湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2023-2024學年高三年級上冊9月起點考試數(shù)學試卷（含答案）

2023年湖北省高三9月起點考試

高三數(shù)學試卷

試卷滿分：應分

考試時間：2023年9月5日下午15:00-17:00

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證

號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試

卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿紙和

答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有

一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1.已知復數(shù)z滿足(l+i)z=2—i,則彳的虛部為

2.已知集合A=[x\x2-5x+4>0},集合B={xeZ||x-1|<2),則集合(CRA)Cl8的

元素個數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

3.設等差數(shù)列(a7a的前n項的和為Sn，滿足2a3-a5=7,a2+S7=12，則Sn的最大值為

A.14B.16C.18D.20

4.己知(2x+ay)(x-2y)4的所有項的系數(shù)和為3,則必產的系數(shù)為

A.80B.40C.-80D.-40

5.己知圓。的直徑48=4,動點M滿足MA=企"8,則點M的軌跡與圓0的相交弦長為

sV24V2?2V2/y

AA.-----RB.----------------C..nD.29V2

333

6.設函數(shù)/(x)=[，+2x+l,則函數(shù)y=f(/(x)—1)—1的零點個數(shù)為

(.Inxx>0

A.4B.5C.6D.7

7.已知來自甲、乙、丙三個學校的5名學生參加演講比賽，其中三個學校的學生人數(shù)分別

為1、2、2.現(xiàn)要求相同學校的學生的演講順序不相鄰，則不同的演講順序的種數(shù)為

A.40B.36C.56D.48

8.已知a=sin-,b=與9c=In2，則a,b,c的大小關系為

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

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二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分,每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求,全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是

A.若直線(a—l)x+y—1=0與直線2x+ay—2=0平行，則a=2或一1

B.數(shù)據(jù)1、5、8、2、7、3的第60%分位數(shù)為5

C.設隨機變fitX?B(12,1,則P(X=k)最大時，k=6

D.在A4BC中，若acosA=bcosB,則AABC為等腰三角形

10.已知函數(shù)f(x)=sinxcosx+V5cos24—?,則

A.點(i，0)為y=f(x)的一個對稱中心

B.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(一與，一上單調遞增

C.函數(shù)y=2f(x)在區(qū)間［。苗］上的值域為［1,2］

D.若函數(shù)y=/(%)在區(qū)間［0,a］上只有一條對稱軸和一個對稱中心，則”a4看兀

11.在邊長為2的正方體美8CD-281C1D1中,點M,N,P分別為48,方1，4。1的中點,則

A.PN"平面A、BCiB.點8到平面PMN的距離為期

C.D］N、DA,CM相交于一點D.平面PMN與正方體的截面的周長為6近

12.己知雙曲線/一9=1的左右頂點為4,42,左右焦點為尸1，尸2,直線』與雙曲線的左

右兩支分別交于P,Q兩點，則

A.若“止尸2=p則AP/尸2的面積為2店

B.存在弦PQ的中點為(1,1),此時直線1的方程為2x-y-1=0

C.若P4的斜率的范圍為［-8,-4］,則P&的斜率的范圍為［一：，一"

D.直線I與雙曲線的兩條漸近線分別交于M,N兩點，則PM=NQ

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.

13.若向量宿=(1，。方=(2,-1),且＞+2同=\a-2b\,則五+石與石的夾角為.

14.一家物流公司計劃建立倉庫儲存貨物，經過市場了解到下列信息:每月的土地占地費yi

(單位：萬元)與倉庫到車站的距離x(單位：km)成反比，每月庫存貨物費丫2(單

位：萬元)與x成正比.若在距離車站10km處建立倉庫，則yi與丫？分別為4萬元和

16萬元,則當兩項費用之和最小時x=(單位：萬元).

15.已知直線y=kx—1是曲線y=x+Inx與拋物線y=ax2+(2—2a)x—3的公切線，

貝a=.

16.在A4BC中，4B=AC=同,BC=2,將LABC繞著邊BC逆時針旋轉等后得到AD8C,

則三棱錐D-ABC的外接球的表面積為.

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四'解答題：本大題共6小題，共計70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步騎.

17.(10分)已知數(shù)列｛%｝的首項由=：,滿足4+1=/(nGN+).

?0n十工

(1)求證：數(shù)列｛/-1｝為等比數(shù)列；

(2)記數(shù)列｛2｝的前n項的和為Tn,求滿足條件Tn<100的最大正整數(shù)n.

18.(12分)已知a,b,c為A48C的三個內角A,B,C的對邊，且滿足:

acosB+V3asinB-b—c匚0

(1)求角A；

(2)若ZUBC的外接圓半徑為竽，求A4BC的周長的最大值.

19.(12分)如圖所示，在三棱柱ADF-8CE中，側面是邊長為2的菱形，乙4BC=/；

側面ABEF為矩形，AF=4,且平面ABC。1平面48EF.

