲面積分之間的關系知80解81(利用柱面坐標得)82使用Guass公式時應注意:8384解空間曲面在面上的投影域為曲面不是封閉曲面

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