2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型總結(jié)一輪復(fù)習(xí)講義 第14講 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)

第14講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（精講）

題型目錄一覽

①導(dǎo)數(shù)的定義

②導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

③導(dǎo)數(shù)中的切線問題I-求在曲線上一點(diǎn)的切線方

程

④導(dǎo)數(shù)中的切線問題n-求過一點(diǎn)的切線方程

⑤導(dǎo)數(shù)中的切線問題ni-求參數(shù)的值（范圍）

、知識(shí)點(diǎn)梳理

一'導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)

L概念函數(shù)/（尤）在x=x0處瞬時(shí)變化率是lim”=lim以包士也二必，我們稱它為函數(shù)y=/（"在％=無。處的

-0Ax-Ax

導(dǎo)數(shù)，記作了'（%）或“戶根?

注：增量Ax可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0.Arf0的意義：Ax與。之間距離要多近有

多近，即|Ax-01可以小于給定的任意小的正數(shù)；

2.幾何意義函數(shù)y="X）在尤=%處的導(dǎo)數(shù);（不）的幾何意義即為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)P（x0,%）處的切線的斜率.

二'導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1.求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

f(x)=c(c為常數(shù))rw=o

/(x)=x"(aeQ)fr(x)=oxa~[

/(x)=ax(a>0,aw1)fr(x)=ax\na

f(x)=log%(a>0,aw1)fw=.

ax\na

f(x)=exr(x)=e*

/(x)=lnx

f'M=~

X

/(x)=sinxfXx)=cosx

f(x)=cosx/'(x)=-sinx

2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則："。）±8（尤）]'=-（；0±8'（了）；

（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則："（x）g（x）]=f'（x）g（x）+f（x）g'（x）；

（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g（x）wO,則[jM]=「（x）g（x）-"x）g'（x）.

g。）g2）

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=/[g（x）J的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)＞=/'（"）,〃=g（x）的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為%=%%：

【常用結(jié)論】

L在點(diǎn)的切線方程

切線方程》—/'（%）=「（尤0）。-%）的計(jì)算：函數(shù)y=/（x）在點(diǎn)A（x°,〃%））處的切線方程為y-/（x0）=尸（無。）（尤-與），

抓住關(guān)鍵1°="不）.

[k=f（x0）

2.過點(diǎn)的切線方程

設(shè)切點(diǎn)為則斜率左=:（%）,過切點(diǎn)的切線方程為：＞-%=/'（%）（尤-%）,

又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)A（m,"）,所以（尤0）（加-/）然后解出.%的值.（％有幾個(gè)值，就有幾條切線）

、

二、題型分類精講

題型一導(dǎo)數(shù)的定義

策略方法對(duì)所給函數(shù)式經(jīng)過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等恒等變形與導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)相同，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直

接寫出.

1,則lim"“。+2加0-〃％)=).

【典例1】已知函數(shù)y=〃x）在X=A：。處的導(dǎo)數(shù)尸（無。）=-(

-Ax

A.-1B.1C.《D.-2

【答案】D

【分析】根據(jù)題意由導(dǎo)數(shù)的定義即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)y=/（尤）在x=x。處的導(dǎo)數(shù)為尸（無。）=-1,

而］加〃%+2')-/(%+2祠-/(%)

2lim=2/'(%)=-2,

—AxAx->02Ax

故選：D.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

7(1)-〃1+2淘

1.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且lim=-2,則曲線y=〃x)在

Axf0Ax

點(diǎn)處的切線斜率為（）

A.2B.-1C.1D.

2

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，計(jì)算得到答案.

/⑴-〃1+2-)1］加川)一〃1+23_1.

【詳解】廣⑴既

-2Ax2—Ax

故曲線y=在點(diǎn)⑴）處的切線斜率為1.

故選：C

2.（2023春?河北衡水?高三衡水市第二中學(xué)期末）已知函數(shù)”力的導(dǎo)函數(shù)是（（%）,若/'（%。）=2,則

/(龍o+1心)-/(/)()

lim----------------------------二

-Ax

A，—2B.1C.2D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，將增量化成g%即可得到.

