專(zhuān)題1二次函數(shù)與等腰三角形問(wèn)題-挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘含答案

挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘專(zhuān)題1二次函數(shù)與等腰三角形問(wèn)題數(shù)學(xué)因運(yùn)動(dòng)而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)探究幾何圖形的變化規(guī)律問(wèn)題，動(dòng)態(tài)問(wèn)題的解答，一般要將動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問(wèn)題，抓住運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的不變量，利用不變的關(guān)系和幾何性質(zhì)建立關(guān)于方程(組)、函數(shù)關(guān)系問(wèn)題，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中，動(dòng)點(diǎn)形成的等腰三角形問(wèn)題是常見(jiàn)的一類(lèi)題型，可以與旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱(chēng)等幾何變化相結(jié)合，也可以與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象相結(jié)合，從而產(chǎn)生數(shù)與形的完美結(jié)合.解決動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題的重點(diǎn)和難點(diǎn)在于應(yīng)用分類(lèi)討論思想和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行準(zhǔn)確的分類(lèi).在討論等腰三角形的存在性問(wèn)題時(shí)，一般都要先分類(lèi)．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．解等腰三角形的存在性問(wèn)題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快．幾何法一般分三步：分類(lèi)、畫(huà)圖、計(jì)算．哪些題目適合用幾何法呢？如果△ABC的∠A(的余弦值)是確定的，夾∠A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來(lái)，那么就用幾何法．①如圖1，如果AB＝AC，直接列方程；②如圖2，如果BA＝BC，那么；③如圖3，如果CA＝CB，那么．代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長(zhǎng)，分類(lèi)列方程，解方程并檢驗(yàn)．如果三角形的三個(gè)角都是不確定的，而三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來(lái)，那么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，三邊長(zhǎng)(的平方)就可以羅列出來(lái)．圖1圖2圖3

【例1】(2021?朝陽(yáng))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A(﹣1，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)．(1)求拋物線的解析式及對(duì)稱(chēng)軸；(2)如圖1，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上，若∠BPD＝90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M是拋物線上位于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)△BMN為等邊三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．【例2】(2021?綏化)如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣5，0)，點(diǎn)B(1，0)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接BD．直線y＝經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與y軸交于點(diǎn)E．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)N是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△BDN是以DN為腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)F為線段AE上的一點(diǎn)，點(diǎn)G為線段OA上的一點(diǎn)，連接FG，并延長(zhǎng)FG與線段BD交于點(diǎn)H(點(diǎn)H在第一象限)，當(dāng)∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG時(shí)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．【例3】(2021?宿遷)如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1，0)，B(4，0)，與y軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖①，若點(diǎn)P在第四象限，點(diǎn)Q在PA的延長(zhǎng)線上，當(dāng)∠CAQ＝∠CBA+45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖②，若點(diǎn)P在第一象限，直線AP交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)H，當(dāng)△PFH為等腰三角形時(shí)，求線段PH的長(zhǎng)．【例4】(2021?懷化)如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線BC交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P是對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△MNB相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)D為CO的中點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)G從D點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)x軸上的點(diǎn)E，再走到拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)F，最后返回到點(diǎn)C．要使動(dòng)點(diǎn)G走過(guò)的路程最短，請(qǐng)找出點(diǎn)E、F的位置，寫(xiě)出坐標(biāo)，并求出最短路程．(4)點(diǎn)Q是拋物線上位于x軸上方的一點(diǎn)，點(diǎn)R在x軸上，是否存在以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△CQR？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例5】(2021?南充)如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，連接OQ，當(dāng)線段PQ長(zhǎng)度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說(shuō)明理由；(3)如圖2，在(2)的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得△BEF為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題組一】1．(2021?無(wú)為市三模)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣4ax+3a(a＞0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，其頂點(diǎn)為C．(1)求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；(2)當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求a的值；(3)直線l：y＝kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，并與拋物線交于另一點(diǎn)D(4，3)，點(diǎn)P為直線l下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PM∥y軸交直線l于點(diǎn)M，PN∥x軸交直線l于點(diǎn)N，記W＝PM+PN，求W的最大值．2．(2021?渝中區(qū)校級(jí)三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸相交于A(6，0)，B(﹣2，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，D為拋物線頂點(diǎn)，連接AD．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，P為直線AD下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合)，連接PA，PD，求△APD面積的最大值及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖3，連接AC，將直線AC沿射線DA方向平移個(gè)單位得到直線l，直線l與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N(M在N的左側(cè))，在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)K，使△CMK是以KC為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．(2021?廣東模擬)如圖，拋物線y＝x2+bx﹣1與x軸交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣，連接AC，BC．(1)求拋物線的解析式；(2)求△ABC的面積；(3)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．(2021?北碚區(qū)校級(jí)模擬)如圖，拋物線y＝x2﹣x﹣與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線l與拋物線交于另一點(diǎn)E(4，a)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)Q，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D．(1)求直線CE的解析式．(2)如圖2，P為直線CE下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，直線CE與x軸交于點(diǎn)F，連接PF，PC．當(dāng)△PCF的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PCF面積的最大值．(3)如圖3，連接CD，將(1)中拋物線沿射線CD平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)H，在直線QH上是否存在點(diǎn)G，使得△DQG為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．【題組二】5．(2020?山西模擬)綜合與實(shí)踐如圖，拋物線y=34x2?94x?3與x軸交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)求t為何值時(shí)，△BDE是等腰三角形；(3)在點(diǎn)D和點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在直線DE將△BOC的面積分成1：4兩份，若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．