2023-2024學(xué)年河南省鄭州市中牟縣求實中學(xué)九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年河南省鄭州市中牟縣求實中學(xué)九年級（上）第一

次月考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列判定正確的是（）

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形

B.兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形

四邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形

D.一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

2.下列方程有兩個相等的實數(shù)根的是（）

A.x2+x+1=0B.4x2+2x+1=0

C.x2+12x+36=0D.x24-x-2=0

3.方程/-4=0的根是（）

A.x=2B.%=-2

C.xr=2,x2=—2D.x=4

4.若一元二次方程2x（此一4）一/+6=0無實數(shù)根，則k的最小整數(shù)值是（）

A.-1B.0C.1D.2

5.用配方法解一元二次方程/一虹一5=0的過程中，配方正確的是（）

A.（x+2產(chǎn)=1B.（x-2尸=1C.（x+2）2=9D.（x-2）2=9

6.既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，且只有兩條對稱軸的四邊形是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.矩形或菱形

7.如圖，G,E分別是正方形A8CD的邊AB,BC的點，且4G=/

CE,AE1EF,AE=EF,現(xiàn)有如下結(jié)論：「

①BE=^GE；@^AGE=^ECF,③zFCD=45°;（4）△

GBEfECHB

其中，正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程/-4x+3=0的根，則該三角形的周

長可以是（）

A.5B.7C.5或7D.10

9.某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價，每件零售價由560元降為315元，已知兩次降價的百分率

相同，求每次降價的百分率.設(shè)每次降價的百分率為x,下面所列的方程中正確的是（）

A.560(1+x)2=315B.560(1-%)2=315

C.560(6-2x)2=315D.560(1-X2)=315

10.如圖：長方形紙片71BCD中，AD=4cm,AB=10cm,按

如圖的方式折疊，使點B與點。重合.折痕為EF,則DE長為（）

A.4.8

B.5

C.5.8

D.6

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

11.己知菱形的周長為40cm,兩個相鄰角度數(shù)比為1：2,則較短的對角線長為,面

積為.

12.方程(2y+l)(2y-3)=0的根是

13.從3,0,-1,-2,—3這五個數(shù)中抽取一個數(shù)，作為函數(shù)y=（5-Tn?）%和關(guān)于%的一元

二次方程（巾+1）x2+mx+1=0中ni的值.若恰好使函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，且使方

程有實數(shù)根，則滿足條件的m的值是

14.如圖，已知￡、尸、G、H分別為菱形四邊的中點

2

6cm,乙ABC60°,則四邊形EFGH的面積為.CM.

15.菱形4BC0在直角坐標(biāo)系中位置如圖示，其中點4的坐標(biāo)為（1,0），點B

的坐標(biāo)為（0,動點P從4出發(fā)，沿4…的路

徑，在菱形的邊上以每秒0.5個單位長度的速度移動，移動到第2015秒時，

點P的坐標(biāo)為.

三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（本小題9.0分）

按要求解一元二次方程:

(1)4x2_8x+1=0(配方法);

(2)7x(5x+2)=6(5%+2)(因式分解法);

(3)3M+5(2尤+1)=0(公式法).

17.（本小題8.0分）

如圖，菱形4BCD的對角線AC、BC相交于點。，BE//AC,CE〃DB.求證：四邊形OBEC是矩

形.

18.（本小題8.0分）

中華商場將進(jìn)價為40元的襯衫按50元售出時，每月能賣出500件，經(jīng)市場調(diào)查，這種襯衫每

件漲價4元,其銷售量就減少40件.如果商場計劃每月賺得8000元利潤，那么售價應(yīng)定為多少？

這時每月應(yīng)進(jìn)多少件襯衫？

19.（本小題9.0分）

李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實驗，把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個

正方形.

（1）要使這兩個正方形的面積之和等于58cm2,李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？

（2）李明認(rèn)為這兩個正方形的面積之和不可能等于48門合，你認(rèn)為他的說法正確嗎？請說明理

由.