【詳解】因?yàn)?（%）=2

/(x+^Ax)-/(x)1

00/(X0+1AX)-/(X0)［

2

所以lim-----------------------------=-lim----------------=-八無。)=1

AxfOAx2AxfO

-Ax

2

故選：B

二、填空題

3.（2023?上海?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=-2V+/⑴尤2一/⑴尤，則］血/（一+1）-〃1）=

【答案】5

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，建立，⑴與廣（1）的方程，求出尸（1）,利用極限的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.

【詳解】當(dāng)x=i時(shí)，/（i）=-2+r（i）-/（i）,所以/（i）=；r（i）一1,

又/''(無)=-6x?+2尸⑴x-/⑴=—6%2+2/,(l)x+l——/f(l),

則,(1)=-6+2/⑴+1-；尸(1),解得廣⑴=10,

由定義可知，Hm⑴?⑴』，⑴=5.

…/a2A+xx233+1)-12')

故答案為：5

題型二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

威策略方法對(duì)所給函數(shù)求導(dǎo)，其方法是利用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接轉(zhuǎn)化為基

本函數(shù)求導(dǎo)問題.

【典例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

⑴y=ln(2x+l)；

sinx

⑵y二

cosx

⑶y=xln(l+f)

(4)y=(%+1)(%+2)(%+3)；

(5)y=e"cosx+?-產(chǎn)(/為常數(shù));

(6)y=ln(2x+5)3-\----.

x

【答案】⑴v=鼻2

(2)y=~\—

cosa

(3)y=ln(l+/)+冷

(4)y=3x2+12x+ll

711

⑸V=6甘sin--X

,61-lnx

⑹安中十丁

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可求得導(dǎo)數(shù).

【詳解】⑴由已知日碇川），所以力擊⑵+人或

（2）由已知y=七，所以y=(sinx)cosx-sinx(cosx)_cos2a+sin2a_1

COS%/cos2xcos2acos2a

(3)由已知>=xln(l+x2),所以y=in(l+f)+A1r.x=ln(l+V)+法

(4)由已知y=(x+l)(x+2)(x+3)=x3+6x2+llx+6

所以曠=3/+12%+11

(5)由已知y=e"cos%+五-所以y=e尤(cosxf+(e"jcosx+(6)

fxx711

y=e(cosx-sinx)d----尸=yj2esin~~x

2y/x2^/x

(6)由已知y=ln(2x+5)3+皿，令〃=2x+5,t=u3,故y=lnr+處

XX

所以y'=X“3)'.(a)'+(W)=/w3(2x+5)2.(2x+5)'+千

6(2x+5)21-lnx61-lnx

所以y'=()32------------H-------------

2x+5+x(2x+5)x1

【題型訓(xùn)練】

一、解答題

1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

(1)y=x4-3x2-5x+6；

(2)y=2x+sin—cos—；

22

(3)y=x-\og2x；

__a,「/、t/-?ri/-?1/_、fi1/*、t'sinx+cosx

【答案】(z1)xy=4%—6x—5；(2)y=2In2+—cosx?(3)y=1--------；(4)y=5--------.

2xln2x

【分析】直接根據(jù)求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可求出(1)(3)(4)的導(dǎo)數(shù)；利用二倍角公式化簡(jiǎn)(2)中的函數(shù)

解析式，再利用求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行求導(dǎo).

【詳解】(1)因?yàn)閥=%4一3%2一5%+6,所以y=4/一6%-5；

xX|I

(2)因?yàn)閥=2"+sin5cos5=2"+gsinx,所以y'=2"ln2+]cosx；

(3)因?yàn)閥=x-log2x,所以y'=l--^―；

xln2

E、rcosx,(-sinx)x-cosxlx-sinx+cosx

(4)因?yàn)閥=------,所以y=-------------j-----------=------------j--------.