(1)求證：BD1CF；

(2)設M是線段4F上的動點，試確定點M的位置,

使二面角M-BC-0的余弦值為手.

20.(12分)為了研究吸煙是否與患肺癌有關，某研究所采取有放回簡單隨機抽樣的方法,

調查了100人，得到成對樣本觀測數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計結果如下表所示：

肺癌

吸煙非肺癌患者肺癌患者合計

非吸煙者251035

吸煙者155065

合計4060100

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(1)依據(jù)小概率a=0.001的獨立性檢驗，分析吸煙是否會增加患肺癌的風險；

(2)從這100人中采用分層抽樣，按照是否患肺癌抽取5人，再從這5人中隨機抽2人,

記這2人中不患肺癌的人數(shù)為X,求X的分布列和均值；

(3)某藥廠研制出一種新藥，聲稱對治療肺癌的有效率為90%.現(xiàn)隨機選擇了10名肺癌

患者，經過使用藥物治療后，治愈的人數(shù)不超過7人.請問你是否懷疑該藥廠的宣傳,

請說明理由.

參考公式和數(shù)據(jù):

。)爐=標黑盤兩其中n=a+b+c+d；且x01001=10.828.

(2)0.98*0.430;概率低于0.08的事件稱為小概率事件，一般認為在一次試驗中是幾

乎不發(fā)生的.

21.(12分)已知函數(shù)rQ)=Ts2-x-21nx-T

(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間：

(2)若函數(shù)f(x)20在其定義域內恒成立，求a的范圍.

22.(12分)已知橢圓氏胃+蕓=1(￡1>6°)的離心率6=苧，且經過點(在，-1).

(1)求橢圓E的方程；

(2)設直線=丘+根與橢圓E交于兩點，且橢圓E上存在點M,使得四邊形

OAMB為平行四邊形,試探究：四邊形04MB的面積是否為定值？若是定值，求出四邊

形04MB的面積；若不是定值，請說明理由.

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2023年湖北省高三9月起點考試

高三數(shù)學答案

題號123456789101112

答案0BBDACDABCACACDACD

填空題：13.-14.515.-216.—

49

1.由于z===字=2=手，則2的虛部為,，故選以

l+i222

2.由于集合4=\x\x>4^x<1],集合B={xeZ\-l<x<3]={-1,0,1,2,3},

從而(CRA)n8=(1,4)n{-1,0,1,2,3}={2,3},故元素個數(shù)為2,故選B.

3.設{冊}的首項為由,公差為d,則7=2(%+2砌一(%+44)=%,

又(。1+d)+(7QI+2Id)=12=Q]=7,d=-2,

則%=7-2(n-1)=9-2n>0=l<n<4,

從而數(shù)列得前4項為正，其余項為負，故治的最大值為S4=16,故選B。

4.由已知可得:(24-a)=3na=l,

所以(2%+y)(x—2y>=(2x+y)(—32xy3+24%2y2+...)=_40x2y3+…

則x2y3的系數(shù)為-40，故選Do

5?明顯，圓。的半徑為2,其方程為：％2+/=4①

可設4(-2,0)，8(2,0),動點M(x,y)

由M4=y/2MB,從而有^/(x+2)2+y2=A/2,^/(x+2)24-y2

化簡得：x2+y2-12x+4=0②

由①一②可得相交弦的方程為：x=|帶入式①可求出丁=土殍，

故相交弦長為苧，故選A。

6.令￡=/(x)-1,則亦有/(t)=1,可求出t=-2或0或e

從而有/(%)=1+1=-1或1或0+1,從而相應方程的根的個數(shù)分別為1或3或2,

故函數(shù)y=/(/(%)-1)-1的零點個數(shù)為6,故選C。

7.設這5個人分別為:ABCDE,則要求B與C和D與E的演講順序都不能相鄰。

第一類：A在BC中間，此時再把D與E插空到這3人中間，

此時的不同的演講順序有//=24

第二類：A不在BC中間，此時先考慮B與C和D與E,他們的順序應相間排列，最后考慮

A,此時的不同的演講順序有度度超&=24

綜上可得：總共有48種不同的演講順序，故選D。

8.對于a,由sinx<久(0<x<小,貝"sing<?0.63，故a<0.63；

對于b,b=與>浮^=券=0.8,故b>0.8；

232

對于c,由于(e§)=e2?7.39<8=23,則由V2,從而可得In2>|弋0.67

同理，(藥=e3a20.08>16=24,則e彳>2,從而可得In2<*=0.75

所以有0.67Vc=In2Vo.75

綜上有：a<c<b故選A。

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9.對于A,由兩直線平行可得：a(a-l)=2na=2或一1

