高中數(shù)學(xué)向量檢測(cè)題（難度大含解析）

高中數(shù)學(xué)向量檢測(cè)題〔難度大〕

一.選擇題〔共3小題〕

1.〔2014?〕△ABC的角A,B,C滿足sin2A+sinCA-B+C]=sin[C-A-B]+1,

2

面積S滿足1WSW2,記a,b,c分別為A,B,C所對(duì)的邊，在以下不等式一定成立的

是〔〕

A.be[b+c]>8B.ab[a+b]>16T/2C.6<abc<12D.12<abc<24

2.〔2010?模擬〕在AABC中，a=*,b=2,B=45°,假設(shè)這樣的AABC有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)

*的取值圍是〔〕

A.[2,+8]B.[0,2]C.[2,2①D.2〕

3.〔2012?模擬〕設(shè)AABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,假設(shè)

a2+b2=abcosC+J^absinC,則△ABC的形狀為〔〕

A.直角非等腰三角形B.等腰非等邊三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

二.填空題〔共8小題〕

4.〔2013?興慶區(qū)校級(jí)三?！吃贏ABC中，ZA=60°,BC=行，則AC+AB的最大值為.

5.〔2012?校級(jí)模擬〕AABC的三個(gè)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且A=30°,

B=45°,a=2,貝ijb=.

6.12012?鏡湖區(qū)校級(jí)模擬〕在AOAB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A[1,cosO],B[sinG,1],

6€（0,三],則當(dāng)aOAB的面積達(dá)最大值時(shí)，則e=.

2

7.〔2010?江門模擬〕在三角形ABC中，ZA,ZB,NC所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,

其外接圓的半徑R上1則（曉十b2+c2）（，—十二_L_）的最小值為.

36sin2Asin2Bsin2c

8.12009?〕在銳角AABC中，BC=1,B=2A,則匐的值等于,AC的取值圍為.

cosA

9.〔2014?一?！砄是銳角AABC的外接圓圓心，ZA=0,假設(shè)里理五評(píng)2后二2nll3,

sinCsinB

則m=.〔用e表示〕

10.〔2015?模擬〕在銳角AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a+2b=4,

asinA+4bsinB=6asinBsinC,則AABC的面積最小值時(shí)有c2=.

11.〔2015春?期末〕AABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，

線段MN經(jīng)過4ABC的中心G.假設(shè)aAGM的面積為工，則4AGN的面積為.

12

三.解答題〔共3小題〕

12.〔2015?新課標(biāo)n〕AABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分/BAC,4ABD面積是△

ADC面積的2倍.

〔1]求sin/B；

sinNC

〔2〕假設(shè)AD=1,DC=返，求BD和AC的長(zhǎng).

2

13.〔2015?四模〕在4ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,函數(shù)f〔*〕=2cos*sin

〔*-A〕+sinA〔*€R〕在*=且1處取得最大值.

12

〔1〕當(dāng)(0,Z)時(shí)，求函數(shù)f〔*〕的值域；

〔2〕假設(shè)a=7且sinB+sinC=136,求aABC的面積.

14

14.〔2015?一?！吃赼ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.cos2A+J=2cosA.

2

〔1〕求角A的大?。?/p>

〔2〕假設(shè)a=l,求△ABC的周長(zhǎng)1的取值圍.

高中數(shù)學(xué)向量檢測(cè)題〔難度大〕

參考答案與試題解析

一.選擇題〔共3小題〕

1.〔2014?〕ZXABC的角A,B,C滿足sin2A+sin[A-B+C]=sinCC-A-B]+1,

2

面積S滿足1WS<2,記a,b,c分別為A,B,C所對(duì)的邊，在以下不等式一定成立的

是〔〕

A.be〔b+c〕>8B.ab〔a+b〕>16A/2C.6<abc<12D.12<abc<24

【考點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用；二倍角的正弦.

【專題】三角函數(shù)的求值；解三角形.

【分析】根據(jù)正弦定理和三角形的面積公式，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)展證明即可得到結(jié)論.