XXX

2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)/(x)=(-2x+l)2；

⑵〃x)=ln(4x-l)；

(3)〃X)=23A2

(4)F(X)=J5X+4；

【答案】(l)8x—4

⑶3x23，+2in2

5

(4)/-----

2j5x+4

【分析】利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求導(dǎo)法則，逐一對(duì)各個(gè)求導(dǎo)即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)椤╔)=(-2X+1)2=4X2_4X+1,所以廣(司=8彳-4.

(2)因?yàn)椤▁)=ln(4x—1),所以廣(x)=A^.

(3)因?yàn)椤▁)=23*+2,所以尸(司=3*23工+2山2

⑷因?yàn)椤▁)=后百’所以廣⑺毛高二月端工

3.(2023?高三課時(shí)練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

⑴好產(chǎn)以；

(2)y=2sin(l-3x)；

(3)y=^cos(2x+x)；

(4)y=\n+sinx；

(5)y=lgsin^|+x2^|；

2〃+尤n

(6)y=cos——.

【答案】(1)(一2依+6)e*+麻

(2)-6cos(l-3x)

]_2

(3)--cos3(2Y+x)?sin(2、+x)?(2*ln2+l)

cosx

(4)T77———

2(1+sinX)

⑹『向啖

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式及運(yùn)算法則，結(jié)合基本函數(shù)求導(dǎo)公式求解即得.

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)尸6*+加可以看做函數(shù)y=e"和〃=_加+法的復(fù)合函數(shù)，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式可得，

u

y'x=y'u-'x

=(e")-^-ax2+bx^

=eux(-2ox+￡>)

=(-2ox+6)e*+%

(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=2sin(l-3x)可以看做函數(shù)y=2sin〃和M=l-3x的復(fù)合函數(shù)，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式可得，

=(2sin/z)-(1—3x)

=2cos〃x(-3)

=-6cos(l—3x)；

(3)因?yàn)楹瘮?shù)y=：cos(2，+x)可以看做函數(shù))，=網(wǎng)和〃=cos(2,+x)的復(fù)合函數(shù),

根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式可得，y'x=y'u-u'x,

又因?yàn)楹瘮?shù)"=85(2，+“可以看做函數(shù)〃=85/和,=2，+了的復(fù)合函數(shù)，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式可得，

所以義

=(^H).(cos.).(2"+%)

<i二、

=]x(-sin/)x(2"ln2+l)

1--

=—cos§(2"+兀)[一sin(2"+x)]x(2"In2+1)

i_2

=-§cos3(2x+x).sin(2"+x).(21n2+l)；

(4)函數(shù)y=lnJl+sinx可化為y=gln(l+sinx)

因?yàn)楹瘮?shù)y=fn(l+sin尤)可以看做函數(shù))，=gln〃和〃=l+sinx的復(fù)合函數(shù)，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式可得，y'x=y'u-<

所以義=乂”

-(1+sinx)

xcosx

cosx

2(1+sinx)*

(5)因?yàn)楹瘮?shù)y=lgsin'+爐)可以看做函數(shù)y=lg〃和z，=sing+尤1的復(fù)合函數(shù),

根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式可得，y'x=y'u-Wx,

又因?yàn)楹瘮?shù)〃=sin[5+尤]可以看做函數(shù)〃=sinf和仁^+爐的復(fù)合函數(shù)，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式可得，

=〃:W

所以乂=%";?《

cosr)x

X+

1+cos2

(6)函數(shù)y=cos：

可以看做函數(shù)y=出產(chǎn)和，/=馬蘭的復(fù)合函數(shù),

因?yàn)楹瘮?shù)

根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式可得，y'x=y'u-u'x

所以乂=乂?4

1+COSJLI

e(e1

題型三導(dǎo)數(shù)中的切線問題I-求在曲線上一點(diǎn)的切線方程

多策略方法已知切點(diǎn)A(xo,/(xo))求切線方程，可先求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值尸(xo),再根據(jù)y—/(xo)=

廣(無0)(1一xo)求解.

【典例1］設(shè)曲線五+2*在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線與直線Xln2-y+3=0平行，則實(shí)數(shù)。二()

A.ln2-2B.-In2

C.—21n2D.-31n2

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解/⑴=ga+21n2,由兩直線平行斜率相等即可求解.