(2020?三水區(qū)一模)如圖，已知拋物線經(jīng)y＝ax2+bx﹣3過(guò)A(1，0)，B(3，0)，C三點(diǎn)．(1)求拋物線解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是BC上方拋物線上一點(diǎn)，作PQ⊥x軸交BC于Q點(diǎn)．請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使得△BPQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，連接AC，點(diǎn)D是線段AB上一點(diǎn)，作DE∥BC交AC于E點(diǎn)，連接BE，若△BDE∽△CEB，求D點(diǎn)坐標(biāo)．7．(2020?潮南區(qū)模擬)如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D．(1)求二次函數(shù)的解析式．(2)有一個(gè)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△MNB面積最大，試求出最大面積．(3)在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．8．(2020?南召縣一模)如圖，二次函數(shù)y=43x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3，0)，B(﹣1，0)，與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)P，Q同時(shí)從A(1)直接寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，將△APQ沿PQ翻折，若點(diǎn)A恰好落在拋物線上D點(diǎn)處，求出D點(diǎn)坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A，E，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題組三】9．(2020?番禺區(qū)一模)如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y＝ax2﹣x+b與直線y＝2交于A，C兩點(diǎn)，其對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝2，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，線段AC與y軸交于點(diǎn)B．(1)求拋物線的解析式，并寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)E為線段BC上一點(diǎn)，且EC﹣EA＝2，點(diǎn)P(0，t)為線段OB上不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，過(guò)點(diǎn)E作直線PE的垂線交x軸于點(diǎn)F，連接PF，探究在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PE，PF有何數(shù)量關(guān)系？并證明所探究的結(jié)論；(3)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為M，求當(dāng)t為何值時(shí)，△DMF為等腰三角形？10．(2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)如圖，拋物線y＝ax2?43x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，連結(jié)AC，已知B(﹣1，0)，且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)E是拋物線上位于x軸下方的一點(diǎn)，且S△ACE=12S△ABC，求(3)若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，以P、A、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．11．(2020?貴州省黔東南州中考第25題)已知拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣3)，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，﹣4)．(1)求拋物線的解析式．(2)在y軸上找一點(diǎn)E，使得△EAC為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)P、Q、B、D為頂點(diǎn)，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P、Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．(2020?山東省棗莊市中考第25題)如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A(﹣3，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為M(m，0)，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？(3)試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題組四】13．(2020?湖北省武漢市中考第24題)將拋物線C：y＝(x﹣2)2向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C1，再將拋物線C1向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C2．(1)直接寫(xiě)出拋物線C1，C2的解析式；(2)如圖(1)，點(diǎn)A在拋物線C1(對(duì)稱(chēng)軸l右側(cè))上，點(diǎn)B在對(duì)稱(chēng)軸l上，△OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(3)如圖(2)，直線y＝kx(k≠0，k為常數(shù))與拋物線C2交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，M為線段EF的中點(diǎn)；直線y=?4kx與拋物線C2交于G，H兩點(diǎn)，N為線段GH的中點(diǎn)．求證：直線14．(2021?建華區(qū)二模)綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣3x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)B(點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè))．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B坐標(biāo)；(2)設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)H，則S△BCH＝；(3)若點(diǎn)M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線ED平行y軸交x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，求ME長(zhǎng)的最大值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(4)在(3)的條件下：當(dāng)ME取得最大值時(shí)，在x軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)M、點(diǎn)B、點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．(2021?重慶模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣x+c(a≠0)與x軸交于A(﹣1，0)、B(3，0)兩點(diǎn)，直線AC與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線交于點(diǎn)D，OA＝OC．(1)求該拋物線與直線AC的解析式；(2)若點(diǎn)E是x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE、CE．求△ACE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)將原拋物線沿射線AD方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線：y1＝a1x2+b1x+c1(a≠0)，新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)F，在直線AD上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、D、F為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．x116．(2021?玄武區(qū)二模)已知二次函數(shù)y＝x2﹣(2m+2)x+m2+2m(m是常數(shù))．(1)求證：不論m為何值，該二次函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，將二次函數(shù)的圖象沿y軸翻折，所得圖象的頂點(diǎn)為B1，若△ABB1是等邊三角形，求m的值．【題組五】17．(2020?桂林)如圖，已知拋物線y＝a(x+6)(x﹣2)過(guò)點(diǎn)C(0，2)，交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸DE交x軸于點(diǎn)E，連接EC．(1)直接寫(xiě)出a的值，點(diǎn)A的坐標(biāo)和拋物線對(duì)稱(chēng)軸的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱(chēng)軸DE上的點(diǎn)，當(dāng)△MCE是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PE，將△PCE沿CE所在的直線對(duì)折，點(diǎn)P落在坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P′處．求當(dāng)點(diǎn)P′恰好落在直線AD上時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．18．(2020?岳陽(yáng))如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線F1：y＝a(x﹣)2+與x軸交于點(diǎn)A(﹣，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線F1的表達(dá)式；(2)如圖2，將拋物線F1先向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到拋物線F2，若拋物線F1與拋物線F2相交于點(diǎn)D，連接BD，CD，BC．①求點(diǎn)D的坐標(biāo)；②判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由；(3)在(2)的條件下，拋物線F2上是否存在點(diǎn)P，使得△BDP為等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．(2020?番禺區(qū)一模)如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y＝ax2﹣x+b與直線y＝2交于A，C兩點(diǎn)，其對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝2，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，線段AC與y軸交于點(diǎn)B．(1)求拋物線的解析式，并寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)E為線段BC上一點(diǎn)，且EC﹣EA＝2，點(diǎn)P(0，t)為線段OB上不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，過(guò)點(diǎn)E作直線PE的垂線交x軸于點(diǎn)F，連接PF，探究在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PE，PF有何數(shù)量關(guān)系？