又a=2時，兩直線重合，舍去；經檢驗a=—1符合題意，故A錯誤。

對于B,這6個數(shù)據(jù)按從小到大排序為：123578,由6x60%=3.6,

則這組數(shù)據(jù)第60%分位數(shù)為第4個數(shù)，即為5,故B正確。

對于C,由(n+l)p=13xg=6.5,從而k=6時P(X=k)最大，故C正確。

對于D,由acosA=bcosB,可得sin4cos4=sinBcosB,

=sin(2A)=sin(28)，又0<24、2B<2n,則有24=2B或2A+28=兀，

nA=B或4+B=],故A4BC為等腰三角形或直角三角形，故D不正確。

10.明顯/(x)=；sin(2x)+與[1+cos(2x)]—4=sin(2x+g)

對于A明顯成立，故A正確

對于B令t=2x+弓，由xe(―5,—則tef—

明顯：te(一手一；)即xe(-泉一用時y=/(x)遞減，故B不正確

對于C由t=2%+卜,及xG[o用則tG[py]=>sinte[1,1],

則y=2/(x)在區(qū)間[0用上的值域為[1,2],故C正確

對于D由t=2x+g,及xe[0,a]則te仁,2a+Q由題意可知：n<2a+^<^-

OLOOJO4

從而得：，故D不正確

11.對于A明顯有PN〃8Ci又BCi￡平面ABC1，PN生平面A[BC]

仄而PN〃平面AiBCi成立,故A正確

對于B由等體積法：VB-PMN=Vp-BMN,

明顯有：ABMN的面積為Si,點P到A8MN的距離為由=1,

又在APMN中，PN=MN=五,PM=顯,可求出APMN的面積為S2=亨，

從而可得：|x^xd2=ix|xl042=亨，故B不正確

對于C由于MN〃CDi，則DiMCM相交于一點G,

從而有G€CMU平面ABCD,G€%NU平面441%。

則可得G€平面力BCDn平面44W1D=AD,即GGAD

所以有DiN,D4cM相交于一點G,故C正確

對于D平面PMN與正方體的截面為邊長為VI正六邊形PNMEFH,

(點E,F,H分別為B&CCiCDi的中點)則其周長為6位，故D正確

12.在雙曲線％2-9=1中，a=l,b=V2,c=V3

且4(—1,O),4。,0),心(一8，0),F2(V3,0)

對于A設P%=m,P尸2=九，由雙曲線定義得：m-n=2,

兩邊平方可得：m2+n2—2mn=4①

2

在APF/2中，由余弦定理可得：m24-n2—2mncos=(2A/3)

=>m2+n2—mn=12②聯(lián)立①②可得：mn=8

故APF[F2的面積為如rising=jx8xy=2后，故A正確

對于B由中點弦公式：4=孕=等=2,此時直線，的方程為y=2x-l

(1XQ1X1

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帶入雙曲線的方程消去y可得：2/-4x+3=0,此時A=-8<0,

此時直線/與雙曲線無公共點，說明此時直線［不存在，故B不正確

2

對于C設P(?n,7i),則——y=1=>n2=2(m2—1)

又直線P4與的斜率的乘積的心=焉,號=若=空呼=21

由于心€［-8,-4］從而可得：k2G.故c正確

對于D設直線l:y=kx+m帶入/—y=A(X)

(說明：4=1時(X)式表示雙曲線；4=0時(X)式表示雙曲線的兩條漸近線)

得(I—2)x2+2kmx+m2+2A=0,應滿足：(爐—2)。0,△>0

且明顯有：與+小=舞(與4無關)

這說明線段PQ的中點與線段MN的中點重合，故有PM=NQ成立，故D正確。

13.由于|a+2bl=\a-2b\0a1&?從而0=a?b=2—k=>fc=2,

則a+b=(3,1)，又b=(2,-1),則a+b與b的夾角的余弦值為cos6=屋后=”，

,vlO'V52

則a+b與b的夾角為彳。

4

14.由已知可設：乃=,，丫2=卜2久，且這兩個函數(shù)分別過(10,4),(10,16),

得好=10x4=40,fc2==|>從而yi=￥，%=￡(x>0),

成yi+乃=竺+管22戶?=16,當也=?即x=S時等號成立。

x5yjx5x5

15.先考慮、=kv-1與y=%+Inx相切，設切點的橫坐標為勺,

由y=x+Inx,則y，=1+：,

由相切的性質可得：①kxo—l=xo+lnxo及②k=1+工

x0

由②知：kxQ=1+x0帶入①可求出：In%。=0,從而有%o=1=k=2

再考慮y=2%—1與y=ax2+(2—2d)x—3相切

聯(lián)立方程，消去y,可得：Q/-2ax-2=0=Q=-2(a=0舍去)。

16.如圖所示，取BC的中點E,連接AE,DE,則明顯有/4E。=等，

由于A4BC與ABCO的外心G與F分另U在4E與DE上，

則三棱錐。-ABC的外接球的球心。在過點G且與平面力BC垂直的直線上。

由對稱性可知：/OEG=三，易求出力E=3,設AG=CG=%，則GE=3-x

在RtACEG中，有d=1+(3-￡)2=%=|,則AG=|

又在RtAOEG中，Z0EG==>0G=手，

從而在RtAOAG中，R2=。62+AG2=竺弁=言，

99

所以三棱錐。-ABC的外接球的表面積S=4nR2=等。

17.解：⑴由于即+1=言,=七="直，

即a-1Td)(n6N+)…(3分)