11

【詳解】由〃力=。?+2,得/(工)=-a-7=+21n2,故廣⑴=ga+21n2,

2yjx

由于點(diǎn)(L〃l))處的切線與直線攻12-y+3=0平行，且直線加12-y+3=0的斜率為足2,所以

/⑴=ga+21n2=ln2na=-21n2,

故選：C

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2023?陜西榆林?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=x”+2x+l,則的圖象在x=0處的切線方程為()

A.4x-y+l=0B.2x-y+1=0

C.4ex-y+2=0D.2ex-y+l=0

【答案】B

【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出在尤=0處的切線的斜率，代入/(x)=x%x+2x+l,求出/(0),利用點(diǎn)斜式方程求

出切線方程.

【詳解】因?yàn)椤▁)=xV+2x+l,所以尸(X)=(X2+2X”+2,則/'(O)=2J(O)=l,

所以〃尤)的圖象在x=0處的切線方程為y-1=2(尸0),

即2x-y+l=0.

故選：B.

2.（2023?陜西榆林?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)〃力=/-e"（aeR）,若〃x）的圖象在x=0處的切線與坐標(biāo)軸圍成

的三角形的面積為1,則a=（）

A.gB.2C.±2D.±-

22

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再求出切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)面積列式可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槭▁）=2x+ae，所以解（0）=a.

因?yàn)椤?）=T，所以“力的圖象在x=0處的切線方程為〉=依-1.

因?yàn)榍芯€與坐標(biāo)軸能圍成三角形，所以。彳0,

令x=0,得y=-i,令y=o,得x=L

a

所以;卜1卜［=1,所以"土;.

故選：D

3.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知。為實(shí)數(shù)，函數(shù)〃了）=9必+4分+2+a是偶函數(shù)，則曲線y=〃x）在點(diǎn)（I"⑴）處

的切線方程為（）

A.18x-y-7=0B.9x+y-6=0C.51一11丁+2=0D,6x+5y-ll=0

【答案】A

【分析】由偶函數(shù)的定義確定參數(shù)。的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算求解即可得切線方程.

［詳解］因?yàn)?（刈=9/+4分+2+。是偶函數(shù)，

所以f（-x）=9%2-4ar+2+a=9x2+4?x+2+a,

所以a=0,故/■（X）=9/+2,

又/'（x）=18x,所以"1）=11,廣⑴=18,

故曲線y=在點(diǎn)處的切線方程為y7l=18（x-1）,即18x-y-7=0.

故選:A.

二、填空題

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知曲線y=Y在點(diǎn)（2,4）處的切線與曲線〃尤）=e-x在點(diǎn)&,〃1））處的切線互相

垂直，則/=

3

【答案】lnZ

【分析】先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線y=V在點(diǎn)（2,4）處的切線斜率，進(jìn)而可對(duì)函數(shù)/（x）=e—x求導(dǎo)，然后根

據(jù)條件列方程求飛.

【詳解】由曲線y=v得;/=2x,\"|皿=4,

曲線y=/在點(diǎn)（2,4）處的切線斜率為4,

曲線〃x）=e-得〃x）=ej

由已知可得/（尤==

3

解得％=ln1

3

故答案為：InJ.

4

5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（到=爐+⑶門的圖象在x=l處的切線在y軸上的截距為2,則實(shí)數(shù)。=

【答案】-3

【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)Ax）的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.

【詳解】函數(shù)"x）=d+alnx,求導(dǎo)得：r（x）=2x+,/,（l）=2+a,而/⑴=1,

因此函數(shù)Ax）的圖象在x=l處的切線方程為：y-l=（a+2）（x-l）,

令x=0,得y=-。-1,于是-。-1=2,解得。=-3,

所以a=—3.

故答案為：-3

6.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=5sinr+3cosx,則曲線y=在點(diǎn)（用處的切線方程為

【答案】6%+2y一3兀-10=0

【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得尸（X）,再由直線的點(diǎn)斜式即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得，r（x）=5cosx-3sinx,則左=/[3=0-3=-3,

由直線的點(diǎn)斜式可得、-5=_3卜_曰，化簡(jiǎn)可得6》+2〉-3兀-10=0.

