2022-2023學(xué)年山西省臨汾市八年級上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷含詳解

山西省2022?2023學(xué)年度八年級階段評估（A）

數(shù)學(xué)

A上冊1.1?2.6<

注意事項：共三大題，23小題，滿分120分，答題時間120分鐘.

一、選擇題（本大題共10個小題,每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一

項符合題目要求）

1.2的平方根為（)

A.4B.+4C.72D.士五

2.下列各組數(shù)中,是勾股數(shù)的是()

5

A.8,15,17B.2,C.1,-^2.,6D.4,5,6

2

3.在出，3.14,2.101001000100001...（每兩個1之間的0依次增加）,7中,無理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.已知直角三角形兩邊的長分別是3和4,求第三邊的長.琪棋的解答過程:“當(dāng)?shù)谌吺切边厱r，第三邊長為

斤不=5?當(dāng)?shù)谌吺侵苯沁厱r，第三邊長為"等=夜.故直角三角形第三邊長是5或琪棋的上述方

法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）

A.整體思想B.轉(zhuǎn)化思想C.數(shù)形結(jié)合思想D.分類討論思想

5.下列各式中，正確的是（）

A.>/4=±2B.^27=-3C.716=8D.=-2

6.估計后的值在（）

A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間

7.如圖，在一ABC中，ZBAC=90°,BC=6,以AB,AC為邊作正方形，這兩個正方形的面積和為（）

A.6B.36C.16D.49

8.若4是（-5）2的平方根，。的一個平方根是3,則代數(shù)式a-b的值為（）

A.—14或一4B.-14C.-4D.4或一14

9.如圖，圓柱形杯子底面直徑為7cm,高為24cm.將一根長36cm的木棒斜放在杯中，設(shè)木棒露在杯子外面的長

度為/?cm,則〃的最小值是（）

B.11C.12D.14

10.如圖，4BCD是長方形地面，長A8=10m,寬4）=5m,中間剛好有一堵墻，墻高M(jìn)V=lm,一只蝸牛從A點

則它至少要走（）

C.13mD.14m

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.比較大小：-石-2.（填“>”"=”或“V”）

12.64的立方根是.

13.在ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=5,則邊AB的長是.

14.定義新運算“☆”：“☆6=麻斤.則6☆（3翁5）=.

15.如圖，AfiC的頂點在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，CDLAB于點O,則80的長為

三、解答題（本大題共8個小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（1）計算：M-#-27+卜+（一-3）°.

（2）求x的值：8（x—1）3—27=0.

17.如圖，5x5方格中每個小正方形的邊長都為1.

圖(1)圖(2)

(1)圖(1)中正方形ABCD的面積為,邊長為.

(2)在圖(2)的數(shù)軸上，用圓規(guī)找出實數(shù)J萬-1的準(zhǔn)確位置.

18.如圖，在海面上有兩個疑似漂浮目標(biāo)A、B,接到消息后，兩艘搜救艇同時從港口。出發(fā)趕往目的地.一艘搜

救艇以6海里/時的速度沿北偏東60。的方向向目標(biāo)A前進(jìn)，同時另一艘搜救艇以8海里/時的速度向目標(biāo)B前進(jìn)，

1.5小時后，他們同時分別到達(dá)目標(biāo)A、B,此時，他們相距15海里，請問第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少

度？

19.已知實數(shù)2x-l和x-5是正數(shù)a的兩個平方根.

(1)求x和a的值.

⑵求61-4的立方根.

20.閱讀與思考

閱讀下面的文字，并完成相應(yīng)的任務(wù).

大家知道近是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此近的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，我們可以減去它

的整數(shù)部分就可以得到小數(shù)部分，于是我們需要先對這個數(shù)進(jìn)行估值.因為"＜近＜囪，即2＜近＜3,所以4

的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為々-2.

任務(wù)：已知。是J萬-3的整數(shù)部分，6是J萬-3的小數(shù)部分.

⑴求a,6的值.

(2)求(-a)，+(〃+4)2的算術(shù)平方根.

21.如圖，在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點A,B,其中A3=AC,由于某種原因，由C

到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點”，(A,H,8在一條直線上)，并修一條

路C”.測得C8=2千米，CH=1.6千米，〃8=1.2千米.

（1）問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明.

（2）求原來的路線AC的長.

22.綜合與實踐

問題情境：某消防隊在一次應(yīng)急演練中，消防員架起一架長25m的云梯A3,如圖，云梯斜靠在一面墻上，這時云

梯底端距墻腳的距離8C=7m,ZDCE-900.

獨立思考：（1）這架云梯頂端距地面的距離HC有多高？

深入探究：（2）消防員接到命令，按要求將云梯從頂端A下滑到A位置上（云梯長度不改變），A4，=4m,那么它

的底部B在水平方向滑動到8'的距離83'也是4m嗎？若是，請說明理由；若不是，請求出的長度.