20.（本小題9.0分）

在矩形4BCD中，AB=5,AD=12,P是4D上的動點，PEJLAC于點E,PF1.BD于點F,求

PE+PF.

21.(本小題小,0分)

已知關(guān)于x的一元二次方程/-4x+m=0.

(1)若方程有實數(shù)根，求實數(shù)瓶的取值范圍.

(2)若方程兩實數(shù)根為與、x2,且滿足5尤1+2小=2,求實數(shù)m的值.

22.(本小題11.0分)

閱讀下列材料，并用相關(guān)的思想方法解決問題.

計算：(iWV)x》xG+g+》.

令"2+2=如則

111141

原式=(1—t)(t+-)—(1—t—=tt2—-t—-t+t2=-

問題：

/Y、、I./3111]、11111]、“111

(1)計算：a-2-3~4^)X(Zi+3+4+5+，"+2014+2015)-(1-2~3-4-

1111

X++++-N

5--3-4-2-J

014

(2)解方程(“2+5x+1)(/+5x+7)=7.

23.(本小題11.0分)

如圖，四邊形ABC。、BEFG均為正方形，連接4G、CE.

(1)求證：AG=CE；

(2)求證:AG1CE.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4、對角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形，故A錯誤；

B、兩條對角線相等且平分且互相垂直的四邊形是正方形，故2錯誤；

C、四邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形，故C正確；

。、一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形可能是平行四邊形、可能是等腰梯形，故。錯誤；

故選：C.

根據(jù)平行四邊形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案.

本題考查了多邊形，熟記平行四邊形的判定與性質(zhì)、特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.【答案】C

【解析】解：4、方程/+乂+1=0,-.-△=1-4<0,方程無實數(shù)根；

B、方程4/+2x+1=0,???△=4-16<0,方程無實數(shù)根；

C、方程/+12X+36=0,???△=144-144=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；

D、方程x2+x-2=0,???△=1+8>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；

故選：C.

由方程有兩個相等的實數(shù)根，得到△=(),于是根據(jù)△=()判定即可.

本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：

(1)△>00方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)△=0=方程有兩個相等的實數(shù)根；

(3)△<0o方程沒有實數(shù)根

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查解一元二次方程-直接開方法，先對題干的方程移項，然后利用數(shù)的開方解答即可.

【解答】

解：移項得/=%

開方得％-±2,

??%1=2,%2=—2.

故選：C.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了一元二次方程收2+.+。=09*0,￡1/4為常數(shù))根的判別式.當(dāng)A>0,方程有兩

個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=(),方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△<(),方程沒有實數(shù)根.先把方程變

形為關(guān)于x的一元二次方程的一般形式：(2/C-1)X2-8X+6=0,要方程無實數(shù)根，則4=82-

4x6(2/c—1)<0且2/c—l羊0,解不等式組，并求出滿足條件的最小整數(shù)日

【解答】解：方程變形為：(2k-l)x2-8x+6=0,

當(dāng)4<0且2/c-1*0時，方程沒有實數(shù)根，

即△=82—4x6(2k-1)<0且2k—1聲0,

解得k>.

則滿足條件的最小整數(shù)k為2.

故選。.

5.【答案】D

【解析】解：移項得：%2—4%=5>

配方得：X2—4x+22=5+22,

(X-2產(chǎn)=9,

故選：D.

先移項，再方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，即可得出答案.

本題考查了解一元二次方程，關(guān)鍵是能正確配方.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿

對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.

根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】

解：正方形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，有4條對稱軸；

矩形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，有2條對稱軸；

菱形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，有2條對稱軸.

故選。.