又.I號,所以數(shù)歹膾一1｝是首項為3,公比為的g等比數(shù)列…(5分)

⑵由⑴可知小—1=卜6廣=91+打?7…伯分)

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則7n=葭+|[1一?"]，且G關于n是遞增的…（8分）

又799<100,T100>100，所以滿足條件的最大正整數(shù)n=99…（10分）

18.解：（1）由已知可得：sinAcosB+V3sinAsinB=sinB4-sinC

=sinB+sin(4+8)=sinB+sin4cosB+sin8cosA???(2分)

由于sinB>0,則有1=V5sinA—cosA=2sin（4—看）=sin（4—…（4分）

又。<4<兀，則有一<4—，所以有=4=弓…（6分）

（2）由正弦定理可知：/4=2R=乎，則由4=f=a=2…（7分）

sin433'，

又有余弦定理可知：a2=b2+c2—2bccosA=>4=b24-c2—6c…(8分)

由于〃4-c2>2bc,則有4=b2+c2—be>2bc-be=be,即be<4,??(9分)

又4=匕2+—兒=(b+c)2—3bc,即(b+c)2=44-3bc<44-3x4=16

從而b+c<4（當力=c=2等號成立）???（11分）

則a+b+cW6，故A4BC的周長的最大值為6???（12分）

19.（1）證明：連接4C,在矩形ABE/中，明顯有：AFLAB

又平面ABCD1平面ABEF,平面ABCDn平面ABEF=AB

從而可得：AF1平面ABCD,又BD7平面ABCD,

從而可得：AF1BD…（3分）

又在菱形力BCD中AC1BD且4CC\AF=A

則BO1平面ACF又CFc平面ACF則B。1CF…（5分）

（2）如圖，建立空間直角坐標系，設M（0,0,t）（0<t<4）,且B（2,0,0）,

C(l,0,V3),則配=(—2,0,V3),BM=(-2,0,t)…(7分)

設m=(x,y,z)是平面MBC的一個法向量，

由0=m,BC=-2x+V3z及0=m,BM=-2x+tz

故可取?1=(百3t,2V3)???(9分)

又明顯，平面BCD的一個法向量為n=（0,0,1）…（10分）

由已知有-Icos（m,n）|=下產=1=2…（11分）

711V12+4t2'7

所以點M為AF的中點，使二面角M-BC-D的余弦值為苧…（12分）

20.解：（1）零假設為Ho：吸煙與患肺癌之間無關???（1分）

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算可得：%2100x(25x50-15x10)2

40x60x35x65

22,161>10,828???(3分)

273

依據(jù)小概率a=0.001的獨立性檢驗，認為為不成立，即吸煙會增加患肺癌的風險-（4分）

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（2）由已知可得：抽取的5人中，不患肺癌的有2人，患肺癌的有3人。

明顯：X的所有可能取值為：0,1,2,???（5分）

且P（X=0）=加/P（x=l）=警=|,^=2）=|=±

故X的分布列為：

X012

331

P

10510

…（7分）

X的均值為E（X）=0x^+1x|+2x^=5…（8分）

（3）隨機選取10個病人，治愈人數(shù)不超過于7人的概率為：

82910

P=1-C?00.9x0.1-C?oO-9x0.1-O.9

=1-45x0.430x0.01-10x0.430x0.9x0.1-0.430x0.81

=0.0712<0.08

從而該事件稱為小概率事件，一般認為在一次試驗中是幾乎不發(fā)生的，所以可以懷疑該藥廠

是虛假宣傳…（12分）

21.（l）.（x）=ax—]—：=-：-2（%>0）…分）

當aW0時，/■（%）<0恒成立，此時/（盼的遞減區(qū)間是（0，+為），無遞增區(qū)間???（2分）

當a>0時，考慮ax2—%—2=0,明顯A=14-8a>0,

且/工2=-1，則以2—X—2=0有一正一負兩個根，取正跟&=1+；：”

且當0<x<>若^時，/1（X）<0當x>心算時，/1（%）>0

此時八%）的遞減區(qū)間是（0,小筍），遞增區(qū)間為（匕事，+8）…（4分）

綜上可得：當aS0時，f（x）的遞減區(qū)間是（0,+