并證明所探究的結(jié)論；(3)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為M，求當(dāng)t為何值時(shí)，△DMF為等腰三角形？20．(2020?義烏市校級(jí)模擬)已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+c(a＜0)的圖象與它的對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)C(0，﹣2)，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)B．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若直線BC與二次函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，且BD＝，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(3)已知P在y軸上，且△POA為等腰三角形，若符合條件的點(diǎn)P恰好有2個(gè)，試直接寫(xiě)出a的值．挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘專(zhuān)題1二次函數(shù)與等腰三角形問(wèn)題數(shù)學(xué)因運(yùn)動(dòng)而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)探究幾何圖形的變化規(guī)律問(wèn)題，動(dòng)態(tài)問(wèn)題的解答，一般要將動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問(wèn)題，抓住運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的不變量，利用不變的關(guān)系和幾何性質(zhì)建立關(guān)于方程(組)、函數(shù)關(guān)系問(wèn)題，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中，動(dòng)點(diǎn)形成的等腰三角形問(wèn)題是常見(jiàn)的一類(lèi)題型，可以與旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱(chēng)等幾何變化相結(jié)合，也可以與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象相結(jié)合，從而產(chǎn)生數(shù)與形的完美結(jié)合.解決動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題的重點(diǎn)和難點(diǎn)在于應(yīng)用分類(lèi)討論思想和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行準(zhǔn)確的分類(lèi).在討論等腰三角形的存在性問(wèn)題時(shí)，一般都要先分類(lèi)．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．解等腰三角形的存在性問(wèn)題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快．幾何法一般分三步：分類(lèi)、畫(huà)圖、計(jì)算．哪些題目適合用幾何法呢？如果△ABC的∠A(的余弦值)是確定的，夾∠A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來(lái)，那么就用幾何法．①如圖1，如果AB＝AC，直接列方程；②如圖2，如果BA＝BC，那么；③如圖3，如果CA＝CB，那么．代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長(zhǎng)，分類(lèi)列方程，解方程并檢驗(yàn)．如果三角形的三個(gè)角都是不確定的，而三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來(lái)，那么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，三邊長(zhǎng)(的平方)就可以羅列出來(lái)．圖1圖2圖3

【例1】(2021?朝陽(yáng))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A(﹣1，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)．(1)求拋物線的解析式及對(duì)稱(chēng)軸；(2)如圖1，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上，若∠BPD＝90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M是拋物線上位于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)△BMN為等邊三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可．(2)如圖1中，連接BD，設(shè)BD的中點(diǎn)T，連接PT，設(shè)P(1，m)．求出PT的長(zhǎng)，構(gòu)建方程求出m即可．(3)分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí)，△BMN是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)B作BT⊥BN交NM的延長(zhǎng)線于T，設(shè)N(1，t)，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于E．如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，設(shè)N(1，n)，過(guò)點(diǎn)B作BT⊥BN交NM的延長(zhǎng)線于T．分別利用相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解．【解答】解：(1)把A(﹣1，0)，點(diǎn)C(0，3)的坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c，得到，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣＝1．(2)如圖1中，連接BD，設(shè)BD的中點(diǎn)T，連接PT，設(shè)P(1，m)．∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，C(0，3)，∴D(2，3)，∵B(3，0)，∴T(，)，BD＝＝，∵∠BPD＝90°，DT＝TB，∴PT＝BD＝，∴(1﹣)2+(m﹣)2＝()2，解得m＝1或2，∴P(1，1)或(1，2)．(3)當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí)，△BMN是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)B作BT⊥BN交NM的延長(zhǎng)線于T，設(shè)N(1，t)，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于E．∵△BMN是等邊三角形，∴∠NMB＝∠NBM＝60°，∵∠NBT＝90°，∴∠MBT＝30°，BT＝BN，∵∠NMB＝∠MBT+∠BTM＝60°，∴∠MBT＝∠BTM＝30°，∴MB＝MT＝MN，∵∠NBE+∠TBJ＝90°，∠TBJ+∠BTJ＝90°，∴∠NBE＝∠BTJ，∵∠BEN＝∠TJB＝90°，∴△BEN∽△TJB，∴＝＝＝，∴BJ＝t，TJ＝2，∴T(3+t，2)，∵NM＝MT，∴M(，)，∵點(diǎn)M在y＝﹣x2+2x+3上，∴＝﹣()2+2×+3，整理得，3t2+(4+2)t﹣12+4＝0，解得t＝﹣2(舍棄)或，∴M(，)．如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，設(shè)N(1，n)，過(guò)點(diǎn)B作BT⊥BN交NM的延長(zhǎng)線于T．同法可得T(3﹣n，﹣2)，M(，)，則有＝﹣()2+2×+3，整理得，3n2+(2﹣4)n﹣12﹣4＝0，解得n＝或2(舍棄)，∴M(，)，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為或．【例2】(2021?綏化)如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣5，0)，點(diǎn)B(1，0)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接BD．直線y＝經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與y軸交于點(diǎn)E．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)N是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△BDN是以DN為腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)F為線段AE上的一點(diǎn)，點(diǎn)G為線段OA上的一點(diǎn)，連接FG，并延長(zhǎng)FG與線段BD交于點(diǎn)H(點(diǎn)H在第一象限)，當(dāng)∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG時(shí)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．【分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；(2)分兩種情況：①當(dāng)DN＝DB時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性即可求得答案，②當(dāng)DN＝BN時(shí)，方法一：N在BD的垂直平分線上，BD的垂直平分線交BD于I，交x軸于點(diǎn)Q，BD與y軸交點(diǎn)為K，利用三角函數(shù)得出sin∠IQB＝＝，運(yùn)用待定系數(shù)法求得yQI＝，通過(guò)解方程組即可求得答案；方法二：過(guò)點(diǎn)N作DS⊥NT交NT于點(diǎn)S，設(shè)N(a，﹣a2﹣4a+5)，D(﹣2，9)，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式即可求出答案；(3)在AE上取一點(diǎn)F，作AF的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，連接MF，則AM＝MF，在AO上M點(diǎn)的右側(cè)作FG＝MF，過(guò)點(diǎn)F作FP垂直于x軸于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)H作HR垂直于x軸于點(diǎn)R，證明△FPG∽△HRG，設(shè)F(m，﹣﹣)，則OP＝﹣m，PF＝m+，運(yùn)用勾股定理即可求解．【解答】解：(1)將A(﹣5，0)，B(1，0)代入拋物線y＝ax2+bx+5(a≠0)得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣4x+5；(2)∵D(﹣2，9)，B(1，0)，點(diǎn)N是拋物線上的一點(diǎn)且△BDN是以DN為腰的等腰三角形，∴此題有兩種情形：①當(dāng)DN＝DB時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性得：A與N重合，∴N1(﹣5，0)，②方法一：當(dāng)DN＝BN時(shí)(如圖1)，N在BD的垂直平分線上，BD的垂直平分線交BD于I，交x軸于點(diǎn)Q，BD與y軸交點(diǎn)為K，∵∠KBO+∠OKB＝90°，∠KBO+∠IQB＝90°，∴∠OKB＝∠IQB，在Rt△OKB中，sin∠OKB＝，∴sin∠IQB＝＝，∵I是BD的中點(diǎn)，BD＝3，∴BI＝，∴BQ＝15，∴Q(﹣14，0)，I(，)設(shè)yQI＝kx+b，代入得：，解得：，∴yQI＝，聯(lián)立得：，解得：x＝，∴yQI＝，N2(，)，N3(，)，方法二：如圖2，過(guò)點(diǎn)N作DS⊥NT交NT于點(diǎn)S，設(shè)N(a，﹣a2﹣4a+5)，D(﹣2，9)，∵DN＝DB，∴DS2+SN2＝NT2+TB2，∴(﹣2﹣a)2+(9+a2+4a﹣5)2＝(﹣a2﹣4a+5)2+(1﹣a)2，(2+a)2﹣(1﹣a)2＝(a2+4a﹣5)2﹣(9+a2+4a﹣5)2，(2+a+1﹣a)(2+a﹣1+a)＝(a2+4a﹣5+a2+4a+4)(a2+4a﹣5﹣a2﹣4a﹣4)，解得：a＝，把a(bǔ)＝代入﹣a2﹣4a+5＝﹣()2﹣4()+5＝，∴N2(，)，N3(，)，綜上所述，N1(﹣5，0)，N2(，)，N3(，)；(3)如圖1，在AE上取一點(diǎn)F，作AF的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，連接MF，則AM＝MF，在AO上M點(diǎn)的右側(cè)作FG＝MF，∴∠FGM＝∠FMG，∴∠EFG＝∠BAE+∠FGM＝∠BAE+∠FMG＝∠BAE+2∠BAE＝3∠BAE，移動(dòng)F點(diǎn)，當(dāng)HG＝2FG時(shí)，點(diǎn)F為所求．