7.【答案】B

【解析】解：???四邊形4BCD是正方形,

:.(B=Z.DCB=90°,AB=BC,

???AG=CE,

.?.BG=BE,

由勾股定理得：BE=[?GE，.??①錯誤；

??,BG=BE,Z-B=90°,

/.Z.BGE=乙BEG=45°,

???乙AGE=135°,

???Z,GAE+乙AEG=45°,

vAE1EF,

???Z.AEF=90°,

v乙BEG=45°,

???乙AEG+Z-FEC=45°,

???Z-GAE=乙FEC,

在^GAE^WLCEF中

AG=CE

/.GAE=乙CEF

AE=EF

Gi4F=ACFF,/.(2)jE^；

???Z.AGE=Z-ECF=135°,

???4FCD=135。-90。=45。，,，③正確；

v(BGE=乙BEG=45°,Z-AEG+乙FEC=45°,

???Z.FEC<45°,

??.△GBE和△EC”不相似，，④錯誤；

即正確的有2個.

故選3.

根據(jù)正方形的性質(zhì)得出NB=NDCB=90。，AB=BCf求出BG=8E,根據(jù)勾股定理得出BE=

號GE，即可判斷①；求出NGAE+LAEG=45°,推出NG/E=乙FEC,根據(jù)SAS推出△GAE^CEF,

即可判斷②；求出乙4GE=4ECF=135。，即可判斷③;求出“ECV45。,根據(jù)相似三角形的判

定得出△GBFffAECH不相似，即可判斷④.

本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定，

勾股定理等知識點的綜合運用，綜合比較強，難度較大.

8.【答案】B

【解析】【分析】

此題考查用因式分解解一元二次方程，三角形三邊關(guān)系，注意計算結(jié)果的分類檢驗.先通過解方

程求出等腰三角形兩邊的長，然后利用三角形三邊關(guān)系確定等腰三角形的腰和底的長，進(jìn)而求出

三角形的周長.

【解答】

解：解方程*2-4尤+3=0,

(x-1)(%-3)=0

解得=3,x2=1;

???當(dāng)?shù)诪?,腰為1時，由于3>1+1,不符合三角形三邊關(guān)系，不能構(gòu)成三角形；

二等腰三角形的底為1,腰為3；

???三角形的周長為1+3+3=7.

故選：B.

9.【答案】B

【解析】解：由題意得：

560(1-x)2=315,

故選:B.

根據(jù)一次降價后的價格=降價前的價格x(1-降價的百分率)，則第一次降價后的價格是560(1-

%).第二次降價后的價格是560(1-?2,據(jù)此即可列方程求解.

此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件，這種價格問題

主要解決價格變化前后的平衡關(guān)系，列出方程即可.

10.【答案】C

【解析】解：設(shè)DE=xcm,則BE=DE=x,AE=AB-BE=10-x,

在RT△力DE中，DE2=AE2+AD2,g|J%2=(10-x)2+16.

解得：x=—=5.8(cm).

故選：C.

注意發(fā)現(xiàn)：在折疊的過程中，BE=DE,從而設(shè)BE即可表示4E,在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股

定理列方程即可求解.

此題考查了翻折變換的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握翻折前后對應(yīng)線段相等，另外要熟練運用勾

股定理解直角三角形.

11.【答案】10cm50<3cm2

【解析】解：根據(jù)已知可得，

菱形的邊長AB=BC=CD=AD=10cm,4ABe=60°,/.BAD=120°,

??.△ABC為等邊三角形，

:.AC=AB=10cm,AO=CO=5cm,

在RtZkAOB中，根據(jù)勾股定理得：BO=VAB2-0A2=5<3(cm).

BD=2B0=10<3(cm),

則S愛期seo=；xACx8。=；x10x10V_3=SOV^Cem2);

故答案為：10cm,50<^cm2.

根據(jù)已知可求得菱形的邊長及其兩內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)勾股定理可求得其對角線的長，根據(jù)菱形的

面積等于兩對角線乘積的一半求得其面積.

本題考查的是菱形的面積求法及菱形性質(zhì)的綜合.菱形的面積有兩種求法(1)利用底乘以相應(yīng)底上

的高(2)利用菱形的特殊性，菱形面積=gx兩條對角線的乘積.

12.【答案】%=-1,y2=|

【解析】解：???(2y+l)(2y-3)=0,

:.2y+1=0或2y-3=0,

解得力=一(y2=|.

解一元二次方程的關(guān)鍵是把二次方程化為兩個一次方程，解這兩個一次方程即可求得.