【解答】解：?「△ABC的角A,B,C滿足sin2A+sin[A-B+C]=sinCC-A-B]+1,

2

sin2A+sin2B=-sin2C+_l,

2

sin2A+sin2B+sin2C=i,

2

/.2sinAcosA+2sin[B+C]cos[B-C]=?1,

2

2sinA[cos[B-C]-cos〔B+C〕〕=?1,

2

化為2sinA[-2sinBsin[-C]]=_1,

2

sinAsinBsinC=A.

8

設(shè)外接圓的半徑為R,

由正弦定理可得：二b=.c=2R,

sinAsinBsinC

由S=labsinC，及正弦定理得sinAsinBsinC=_L_=_l,

22R28

即R2=4S,

..?面積S滿足1<S<2,

.?.4WR2W8,即2WRW2近，

由sinAsinBsinC=°可得84abcW16&,顯然選項(xiàng)C,D不一定正確，

8

A.be[b+c]>abc>8,即be[b+c]>8,正確，

B.ab〔a+b〕>abc>8,即ab[a+b]>8,但ab〔a+b〕>16^2，不一定正確，

應(yīng)選：A

【點(diǎn)評(píng)】此題考察了兩角和差化積公式、正弦定理、三角形的面積計(jì)算公式、根本不等式等

根底知識(shí)與根本技能方法，考察了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題.

2.〔2010?模擬〕在AABC中，a=*,b=2,B=45",假設(shè)這樣的AABC有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)

*的取值圍是〔〕

A.[2,+8]B.[0,2]C.[2,2點(diǎn)]D.〔傳2]

【考點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；壓軸題.

【分析】先利用正弦定理表示出*,進(jìn)而根據(jù)B=45°可知A+C的值，進(jìn)而可推斷出假設(shè)有

兩解，則A有兩個(gè)值，先看Aw45°時(shí)推斷出A的補(bǔ)角大于135°,與三角形角和矛盾，

進(jìn)而可知A的圍，同時(shí)假設(shè)A為直角，也符合，進(jìn)而根據(jù)A的圍確定sinA的圍，進(jìn)而利

用*的表達(dá)式，求得*的圍，

【解答】解：由正弦定理可知「^一^,求得*=26sinA

sinAsinB

A+C=180°-45°=135°

有兩解，即A有兩個(gè)值

這兩個(gè)值互補(bǔ)

假設(shè)A<45°

則由正弦定理得A只有一解，舍去.

.-.45°<A<135°

又假設(shè)A=90°,這樣補(bǔ)角也是90度，一解，A不為90°

所以返<sinAv1

2

:*=2/^sinA

：.2<*<2yf2

應(yīng)選C

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了正弦定理的運(yùn)用，解三角形問題.考察了學(xué)生推理能力和分類討論

的思想的運(yùn)用.

3.〔2012?模擬〕設(shè)AABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,假設(shè)

a2+b2=abcosC+^/3absinC,貝!]△ABC的形狀為〔〕

A.直角非等腰三角形B.等腰非等邊三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【考點(diǎn)】余弦定理.

【專題】計(jì)算題；壓軸題.

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】在解三角形時(shí)，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于邊角互化，

使用時(shí)要注意一般是等式兩邊是關(guān)于三邊的齊次式.而余弦定理在使用時(shí)一般要求兩邊有平

方和的形式.

5.〔2012?校級(jí)模擬〕AABC的三個(gè)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且A=30°,

B=45°,a=2,貝豆

【考點(diǎn)】正弦定理.一

【專題】計(jì)算題；壓軸題；解三角形.

【分析】利用正弦定理_聲_=_7^即可求得答案.

sinAsinB

【解答】解：Z\ABC中，???A=30°,B=45°,a=2,

由正弦定理_2_=_得：一^—=—

sinAsinBsin30sin45

b=2xHI__=2>/2-

sinSO*

故答案為：2日

【點(diǎn)評(píng)】此題考察正弦定理的應(yīng)用，屬于根底題.

6.〔2012?鏡湖區(qū)校級(jí)模擬〕在AOAB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A[1,cosG],B〔sin。，1〕，

ee(o,則當(dāng)aoAB的面積達(dá)最大值時(shí)，則e=2L

【考點(diǎn)】正弦定理.

【專題】綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合.