過(guò)點(diǎn)F作FP垂直于x軸于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)H作HR垂直于x軸于點(diǎn)R，∴△FPG∽△HRG，∴＝＝＝，GR＝2PG，HR＝2PF，設(shè)F(m，﹣﹣)，則OP＝﹣m，PF＝m+，HR＝2PF＝m+5，∵AP＝m+5，∴AP＝2PF，∵AM＝AP﹣MP＝2PF﹣MP，MF＝AM，∴在Rt△PMF中，PM2+PF2＝MF2，PM2+PF2＝(2PF﹣MP)2，∴PM＝PF＝×＝m+，∴GP＝m+，∴GR＝2PG＝m+，∴PR＝3PG＝3PM，∴AR＝AP+PR＝AP+3PM＝2PF+3×PF＝＝，∴OR＝，∴H(，m+5)，∵B(1，0)，D(﹣2，9)，∴BD解析式為：yBD＝﹣3x+3，把H代入上式并解得：m＝﹣，再把m＝﹣代入y＝﹣x﹣得：y＝﹣，∴F(﹣，﹣)．【例3】(2021?宿遷)如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1，0)，B(4，0)，與y軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖①，若點(diǎn)P在第四象限，點(diǎn)Q在PA的延長(zhǎng)線上，當(dāng)∠CAQ＝∠CBA+45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖②，若點(diǎn)P在第一象限，直線AP交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)H，當(dāng)△PFH為等腰三角形時(shí)，求線段PH的長(zhǎng)．【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)式可直接求得拋物線表達(dá)式；(2)易證△AOC∽△COB，從而得出∠BAP＝45°，結(jié)合P點(diǎn)在拋物線上，可求P坐標(biāo)；(3)設(shè)PH與x軸的交點(diǎn)為Q，P(a，)則H(a，)，PH＝．分三種情況討論：①FP＝FH，易證∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ＝∠BCO，所以tan∠APQ＝tan∠BCO＝2，即AQ＝2PQ，從而可解出P的坐標(biāo)和PH的長(zhǎng)；②PF＝PH，∠CFA＝∠PFH＝∠PHF＝∠BHQ＝∠FCO，在Rt△ACF中，可求CF長(zhǎng)度，進(jìn)而求出F坐標(biāo)，直線AF的解析式，聯(lián)立拋物線解析式可求a；③HF＝HP，由∠AFC＝∠PFH＝∠PHF，易證AP平分∠CAB，過(guò)C作CE∥AB交AP于E，則CE＝AE＝，進(jìn)而求出E坐標(biāo)，直線AE的解析式，聯(lián)立拋物線解析式可求a．【解答】解：(1)∵A(﹣1，0)，B(4，0)是拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，且二次項(xiàng)系數(shù)a＝，∴根據(jù)拋物線的兩點(diǎn)式知，y＝．(2)根據(jù)拋物線表達(dá)式可求C(0，2)，即OC＝2．∴＝＝2，∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO＝∠CBO，∴∠QAB＝∠QAC+∠CAO＝∠CBA+45°+∠CAO＝∠ACO+∠CAO+45°＝135°，∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°，設(shè)P(m，n)，且過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，則△ADP是等腰直角三角形，∴AD＝PD，即m+1＝﹣n①，又∵P在拋物線上，∴②，聯(lián)立①②兩式，解得m＝6(﹣1舍去)，此時(shí)n＝﹣7，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(6，﹣7)．(3)設(shè)PH與x軸的交點(diǎn)為Q，P(a，)，則H(a，)，PH＝，若FP＝FH，則∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ＝∠BCO，∴tan∠APQ＝tan∠BCO＝2，∴AQ＝2PQ，即a+1＝2()，解得a＝3(﹣1舍去)，此時(shí)PH＝．若PF＝PH，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥y軸于點(diǎn)M，∴∠PFH＝∠PHF，∵∠CFA＝∠PFH，∠QHB＝∠PHF，∴∠CFA＝∠QHB，又∵∠ACF＝∠BQH＝90°，∴△ACF∽△BQH，∴CF＝AC＝，在Rt△CMF中，MF＝1，CM＝，F(xiàn)(1，)，∴AF：，將上式和拋物線解析式聯(lián)立并解得x＝(﹣1舍去)，此時(shí)PH＝．若HF＝HP，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交AP于點(diǎn)E(見(jiàn)上圖)，∵∠CAF+∠CFA＝90°，∠PAQ+∠HPF＝90°，∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，∴∠CAF＝∠PAQ，即AP平分∠CAB，∴CE＝CA＝，∴E(，2)，∴AE：，聯(lián)立拋物線解析式，解得x＝5﹣(﹣1舍去)．此時(shí)PH＝．∴當(dāng)FP＝FH時(shí)，PH＝；當(dāng)PF＝PH時(shí)，PH＝；當(dāng)HF＝HP時(shí)，PH＝；【例4】(2021?懷化)如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線BC交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P是對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△MNB相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)D為CO的中點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)G從D點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)x軸上的點(diǎn)E，再走到拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)F，最后返回到點(diǎn)C．要使動(dòng)點(diǎn)G走過(guò)的路程最短，請(qǐng)找出點(diǎn)E、F的位置，寫(xiě)出坐標(biāo)，并求出最短路程．(4)點(diǎn)Q是拋物線上位于x軸上方的一點(diǎn)，點(diǎn)R在x軸上，是否存在以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△CQR？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；(2)當(dāng)∠CP′M為直角時(shí)，則P′C∥x軸，即可求解；當(dāng)∠PCM為直角時(shí)，用解直角三角形的方法求出PN＝MN+PM＝6+＝，即可求解；(3)作點(diǎn)C關(guān)于函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′(2，8)，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′(0，﹣4)，連接C′D′交x軸于點(diǎn)E，交函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)F，則點(diǎn)E、F為所求點(diǎn)，進(jìn)而求解；(4)分兩種情況，證明△ANQ≌△QMC(AAS)，則QN＝CM，即可求解．【解答】解：(1)由題意得，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(﹣2，0)、(4，0)、(0，8)，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2+bx+c，則，解得，故拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+8；(2)存在，理由：當(dāng)∠CP′M為直角時(shí)，則以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△MNB相似時(shí)，則P′C∥x軸，則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(1，8)；當(dāng)∠PCM為直角時(shí)，在Rt△OBC中，設(shè)∠CBO＝α，則tan∠CBO＝＝2＝tanα，則sinα＝，cosα＝，在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，則BM＝＝3，同理可得，MN＝6，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，BC＝＝4，則CM＝BC﹣MB＝，在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，則PM＝＝＝，則PN＝MN+PM＝6+＝，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，8)或(1，)；(3)∵D為CO的中點(diǎn)，則點(diǎn)D(0，4)，作點(diǎn)C關(guān)于函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′(2，8)，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′(0，﹣4)，連接C′D′交x軸于點(diǎn)E，交函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)F，則點(diǎn)E、F為所求點(diǎn)，理由：G走過(guò)的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′為最短，由點(diǎn)C′、D′的坐標(biāo)得，直線C′D′的表達(dá)式為y＝6x﹣4，對(duì)于y＝6x﹣4，當(dāng)y＝6x﹣4＝0時(shí)，解得x＝，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，故點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為(，0)、(1，2)；G走過(guò)的最短路程為C′D′＝＝2；(4)存在，理由：①當(dāng)點(diǎn)Q在y軸的右側(cè)時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，﹣x2+2x+8)，故點(diǎn)Q作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)N，交過(guò)點(diǎn)C與x軸的平行線于點(diǎn)M，∵∠MQC+∠RQN＝90°，∠RQN+∠QRN＝90°，∴∠MQC＝∠QRE，∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，∴△ANQ≌△QMC(AAS)，∴QN＝CM，即x＝﹣x2+2x+8，解得x＝(不合題意的值已舍去)，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，)；②當(dāng)點(diǎn)Q在y軸的左側(cè)時(shí)，同理可得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，)．綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，)或(，)．【例5】(2021?