解此題要掌握降次的思想，把高次的降為低次的，把多元的降為低元的，這是解復(fù)雜問題的一個

原則.

13.【答案】-2

【解析】【分析】

確定使函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限的m的值，然后確定使方程有實數(shù)根的m值，找到同時滿足

兩個條件的m的值即可.

本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程根的判別式的知識，解題的關(guān)鍵是會解一

元二次不等式，難度不大.

【解答】

解：?.?函數(shù)y=(5—m2次的圖象經(jīng)過第一、三象限，

5—m2>0>

則m=0或一1或一2,

,關(guān)于x的一元二次方程(m+l)x2+mx+1=0有實數(shù)根，

???m2-4(m4-1)>0,且m芋-1,

Tn—一2或一3,

???使函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，且使方程有實數(shù)根的m的值為-2,

故答案為：一2.

14.【答案】90

【解析】解：連接AC,BD,相交于點0,如圖所示，

?：E、F、G、H分別是菱形四邊上的中點,

:.EH/BD=FG,EH//BD//FG,

EF=^AC=HG,

四邊形EHGF是平行四邊形，

???菱形力BCD中，AC1BD,

EF1EH,

.??四邊形EFGH是矩形,

???四邊形4BCC是菱形，4ABe=60°,

???^ABO=30。，

vAC1BD,

???Z,AOB=90°,

--AO=^AB=3,

???AC—6,

在中，由勾股定理得：OB=7加一。牙=3c,

???BD=6A/-3>

VEH=^BD,EF=^AC,

EH=3<3，EF=3,

矩形EFGH的面積=EF-FG=9y/~3cm2-

故答案為：9A/-3.

連接AC、BD,首先判定四邊形EFGH的形狀為矩形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)求出AC與BD的值，進(jìn)

而求出矩形的長和寬，然后根據(jù)矩形的面積公式計算其面積即可.

本題考查了中點四邊形和菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是判定四邊形EFGH的形狀為矩形.

15.【答案】《,一?)

【解析】解：???4(1,0),B(0,V-3).

AB=J12+(<3)2=2-

.??從A點到點B所需時=2=4秒，為

如圖所示，過點P分別做PE垂直于4軸，PF垂直于y軸，垂足分別為E、F,因':

為PF平行x軸，根據(jù)平行線性質(zhì)可知△DPFfDAO,所以根據(jù)相似性質(zhì)可知，

黑=篙=蒯PF=',同理可得PE，點P在第四象限，

UADA444

3V3

"(4,一丁)?

.?.沿4TBfCTDTA..所需的時間4X4=16秒..??移2015秒和第15秒的位置相同，當(dāng)P運第15

秒時，可得*=；，

AD4

33

F-1X-

二PE=X：=苧，4-4-

44

答案為：信,一?工

先根據(jù)題意求出菱形的邊長再根據(jù)點P的運動速度求出沿力tBtCtDt4所需要的時間進(jìn)而

可得出結(jié)論.

本題考查是菱形，根據(jù)題意得出點P運動一周需的時間是答此題的關(guān)鍵.

16.【答案】解：(1)4%2—8x+1=0,

移項，得4--8x=-1,

即/—2x=-

4

配方得，x2-2x+1=-7+1-

(x-l)2=i

開方，得X一1=±1，

(2)7x(5x+2)=6(5%+2),

移項，得7x(5%+2)—6(5%+2)=0,

(5%4-2)(7%-6)=0,

5%+2=0或7%—6=0,

解得:勺=—|,x2=

(3)3/+5(2%+1)=0,

整理得，3/+10%+5=0,

???a=3,b=10,c=5,b2—4ac=102—4x3x5=100—60=40>0,

_-b±Jb2-4ac_-10±/~40,

AX=2a=2x3

-5+xTlO-5-<10

-3-，*2=―§—?

【解析】(1)移項后方程兩邊都除以4,再配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程

的解即可；

(2)移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可;

(3)整理后求出川—4ac的值，再代入公式求出答案即可.

