廣西貴港市名校2023-2024學(xué)年高二年級上冊入學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023年秋季高二年級入學(xué)檢測卷

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷

上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版必修第一、二冊，選擇性必修第一冊第一章。

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.若復(fù)數(shù)z=(2-i)(3+7i),則Z的實部為()

A.13B.11C.-1D.1

2.已知集合M={x∣2x-1>3},N={x∣l<x+3<lθ},則MN=()

A.(2,5)B.(2,7)C.(-2,5)D.(-2,+00)

3.某學(xué)校為了解學(xué)生對乒乓球、羽毛球運動的喜愛程度，用按比例分配的分層隨機抽樣法從高一、高二、高

三年級所有學(xué)生中抽取部分學(xué)生做抽樣調(diào)查，已知該學(xué)校高一、高二、高三年級學(xué)生人數(shù)的比例如圖所示，若

抽取的樣本中高三年級的學(xué)生有45人，則樣本容量為()

A.125B.IOOC.150D.120

4.要得到函數(shù)y=cos(τtr-l)的圖象，需將函數(shù)y=cosπx的圖象()

A.向左平移L個單位長度B.向右平移L個單位長度

π兀

C.向左平移1個單位長度D.向右平移1個單位長度

5.在y=V,y=tanx,y=fsin—這3個函數(shù)中，奇函數(shù)的個數(shù)為()

X

A.OB.1C.2D.3

6.已知某圓臺的上底面和下底面的面積分別為3π,12兀，母線長為2,則該圓臺的體積為()

A.6πB.18πC.7πD.21π

7.已知向量G=(m,l),b=(l,l),則'"，6的夾角為銳角”是＞—1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.若直線y=g無+3的傾斜角為α,直線y=Ax-5的傾斜角為3α,則左=()

4911

B.5C.一D.

2T

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知向量G4=(l,2),AB=(-3,1),OC=(Zn,4),OAlOC,則()

A.OB=(-2,3)B.AC=(9,2)

7

C.∣AB-(9C∣=√34D.。8在OC上的投影向量為一OC

40

10.已知直線無=1是函數(shù)/(x)=sin(2x+°)(閘＜向圖象的一條對稱軸，貝D()

A.φ=qB.“X)的圖象關(guān)于點片,θ］對稱

C.7(x)的圖象關(guān)于直線X=詈對稱D?/(x)在e,1］上單調(diào)遞減

11.已知一個正八面體ABCEC尸如圖所示，AB=JΣ,則()

A.BE〃平面AOFB.點。到平面AFCE的距離為1

C.異面直線AE與BE所成的角為45°D.四棱錐E-ABCO外接球的表面積為4兀

12.一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心、半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi).已知小島中心

位于輪船正西25km處，為確保輪船沒有觸礁危險，則該輪船的行駛路線可以是()

A.南偏西45°方向B.南偏西30°方向

C.北偏西30°方向D.北偏西25°方向

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.若直線x+6y—1=0與直線∕nx+2y-7=0垂直，則m=.

14.已知圓C：/+/+一4y+a=o的半徑為3,則α=.

2

15.Iog9(x+1)+Iog9f-?r+4^的最小值為.

16.已知函數(shù)/(x)=｛,,，若從集合｛xwN∣x≤10｝中隨機選取一個元素機，則函數(shù)

X~~4x,X20,

g(x)=/(/(x)-m)恰有7個零點的概率是.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚.

17.(10分)

已知AABC的三個頂點為A(l,2),B(-l,2),C(5,4)?。為BC的中點，AO所在的直線為∕.

(1)求/的一般式方程；

(2)若直線∕∣經(jīng)過點B,且4〃/,求4在y軸上的截距.

18.(12分)

小晟統(tǒng)計了他6月份的手機通話明細清單，發(fā)現(xiàn)自己該月共通話IOO次，小晟將這IOO次通話的通話時間(單

位：分鐘)按照(0,4),[4,8),[8,12),[12,16),[16,20),[20,24]分成6組，畫出的頻率分布直方圖如

（2）求通話時間在區(qū)間［4,12）內(nèi)的通話次數(shù)；

（3）試估計小晟這IOO次通話的平均時間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.

19.（12分）

△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知CCoSA-αcos3+c=0.

（1）求A；

（2）若α=6,求aABC周長的取值范圍.

20.（12分）

投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲.假設(shè)甲、乙、丙、丁是四位投壺游戲參與者，且甲、

乙、丙每次投壺時，投中與不投中的機會是均等的，丁每次投壺時，投中的概率為』.甲、乙、丙、丁每人每

3

次投壺是否投中相互獨立，互不影響.