南充)如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，連接OQ，當(dāng)線段PQ長(zhǎng)度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說(shuō)明理由；(3)如圖2，在(2)的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得△BEF為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，﹣x+4)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，x2﹣5x+4)，則PQ＝(﹣x+4)﹣(x2﹣5x+4)＝﹣x2+4x，進(jìn)而求解；(3)當(dāng)∠DQE＝2∠ODQ，則∠HQA＝∠HQE，則直線AQ和直線QE關(guān)于直線QH對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)為(5，4)，再分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三種情況，分別求解即可．【解答】解：(1)由題意得：，解得，故拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣5x+4①；(2)對(duì)于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，則y＝4，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，點(diǎn)C(0，4)，設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx+t，則，解得，故直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+4，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，﹣x+4)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，x2﹣5x+4)，則PQ＝(﹣x+4)﹣(x2﹣5x+4)＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故PQ有最大值，當(dāng)x＝2時(shí)，PQ的最大值為4＝CO，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，﹣2)；∵PQ＝CO，PQ∥OC，故四邊形OCPQ為平行四邊形；(3)∵D是OC的中點(diǎn)，則點(diǎn)D(0，2)，由點(diǎn)D、Q的坐標(biāo)，同理可得，直線DQ的表達(dá)式為y＝﹣2x+2，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，則QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，而∠DQE＝2∠ODQ．∴∠HQA＝∠HQE，則直線AQ和直線QE關(guān)于直線QH對(duì)稱(chēng)，故設(shè)直線QE的表達(dá)式為y＝2x+r，將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入上式并解得r＝﹣6，故直線QE的表達(dá)式為y＝2x﹣6②，聯(lián)立①②并解得(不合題意的值已舍去)，故點(diǎn)E的坐標(biāo)為(5，4)，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，m)，由點(diǎn)B、E的坐標(biāo)得：BE2＝(5﹣4)2+(4﹣0)2＝17，同理可得，當(dāng)BE＝BF時(shí)，即16+m2＝17，解得m＝±1；當(dāng)BE＝EF時(shí)，即25+(m﹣4)2＝17，方程無(wú)解；當(dāng)BF＝EF時(shí)，即16+m2＝25+(m﹣4)2，解得m＝；故點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，1)或(0，﹣1)或(0，)．【題組一】1．(2021?無(wú)為市三模)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣4ax+3a(a＞0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，其頂點(diǎn)為C．(1)求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；(2)當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求a的值；(3)直線l：y＝kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，并與拋物線交于另一點(diǎn)D(4，3)，點(diǎn)P為直線l下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PM∥y軸交直線l于點(diǎn)M，PN∥x軸交直線l于點(diǎn)N，記W＝PM+PN，求W的最大值．【分析】(1)根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸直線公式直接代入系數(shù)即可；(2)若△ABC為等邊三角形，則C點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于AB，即可求出a值；(3)把D點(diǎn)代入解析式可求出拋物線解析式，A點(diǎn)坐標(biāo)和D點(diǎn)坐標(biāo)可確定直線解析式，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，分別用P點(diǎn)橫坐標(biāo)字母表示出PM和PN，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值即可．【解答】解：(1)∵拋物線y＝ax2﹣4ax+3a(a＞0)，∴對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣＝2，即對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2；(2)當(dāng)y＝0時(shí)，ax2﹣4ax+3a＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A(1，0)，B(3，0)，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，∴C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為＝2，縱坐標(biāo)為﹣AC?sin60°＝﹣AB?sin60°＝﹣AB＝×(3﹣1)＝﹣，即C(2，﹣)，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線得﹣＝4a﹣8a+3a，解得a＝；(3)∵A(1，0)，D(4，3)在直線y＝kx+b上，∴，解得，∴直線l的解析式為y＝x﹣1，∵拋物線過(guò)點(diǎn)D(4，3)，∴3＝16a﹣16a+3a，解得a＝1，∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x+3，∵PM∥y軸交直線l于點(diǎn)M，PN∥x軸交直線l于點(diǎn)N，∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，m2﹣4m+3)，M點(diǎn)坐標(biāo)為(m，m﹣1)，∵點(diǎn)P與N的縱坐標(biāo)相同，∴m2﹣4m+3＝xN﹣1，∴xN＝m2﹣4m+4，∴PM＝y(tǒng)M﹣yP＝m﹣1﹣m2+4m﹣3＝﹣m2+5m﹣4，PN＝xP﹣xN＝m﹣m2+4m﹣4＝﹣m2+5m﹣4，∴W＝PM+PN＝﹣m2+5m﹣4﹣m2+5m﹣4＝﹣2(m﹣)2+，∴當(dāng)m＝時(shí)，W有最大值，最大值為．2．(2021?渝中區(qū)校級(jí)三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸相交于A(6，0)，B(﹣2，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，D為拋物線頂點(diǎn)，連接AD．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，P為直線AD下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合)，連接PA，PD，求△APD面積的最大值及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖3，連接AC，將直線AC沿射線DA方向平移個(gè)單位得到直線l，直線l與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N(M在N的左側(cè))，在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)K，使△CMK是以KC為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)A(6，0)、B(﹣2，0)代入即可；(2)先求出直線AD的解析式y(tǒng)＝2x﹣12，過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線交AD于點(diǎn)H，設(shè)P(t，t2﹣2t﹣6)，則H(t，2t﹣12)，△APD面積＝×HP×(6﹣2)＝﹣(t﹣4)2+4，則當(dāng)t＝4時(shí)，△APD面積最大為4，此時(shí)P(4，﹣6)；(3)先求直線AC的解析式為y＝x﹣6，由于沿射線DA方向平移個(gè)單位，則向x軸正方向平移個(gè)單位，向y軸正方向平移27個(gè)單位，平移后直線l為y＝x+，聯(lián)立x+＝x2﹣2x﹣6，可求M(﹣3，)，設(shè)K(2，q)，分兩種情況①M(fèi)C＝CK，9+＝4+(q+6)2，可求K(2，﹣6)；②CK＝MK，4+(q+6)2＝25+，可求K(2，)．【解答】解：(1)將A(6，0)、B(﹣2，0)代入，得，解得，∴；(2)由題可知C(0，﹣6)，D(2，﹣8)，設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+m，則有，解得，∴y＝2x﹣12，過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線交AD于點(diǎn)H，設(shè)P(t，t2﹣2t﹣6)，則H(t，2t﹣12)，△APD面積＝×HP×(6﹣2)＝2(2t﹣12﹣t2+2t+6)＝﹣t2+8t﹣12＝﹣(t﹣4)2+4，∴當(dāng)t＝4時(shí)，△APD面積最大為4，∴P(4，﹣6)；(3)K點(diǎn)存在兩個(gè)，理由如下：設(shè)直線AC的解析式為y＝hx+n，將點(diǎn)A與C代入可得，解得，∴y＝x﹣6，∵沿射線DA方向平移個(gè)單位，則向x軸正方向平移個(gè)單位，向y軸正方向平移27個(gè)單位，∴平移后直線l為y＝x+，聯(lián)立x+＝x2﹣2x﹣6，解得x＝﹣3或x＝9，∵M(jìn)在N的左側(cè)，∴M(﹣3，)，∵的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2，設(shè)K(2，q)，∵△CMK是以KC為腰的等腰三角形，分兩種情況：①M(fèi)C＝CK，9+＝4+(q+6)2，∴q＝﹣6，∴K(2，﹣6)；②CK＝MK，4+(q+6)2＝25+，∴q＝，∴K(2，)；綜上所述：使△CMK是以KC為腰的等腰三角形時(shí)，K的坐標(biāo)為(2，﹣6)或(2，)．3．(2021?廣東模擬)如圖，拋物線y＝x2+bx﹣1與x軸交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣，連接AC，BC．(1)求拋物線的解析式；(2)求△ABC的面積；(3)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)由對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣＝﹣，即可求b的值；(2)A(﹣﹣2，0)，B(﹣+2，0)，則BA＝4，所以△ABC的面積＝×4×1＝2；(3)設(shè)E(﹣，t)，分三種情況：①CD＝CE，則有3+9＝3+(t+1)2，求得E(﹣，2)；②CD＝DE，則有3+9＝(t+4)2，求得E(﹣，2﹣4)或E(﹣，﹣2﹣4)；③CE＝DE，則有3+(t+1)2＝(t+4)2，求得E(，﹣2)．【解答】解：(1)∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣＝﹣，∴b＝2，∴y＝x2+2x﹣1；(2)令x2+2x﹣1＝0，∴x＝﹣+2或x＝﹣﹣2，∴A(﹣﹣2，0)，B(﹣+2，0)，∴BA＝4，∴△ABC的面積＝×4×1＝2；(3)點(diǎn)E存在，理由如下：設(shè)E(﹣，t)，由y＝x2+2x﹣1，可求C(0，﹣1)，D(﹣，﹣4)，△CDE為等腰三角形，分三種情況：①CD＝CE，∴3+9＝3+(t+1)2，∴t＝2或t＝﹣4，∴E(﹣，2)或E(﹣，﹣4)(舍)；②CD＝DE，3+9＝(t+4)2，∴t＝2﹣4或t＝﹣2﹣4，∴E(﹣，2﹣4)或E(﹣，﹣2﹣4)；③CE＝DE，3+(t+1)2＝(t+4)2，∴t＝﹣2，∴E(﹣，﹣2)；綜上所述：得△CDE為等腰三角形時(shí)，E點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣，2)或(﹣，2﹣4)或(﹣，﹣2﹣4)或(﹣，﹣2)．