離散數(shù)學(xué)-第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu)練習(xí)題答案(課件模板)

PAGEPAGE6《離散數(shù)學(xué)》第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu)一、選擇或填空1、設(shè)A={2,4,6}，A上的二元運(yùn)算*定義為：a*b=max{a,b}，則在獨(dú)異點(diǎn)<A,*>中，單位元是()，零元是()。答：2，62、設(shè)A={3,6,9}，A上的二元運(yùn)算*定義為：a*b=min{a,b}，則在獨(dú)異點(diǎn)<A,*>中，單位元是()，零元是()；答：9，33、設(shè)〈G,*〉是一個(gè)群，則(1)若a,b,x∈G，ax=b，則x=()；(2)若a,b,x∈G，ax=ab，則x=()。答：（1）ab（2）b4、設(shè)a是12階群的生成元，則a2是()階元素，a3是()階元素。答：6,45、代數(shù)系統(tǒng)<G,*>是一個(gè)群，則G的等冪元是()。答：?jiǎn)挝辉?、設(shè)a是10階群的生成元，則a4是()階元素，a3是()階元素。答：5，107、群<G,*>的等冪元是()，有()個(gè)。答：?jiǎn)挝辉?8、素?cái)?shù)階群一定是()群,它的生成元是()。答：循環(huán)群，任一非單位元9、設(shè)〈G,*〉是一個(gè)群，a,b,c∈G，則(1)若ca=b，則c=()；(2)若ca=ba，則c=()。答：（1）b(2)b10、<H,,>是<G,,>的子群的充分必要條件是()。答：<H,,>是群或a，bG，abH，a-1H或a,bG，ab-1H11、群＜A,*＞的等冪元有()個(gè)，是()，零元有()個(gè)。答：1，單位元，012、在一個(gè)群〈G,*〉中，若G中的元素a的階是k，則a-1的階是()。答：k13、在自然數(shù)集N上，下列哪種運(yùn)算是可結(jié)合的？（）(1)a*b=a-b(2)a*b=max{a,b}(3)a*b=a+2b(4)a*b=|a-b|答：(2)14、任意一個(gè)具有2個(gè)或以上元的半群，它（）。(1)不可能是群(2)不一定是群(3)一定是群(4)是交換群答：(1)15、6階有限群的任何子群一定不是（）。(1)2階(2)3階(3)4階(4)6階答：(3)16、下列哪個(gè)偏序集構(gòu)成有界格（）(1)（N,）(2)（Z,）(3)（{2,3,4,6,12},|（整除關(guān)系））(4)(P(A),)答：(4)18、有限布爾代數(shù)的元素的個(gè)數(shù)一定等于（）。(1)偶數(shù)(2)奇數(shù)(3)4的倍數(shù)(4)2的正整數(shù)次冪答：(4)五、證明或解答：1、求循環(huán)群C12={e,a,a2,…,a11}中H={e,a4,a8}的所有右陪集。解：因?yàn)閨C12|=12，|H|=3，所以H的不同右陪集有4個(gè)：H，{a,a5,a9},{a2,a6,a10},{a3,a7,a11}。2、求下列置換的運(yùn)算：解：（1）=（2）===3、I上的二元運(yùn)算*定義為：a,bI，a*b=a+b-2。試問(wèn)<I,*>是循環(huán)群?jiǎn)?？解?lt;I,*>是循環(huán)群。因?yàn)?lt;I,*>是無(wú)限階的循環(huán)群，則它只有兩個(gè)生成元。1和3是它的兩個(gè)生成元。因?yàn)閍n=na-2(n-1)，故1n=n-2(n-1)=2-n。從而對(duì)任一個(gè)kI,k=2-(2-k)=12-k，故1是的生成元。又因?yàn)?和3關(guān)于*互為逆元，故3也是<I,*>的生成元。4、設(shè)<G,·>是群，aG。令H={xG|a·x=x·a}。試證：H是G的子群。證明： c，dH，則對(duì)c，dHK，c·a=a·c,d·a=a·d。故(c·d)·a=c·(d·a)=c·(a·d)=(c·a)·d=(a·c)·d=a·(c·d)。從而c·dH。由于c·a=a·c,且·滿足消去律，所以a·c-1=c-1·a。故c-1H。從而H是G的子群。5、證明：偶數(shù)階群中階為2的元素的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)。證明：設(shè)<G,·>是偶數(shù)階群，則由于群的元素中階為1的只有一個(gè)單位元，階大于2的元素是偶數(shù)個(gè)，剩下的元素中都是階為2的元素。故偶數(shù)階群中階為2的元素一定是奇數(shù)個(gè)。6、證明：有限群中階大于2的元素的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)。證明：設(shè)<G,·>是有限群，則aG，有|a|=|a-1|。且當(dāng)a階大于2時(shí)，a-1。