故答案為：6.r+2y-37i-10=0

7.（2023?湖北?黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（元）=1In尤直線乙，4是『⑺的兩條切線，4,4相交于點(diǎn)。，

若…,則。點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是.

【答案】（0,1）

【分析】記g(%)=-lnx(Ov%<l),/z(x)=lnx(x>l),不妨設(shè)4與g(x)相切于點(diǎn)4(%,-In玉)，。與久工)=1口工相切于

點(diǎn)3a2,In9)，則。<玉<1,々>1,利用導(dǎo)數(shù)求出玉％=1，再求出直線第4的方程，解方程求出。點(diǎn)的橫坐標(biāo),

再利用基本不等式得解.

【詳解】記g(x)=TnMO<%<l),/z(x)=lnx(x>l),

由函數(shù)/(%)圖象可知，不妨設(shè)4與g(x)相切于點(diǎn)A(%,-In%)，4與%工)=1口%相切于點(diǎn)3(馬,山馬),貝!)0<玉<1,

%2>1.

11,1.1

??.g'(x)=——,〃(%)=—，：?h=-----,%=—,

XX為12

V/1-L4，即玉％=1，所以In%+ln%2=0,

玉x2

,.F的方程為y+lnX]=-：(x-xJ,4的方程為yTn%=:(x-X2),

2

兩方程相減得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)4=--------,

I?^2

V\x2=1,jq+>2"]無2=2,

即。點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是(o,i).

故答案為：(011)

三、解答題

JrJr

8.(2023?北京東城?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=sinx-(x-a)cosx,其中ae(-萬,..若曲線y=/(x)在x=。處的切

線過點(diǎn)(。，乎)，求。的值；

【答案】y

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線y=/(元)在x=“處的切線>=$也0,從而得至!]Sina=無，求解即可.

2

【詳解】/(x)=sinx-(x-?)cosx,

/.f(x)=cosx-cosx+{x-a)sinx=(x-a)sinx,

/(?)=0,即在x=a處的切線斜率為0,

又當(dāng)x=a時(shí)，/(a)=sina,

.?.在x=a處的切線方程為y-sina=0.(x-a),

整理得：y=sina,

曲線>=〃尤)在％〃處的切線過點(diǎn)

71

，a=——

3

題型四_導(dǎo)數(shù)史的切線問題支-求過二點(diǎn)的切線方程

⑨^策略方法

設(shè)切點(diǎn)為尸(毛，%),則斜率左=((不)，過切點(diǎn)的切線方程為：y-y0=f\x0\x-x0),

又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)AO*切，所以=((％)(加-%)然后解出毛的值

【典例1】過原點(diǎn)且與函數(shù)/(x)=ln(-x)圖像相切的直線方程是()

A.y=~^B.y=--xC.y=--xD.y=

ee

【答案】c

【分析】先設(shè)出切點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程求出切線的斜率即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(無)=ln(-x),所以尸(x)=：,

設(shè)所求切線的切點(diǎn)為(%,/(%)),則/'小)=’,

由題知，-L=32=㈣Z&1,解得.%=_e,所以切線斜率為左=/'(-e)=-L

飛飛尤0e

故所求切線方程為丫=-』龍.

e

故選：C.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2023?四川成都?成都實(shí)外?？寄M預(yù)測(cè))若直線、=質(zhì)為曲線y=lnx的一條切線，則實(shí)數(shù)4的值是()

11

A.eB.e?C.—D."r-

ee

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出實(shí)數(shù)k的值.

【詳解】設(shè)直線>=區(qū)與曲線y=lnx相切于點(diǎn)（Xo，lnx°）,函數(shù)y=ln尤的導(dǎo)函數(shù)為，=

則<加，解得左=一.

e

Inx0=kx0

故選：C

2.（2023?北京?高三專題練習(xí)）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=e"2+i的切線，則切線方程為（）

A.y=xB.y=2xc.y=\xD.y="

【答案】A

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為I+1）,求得切線方程為y-（e”2+1）=n?。一）,把原點(diǎn)（0,0）代入方程,得到（-1汨-2=1,

解得r=2,即可求得切線方程.