4．(2021?北碚區(qū)校級(jí)模擬)如圖，拋物線y＝x2﹣x﹣與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線l與拋物線交于另一點(diǎn)E(4，a)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)Q，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D．(1)求直線CE的解析式．(2)如圖2，P為直線CE下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，直線CE與x軸交于點(diǎn)F，連接PF，PC．當(dāng)△PCF的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PCF面積的最大值．(3)如圖3，連接CD，將(1)中拋物線沿射線CD平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)H，在直線QH上是否存在點(diǎn)G，使得△DQG為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．【分析】(1)拋物線的解析式可變形為y＝(x+1)(x﹣3)，從而可得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后再求出點(diǎn)C和點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)直線CE的解析式為y＝kx+b，將點(diǎn)C和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入求得k和b的值，即可得出CE的解析式；(2)由直線CE的解析式可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交CE于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，表達(dá)出點(diǎn)P和點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用鉛垂法表達(dá)△PCF的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出△PCF的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)由平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，可得點(diǎn)H的坐標(biāo)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)；分DQ＝DG，QD＝QG，GD＝GQ三種情況結(jié)合背景圖形，解直角三角形即可得到點(diǎn)G的坐標(biāo)．【解答】解：(1)拋物線y＝x2﹣x﹣與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，令x＝0，則y＝﹣；令y＝0，則y＝(x+1)(x﹣3)＝0，則x＝﹣1或x＝3；∴A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線l與拋物線交于另一點(diǎn)E(4，a)，∴a＝×42﹣×4﹣，即a＝，∴E(4，)，設(shè)直線CE的解析式為：y＝kx+b，∴，解得，∴直線CE的解析式為：y＝x﹣；(2)∵直線CE與x軸交于點(diǎn)F，∴F(，0)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交CE于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴P(m，m2﹣m﹣)，M(m，m﹣)，∴MP＝m﹣﹣(m2﹣m﹣)＝﹣m2+m，∴S△PCF＝(xF﹣xC)?MP＝××(﹣m2+m)＝﹣(m﹣2)2+，∴當(dāng)m＝2時(shí)，S△PCF的最大值為，此時(shí)P(2，﹣)．(3)在直線QH上是否存在點(diǎn)G，使得△DQG為等腰三角形，理由如下：∵拋物線y＝x2﹣x﹣＝(x﹣1)2﹣，∴D(1，0)，Q(1，﹣)，∴DQ＝，tan∠OCD＝，∴∠OCD＝30°，拋物線沿射線CD平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，如圖，則y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)H(2，﹣)，∠DQH＝∠OCD＝30°，∴直線QH的解析式為y＝x﹣．①當(dāng)DG1＝DQ＝時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)G1作G1I⊥DQ于點(diǎn)I，此時(shí)∠G1DI＝60°，∴DI＝DG1＝，G1I＝DI＝2，∴G1(3，)；②當(dāng)QG1＝QD＝時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)G2作G2T⊥DQ于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)G3作G3S⊥DQ于點(diǎn)S，∴G2T＝QG2＝，TQ＝G2T＝2，∴G2(1+，2﹣)；同理可得，G3S＝，SQ＝2，∴G3(1﹣，﹣2﹣)；③當(dāng)GD＝GQ時(shí)，如圖所示，此時(shí)點(diǎn)G4為DQ的中垂線與直線QH的交點(diǎn)，∴G4的縱坐標(biāo)為﹣，∴G4(，﹣)；綜上，點(diǎn)G的坐標(biāo)為：(3，)；(1+，2﹣)；(1﹣，﹣2﹣)；(，﹣)．【題組二】5．(2020?山西模擬)綜合與實(shí)踐如圖，拋物線y=34x2-94x-3與x軸交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)求t為何值時(shí)，△BDE是等腰三角形；(3)在點(diǎn)D和點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在直線DE將△BOC的面積分成1：4兩份，若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)令x＝0和y＝0，可得方程，解得可求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)分三種情況討論，利用等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求解；(3)分兩種情況討論，利用銳角三角函數(shù)和三角形面積公式可求解．【解答】解：(1)令y＝0，可得0=34x2-解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴點(diǎn)A(﹣1，0)，點(diǎn)B(4，0)，令x＝0，可得y＝﹣3，∴點(diǎn)C(0，﹣3)；(2)∵點(diǎn)A(﹣1，0)，點(diǎn)B(4，0)，點(diǎn)C(0，﹣3)，∴AB＝5，OB＝4，OC＝3，∴BC=OB當(dāng)BD＝BE時(shí)，則5﹣t＝t，∴t=5當(dāng)BE＝DE時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于H，∴DH＝BH=12BD∵cos∠DBC=BO∴5-t2∴t=25當(dāng)BD＝DE時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BE于F，∴EF＝BF=12BE=∵cos∠DBC=BF∴12∴t=40綜上所述：t的值為52，2513和(3)∵S△BOC=12BO×∴15S△BOC=65，45S如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于H，∵sin∠DBC=HE∴HEt∴HE=35當(dāng)S△BDE=15S△BOC=65時(shí)，則12(5﹣t∴t1＝1，t2＝4，當(dāng)S△BDE=45S△BOC=245，時(shí)，則12(5﹣t∴t2﹣5t+16＝0，∴方程無(wú)解，綜上所述：t的值為1或4．6．(2020?三水區(qū)一模)如圖，已知拋物線經(jīng)y＝ax2+bx﹣3過(guò)A(1，0)，B(3，0)，C三點(diǎn)．(1)求拋物線解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是BC上方拋物線上一點(diǎn)，作PQ⊥x軸交BC于Q點(diǎn)．請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使得△BPQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，連接AC，點(diǎn)D是線段AB上一點(diǎn)，作DE∥BC交AC于E點(diǎn)，連接BE，若△BDE∽△CEB，求D點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解可得拋物線的表達(dá)式；(2)先求出直線BC的解析式，分三種情況：當(dāng)PB＝QB，PQ＝BQ，PQ＝PB時(shí)，設(shè)P(a，﹣a2+4a﹣3)，可表示出三條線段長(zhǎng)，則解方程可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)證得△ABE∽△ACB可得比例線段求出AE長(zhǎng)，當(dāng)△BDE∽△CEB時(shí)可求出D點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：(1)∵拋物線經(jīng)y＝ax2+bx﹣3過(guò)A(1，0)，B(3，0)，∴a+b-3=09a+3b-3=0解得：a=-1b=4∴拋物線解析式y(tǒng)＝﹣x2+4x﹣3；(2)存在點(diǎn)P使得△BPQ為等腰三角形，∵B(3，0)，C(0，﹣3)，∴設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴b=-33k+b=0解得：k＝1，b＝﹣3，∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，設(shè)P(a，﹣a2+4a﹣3)，則Q(a，a﹣3)，可分三種情況考慮：①當(dāng)PB＝BQ時(shí)，由題意得P、Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴﹣a2+4a﹣3+a﹣3＝0，解得：a＝2，a＝3(舍去)，∴P(2，1)，②當(dāng)PQ＝BQ時(shí)，(﹣a2+3a)2＝2(a﹣3)2，∴a=2，a=-2(舍去)，∴P(2，42-③當(dāng)PQ＝PB時(shí)，有(﹣a2+3a)2＝(a﹣3)2+(a2﹣4a+3)2，整理得：a2＝1+(a﹣1)2，解得a＝1．∴P(1，0)．綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為P1(1，0)，P2(2，1)，P3(2，42-(3)∵△BDE∽△CEB，∴∠ABE＝∠ACB，∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴AEAB又∵AC=1+9∴AE=4∵DE∥BC，設(shè)D(m，0)，∴AEAC∴210∴m=9∴D(957．(2020?潮南區(qū)模擬)如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D．(1)求二次函數(shù)的解析式．(2)有一個(gè)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△MNB面積最大，試求出最大面積．