問題解決：（3）在演練中，高24.3m的墻頭有求救聲，消防員需調(diào)整云梯去救援被困人員.經(jīng)驗表明，云梯靠墻擺

放時，如果云梯底端離墻的距離不小于云梯長度的（，則云梯和消防員相對安全.在相對安全的前提下，云梯的頂

端能否到達(dá)24.3m高的墻頭去救援被困人員？

1.D

【分析】利用平方根的定義求解即可.

【詳解】解：r2的平方根是土枝.

故選D.

【點睛】此題主要考查了平方根的定義，注意一個正數(shù)的平方根有2個，它們互為相反數(shù).

2.A

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)，結(jié)合勾股定理逆定理，逐個

進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、8,15,17

V82+152=289.172=289,

82+152=172,

???A組數(shù)是勾股數(shù)，符合題意；

n3c5

B、一>2>一

22

35

不是整數(shù)，

22

???B組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意；

C、1>

,:貶,百不是整數(shù)，

.?.C組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意；

D、4,5,6

V42+52=41.62=36,

，D組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了勾股數(shù)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股數(shù)的定義.

3.C

【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的

統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).由此即可判定選擇項.

【詳解】解：在6,3.14,2.101001000100001...（每兩個1之間的0依次增加），萬中,

3.14是有理數(shù)；

非,2.101001000100001...（每兩個1之間的0依次增加），乃是無理數(shù)；

所以，無理數(shù)有3個，

故選：C.

【點睛】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：兀，2兀等；開方開不盡的數(shù)；以及像

0.1010010001…(每兩個1之間的0依次增加1個)，等有這樣規(guī)律的數(shù).

4.D

【分析】已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論：①3是直角邊，4是斜

邊；②3、4均為直角邊：可根據(jù)勾股定理求出上述兩種情況下，第三邊的長體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想，故可

得答案

【詳解】解：①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時：

第三邊的長為："二三=。；

②長為3、4的邊都是直角邊時：

第三邊的長為：仔仔=5；

綜上，第三邊的長為：5或近.

所以，這種解題的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想，

故選：D.

【點睛】此題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用，要注意的是由于已知的兩邊是直角邊還是斜邊并不明確，所以一定要

分類討論.

5.B

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義分別計算各個式子得出結(jié)果，容易得出結(jié)論.

【詳解】解：,.."=2，，A不正確；

:正刃'=-3,，B正確；

：=4,C不正確；

""""(-2)。==2?D不正確；

故選：B.

【點睛】本題考查了算術(shù)平方根和立方根的定義；熟練計算算術(shù)平方根和立方根是解題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】找到與后接近的兩個連續(xù)的有理數(shù)，進(jìn)而分析得出答案.

【詳解】解：；框<而<后，即：4<>/23<5,

...后的值在4和5之間，

故選：C.

【點睛】本題主要考查的是估算無理數(shù)的大小，正確得出與無理數(shù)接近的兩個連續(xù)的整數(shù)是解決此類型題目的關(guān)鍵,

“無限逼近法”是估算的一般方法，也是常用方法.

7.B

【分析】設(shè)A8=a,AC=b,根據(jù)勾股定理可得5?2=〃2+k=62,即可求解.

【詳解】解：設(shè)AB=a,AC="

由勾股定理得：BC2=a2+b2=62=36(

所以這兩個正方形的面積和為36.

故選：B.

【點睛】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

8.A

【分析】先依據(jù)平方根的定義和性質(zhì)求得久。的值，然后依據(jù)有理數(shù)的減法法則求解即可.

【詳解】解：。是(-5)2的平方根，

6Z=±5,

6的一個平方根是3,

:.b=9,

?,.當(dāng)a=5,6=9時，a-b=-A-,

當(dāng)a=-5,匕=9時，a-b=-14.

故選：A.

【點睛】本題主要考查的是平方根的定義，依據(jù)平方根的定義求得以〃的值是解題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】根據(jù)杯子內(nèi)筷子的長度取值范圍得出杯子外面長度的取值范圍，即可得出答案.

【詳解】解：將一根長為36cm的筷子，置于底面直徑為7cm,高為24cm的圓柱形水杯中，

.?.在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最長是等于杯子斜邊長度，

當(dāng)杯子中筷子最短是等于杯子的高時，/1=36-24=12卜”)，

最長時等于杯子斜邊長度是：聲方'=25(前)，

止匕時/?=36-25=11,

??/的取值范圍是：

即人的最小值是11.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出杯子內(nèi)筷子的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵.

10.C

【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC的長，再把中間的墻平面展開，使原來的長方形長度增加而寬度不變,

求出新長方形的對角線長即可.

【詳解】解：如圖：將圖展開，圖形長度增加2m,原圖長度增加2m,則AB=10+2=12m,連接AC,

)

/

VfN

???四邊形ABCD是長方形，AB=12m,寬AD=5m,

?*-AC=yjAB2+BC2=V122+52=13m，

，蝸牛從A點爬到C點，它至少要走13m的路程.

故選：C.