【詳解】由函數(shù)y=ei+l,可得y'=e?2,

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為",e'-2+l）,可得切線方程為了-（廣2+1）=/257）,

把原點(diǎn)（0,0代入方程,可得0_Q2+i）=e-z（0T）,即

解得上2,所以切線方程為y-（e°+l）=e°（x-2）,即尸E

故選：A.

3.（2023秋?河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若過點(diǎn)（加,〃）可以作曲線y=log?x的兩條切線，則（）

A.m>log,nB.n>log2mC.ni<log9nD.n<log,m

【答案】B

【分析】作出函數(shù)y=iog2x的圖象，由圖象觀察得出結(jié)論.

【詳解】作出函數(shù)y=iog2x的圖象，由圖象可知點(diǎn)（〃?,〃）在函數(shù)圖象上方時(shí)，過此點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，

所以”>log?Ml,

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=（x-4）e，的切線，則切線有（）條

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】設(shè)切點(diǎn)為(%,%),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將(0,0)代入方程，即可求得答案.

【詳解】由y=(x-4)e，可得y'=(x-3)e"

過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=(尤-4)e*的切線，設(shè)切點(diǎn)為(無則切線斜率為左=(x0-3)e'。，

切線方程為=(xo-3)e-(x-xo),又為=(%-4)6f,

所以-4)e%=(%-3)e*(-尤。),即x；-4%+4=0,

所以x。=2,即切線有1條.

故選：B.

二、填空題

5.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=(x+2)e*的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

【答案】一1+百或T-若

【分析】設(shè)切點(diǎn)為(％，%),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將(。,0)代入，即可求得本題答案.

【詳解】由y=(x+2)e，可得y'=(x+3)e',設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為優(yōu),％),

所以切線斜率k=(x0+3)e'。，又因?yàn)?=(5+2)e%,

則切線方程為y-5+2)e%=(x0+3)e^(x-x0),

把(0,0)代入并整理可得其+2%-2=0,解得%=_1+后或%=一1_6.

故答案為：-1+6或-1-6

6.(2023秋?廣東梅州?高三平遠(yuǎn)縣平遠(yuǎn)中學(xué)?？计谀?已知直線丫=左(工-1)與曲線y=ei相切，則心.

【答案】e

【分析】已知曲線的切線過某定點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求直線的斜率.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為(%,%),?.左=±=e'。、

X。1

e%T

?.,yo=e-T,:.------=e%-1,解得=2,：.k=ex°~'=e.

尤o-l

故答案為：e.

7.(2023春?山東濱州?高三?？茧A段練習(xí))過點(diǎn)(1,0)作曲線y=e?的兩條切線，則這兩條切線的斜率之和為.

【答案】e2-l

【分析】考慮x>0與x<0時(shí)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出相應(yīng)的切線方程，將。,0)代入，得到相應(yīng)的斜率，相加得到答

案.

【詳解】x>0時(shí)，y=e,,設(shè)切點(diǎn)(國(guó),9)，

則y'=e,kx=e',

切線4：?一爐=。(彳一不)過(1,0),

e'=e』(l-%),

?.2——2,k、—e,

x<0時(shí)，y=ex,切點(diǎn)伍?他)，

x-%2

V'=-c~,k2=-e,

切線公y—ef=—ef(x-%)過(1,0),

...一也=—e-也(1—*2)，

X,=0,kr,=—1,

故左+&=_1.

故答案為：e2-l.

8.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))若曲線y=(2x-a)e”有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則實(shí)。的取值范圍為.

【答案】(-8,0)58,-)

【分析】先設(shè)切點(diǎn)為(為,%),利用導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系表示出切線方程，再根據(jù)切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，將坐標(biāo)原

點(diǎn)代入切線方程所得方程有2個(gè)不同的根，即可求解.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為：(x。,%),y=(2x+2-a)e,

所以切線斜率為左=(2%+2-a)e-,

即切線方程為y-(2%-a)e~=(2x0+2-。把*0-%),

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以。-(2%-a)e'。=(2%+2-a)e%(0-%0),

整理得2Xg—ax0+a=0,

又曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，所以該方程有兩個(gè)解，

所以A=“2-8a>0,解得。e(-oo,0)u(8,+co).