(3)在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)利用待定系數(shù)法可求解析式；(2)設(shè)AM＝t則DN＝2t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，S△MNB=12×(2﹣t)×2t＝﹣t2+2t，運(yùn)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)解決問(wèn)題；此時(shí)點(diǎn)M在D點(diǎn)，點(diǎn)N在對(duì)稱(chēng)軸上x(chóng)軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N(3)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理得到BC，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：①CP＝CB；②BP＝BC；③PB＝PC；【解答】解：(1)把A(1，0)和C(0，3)代入y＝x2+bx+c，1+b+c=0c=3解得：b=-4c=3∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+3；(2)如圖1，設(shè)A運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，則DN＝2t，∴S△MNB=12×(2﹣t)×2t＝﹣t2+2t＝﹣(t即當(dāng)M(2，0)、N(2，2)或(2，﹣2)時(shí)△MNB面積最大，最大面積是1；(3)令y＝0，則x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B(3，0)，∴BC＝32，點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：如圖2，①當(dāng)CP＝CB時(shí)，PC＝32，∴OP＝OC+PC＝3+32或OP＝PC﹣OC＝32-∴P1(0，3+32)，P2(0，3﹣32)；②當(dāng)BP＝BC時(shí)，OP＝OB＝3，∴P3(0，﹣3)；③當(dāng)PB＝PC時(shí)，∵OC＝OB＝3，∴此時(shí)P與O重合，∴P4(0，0)；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(0，3+32)或(0，3﹣32)或(0，﹣3)或(0，0)．8．(2020?南召縣一模)如圖，二次函數(shù)y=43x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3，0)，B(﹣1，0)，與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)P，Q同時(shí)從A(1)直接寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，將△APQ沿PQ翻折，若點(diǎn)A恰好落在拋物線上D點(diǎn)處，求出D點(diǎn)坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A，E，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中，求得b、c，進(jìn)而可求解析式；(2)如圖，D點(diǎn)關(guān)于PQ與A點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)Q作FQ⊥AP于F，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)及已知條件可得AP＝AQ＝QD＝DP，那么四邊形AQDP為菱形．由FQ∥OC，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出AF=35t，F(xiàn)Q=45t，得到Q(3-35t，-45(3)以A，E，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：①AE＝EQ；②AQ＝EQ；③AE＝AQ．可通過(guò)畫(huà)圖得E點(diǎn)大致位置，再利用勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：(1)∵二次函數(shù)y=43x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3，0)，∴12+3b+c=04解得b=-8∴二次函數(shù)的解析式為y=4(2)如圖，D點(diǎn)關(guān)于PQ與A點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)Q作FQ⊥AP于F，∵AP＝AQ＝t，AP＝DP，AQ＝DQ，∴AP＝AQ＝QD＝DP，∴四邊形AQDP為菱形．∵FQ∥OC，∴AFAO∴AF3∴AF=35t∴Q(3-3∵DQ＝AP＝t，∴D(3-3∵D在二次函數(shù)y=4∴-4∴t=14564，或t＝0(與∴D(-5(3)存在滿足條件的點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-13，0)或(如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥OA于D，此時(shí)QD∥OC，∵A(3，0)，B(﹣1，0)，C(0，﹣4)，O(0，0)，∴AB＝4，OA＝3，OC＝4，∴AC=32+∵QD∥OC，∴QDOC∴QD4∴QD=165，①作AQ的垂直平分線，交x軸于E，此時(shí)AE＝EQ，即△AEQ為等腰三角形．設(shè)AE＝x，則EQ＝x，DE＝|AD﹣AE|＝|125-∴在Rt△EDQ中，(125-x)2+(165)2＝x2，解得∴OA﹣AE＝3-10∴E(-13，0)，點(diǎn)E在②以Q為圓心，AQ長(zhǎng)半徑畫(huà)圓，交x軸于E，此時(shí)QE＝QA＝4，∵ED＝AD=12∴AE=24∴OA﹣AE＝3-24∴E(-9③當(dāng)AE＝AQ＝4時(shí)，∵OA﹣AE＝3﹣4＝﹣1，或OA+AE＝7，∴E(﹣1，0)或(7，0)．綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-13，0)或(【題組三】9．(2020?番禺區(qū)一模)如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y＝ax2﹣x+b與直線y＝2交于A，C兩點(diǎn)，其對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝2，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，線段AC與y軸交于點(diǎn)B．(1)求拋物線的解析式，并寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)E為線段BC上一點(diǎn)，且EC﹣EA＝2，點(diǎn)P(0，t)為線段OB上不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，過(guò)點(diǎn)E作直線PE的垂線交x軸于點(diǎn)F，連接PF，探究在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PE，PF有何數(shù)量關(guān)系？并證明所探究的結(jié)論；(3)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為M，求當(dāng)t為何值時(shí)，△DMF為等腰三角形？【分析】(1)拋物線過(guò)原點(diǎn)，則b＝0，x＝2=--12a，求得a(2)證明△PBE∽△FHE，則PEEF=BEHE=12，故EF＝2PE，再由勾股定理得：PF2＝PE2+FE2＝PE2+(2(3)分FM＝FD、DF＝DM、FM＝DM三種情況，利用三角形相似和勾股定理綜合求解即可．【解答】解：(1)拋物線過(guò)原點(diǎn)，則b＝0，x＝2=--12a，解得：a故拋物線的表達(dá)式為：y=14x2﹣令y=14x2﹣x＝0，解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，0)；(2)線段PE，PF的數(shù)量關(guān)系為PF=5PE如圖1，設(shè)AC的中點(diǎn)為G，則點(diǎn)G(2，2)，則AE+EG＝GC，∴GE+GE＝GE+GC﹣AE＝EC﹣AE＝2，故EG＝1，則點(diǎn)E(1，2)，∴BE＝2﹣1＝1，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，∵∠FEH+∠HEP＝90°，∠HEP+∠PEB＝90°，∴∠FEH＝∠PEB，∵∠PBE＝∠FHE＝90°，∴△PBE∽△FHE，∴PEEF=BEHE=在Rt△PEF中，PF2＝PE2+FE2＝PE2+(2PE)2＝5PE2，即PF=5PE(3)由y=14x2﹣x=14(x﹣2)2﹣1知：點(diǎn)①當(dāng)FM＝FD時(shí)，如圖2，在△MND中，MD=M在△MNF中，設(shè)FM＝FD＝k，由勾股定理得：NF2+MN2＝MF2，即(2﹣k)2+1＝k2，解得：k=5故FM＝FD=54，NF＝2-54=34，則OF故點(diǎn)F(114點(diǎn)P(0，t)，則PB＝2﹣t，而B(niǎo)E＝1，在△PBE中，PE2＝BP2+BE2，即PE2＝1+(2﹣t)2，而PF=5PE，則PF2＝5+5(2﹣t)2在△POF中，OP2+OF2＝PF2，即t2+(114)2＝5(2﹣t)2解得：t=9②當(dāng)DF＝DM時(shí)，如圖3，連接MG，由①知DM=5=DF，則OF＝4-5，故點(diǎn)F由①知，PE2＝1+(2﹣t)2，PF2＝5+5(2﹣t)2，在Rt△OPF中，OP2+OF2＝PF2，即t2+(4-5)2＝5(2﹣t)2解得：t=5③當(dāng)FM＝DM時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，則點(diǎn)F、O重合，即點(diǎn)F(0，0)，∵PE⊥EF，則點(diǎn)P在AC的上方，這與點(diǎn)P(0，t)為線段OB上的點(diǎn)矛盾，故這種情況不存在；綜上，t=98或10．(2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)如圖，拋物線y＝ax2-43x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，連結(jié)AC，已知B(﹣1，0)，且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)E是拋物線上位于x軸下方的一點(diǎn)，且S△ACE=12S△ABC，求(3)若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，以P、A、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式；(2)在y=23x2-43x﹣2中，當(dāng)y＝0時(shí)，23x2-43x﹣2＝0，可得A(3，0)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，得到OC＝2，根據(jù)待定系數(shù)法可求AC的解析式，如圖1，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AC于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)F(a，23a﹣2)，點(diǎn)E(a，23a2-43a﹣2)，其中﹣1＜a(3)如圖2，設(shè)P(0，m)，則PC＝m+2，OA＝3，根據(jù)勾股定理得到AC=22+32=13，①當(dāng)PA＝CA時(shí)，則OP1＝OC＝2，②當(dāng)PC＝CA=13時(shí)，③當(dāng)PC＝PA時(shí)，點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到P3(0，5【解答】解：(1)把B(﹣1，0)，D(2，﹣2)代入y＝ax2-43x+c得解得：a=2故拋物線的解析式為y=23x2-(2)當(dāng)y＝0時(shí)，23x2-4解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A(3，0)，∴AB＝4，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，∴C(0，﹣2)，∴OC＝2，∴S△ABC=1設(shè)AC的解析式為y＝kx+b，把A(3，0)，C(0，﹣2)代入y＝kx+b得3k+b=0b=-2解得k=2∴y=23如圖1，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AC于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)F(a，23a﹣2)，點(diǎn)E(a，23a2-43∴S△ACE=12EF|xA﹣xC|=32|23a2∵S△ACE=12S△∴a2﹣3a＝2或﹣a2+3a＝2，解得a1=3+172(舍去)，a2=3-172，∴E1(3-172，1-173)，E2(1，-(3)在y＝ax2+bx﹣2中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，∴C(0，﹣2)，∴OC＝2，如圖2，設(shè)P(0，m)，則PC＝m+2，OA＝3，AC=2①當(dāng)PA＝CA時(shí)，則OP1＝OC＝2，∴P1(0，2)；②當(dāng)PC＝CA=13時(shí)，即m+2=13，∴m∴P2(0，13-③當(dāng)PC＝PA時(shí)，點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，則△AOC∽△P3EC，∴13P∴P3C=13∴m=5∴P3(0，54④當(dāng)PC＝CA=13時(shí)，m＝﹣2-∴P4(0，﹣2-13綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)(0，2)或(0，13-2)或(0，54)或(0，﹣211．