【分析】根據(jù)題意在平面直角坐標(biāo)系中，畫出單位圓O,單位圓。與*軸交于M,與y軸交

于N,過M,N作y軸和*軸的平行線交于P,角。如下圖，所以三角形AOB的面積就等

于正方形OMPN的面積減去三角形OAM的面積減去三角形OBN的面積，再減去三角形

APB的面積，分別求出各自的面積，利用二倍角的正弦函數(shù)公式得到一個(gè)角的正弦函數(shù)，

根據(jù)正弦函數(shù)的值域及角度的圍即可得到三角形面積最大時(shí)9所取的值.

【解答】解：如圖單位圓。與*軸交于M,與y軸交于N,

過M,N作y軸和*軸的平行線交于P,

貝i]S=S-S-S-S

AOAB正方形OMPNAOMAAONBAABP

=1-J.[sin0X1]-A[cosQx1]--L[1-sinQ][1-cos0]

222

=■1-2.sincos0=A-2.sin20

2224

因?yàn)閑eco,2L],2ee[0,兀],

2

所以當(dāng)2。=兀即6=工時(shí)，sin26最小，

2

三角形的面積最大，最大面積為1.

2

故答案為：2L

2

【點(diǎn)評(píng)】此題考察學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，利用運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合的數(shù)學(xué)

思想解決實(shí)際問題，掌握利用正弦函數(shù)的值域求函數(shù)最值的方法，是一道中檔題.

7.〔2010?江門模擬〕在三角形ABC中，NA,ZB,NC所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,

11

其外接圓的半徑R挈，則(/+匕2十(^―+)..)的最小值為

防sin2AsinZBsin2c

25

-6"

【考點(diǎn)】正弦定理；函數(shù)的最值及其幾何意義.

【專題】計(jì)算題；壓軸題.

【分析】先利用正弦定理用a,b和c以及R分別表示出sinA,sinB,sinC,進(jìn)而把原式

展開后利用根本不等式求得其最小值.

【解答】解：由正弦定理可知-7a-二_^L^=2R

sinAsinBsinC

「.sinA=巨，sinB=_k_,sinC=_2_

2R2R2R

(z2+b2+c2)(—^~十—+—)

sin2Asin2BsinC

=4R2〔a2+b2+c2〕〔L+1+-L]

22

abc

222222

=4R2〔3+月_+旦+3_+￡_+J+且〕>4R2〔3+2+2+2]=絲〔當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)

2222122fi

kbacabcu

成立〕.

故答案為：25

6

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了正弦定理的應(yīng)用，根本不等式在最值問題中的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是

利用正弦定理把問題轉(zhuǎn)化為邊的問題，進(jìn)展解決.

8.〔2009?〕在銳角AABC中，BC=1,B=2A,則/L的值等于2,AC的取值圍為

cosA——

6〕?

【考點(diǎn)】正弦定理；同角三角函數(shù)根本關(guān)系的運(yùn)用.

【專題】綜合題；壓軸題.

【分析】〔1〕根據(jù)正弦定理和B=2A及二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得值；

〔2〕由〔1〕得至ijAC=2cosA,要求AC的圍，只需找出2cosA的圍即可，根據(jù)銳角AABC

和B=2A求出A的圍，然后根據(jù)余弦函數(shù)的增減性得到cosA的圍即可.

【解答】解：〔1〕根據(jù)正弦定理得：

ginBginA

因?yàn)锽=2A,化簡(jiǎn)得____組____三二一即A。=2；

2ginAcosAginAcosA

〔2〕因?yàn)閍ABC是銳角三角形，C為銳角，

所以A+B>E，由B=2A得到A+2A>匹且2A=B<?L從而解得：2L<A<2L,

22264

于是J^<2COSA<6,由[1〕的結(jié)論得2cosA=AC,故如<蚊<如.

故答案為：2,即,6〕

【點(diǎn)評(píng)】考察學(xué)生靈活運(yùn)用正弦定理及二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)求值，此題的突破點(diǎn)是根據(jù)三

角形為銳角三角形、角和定理及B=2A變換角得到角的圍.

9.〔2014?一模〕O是銳角AABC的外接圓圓心，ZA=G,假設(shè)翼無伴區(qū)正次而,

sinCsinB

貝！]m=sin0.〔用0表示〕

【考后應(yīng)弦定理；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；兩角和與差的余弦函數(shù).