故答案為：(-co,0)。(8,+?)).

題型五導(dǎo)數(shù)中的切線問題m-求參數(shù)的值(范圍)

畬策略方法1.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法

利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或者參數(shù)滿足的不等式（組）,

進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍.

2.求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)

⑴注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍.

⑵謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上.

【典例11已知函數(shù)〃力=加-切11%在點(diǎn)處的切線為y=l,則a+b的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】求導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合條件列出方程組，解之即得.

【詳解】?.?函數(shù)”力二加-/7lnx,

A

f,（x\=2ax——,/⑴=a,

x

“X）在點(diǎn)（I"⑴）處的切線為y=1,

.⑴=2。-6=0

a-\'

解得〃=1,b=2,

:.a+b=3.

故選：C.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

4

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知曲線y=》+提G<0）在點(diǎn)P處的切線與直線x-3y+l=O垂直，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)

為（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【分析】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程，求得答案.

4

【詳解】設(shè)x+?無<0）,點(diǎn)尸（%,%）,

4

則尸（x）=ig

由在點(diǎn)P處的切線與直線x-3y+1=。垂直可得了'（X。）=-3,即1-*=-3,

40

3^%0＜。，??X0二-1,

故選：B

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)=與g（x）=d+依（°eR）的圖象在A（0,0）處有相同的切線，則”

（）

A.0B.-1C.1D.-1或1

【答案】C

【分析】求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用r（o）=g'（o）求解即可.

【詳解】點(diǎn)4（0,0）在兩函數(shù)圖象上，

/,(x)=(l+x)ex,g'(x)=2x+a,

根據(jù)題意可得F（o）=g'（o）,

即a=1.

故選：C

3.（2023春嚀夏銀川?高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)P是函數(shù)/abd-lnx任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x-y-2=0

的最小距離為（）

A.V2B.—

2

C.1D.3

【答案】A

【分析】當(dāng)過點(diǎn)P的切線和x-y-2=0平行時(shí)，點(diǎn)P到x-y-2=0的距離最小，令函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于x-y-2=。的

斜率求出切點(diǎn)，再求切點(diǎn)至！］》一＞一2=0的距離即可.

【詳解】解：當(dāng)過點(diǎn)P的切線和X7-2=0平行時(shí)，點(diǎn)P到x-y-2=0的距離最小，

尤-廣2=0的斜率為1,r（x）=2x--

令/（無）=2無一j=1,解得》=1或》=一:，

x2

因?yàn)閤＞0,所以x=l,/⑴=1，

所以曲線上和直線x-y-2=0平行的切線的切點(diǎn)為（1,1）,

H-1-2I

P（u）至!j直線X—y—2=0的星巨離為最小距離d

故選:A.

【點(diǎn)睛】考查求曲線上一點(diǎn)到給定直線的距離的最小值求法，基礎(chǔ)題.

3

4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))動(dòng)直線,分別與直線y=2x-l,曲線產(chǎn):/一皿》相交于AB兩點(diǎn)，則|皿|的最小值

為()

A.—B.且C.1D.6

105

【答案】A

【分析】當(dāng)點(diǎn)B處的切線和直線y=2尤-1平行時(shí)，的值最小，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和解析式求得點(diǎn)8,再由點(diǎn)到直線距離

公式即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)A是直線＞=2%-1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)8是曲線y=；/-lnx上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)3處的切線和直線

＞=2元-1平行時(shí)，這兩條平行線間的距離的值最小，

因?yàn)橹本€y=2x-l的斜率等于2,

31

曲線y=的導(dǎo)數(shù)y'=3x-±,令y'=2,

2x

可得尤=1或x=-；(舍去)，故此時(shí)點(diǎn)8的坐標(biāo)為]32-1--

2一日