故階數(shù)大于2的元素成對(duì)出現(xiàn)，從而其個(gè)數(shù)必為偶數(shù)。7、設(shè)<G,·>是群，a,bG，ae，且a4·b=b·a5。試證a·bb·a。證明：用反證法證明。假設(shè)a·b=b·a。則a4·b=a3·（a·b）=a3·(b·a)=(a5·b)·a=(a2·(a·b))·a=（a2·（b·a））·a=((a2·b)·a)·a=(a·(a·b))·(a·a)=(a·(b·a))·a2=((a·b)·a)·a2=((b·a)·a)·a2=(b·a2)·a2=b·(a2·a2)=b·a4。因?yàn)閍4·b=b·a5，所以b·a5=b·a4。由消去律得，a=e。這與已知矛盾。8、I上的二元運(yùn)算*定義為：a,bI，a*b=a+b-2。試證：<I,*>為群。證明：（1）a,b,cI，(a*b)*c=(a*b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4,a*(b*c)=a+(b*c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4。故(a*b)*c=a*(b*c)，從而*滿足結(jié)合律。（2）記e=2。對(duì)aI，a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.。故e=2是I關(guān)于運(yùn)算*的單位元。（3）對(duì)aI，因?yàn)閍*（4-a）=a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)*a。故4-a是a關(guān)于運(yùn)算*的逆元。綜上所述，<I,*>為群。9、單位元有惟一逆元。證明：設(shè)<G,>是一個(gè)群，e是關(guān)于運(yùn)算的單位元。若e1,e2都是e的逆元，即e1*e=e且e2*e=e。因?yàn)閑是關(guān)于運(yùn)算的單位元，所以e1=e1*e=e=e2*e=e2。即單位元有惟一逆元。10、設(shè)e和0是關(guān)于A上二元運(yùn)算*的單位元和零元，如果|A|>1，則e0。證明：用反證法證明。假設(shè)e=0。對(duì)A的任一元素a，因?yàn)閑和0是A上關(guān)于二元運(yùn)算*的單位元和零元，則a=a*e=a*0=0。即A的所有元素都等于0,這與已知條件|A|>1矛盾。從而假設(shè)錯(cuò)誤。即e0。11、證明在元素不少于兩個(gè)的群中不存在零元。證明：（用反證法證明）設(shè)在素不少于兩個(gè)的群<G,>中存在零元。對(duì)aG,由零元的定義有a*=。 <G,>是群，關(guān)于*消去律成立。a=e。即G中只有一個(gè)元素，這與|G|2矛盾。故在元素不少于兩個(gè)的群中不存在零元。12、證明在一個(gè)群中單位元是惟一的。證明：設(shè)e1,e2都是群〈G,*〉的單位元。則e1=e1*e2=e2。所以單位元是惟一的。13、設(shè)a是一個(gè)群〈G，*〉的生成元，則a-1也是它的生成元。證明：xG，因?yàn)閍是〈G，*〉的生成元，所以存在整數(shù)k，使得x=a。故x=((a))=((a))=(a)。從而a-1也是〈G，*〉的生成元。14、設(shè)<G,>是一個(gè)群，則對(duì)于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得ax=b。證明：因?yàn)閍-1*b∈G，且a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b，所以對(duì)于a,b∈G，必有x∈G，使得ax=b。若x1,x2都滿足要求。即ax1=b且ax2=b。故ax1=ax2。由于*滿足消去律，故x1=x2。從而對(duì)于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得ax=b。15、設(shè)半群<S,·>中消去律成立，則<S,·>是可交換半群當(dāng)且僅當(dāng)a,bS，（a·b）2=a2·b2。證明：a,bS，（a·b）2=(a·b)·(a·b)=((a·b)·a)·b=(a·(a·b))·b=((a·a)·b)·b=(a·a)·(b·b)=a2·b2; a,bS，因?yàn)椋╝·b）2=a2·b2，所以(a·b)·(a·b)=(a·a)·(b·b)。故a·((b·a)·b)=a·(a·(b·b))。由于·滿足消去律，所以(b·a)·b=a·(b·b)，即(b·a)·b=(a·b)·b。從而a·b=b·a。故·滿足交換律。16、設(shè)G＝(a)，{e}HG，am是H中a的最小正冪，則（1）H＝(am)；（2）若G為無(wú)限群，則H也是無(wú)限群；證明：（1）bH,kI,使得b=ak。令k=mq+r,0r<m。則ar=ak-mq=aka-mq=b(am)-q。因?yàn)閎,amH,且HG，所以arH。由于0r<m，且am是H中a的最小正冪，故r=0,即k=mq。從而b=(am)q。故am是H的生成元。（2