【專題】計(jì)算題；壓軸題.

【分析】根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，取AB的中點(diǎn)為D,根據(jù)平面向量的平行四邊形法則可

得而二百十而1，代入的等式中，連接。D,可得而1標(biāo)，可得其數(shù)量積為0,在化簡(jiǎn)后的

等式兩邊同時(shí)乘以瓦，整理后利用向量模的計(jì)算法則及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，

再利用正弦定理變形，并用三角函數(shù)表示出m,利用誘導(dǎo)公式及三角形的角和定理得到

cosB=-cos[A+C],代入表示出的m式子中，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),

抵消合并約分后得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把NA=6代入即可用0的三角函數(shù)表示出m.

【解答】解：取AB中點(diǎn)D,則有而二元十而，

代入理五例證記導(dǎo)：

sine-sinb

舞而笆正二2nl（W+D0），

sinCsinB

由瓦，同，得而?標(biāo)=0,

，兩邊同乘三，化簡(jiǎn)得:

擊而需小而斗廟+此▼AB=mAB,

pncosB2.cosC.82

同.cc+,abc-cosA=me'

sinCsinb

由正弦定理_a_=_k_=_^化簡(jiǎn)得：

sinAsinBsinC

cosBcosC

sin2csinBsinCcosA=insin2C,

sinCsinB

由sinCwO,兩邊同時(shí)除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC,

?.mrn_-_c_o_s_B_+_c_o_s_A_c__o_s_C—__-__c_o_s__(_A_+_C_)___+_c_o_s_A_c_o_s_C

sinCsinC

=-GosAcosC+sinAsinC+cosAcosC=sjn^

sinC

又NA=e,

貝ijm=sin0.

故答案為：sine

【點(diǎn)評(píng)】此題考察了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角形外接圓的性質(zhì)，利用兩向量

的數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系，誘導(dǎo)公式，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握定

理及公式是解此題的關(guān)鍵.

10.〔2015?模擬〕在銳角4ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a+2b=4,

asinA+4bsinB=6asinBsinC,plijAABC的面積最小值時(shí)有c2=5-&Z5.

13

【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理.

【專題】解三角形；不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】運(yùn)用正弦定理和面積公式可得，a2+4b2=12S,運(yùn)用根本不等式，可得a=2,b=l,

S取得最小值2,求得ainC,再由同角的平方關(guān)系，求得cosC,再由余弦定理，即可得到

3

所求值.

【解答】解：由正弦定理，asinA+4bsinB=6asinBsinC即為

a2+4b2=6absinC,又S=3absinC,

2

即有a2+4b2=12S,

由于a+2b=4,即有a2+4b2=[a+2b]2-4ab=16-4ab,

即有4ab=16-12S,

由4ab42〔時(shí)2目〕2=8,

2

即有16-12S48,解得S>2.

3

當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=2,取得等號(hào).

當(dāng)a=2,b=l,S取得最小值2,

3

sinC=2,〔C為銳角〕，則cosC=J1_$=亞.

3V93

貝I]c2=a2+b2-2abcosC=4+1-2x2x1XYf

3

=5-±/5.

3

故答案為：5-2匹.

3

【點(diǎn)評(píng)】此題考察正弦定理和余弦定理及面積公式的運(yùn)用，同時(shí)考察根本不等式的運(yùn)用，考

察運(yùn)算能力，屬于中檔題.

11.〔2015春?期末〕AABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，

線段MN經(jīng)過4ABC的中心G.假設(shè)AAGM的面積為工，則4AGN的面積為YilL

1224

【考點(diǎn)】正弦定理.

【專題】解三角形.

【分析】設(shè)NAGM=Q,由可得AG,ZMAG的值，由正弦定理可得得GM=----------,

6sin(^+―)

6

由S“、.=_lGM?GA?sina=,「】------—=A,解得：cota=2-J^,又利用正弦定理

AGM26(?+cota)12

可得GN=---------返F—，則可求S…&GN?GA?sin〔兀-a〕=——3-------「的

6sin(a-2￡)AGN26(V3-cotCt)

6

值.