（1）若甲、乙、丙、丁每人各投壺1次，求只有一人投中的概率；

（2）甲、丁進行投壺比賽，若甲、丁每人各投壺2次，投中次數(shù)多者獲勝，求丁獲勝的概率.

21.（12分）

已知大氣壓強P（帕）隨高度〃（米）的變化滿足關(guān)系式InPO-InP=劭，PO是海平面大氣壓強.

Q）世界上有14座海拔8000米以上的高峰，喜馬拉雅承包了10座，設(shè)在海拔4000米處的大氣壓強為〃'，

求在海拔8000米處的大氣壓強（結(jié)果用Po和p'表示）.

（2）我國陸地地勢可劃分為三級階梯，其平均海拔如下表:

___________________平均海拔/米___________________

____________________第一級階梯_________________________________________24000_____________________

第二級階梯1000-2000

____________________第三級階梯____________________200-1000

若用平均海拔的范圍直接代表海拔的范圍，設(shè)在第二級階梯某處的壓強為P1,在第三級階梯某處的壓強為P3,

40l8

左=10^,證明：p2≤pi≤e∕72.

22.（12分）

如圖，在四棱錐P-ABC。中，Q4=AT>=2,3CO=A3=3,ABLAD,AB//CD,QA，平面ABCL）,

E,F分別為PO,BC的中點.

P

B

(1)證明：平面AEFj_平面PCD

(2)設(shè)PC與平面AEF交于點Q,作出點Q(說明作法)，并求PQ的長.

2023年秋季高二年級入學(xué)檢測卷

數(shù)學(xué)參考答案

因為z=(2—i)(3+7i)=13+lli,所以Z的實部為13.

2.B

因為M={x∣x>2},N={x∣-2<x<7},所以MN=(2,7).

3.A

由圖可知高三年級學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的36%,抽取的樣本中高三年級的學(xué)生有45人，則樣本容量為

4.B

將函數(shù)y=Cos兀T的圖象向右平移上個單位長度得到y(tǒng)=Cos兀(X-L]=cos(πx-l)的圖象.

5.D

a91

因為y=χ3,y=tanx,y=Vsin—這3個函數(shù)均為奇函數(shù)，所以奇函數(shù)的個數(shù)為3.

6.C

因為圓臺的上底面和下底面的面積分別為3兀，12π,所以該圓臺上底面和下底面的半徑分別為G，2√3,

所以該圓臺的高為=1,故該圓臺的體積

V=g∕z(S]+y∣SlS2÷S2j=?×1×(3π+V3π×12π÷12πj=7π.

7.A

若α,〃的夾角為銳角，則α?Z?=m+1>0且Q,〃不同向，可得加?一1且加。1,故“。，人的夾角為銳

角”是“加>一1”的充分不必要條件.

8.D

￡+4

依題意可得tana='，則tan2α=2'"n’=已,tan3a=tan(a+2a)=?.=—,故

2v7

2l-tana31142

23

,C11

κ=tan3a=—.

2

9.AC

OB=OA+AB=(-2,3),A正確.因為。4,OC,所以Q4?OC=m+8=0,R∣Jm=-8,所以

AC=OC—Q4=(—9,2),B錯誤.因為AB—OC=(5,-3),所以,8—0C∣=^=國，C正確.OB

在OC上的投影向量為半半?g=」6：12.θC=-OC,D錯誤.

\oc\\oc\(―8)-+4220

10.BCD

因為直線X=^l是/(x)圖象的一條對稱軸，所以2χ^+9=5+Zπ,JteZ.又帆卜?所以e=；.A

不正確.當(dāng)X=B時，2%+；=2兀，所以/(x)的圖象關(guān)于點(子,。)對稱.B正確.因為

=sin=sin-=l,所以C正確.當(dāng)工＜x＜%時，兀＜2%+二＜茫，/(x)單調(diào)遞減.D

I1216231232

正確.

II.ABD

將正八面體ABCEnF置于一個正方體中，如圖所示，該正八面體的頂點為正方體六個面的中心，由圖可知，

BE//DF,因為8E?t平面AOF,DPU平面ADF,所以BE〃平面AOF,A正確.連接8。(圖略).由

圖可知，點。到平面AbCE的距離為L50=1,B正確.

2

由圖可知，AE〃CE,則直線AE與BF所成角即CF與BF所成角，因為ABCF為正三角形,所以NCF6=60°,

C錯誤.

四棱錐￡—ABC。外接球的球心為正方形ABCD的中心，所以外接球的半徑為1,故四棱錐E-ABCD外接

球的表面積為4兀，D正確.