(2020?貴州省黔東南州中考第25題)已知拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣3)，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，﹣4)．(1)求拋物線的解析式．(2)在y軸上找一點(diǎn)E，使得△EAC為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)P、Q、B、D為頂點(diǎn)，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P、Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的解析式，再將點(diǎn)C坐標(biāo)代入求解，即可得出結(jié)論；(2)先求出點(diǎn)A，C坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo)，表示出AE，CE，AC，再分三種情況建立方程求解即可；(3)利用平移先確定出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．【解析】(1)∵拋物線的頂點(diǎn)為(1，﹣4)，∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x﹣1)2﹣4，將點(diǎn)C(0，﹣3)代入拋物線y＝a(x﹣1)2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，∴a＝1，∴拋物線的解析式為y＝a(x﹣1)2﹣4＝x2﹣2x﹣3；(2由(1)知，拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B(3，0)，A(﹣1，0)，令x＝0，則y＝﹣3，∴C(0，﹣3)，∴AC=10設(shè)點(diǎn)E(0，m)，則AE=m2+1，CE∵△ACE是等腰三角形，∴①當(dāng)AC＝AE時(shí)，10=∴m＝3或m＝﹣3(點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，舍去)，∴E(0，3)，②當(dāng)AC＝CE時(shí)，10=|m∴m＝﹣3±10，∴E(0，﹣3+10)或(0，﹣3-③當(dāng)AE＝CE時(shí)，m2+1=∴m=-4∴E(0，-4即滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，3)、(0，﹣3+10)、(0，﹣3-10)、(0，(3)如圖，存在，∵D(1，﹣4)，∴將線段BD向上平移4個(gè)單位，再向右(或向左)平移適當(dāng)?shù)木嚯x，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上，這樣便存在點(diǎn)Q，此時(shí)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)就是點(diǎn)P，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4，設(shè)Q(t，4)，將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，∴t＝1+22或t＝1﹣22，∴Q(1+22，4)或(1﹣22，4)，分別過(guò)點(diǎn)D，Q作x軸的垂線，垂足分別為F，G，∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸的右邊的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，且D(1，﹣4)，∴FB＝PG＝3﹣1＝2，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為(1+22)﹣2＝﹣1+22或(1﹣22)﹣2＝﹣1﹣22，即P(﹣1+22，0)、Q(1+22，4)或P(﹣1﹣22，0)、Q(1﹣22，4)．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．12．(2020?山東省棗莊市中考第25題)如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A(﹣3，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為M(m，0)，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？(3)試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；(2)PN＝PQsin45°=22(-13m2+43m(3)分AC＝CQ、AC＝AQ、CQ＝AQ三種情況，分別求解即可．【解析】(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得9a-3b+4=016a+4b+4=0，解得a=-故拋物線的表達(dá)式為：y=-13x2+(2)由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C(0，4)，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+4；設(shè)點(diǎn)M(m，0)，則點(diǎn)P(m，-13m2+13m+4)，點(diǎn)Q(∴PQ=-13m2+13m+4+m﹣4=-1∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，∴∠PQN＝∠BQM＝45°，∴PN＝PQsin45°=22(-13m2+43m∵-26＜0，故當(dāng)m＝2時(shí)，PN(3)存在，理由：點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(﹣3，0)、(0，4)，則AC＝5，①當(dāng)AC＝CQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥y軸于點(diǎn)E，則CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣(﹣m+4)]2＝25，解得：m＝±52故點(diǎn)Q(522，②當(dāng)AC＝AQ時(shí)，則AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣(﹣3)]2+(﹣m+4)2＝25，解得：m＝1或0(舍去0)，故點(diǎn)Q(1，3)；③當(dāng)CQ＝AQ時(shí)，則2m2＝[m﹣(﹣3)]2+(﹣m+4)2，解得：m=25綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，3)或(522，【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等，其中(3)，要注意分類(lèi)求解，避免遺漏．【題組四】13．(2020?湖北省武漢市中考第24題)將拋物線C：y＝(x﹣2)2向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C1，再將拋物線C1向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C2．(1)直接寫(xiě)出拋物線C1，C2的解析式；(2)如圖(1)，點(diǎn)A在拋物線C1(對(duì)稱(chēng)軸l右側(cè))上，點(diǎn)B在對(duì)稱(chēng)軸l上，△OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(3)如圖(2)，直線y＝kx(k≠0，k為常數(shù))與拋物線C2交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，M為線段EF的中點(diǎn)；直線y=-4kx與拋物線C2交于G，H兩點(diǎn)，N為線段GH的中點(diǎn)．求證：直線【分析】(1)根據(jù)平移規(guī)律：上加下減，左加右減，直接寫(xiě)出平移后的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，設(shè)A(a，(a﹣2)2﹣6)，則BD＝a﹣2，AC＝|(a﹣2)2﹣6|，再證明△ABD≌△OAC，由全等三角形的性質(zhì)得a的方程求得a便可得A的坐標(biāo)；(3)由兩直線解析式分別與拋物線的解析式聯(lián)立方程組，求出M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得MN的解析式，再根據(jù)解析式的特征得出MN經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．【解析】(1)∵拋物線C：y＝(x﹣2)2向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C1，∴C1：y＝(x﹣2)2﹣6，∵將拋物線C1向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C2．∴C2：y＝(x﹣2+2)2﹣6，即y＝x2﹣6；(2)過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，如圖1，設(shè)A(a，(a﹣2)2﹣6)，則BD＝a﹣2，AC＝|(a﹣2)2﹣6|，∵∠BAO＝∠ACO＝90°，∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90°，∴∠BAD＝∠AOC，∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，∴△ABD≌△OAC(AAS)，∴BD＝AC，∴a﹣2＝|(a﹣2)2﹣6|，解得，a＝4，或a＝﹣1(舍)，或a＝0(舍)，或a＝5，∴A(4，﹣2)或(5，3)；(3)把y＝kx代入y＝x2﹣6中得，x2﹣kx﹣6＝0，∴xE+xF＝k，∴M(k2把y=-4kx代入y＝x2﹣6中得，x2+∴xG∴N(-2k，設(shè)MN的解析式為y＝mx+n(m≠0)，則k2m+n=k∴直線MN的解析式為：y=k當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，∴直線MN：y=k即直線MN經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)二次函數(shù)綜合題，主要考查了平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，待定系數(shù)法，求函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，第(2)小題關(guān)鍵是證明三角形全等，第(3)題關(guān)鍵是求出M、N點(diǎn)的坐標(biāo)及直線MN的解析式．14．(2021?建華區(qū)二模)綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣3x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)B(點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè))．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B坐標(biāo)；(2)設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)H，則S△BCH＝；(3)若點(diǎn)M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線ED平行y軸交x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，求ME長(zhǎng)的最大值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(4)在(3)的條件下：當(dāng)ME取得最大值時(shí)，在x軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)M、點(diǎn)B、點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)由直線y＝﹣3x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，