【解答】解：因?yàn)镚為邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心，

所以AG=2X且型，NMAG=2L,

32-36

由正弦定理一GM?二---------,得GM=----------

SLETT-sin(7U-Cl--)6sin(a+—)

666

S=GM，GA，Sina=sinQ

貝UAGM-|-=-1-，

7r

12sin6(日+cotQ)12

6

解得：cota=2-證，

又GN二----------------,得GN=----------叵---

TTIT7T

sirr-z-sin(a-)6sin(a~)

666

sin。1_______=」=“+1.

12sin(a--)6(e-cota)6(^3~2+V3)24

6

故答案為：、/1+工

24

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了正弦定理，三角形面積公式的綜合應(yīng)用，將AAGM、AAGN的面

積表示為a的函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

三.解答題〔共3小題〕

12.〔2015?新課標(biāo)II〕AABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分/BAC,4ABD面積是△

ADC面積的2倍.

[1]求￡nNB；

sinNC

〔2〕假設(shè)AD=1,DC=2返，求BD和AC的長(zhǎng).

2

【考點(diǎn)】正弦定理；三角形中的幾何計(jì)算.

【專題】解三角形.

【分析】〔1〕如圖，過A作AE1BC于E,由及面積公式可得BD=2DC,由AD平分/

BAC及正弦定理可得sin/B=AP義池口上月地sin/C=W義迎口4口照,從而得解

一BDDC

sin/B

sin/C

〔2〕由〔1〕可求BD=J，.過D作DM1AB于M,作DN1AC于N,由AD平分/BAC,

可求AB=2AC,令A(yù)C=*,貝i」AB=2*,利用余弦定理即可解得BD和AC的長(zhǎng).

【解答】解：〔1〕如圖，過A作AELBC于E,

CJBDXAE

.?△ABD—乙—2

S&IDC如XAE

BD=2DC,

?/AD平分/BAC

.'.ZBAD=ZDAC

在AABD中，____迎=_”-,?ain/R=W：sin/BAD

sinZBADsinZBBD

在AADC中，DC=AP,sin2c=ADXsinZDAC.

sinZDACsinZCDC

_?_sin/B=DC=l.??6分

.,ginZCBD2,

〔2〕由〔1〕知，BD=2DC=2X^2=A/2.

2

過D作DM1AB于M,作DN1AC于N,

?.,AD平分NBAC,

.-.DM=DN,

C[ABXDH

.___=2,

SAADC|ACXDN

AB=2AC,

令A(yù)C=*,貝iJAB=2*,

?."BAD=NDAC,

.'.cosZBAD=cosZDAC,

222

（2X）+i-（A/O）2xJl。（」）

由余弦定理可得：+1-----32）=-------?--,

2X2XX12XXX1

.-.*=1,

.-.AC=1,

???BD的長(zhǎng)為最，AC的長(zhǎng)為1.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了三角形面積公式，正弦定理，余弦定理等知識(shí)的應(yīng)用，屬于根本知

識(shí)的考察.

13.〔2015?四?！吃?ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,函數(shù)f〔*〕=2cos*sin

〔*-A〕+sinA〔*€R〕在*=且1處取得最大值.

12

〔1〕當(dāng)工6（0,2L｝時(shí)，求函數(shù)f〔*〕的值域；

〔2〕假設(shè)a=7且sinB+sinC=_12Ul,求△ABC的面積.

14

【考點(diǎn)】正弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的定義域和值域.

【專題】解三角形.

【分析】利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f〔*〕的解析式為$皿〔2*-人〕，由于函數(shù)在、旦

12

處取得最大值.令2X至Z-A=2kTT+H，其中k€z,解得A的值，

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〔1〕由于A為三角形角，可得A的值，再由*的圍可得函數(shù)的值域；

〔2〕由正弦定理求得b+c=13,再由余弦定理求得be的值，由AABC的面積等于_|bcsinA，

算出即可.

【解答】解：...函數(shù)f〔*〕=2cos*sin（*-A]+sinA

=2cos*sin*cosA-2cos*cos*sinA+sinA

=sin2*cosA-cos2*sinA=sin[2*-A]

又?.?函數(shù)f〔*〕=2cos*sin[*-A]+sinA〔*€R〕在丫衛(wèi)1處取得最大值.

A12

??■2X--A=2kK+—,其中k€z,

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即A-