【點睛】本題考查的是平面展開最短路線問題及勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形是解答此題的關(guān)鍵.

11.>

【分析】兩個負(fù)數(shù)比較絕對值大的反而小，由此得到答案.

【詳解】???道<2,

/->-2，

故答案為：>.

【點睛】此題考查實數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是掌握負(fù)實數(shù)都比0小，正實數(shù)都比0大，兩個負(fù)實數(shù)比較大小,

絕對值大的反而小.

12.4

【分析】根據(jù)立方根的定義即可求解.

【詳解】解：???43=64,

，64的立方根是4,

故答案為：4.

【點睛】此題主要考查立方根的定義，解題的關(guān)鍵是熟知立方根的定義.

13.734

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB即可.

【詳解】解：.；/。=90°,AC=3,BC=5,

?**AB=yjAC2+BC2=V32+52=取，

故答案為：V34.

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，注意：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

14.5

【分析】根據(jù)題目中給出的信息，列式計算即可.

（詳解］解：；=y/al>+l，

3☆5=J3x5+1=V15+1=V16=4,

/.6☆(3☆5)=6+4=/6x4+l=J24+1=^5=5

故答案為：5

【點睛】本題主要考查了新定義運算，解題的關(guān)鍵是理解題意，列出代數(shù)式，準(zhǔn)確計算算術(shù)平方根.

12

15.—

5

【分析】由勾股定理求出"=5,再由三角形面積求出CO,最后由勾股定理求解即可.

【詳解】解：由勾股定理得：AB=SK=5,

'：CD上AB,

：.ABC的面積=LXA8XCO=LX4X4,

22

故答案為：—.

【點睛】本題考查了勾股定理以及三角形面積，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

16.(1)7+G;(2)x=—

【分析】(1)原式利用平方根、立方根定義、絕對值的代數(shù)意義以及零指數(shù)基的運算法則計算即可求出值;

(2)方程整理后，利用立方根定義開立方即可求出x的值.

【詳解】解：(1)囪-近方+卜力|+(乃-3)。

=3-(-3)+^+1

=7+y/3.

(2)8(1)3-27=0,

8(x-iy=27,

3

由立方根的定義，得=

解得x=|.

【點睛】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

17.(1)17；風(fēng)

(2)見解析

【分析】(1)先由勾股定理求出正方形的邊長，再根據(jù)正方形的面積公式計算即可;

(2)根據(jù)題意畫出長為J萬的線段，再用尺規(guī)作圖即可.

【詳解】(1)正方形ABC。的面積=5x5-[xlx4x4=17,

2

則正方形ABCD的邊長為J萬，

故答案為：17：717；

(2)如圖，點P即為所求.

-10I2345

【點睛】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸、算術(shù)平方根的概念，掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

18.第二艘搜救艇的航行方向是北偏西30°

【分析】先由勾股定理逆定理判斷4408=90。，再求出N3OD=3()。即可得出結(jié)論.

【詳解】解：根據(jù)題意，得04=6x1.5=9海里，08=8x1.5=12海里.

因為032+OR2=122+92=225,=15?=225,

所以O(shè)82+OT=A82,

所以NAO3=90。.

因為NAO￡>=60。，

所以NBO￡>=30。，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西30。.

【點睛】此題主要考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，正確掌握勾股定理逆定理是解題關(guān)鍵.

19.(1)2,9

(2)2

【分析】(1)根據(jù)正數(shù)a的兩個平方根互為相反數(shù)，求出x的值是多少即可;

(2)把(1)中求出的x的值代6x-4,求出算式的立方根是多少即可.

【詳解】(1)因為實數(shù)2x-l和x-5是正數(shù)”的兩個平方根，

所以(2x-l)+(x—5)=0,

解得x=2.

則x-5=2-5=-3,

所以“=(-3)2=9.

(2)由(1)得x=2,所以6x-4=6x2—4=8,

所以6x-4的立方根是2.

【點睛】此題主要考查了立方根的性質(zhì)和運用，以及平方根的性質(zhì)和運用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確:

一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.

20.(l)a=l,b=y[n-4

⑵4

【分析】(1)根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)J萬的大小即可解決；

(2)把求得“，6的值代入計算即可.

【詳解】(1)解：因為屈〈布〈后,

所以4<JF7<5,

所以1<JF7-3<2,

所以a=l,。=炳-3-1=如-4；

(2)解：由(1)得。=1,b=Vr7—4，

所以(一a)'+S+4)2=(-Ip+(717-4+4)2=-1+17=16,

所以(-爐+(6+4)2的算術(shù)平方根是J記=4.

【點睛】本題考查估算無理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根的定義是正確計算的前提.

21.(1)是，見解析；(2)g千米

【分析】(1)先根據(jù)勾股定理逆定理證得一CH8是直角三角形，然后根據(jù)點到直線的距離中，垂線段最短即可解答;

(2)設(shè)AC=x,則=1.2,在Rt.ACH中，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：(1)是；

理由是：在CHB中,

CH2+BH