12.BCD

如圖，以小島的中心為原點。，東西方向為X軸，Ikm為單位長度，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則輪船所在

的位置為A(25,0),受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對應(yīng)的圓的方程為Y+/=400,設(shè)輪船航線所在直線

的方程為y=Z(x-25),即京一y—25左=0,

由一瞥=>20,得或左<—因為tan45°=1<±<tan60。=石，所以該輪船的行駛路線可以是

TFTl333

南偏西30°方向，北偏西30°方向，北偏西25°方向.

13.-12

因為直線x+6y-l=0與直線如+2y-7=0垂直，所以〃zxl+2x6=0,解得加=一12.

14.-4

將圓C的方程轉(zhuǎn)化為(x+l)2+(y-2)2=5-Q,因為圓C的半徑為3,所以5—α=9,即α=T?

15.1

(x2+l)3+4)=1+4+4.+晨5+2業(yè)2'=9,當(dāng)且僅當(dāng)4f=3,

即d=；時，等號成立，所以l0g9()+1OgG+4,=Iog2

X2+19(Λ+1)^

+4>Iog99=1.故

/_

logjf+1)+](唱9(3+4)的最小值為1.

?

16.TT

由/(x)=0,得χ=-3,0,4,當(dāng)x?0時，/(x)的最小值為4

由g(x)=O,得/(x)—〃?=一3,0.4,即/(%)=加一3,m,m+4,因為0≤m≤10,

所以-3≤m-3≤7.而加GN,當(dāng)加=0時，方程"x)=m—3,/(x)=7",/(x)=m+4的實數(shù)解的

個數(shù)分別為3,3,2；當(dāng)m∈{1,2,3}時，方程/(X)=加一3,,f(x)=m,/(X)=機+4的實數(shù)解的個數(shù)分

別為3,2,2；當(dāng)方∈{4,5,6,7,8,9,10}時,方程/(X)=m一3,/(x)=m,/(x)=m+4的實數(shù)解的個

數(shù)均為2.所以當(dāng)m∈{l,2,3}時，函數(shù)g(x)=∕(∕(x)-恰有7個零點，故所求概率為:

即x—y+l=0.……5分

(2)設(shè)4的方程為x-y+8=0,6分

將B(T,2)代入，得一1—2+b=0,即〃=3,……8分

所以4在y軸上的截距為3.……10分

18.解：(1)由(0.1+0.06+α+0.02+0.02+0.01)χ4=l,2分

得α=0.04.……4分

(2)因為通話時間在區(qū)間［4,12)內(nèi)的頻率為(0.06+0.04)x4=0.4,……6分

所以通話時間在區(qū)間[4,12)內(nèi)的通話次數(shù)為I(X)XO.4=40.……8分

(3)這100次通話的平均時間的估計值為

(2x0.1+6x0.06+10x0.04+14x0.02+18x0.02+22x0.01)x4=7.28分鐘.……12分

19.ft?：(1)因為CCOSA-αcosB+c=0,所以SinCCoSA—SinAeoSJB+sinC=0.....1分

又SinC=Sin(A+3)=SinACOS3+cosAsinB,......3分

所以sinCcosA+cosAsinβ=(sinC+sinB)cosA=0.......4分

因為SinC+sin3>(),所以CoSC=0?......5分

又A∈(0,7Γ),所以A=].……6分

(2)由(1)可知，Q=6,所以b+c=6sin3+6sinC.......7分

SinA

Tl兀

由A=—,得3+C=—,則SinC=CoS3,……8分

22

則+c=6sinB+6cosB=6后Sinl8+4^,......鄉(xiāng)分

因為8∈(θ,'],所以B+m[，Sin(B+：)e與,T,……10分

則8+C∈(6,6√5],故AABC周長的取值范圍為(12,6+6√Σ]?……12分

20.解：設(shè)甲、乙、丙、丁各自在一次投壺中投中分別記為事件A,B,C,D,

則P(A)=P(B)=P(C)=；,P(D)=∣.……1分

(1)設(shè)只有一人投中為事件E,則P(E)=P(A月而+ZB麗+通C力+Z月8)

=p(ABCD)+p(ABCD)+P(ABCD)+∕j(ABCD)……3分

(2)若甲投中O次，則丁至少投中1次；若甲投中1次，則丁投中2次.……8分

設(shè)丁獲勝為事件則P(M)=I1—；)l-fl-?'j+2×fl-?∣×W=品.……12分

21.(1)解：設(shè)在海拔8000米處的大氣壓強為p〃，

InPO-InP'=4000左，

<〃,.......2分

InPo-InP=8000人，

所以21n"=ln"，解得p"=Q.……5分

PPPO

(2)證明：設(shè)在第二級階梯某處的海拔為外,在第三級階梯某處的海拔為為，

則FnPiP2=107,......6分

InPo-In