本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，解一元二次方程的方法

有直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等.

17.【答案】證明：BE//AC,CE//DB,

四邊形OBEC是平行四邊形，

又???四邊形4BCD是菱形，

???ACVBD,

???乙AOB=90°,

二平行四邊形OBEC是矩形.

【解析】根據(jù)平行四邊形的判定推出四邊形OBEC是平行四邊形，根據(jù)菱形性質(zhì)求出乙40B=90。，

根據(jù)矩形的判定推出即可.

本題考查了菱形性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力.

18.【答案】解:設(shè)漲價4萬元,則銷量為(500-40x),利潤為(10+4x),

由題意得，(500-40x)x(10+4x)=8000,

整理得，5000+2000x-400x-160x2=8000,

解得:=I，X2=

當(dāng)與=|時，則漲價10元，銷量為：400件；

當(dāng)%2=當(dāng)時，則漲價30元，銷量為：200件.

答：當(dāng)售價定為60元時，每月應(yīng)進(jìn)400件襯衫；售價定為80元時，每月應(yīng)進(jìn)200件襯衫.

【解析】設(shè)漲價4x元，則銷量為(500-40x),利潤為(10+4X),再由每月賺8000元,可得方程，

解方程即可.

本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確找出等量關(guān)系、列出方程是解題的關(guān)鍵，注意

分情況討論思想的應(yīng)用.

19.【答案】解：(1)設(shè)剪成的較短的這段為xczn,較長的這段就為(40—x)cm,由題意，得

令+(竿)2=58,

解得：Xj=12,x2=28,

當(dāng)x=12時，較長的為40-12=28cm,

當(dāng)#=28時，較長的為40-28=12<28(舍去).

答：李明應(yīng)該把鐵絲剪成12cm和28cm的兩段；

(2)李明的說法正確.理由如下：

設(shè)剪成的較短的這段為mczn,較長的這段就為(40-m)cm,由題意，得

⑨+(舁產(chǎn)=48,

變形為：m2-40m+416=0,

vA=(-40)2-4X416=-64<0,

???原方程無實數(shù)根，

???李明的說法正確，這兩個正方形的面積之和不可能等于48crn2.

【解析】(1)設(shè)剪成的較短的這段為XC7H,較長的這段就為(40-x)on.就可以表示出這兩個正方形

的面積，根據(jù)兩個正方形的面積之和等于58cHi2建立方程求出其解即可；

(2)設(shè)剪成的較短的這段為mcm,較長的這段就為(40-m)cm.就可以表示出這兩個正方形的面積,

根據(jù)兩個正方形的面積之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就說明李明的說法錯誤，否則正

確.

本題考查了列一元二次方程解實際問題的運用，一元二次方程的解法的運用，根的判別式的運用，

解答本題時找到等量關(guān)系建立方程和運用根的判別式是關(guān)鍵.

20.【答案】解：連接P。，過。作DM1AC于M,

???四邊形4BCD是矩形，

Z.ADC=90°,AB=CD=5,AD=12,OA=OC,OB=OD,AC=BD,

???OA=OD,

由勾股定理得：AC=VAD2+DC2=V144+25=13)

OA=OD=6.5,

1i

S^ADC=-xl2x5=-xl3xDM,

r...60

DM——>

SAOD=S3p。4-S〉DPO'

???^1AOxPE+ODxPF=/14。xDM,

PE+PF=DM=詈

【解析】連接PO,過。作DM1AC于M,求出4C、DM,根據(jù)三角形面積公式得出PE+PF=DM,

即可得出答案.

本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出DM長和得出PE+PF=DM.

21.【答案】解：(I)、?方程有實數(shù)根,

,4=(-4)2—4m=16—4m>0,

Am<4；

(2)v4-x2=4,

5x1+2X2=2(;q+x2)+3%i=2x4+3xx=2,

*,?%]——2,

把=—2代入/—4%4-m=。得：(—2產(chǎn)—4X(—2)4-m=0,

解得：m=-12.

【解析】(1)若一元二次方程有實數(shù)根，則根的判別式4=